什么是真理？我们如何对世界的真伪形成判断呢？我们是否简单地遵循着某些算法？这种算法由于自然选择的强有力的过程无疑地比其他效率更低的可能算法更加优越。或许还有其他探索真理的非算法的途径――直觉、禀性或洞察。这似乎是一个困难的问题。我们的判断是基于感觉数据、推理和猜测的盘根错节的结合。而且，在世间的许多情势中也许并没有何为真何为伪的共识。为了使问题简化，让我们只考虑数学真理。我们如何形成自己关于数学问题的判断或许“某些”知识呢？在这儿事情至少应该是更明了些。关于究竟什么为真什么为伪在这里不应成为问题一一难道会有问题吗？究竟什么是数学的真理呢？
数学的真理是一个非常古老的问题，这可回溯到早期的希腊哲学家和数学家的时代――并毫无疑问地比这还要更早。但是，只有在一百多年前们想要理解的正是这些非常基本的问题。它触及了我们的思维过程在性质上是否完全算法的问题。去应付这些问题是非常重要的。数学在十九世纪下半叶有了伟大的进展，其部分原因在于人们发展了数学证明的越来越有力的方法。（我们在前面提到的大卫?希尔伯特和乔治?康托，还有将要提到的伟大的法国数学家亨利?彭加莱是处于发展最前沿的三位。）数学家在利用如此有力的方法时相应地获得自信心。其中许多方法涉及到去考虑具有无限数目的元素的集合①。 正是由于可能将这样的集合当成实在的“东西”――完全存在的整体，而不仅仅为潜在的存在，使证明经常得到成功。这许多强有力的观念是从康托的高度创造性的无限数的概念中孕育而来的。他利用无限集合系统地发展了这一切。（我们在上一章对此有所领略。）
然而，1902年英国逻辑学家兼哲学家贝特朗?罗素提出其著名的佯谬，完全粉碎了这种自信心。 （康托已预示过这一佯谬，并且它是康托 “对角线删除法”的直系后代）。为了理解罗素的论证，我们首先对把许多集合当作完整的整体来考虑应有些了解。我们可以想象，某些集合是按照一个特殊的性质来表征的。例如，红的东西的集合是根据红性来表征的：就是说唯有当某物具有红性时才属于该集合。这样就允许我们把事情倒过来，按照单独对象也就是具有同一性质的事物的整个集合来谈论该性质。
依照这种观点，“红性”是所有红的东西的集合。（我们还可以认为某一其他的集合就在“那里”，它们的元素为稍微复杂的性质所表征。）这种按照集合定义概念的思想是1884年由具有影响的德国逻辑学家哥特洛伯?弗列格引进的步骤的核心。他可按照集合来定义数。例如，实① 部分地根据齐平纳?德尔?费罗和塔塔格利亚更早的结果。际的数3是什么意思呢？我们知道“三性”是什么性质，但是3本身是什么？现在“三性”是一群对象的性质，也就是一个集合的性质：惟有如果当该集合不多不少有三个成员，则它具有“三性”的特别性质。例如，在特定的奥林匹克比赛中，奖章获得者的集合具有“三性”。还有三轮车的轮子集合。正常三叶草的叶的集合或者方程x3-6x2+11x-6=0的解的集合。
那么，弗列格关于实在的数3的定义是什么呢？依照弗列格的论点，3必须是一个集合的集合：即所有具有“三性”1的集合的集合。这样，一个集合如果也只有如果属于弗列格集3，才具有三个成员。
为对等集合的总体，这儿对等的意思是讲“具有能一一配对的元素”（用通常的术语也就是“具有同样多的成员”）。数3就是这些集合的一个特例，其中的一个成员可以是包括一个苹果、一个桔子和一个梨的集合。请注意，这和彻屈在78页给出的“3”的定义完全不同。还可以给出其他今日相当流行的定义。
那么，罗素佯谬又是怎么回事呢？它是关于以如下方式定义的集合R：R是一自身并非其元素的所有集合的集合。
这样，R是集合的某一整体；集X属于该整体的判据是集X自身不是它自身的成员。假定一个集合可以实际是它自身的一个成员，这是否非常荒谬？不见得。例如，考虑一个无限集合（具有无限元素的集合）的集合I。肯定存在无限多不同的无限集，这样I自身也是无限的。这样I确实属于自身！
