第三章的开头肯定是见证到一个非同寻常地复杂的集合，也就是孟
德勒伯洛特集。虽然提供其定义的规则是令人吃惊地简单，但集合本身却呈现出高度繁复的结构和无穷的变化。这难道真的是呈现在我们眼前的非递归集合的例子？
然而，读者会很快地指出，现代高速电脑的魔术把这些模式的复杂性呈现于我们的面前。难道电脑不就是算法行为的体现吗？的确，这肯定是对的。但是，我们必须记住电脑实际上产生此图的方式。为了检验阿伽德平面上的一点――一个复数C――是否属于孟德勒伯洛特集（涂成黑色）或它的补集（涂成白色），电脑就要从0开始，然后利用z―→z2+c把0映射到C，然后从z=C得到C2+C，然后从z=C2+C得到C4+2C3+C2+C等等。如果序列0，C，C2+C，C4+2C3+C2+C，…维持有界，则由C代表的点就涂成黑色；否则涂成白色。机器如何告知我们说这样的序列维持有界呢？
这个问题原则上牵涉到知道在序列的无限项后会发生什么，这本身不是电脑的事体。幸运的是，若序列是无界的，