那么，罗素的概念又如何导致佯谬呢？我们问：罗素集合是它自身的一个成员或者不是它的成员？如果它不是它自身的成员，则它必须属于R，因为R刚好包括那些不是自身成员的集合。 这样， R毕竟属于R――这是矛盾。
另一方面，如果R是它的一个成员，那么由于“自身”实际上就是R，它就属于由自身并非其成员所表征的集合中，也就是它根本不是自身的成员――又导致矛盾①！
这种考虑并不轻率。罗素只不过以相当极端的形式利用数学家们正开始在证明中使用的、非常一般的、数学集论的同一类型的推理。事情很清楚地失去了控制，所以去弄清何种推理是允许的，何种是不允许的，应是适当的。很明显，可允许的推理必须没有冲突，而且只有真的陈述才能允许从原先已知的真的陈述中推导而来。 罗素本人和他的合作者阿弗列德?诺斯?怀德海着手发展一种高度形式化的公理和步骤法则的数学系统，野心勃勃地要把所有正确的数学推理翻译到他们的规划中去。他们非常仔细地① 正如卓越的阿根廷作家约格?路易斯?波格斯写道的：“……一位著名的诗人更具发现家而非发明家的品格……”。选择法则以防止导致罗素自己佯谬的那种佯谬的推理类型。罗素和怀德海所完成的业绩是一部纪念碑式的著作。然而，它是非常繁琐的，并且它实际上统一处理的数学推理的类型是相当有限的。我们在
第二章首次提到的伟大的数学家大卫?希尔伯特致力于一个更可行更广泛的规划。它囊括了所有特殊领域的一切正确的数学推理类型。而且，希尔伯特倾向于认为，可能证明该规划可免于矛盾冲突。那么数学就一劳永逸地处于无可争辩的安全基础之上。然而，1931年25岁的奥地利天才数学逻辑学家库尔特?哥德尔提出了一道实质上摧毁了希尔伯特规划的令人震惊的定理，使得希尔伯特及其追随者的希望落空。哥德尔指出的是，不管任何精确（“形式的”）数学的公理和步骤法则系统，假定它足够宽广于包容简单算术命题的描述（诸如第二章考虑过的“费马最后定理”），并且其中没有矛盾，则必然包含某些用在这系统内所允许的手段既不能证实也不能证伪的陈述。这种陈述的真理性以可允许的步骤是“不能决定的”。事实上，哥德尔能够向我们展示，公理系统本身的协调性的陈述被编码成适当的算术命题后，必须成为一道这样“不能决定的”命题。理解这个“不决定性”的性质对我们很重要。我们将要看到为何哥德尔的论证直接捣毁了希尔伯特规划的核心。
我们还将看到哥德尔的论证如何使我们能用直觉去超越所考虑的任何个别的形式化的数学系统的局限。这一点理解对于下面大部分讨论至关重要。形式数学系统我们必须把 “公理和步骤法则的形式数学系统”的含义弄得更清楚些。
先必须假定有一符号表，我们的数学陈述用这些符号来表达。为了使算术能归并到该系统中去，这些符号必须足够於用来表示自然数。如果需要的话，我们可以只用通常的阿拉伯数的记号0，1，2，3…9，10，11，12，…，虽然这使得法则的说明比所需要的稍微复杂一些。我们如果譬如讲用0，01，011，0111，01111，…去表示自然数列（或，作为折衷，我们可以用二进位记号），则说明就会简单得多。然而，由于这会在以下的讨论中引起混淆，所以在我的描述中只用通常的阿拉伯记号，而不管系统在实际上用什么符号。我们也许需要一个“间隔”符号去把我们系统的不同的“词”或“数”分开，但这又是令人混淆的，所以为了必要的目的我们可以只用(，)。我们还需要用字母来表示任意（“变量”）自然数（或许整数、分数等等――但是让我们在这里只局限于自然数），譬如t，u，v，w，x，y，z，t′，t″，t′″，…。符号t′，t″…也许是需要的，因为我们不想对表式中可能出现的变量数目加上一个上限。我们把(′)当作形式系统的另外的符号，这样使符号实际数目保持为有限。我们还需要基本算术运算的符号=，+，×等等，也许还需要不同种类的括号( ) V ， ，〔，〕以及诸如＆（“以及”）， （“意味着”）， （“ T或”）， （“唯有如果”），～（“非”，或“以下论述是不真 ?
以把诸如“费马最后定理”的陈述写成～ ， ， ， 〔 〕 $w x y z (x +1) + (y +1) = (z +1)w+3 w+3 w+3（见第二章65页）。（我原可以用0111来表示3，或者利用“升幂”的记号使得和形式化符合得更好；但是正如我说过的，我只拘泥于传统的符号，以避免引进不必要的混淆。）上面的陈述（到第一方括号处结束）的意思为：
“不存在自然数w，x，z，z使得…”。
其意思（到第一方括号的“非”符号处结束）为：
“对于所有的自然数w，x，y，z下述不真…”。
这和前面在逻辑上是相同的。
我们需用字母来表示整个命题， 为此目的我用大写字母P， Q， R， S， …。
如下的一个命题事实上为上面的费马的断言：
F w x y z (x +1) + (y +1) = (z +1)
w+3 w+3 w+3＝～ ， ， ， 〔 〕 $一个命题也可依赖于一个或更多的变量；例如，我们也许对某一特殊的①指数 w+3下的费马断言感兴趣：
G(w) = ～ 〔 〕 $ + + + = + + + +x y z x y z w w w , , ( ) ( ) ( ) , 1 1 1 3 3 3这样G（0）断言“没有一个立方可代表正数立方之和”，G(1)对四次方作同样断言，等等。（注意 之后的 没有出现。）现在费马断言是说， $ wG（w）对所有的 w成立。
G （） 是一个所谓的命题函数， 也就是依赖于一个或多个变量的命题的例子。
系统的公理是由一般命题的有限罗列所构成，假定在符号的意义已给定的情形下，这些命题的真理性是不证自明的。例如，对于任何命题或命题函数P，Q，R（），在我们公理之中有其“自明的真理性”清楚地可由其意义所确定。 （第一个简单地断言： “如果P和Q都为真，那么P为真”；第二个断言：“P不真的断言为不真”
和“P为真”是等价的；第三个可用上面给出的“费马最后定理”的两种叙述方法的逻辑等价性作为例子）。我们还可包括基本的算术公理，诸如尽管人们也许宁愿从某些更初等的东西建立这些算术运算，并将这些陈述作为定理导出。步骤法则是诸如这样（自明）的东西：“从 和 我们可推出 ”， P P Q Q Tx而得出的任何命题”。这些是告诉我们如何从已成立的命题引出新命题的方针。
现在从公理开始，然后不断重覆应用步骤法则，就可以建立起一长串的命题。我们在任何阶段都可再使用这些公理，并且总可以不断使用任何我们已经添加到越来越长的表上的命题。任何正确地集合到表上的命题都被称作定理（虽然它们中有许多是相当无聊和无趣的）。如果我们有一个要证明的特定的命题P，则我们可去找一个表，这个表按照这些法则正确地集合起来，并用我们特定的命题P作为终结。这样的表在我们的系统中为我们提供了一个P的证明；而P就相应地成为一道定理。
希尔伯特规划的思想是，对于任何定义好的数学领域，去找一足够广① 一个集合表示事物的整体――可被整体地处理的物理对象或数学概念。在数学中，集合中的一个元素 （也就是成员）自身经常为一集合、因为集合可以被收集在一起而形成集合。这样人们可以考虑集合的集合以及集合的集合的集合，等等。泛的公理和步骤法则的表，使得所有适合于该领域的正确的数学推理的形做诸如“费马最后定理”的陈述）。考虑比这更一般的数学领域在这里对我们并无益处。算术已经是足够一般到可以应用哥德尔步骤的地步。如果我们能够接受这样的事实，即这个公理和步骤法则的广泛系统，按照希尔伯特规划，的确把算术给予我们，那么它就为我们提供对算术中任何命题数学证明的“正确性”的确定判据。人们存在过希望，这样的公理和法则系统也许是完备的， 也就是它会使我们在原则上决定任何可在此系统中表述的数学陈述的真伪。
希尔伯特的希望是，对于任何一串代表一个数学命题的符号，譬如讲P，人们应能证明或者P或者～P，依P是真的还是伪的而定。我们在这里必须假定该符号串在构造上是语法正确的， 也就是满足所有形式主义的记号法则，诸如括号必须正确地配对等等――使得P具有定义清楚的真的或伪的意义。如果希尔伯特的希望能被实现，这甚至使我们不必为这些命题的意义忧虑！P仅仅为一语法正确的符号串。如果P为一道定理（也就是可在系统内证明P），则符号串P的真值就可被赋于真。另一方面，如果能证明～P为定理的话，则可被赋于伪。为了使这些有意义，我们除了完备性外还需要一致性。也就是说，不应有P和～P都为定理的符号串P。
否则P会同时是真的和伪的！
把数学陈述中的意义抽走，只把它们当成某种形式数学系统的符号串是形式主义的数学观点。有些人喜欢这种观点，而数学就变成一种“无意义的游戏”。然而，我不欣赏这种观点。确实是“意义”而非盲目的算法计算才赋于数学以实质。庆幸的是，哥德尔给了形式主义以毁灭性的打击！让我们看看他是怎么做的！哥德尔定理哥德尔论证的部分是非常繁琐和复杂的。然而我们没有必要去考察那纷乱的部分。另一方面，其中心思想是简单、漂亮和深刻的。这就是我们可能鉴赏的部分。其复杂的部分（其中不乏许多巧妙之处）仔细说明如何把形式系统的个别步骤法则以及不同公理的使用实际地编码成算术运算。（意识到这是一个富有成果的可进行的工作正是其深刻部分的一个方面！）为了实现编码，人们需要找到用自然数来对命题编号的某种方便方式。一种方法就是简单地对形式系统每个特定长度的符号串使用某种“字典”顺序，按照串的长度还有一个总的顺序。（这样，长度为1的串可按字母顺序排列，接着的是按字母顺序排列的长度为2的串，再后面是长度为3的串等等）。这叫做字典顺序①。哥德尔原先用的编号顺序更复杂，但是这种差异对我们不重要。我们将特别关心依赖于单变量的命题函数，譬如上述的G（w）。令应用于w 的第n个这样的命题函数（在选定的符号串顺序下）为Pn(w)。
如果我们愿意的话，可以让编号稍微有点“草率”，这样我们的一些表式可能语法上不正确。（这可使算术编码比在试图略去这种语法不正确的表式时容易得多。）如果Pn（w）是语法正确的，它就是关于两个自然数n和w的定义好的特定的算术陈述。准确的为哪一个算术陈述应依所选取的特定编号系统的细节而定。那是属于论证的复杂部分，在此不予关心。构成系统中的某一定理的证明的一串命题在选定的编序方案中也可用自然数编号。令n ?表示第n个证明。（这里我又一次使用“草率的编号”，对于某些n的值，可能表示式“ ”的语法不正确，并因此没有证明什么定理。） n ?现在考虑如下的依赖于自然数w的命题函数～ 证明 （ ） 。 $ ? x[ P w ] x w在方括号中的陈述的一部分使用了文字，但它是完全精确定义的。它断言第x个证明实际上是Pw（）应用于值w本身的命题的证明。方括号之外的被否定的存在量衡用以移走一个变量（“不存在一个x使得……”），这样我们得到了一个只依赖于一个变量w的算术的命题函数。此整个表达式断言不存在Pw（w）的证明。我假定它的语法是正确的（甚至如果Pw（w）
的语法不正确――在这种情形下该陈述仍然是对的，因为一个语法错误的① 存在以日常术语来表述罗素佯谬的十分好笑的方法。想象一个图书馆中有两本目录书，一本目录书刚好列出了所有引用过它们自己的书，另外一本是刚好所有不引用它们自己的书。试问第二本目录书应列到那一本目录书中？表达式是不能被证明的）。由于事实上我们已假设将其转换成算术，所以上面实际上是关于自然数的某一算术的陈述（方括号中的部分为定义得很好的关于两个自然数x和w的算术描述）。该陈述是可以被编码成算术，但这一点并不假设是明显的。为了说明这样的陈述的确可被编码，涉及到哥德尔论证的复杂部分的主要“困难工作”。正和前面一样，它究竟为那个算术陈述将依赖于编号系统的细节，并大大地依赖于我们形式系统的公理和法则的结构细节。由于所有那些都属于复杂的部分，我们在这里不关心其细节。
我们已将所有依赖于单变量的命题函数编号，所以我们刚刚写下的必须赋予一个数。让我们把这个数记作k。我们的命题函数是在表上的第k个。这样～ 〔 证明 （ ）〕＝ （ ）。 $ ? x P w P w w k x现在对特殊的w值即w＝k来考察这一个函数。我们得到～ 〔 证明 （ 〕 （ ）。 $ ? x P k ] = P k k k x这个特定的命题Pk（k）是完好定义（语法正确）的算术陈述。它是否可在我们形式系统中有一个证明呢？它的反命题～Pk（k）有证明吗？这两个问题的答案都是“否”。从考察作为哥德尔步骤基础的意义可以看到这一点。虽然Pk（k）仅仅是一个命题，我们已经把它这样的构造，使得写在左边的断言为“在这系统中不存在命题Pk（k）的证明”。如果我们非常仔细地设定好我们的公理和步骤法则，并假定做了正确的编号，则在这系统中不能存在这道Pk（k）的证明。因为如果存在这样的证明，则Pk（k）实际断言的陈述的意义，也就是不存在证明，将是错的，这样作为一个算术命题的Pk（k）就必须是错的。我们的形式系统不应构造得这么坏，使得它在实际上去允许证明错的命题！所以情况只能是Pk（k）在事实上无法证明。而这正是Pk（k）要告诉我们的。所以断言Pk（k）必须是一真的陈述，这样Pk（k）作为算术命题必须为真。这样，我们已经发现了在该系统中没有证明的真的命题！
关于它的反命题～Pk（k）我们可以说些什么呢？最好我们也不能找到它的证明。我们刚刚建立了～Pk（k）必须是错的（因为Pk（k）是真的），而我们假定不能在此系统中证明错的命题！这样无论Pk（k）还是～Pk（k）
在我们的形式系统中都是不可证明的。哥德尔定理就这样地被建立起来了。数学洞察请注意，在这里发生了某种非常奇异的事情。人们经常把哥德尔定理当作某种负面的东西――显示了形式化数学推理的不可避免的局限性。不管我们自以为是多么有智慧，总有些命题漏网。但是，我们是否要为这一特殊的命题Pk（k）忧虑呢？在上述的论证过程中，事实上我们已建立了Pk（k）是一个真的陈述！尽管在该系统中不能形式地证明这个事实，不管怎么样我们已设法看到了这一点。真正需要忧虑的人倒是严格的数学形式主义者。这是因为从这推理我们已确定形式主义者的“真理”概念不可避免地是不完备的。不管把哪一个（一致的）形式系统应用于算术，总存在一些命题我们可以看到是真的，但用形式主义者提出的上述过程不能赋予真理值为真的命题。一个严格的形式主义者试图躲开这个情况的可能方法也许是根本不提真理的概念，而仅仅讲在某一固定的形式系统中的可证明性。然而，这显得非常局限。由于哥德尔论证的基本点利用关于何者实际上为真的何者不真的推理，人们甚至都不能作出上述的论证2。一些形式主义者采用更“程序化”的观点，断言不去忧虑诸如Pk（k）这样的陈述，由于它们作为算术命题来讲极端复杂和乏味。这些人会宣称：
是的，存在一些诸如Pk（k）的古怪的陈述，对于这些陈述我的可证明性或真理的概念不和你们的真理的内禀概念相符合。但是那些陈述却不会在严肃的（至少在我所感兴趣的那种）数学中出现。这是因为作为数学而言，这样的陈述是荒谬绝伦地复杂和不自然。的确，像P（k）这样的作为关于数的数学描述的命题，被全部写出时，会是极端繁琐和古怪的。但是近年来，人们提出了一些具有非常可接受特性的相当简单的陈述，它们实际上等价于哥德尔类型的命题3。这些命题不能从正常的算术公理得到证明，而是从公理系统本身所具有的 “显然正确”的性质而来。
对我来讲，形式主义者对“数学真理”缺乏职业的兴趣，似乎是对数学哲学所采取的非常古怪的观点。而且，也确实不是那么切合实际。当数学家在进行推理时，他们没必要继续不断地检查他们的论证是否可按照某个复杂的形式系统的公理和步骤法则来表达。他们只要肯定其论证是确定真理的有效方法即可。哥德尔的论证是另一类有效步骤。这样我似乎认为，Pk（k）正和能利用预先给出的公理和步骤法则更传统地得到的数学真理一样好。
建议进行如下步骤。我们把Pk（k）接受为真正有效的命题，并简单地表示为G0；这样可以把它作为一个额外的公理加到系统中去。当然，我们新的修改的系统又有了它自己的哥德尔命题，譬如讲G1，它又是一个完全有效的关于数的描述。我们相应地又把G1加到我们的系统，由此得到进一步修改的系统，它又有自己的哥德尔命题G2（又是完全有效的），我们又把它合并进去，得到了下一个哥德尔命题G3，再合并等等，无限次地重复这一过程。当我们允许使用整列的G0，G1，G2，G3……作为附加的公理时，结果的系统是什么呢？它可以是完备的吗？由于现在我们有了一个无限制（无限）的公理系统，哥德尔步骤能否适用也许不太清楚。然而，不断附加哥德尔命题是一个完全系统化的方案，我们可将其当作通常的公理和步骤法则的有限的逻辑系统来重述。这一系统又有它自己的哥德尔命题，譬如讲Gw，它又能被用来作为公理去附加，而形成了所得到的系统的哥德尔命题Gw+1。正如上面那样重复，我们得到了命题Gw，Gw+1，Gw+2，Gw+3……的表，所有都是关于自然数的完全有效的陈述，并可附加到我们的形式系统中去。这又是完全系统化的，它导致一个包罗这一切的新系统；但是它又有自己的哥德尔命题，譬如讲Gw+w，我们可将其重写成Gw2，而整个步骤又可重新开始，我们得到一个新的无限的、却是系统的公理Gw2，Gw2+1，Gw2+2等等的表，它又导致一个新的系统以及一个新的哥德尔命题Gw3。重复这整个过程，我们得到Gw4然后还有Gw5等等。现在这一步骤又是完全系统化的，并具有自身的哥德尔命题Gw2。
这会有终结吗？在一种意义上讲没有；但它导致我们进入不能在此作细致讨论的某些困难的数学考虑。1939年阿伦?图灵在一篇论文4中讨论了上面的步骤。事实上，令人印象深刻的是，任何真的（但普适量化的）
算术命题都可由这类重复的 “哥德尔化” 步骤得到！ 可参阅飞费曼 （1988）。
然而，这在一定程度上依赖于我们如何实际上决定一个命题真伪的问题。
在每一阶段关键的问题是如何把哥德尔命题的无限族合并，从而提供一个单独的（或有限数目的）附加公理。这就要求我们的无限族能以某种算术的方式被系统化。为了保证正确地完成所预想的系统化，我们要使用系统之外的直觉――正如我们首先为了看到Pk（k）是一道真的命题所做的那样。正是这些直觉是不能被系统化的――它必须超越于任何算法行为！
我们利用直觉得出哥德尔命题Pk（k）实际上是算术中的真的陈述，是被逻辑学家称之为反思原理步骤的普遍类型的一个例子：这样，由“反思”公理系统和步骤法则的意义，并使自己坚信这些的确是得到数学真理的有效方法，人们可能把这直觉编码成进一步的真的、不能从那些公理和法则推导出来的数学陈述。正如上面概述的，推出Pk（k）的真理性依赖于这样的一个原则。另一个与原先哥德尔论证相关（虽然在上面没提及）的反思原则依赖于如下的事实去推出新的数学真理，即我们已经相信能有效得到数学真理的公理系统实际上是协调的。反思原理经常涉及有关无限集合的推理，人们使用的时候一定要小心，不要过于接近会导致罗素类型佯谬的论证。反思原理为形式主义推理提供了反题。如果人们很小心的话，就能使他跳出任何形式系统的严格限制之外，并得到原先似乎得不到的新的数学洞察。在我们的数学文献中会有许多完全可接受的结果，其证明需要远远超越原先的算术标准形式系统的法则和公理的洞察。所有这些表明，数学家得到真理判断的心理过程，不能简单地归结为某个特别形式系统的步骤。虽然我们不能从公理推出哥德尔命题Pk（k），却能看到其有效性。这类涉及反思原理的“看见”需要数学的洞察力，而洞察不是能编码成某种数学形式系统的纯粹算法运算的结果。我们将在第十章再回到这个论题上来。
读者也许会注意到在建立Pk（k）“不可证明性”的真理和罗素佯谬的论证之间的相似性，还和图灵解决停机问题的图灵机不存在的论证也有相似性。这些相似性不是偶然的。在这三者之间存在有强大的历史连接的脉络。图灵是在研习哥德尔工作之后才找到它的论证的。哥德尔本人非常熟悉罗素的佯谬，并能把这一类将逻辑延伸得这么远的佯谬的推理转化成有效的数学论证。（所有这一切论证都起源于前一章100页描述的康托的“对角线删除法”。）
为什么我们应该接受哥德尔和图灵的论证，而必须排斥导致罗素佯谬的推理呢？前者更直截明了得多，作为数学论证而言更出人意表，而罗素佯谬则依靠牵涉到“巨大”集合的更为模糊的推理。但是必须承认，其差别并不真像人们以为的那么清楚。弄清这些差别的企图是整个形式主义观念的强大动机。哥德尔的论断表明，严格的形式主义者的观点是不能成立的，但他没有向我们指出另外完整的可信赖的观点。我认为这问题仍未解决。当代数学中为了避免导致罗素佯谬的“巨大的”集合的推理的类型所实际采用①的步骤不能完全令人满意的。而且，它仍然试图以明晰的形式主义的术语来表达，换句话说，按照我们并不完全相信不会出现矛盾的术语来描述。无论情况如何，依我看来，哥德尔论证的清楚推论是，数学真理的概念不能包容于任何形式主义的框架之中。数学真理是某种超越纯粹形式主义的东西。甚至即使没有哥德尔定理，这一点也是清楚的。在我们去建立一个形式系统任何试图中，如何决定采取什么公理和步骤法则呢？我们在决定采取法则的指导总是，在给定系统的符号的“意义”下对何为“自明正确”的直觉理解。根据关于“自明”和“意义”的直观理解，我们如何决定采用哪个形式系统是有意义的，哪个是没意义的呢？以自身具有一贯性的概念来决定当然不够。人们可以有许多自身具有一贯性但在含义上没有“意义”的系统，它们的公理和步骤法则具有错误的意义，或者根本没有意义。甚至在没有哥德尔定理时，“自明”和“意义”的概念仍然是需要的。
然而，若没有哥德尔定理，人们可能想象“自明”和“意义”的直觉① 虽然费马的全部命题F 的真伪性仍然未知， 但是个别命题G(0)， G(1)， G(2)， G3S(3)， …直到大约G(125000)的真理性是已知的。也就是说，已经知道没有任何一个立方可以是正数立方的和，没有一个四次方为四次方之和等等，直到相应的关于125000次方的断言。（见66页的译者注脚）。概念只要在开始建立形式系统时用一次就好了，而此后就与决定真理的清楚的数学论证不相干。那么按照形式主义者的观点，这些“模糊的”直觉概念在发现适当形式的论证时，作为数学的初步思维、或者导引而起作用，而在实际展示数学真理时不起作用。哥德尔定理表明，这个观点在数学基本哲学中不能真正站住脚。数学真理的观念远远超越形式主义的整个概念。关于数学真理存在某些绝对的“上帝赋予”的东西。这就是在上一章结尾处讨论的柏拉图主义。任何特定的形式系统都具有临时和“人为”的品格，在数学的讨论中，这类系统的确起着非常有价值的作用，但是它只能为真理提供部分（或近似）的导引。真正的数学真理超越于人为的构造之外。柏拉图主义或直觉主义？
我已指出了数学哲学的两个相反的学派，我强烈地赞成柏拉图主义，而不赞成形式主义观点。我的划分实际上是非常朴素的。可以对此观点进行许多细致的推敲。例如，人们可以争论在“柏拉图主义”的总名称下，数学思维的对象是否在任何实际的“存在”，或者它只是绝对的数学“真理”的概念，我不想在此做任何鉴别。依我看来，数学真理的绝对性和数学概念的柏拉图存在性本质上是等同的一件事。例如，必须归于孟德勒伯洛特集的“存在”是其“绝对”性质的特征。阿伽德平面上的一点是否属于孟德勒伯洛特集是一个绝对的问题，与哪个数学家哪台电脑在作考察无关。正是孟德勒伯洛特集的“数学家无关性”赋予它柏拉图式的存在。而且，它最精细的细节超过了我们目前使用电脑所能得到的的极限。那些仪器只能得到具有更深刻的自身的“电脑无关”存在结构的近似。然而，我很欣赏对此问题的许多其他合情理的观点。在此我们不必过于忧虑这些差别。
如果的确有人声称自己为柏拉图主义者，他究竟愿意把柏拉图主义贯彻到何等程度，也有观点上的不同。哥德尔本人是一个非常强烈的柏拉图主义者。我迄今所考虑的数学陈述的类型是相当“缓和的”5。特别在集论中可引入更令人争议的陈述。当考虑集论的所有分支时，就会遭遇到构造极其庞大的模糊的集合，以至于像我这样坚定的柏拉图主义者都会怀疑其存在或它为“绝对的”东西6。也许会面临着这样的阶段，集合具有如此繁复以及概念上可疑的定义，以至于有关它们数学陈述的真伪问题开始具有某种“个人品味”而非“上帝赋予”的品质。人们是否准备和哥德尔一道把柏拉图主义坚持到底，要求关于这么巨大集合的数学论述的真伪总为一个绝对的或“柏拉图”的事体，或者人们在某处停止，只有当集合为合理地构成并且没有这么巨大时才寻求绝对的真伪的解答，对我们的讨论关系并不重大。以我刚刚提到的标准看，对于我们具有意义的（有限或无限）集合，真是不可思议的微小！这样我们不必关心在这些不同柏拉图主义观点之间的差异。然而，存在诸如称为直觉主义（或称作有限主义）的其他数学观点，它走到拒绝任何无限集合的完整存在的另一极端①。直觉主义是1924年由荷兰数学家L．E．J．伯鲁尔作为对某些（诸如罗素的）佯谬的与形式主义相区别的响应而倡导的。这些佯谬是由于在数学推理中太过自由地应用① 当形式系统具有k+1 个不同符号加上从未用过的新的“零”时，我们可把字典编序认为是“k+1 进位”
的自然数的通常顺序。这是因为以零开始的数和这前面的零被略去的同一个数一样。共有九个符号的串的简单字典顺序可以用通常的没有零的十进位写出的自然数得到：1，2，3，4……、8，9，11，12，……，19，21，22……，99，111，112，……。无限集合所引起的。这种观点的根源可追溯到亚里斯多德。他虽然是柏拉图的学生，却否定柏拉图关于数学本体的绝对存在和无限集合的可接受性。直觉主义否认（无限或其他）集合自身的“存在性”，而集合仅仅被当作可能确定其成员的规则。伯鲁尔的直觉主义的一个特征是排斥“排中律”。该定律宣称，一个陈述的否定之否定等效于该陈述。（可用符号表示为～（～ ） ， P P ?这是我们上面遇到的关系。）也许亚里斯多德会对在逻辑上如此“显明的”
东西受到排斥感到不悦！排中律按照“常识”被认为是自明的真理：如果某事物不真的断言是错的，则该事物一定是真的！（这一个定律是被称作反证法的数学步骤的基础，参阅67页。）但是直觉主义者发现他们能推翻这一个定律。这基本上是因为他们对存在的概念采取不同的看法，他们要求一个确定的（智力上的）构造必须是数学对象实际存在性被接受的先决条件。这样，对于直观主义者来说，“存在”的意思是“构造存在”。在一个用反证法来进行的数学论证中，人们提出某种假设，试图去显示出它的推论会导致一个矛盾，这个矛盾为问题中假设的谬误提供了所需的证明。此假设可采用这样的一个陈述，具有某些必须性质的数学事体不存在。
当这个陈述导致矛盾时，在通常数学中，他就推论说所需的事体的确存在。但是，这样的论证本身并没为实际构造这样的事体提供任何手段。对于直觉主义者来说，这类存在根本就不是存在。他们正是在这个意义上拒绝接受排中律以及反证法的步骤。伯鲁尔对此非构造性的“存在”深为不满7。他断言，没有一个实在的构造，这种存在的概念是无意义的。在伯鲁尔的逻辑中，人们不能从某种对象的不存在性的谬误推导出该物体实际上的存在！
我认为，虽然关于从数学的存在中寻求构造有某些令人赞赏的东西，但伯鲁尔的观点是过于极端了。伯鲁尔在1924年首次提出他的思想，比彻屈和图灵的工作早十多年。现在按照图灵的可计算性的构造性概念可在数学哲学的传统框架内研究，并没有必要走到像伯鲁尔那么极端的程度。我们可以把构造性的问题和数学存在性的问题分开来讨论。如果我们跟随直觉主义，就必须摒弃自己使用数学中非常强有力的论证的使用，而课题就变得有点窒息和虚弱。
我不想细述直觉主义观点导致的种种困难的荒谬；但是仅仅提及一些问题也许是有益的。伯鲁尔经常关心提及的一个例子是π的小数展开：3．141592653589793…。
是否在这个展开的某一处存在二十个接连的7的序列，也就是π=3.141592653589793…77777777777777777777…，或者不存在这种情形呢？按照通常的数学，现在所有能说的是，或者存在或者不存在――而我们不知哪个是对的！这看来是一个肯定无害的描述。然而，除非人们已经（以某种直觉主义者接受的构造方式）确立存在这个序列或者不存在这个序列，他们实际上对讲“或者π的小数展开中某处存在连续二十个7的序列或者不存在”采取否决的态度！直接的计算也许足以显示在π的小数展开的某处的确存在二十个连续的7的序列，但要确证没有这样的序列则需要某种数学定理。迄今电脑在计算π时还不能进行足够远到能确认该序列的存在。在基于概率的基础上，人们预料这样的序列的确存在。但是即使利用一台每秒能恒定产生1010位数的电脑，大约也要需要一百或一千年左右才能找到这序列！我认为更可能是，不进行直接计算，该序列的存在某天会在数学上被确认（也许是作为推论某种更有力和更有趣得多的结果）――虽然也许不是以直觉主义者能接受的方式！
这一个特殊问题并不具有实际的数学趣味。它只是由于容易叙述才作为例子提出。以伯鲁尔的直觉主义的极端形式，他会宣称：现在断言“在π的小数展开中的某处存在二十位连续的7的序列”既不是真的亦不是伪的。如果在将来用计算或（直觉主义的）数学证明得到适当的这种或那种结果，那么断言就变成“真”的或“伪”的，视当时情况而定。“费马最后定理”是一类似的例子。根据伯鲁尔的极端直觉主义，现在这一道命题既不是真的亦不是伪的，但将来也许会变成其中的一种。对我来讲，数学真理的这种主观性和时间依赖性是不可理喻的。数学结果是否或何时被接受为正式“证明了”的确是一个主观的事体。但是数学真理不应取决于这些依赖社会的判据。对于人们希望能可靠地用来描述物理世界的数学，具有随时间而变的真理概念至少可以说是尴尬的和不令人满意的。并非所有的直觉主义者都采用伯鲁尔那样强烈的观点。尽管这样，甚至对于那些同情构造主义的目的的人也是这么认为，直觉主义观点显然是粗劣的。就仅仅因为人们可允许使用的数学推理的类型过于局限的原因，很少当代数学家愿意全心全意地追随直觉主义。
我已经简介了当代数学哲学的三个主流：形式主义、柏拉图主义和直觉主义。我并不掩饰自己强烈同情柏拉图主义的观点，也就是数学真理是绝对的、外在的、永恒的，并不基于人造的判据之上；数学对象具有超越时间的自身的存在，既不依赖于人类社会，也不依赖于特定的物体。我把这种观点贯穿于本节、上一节以及
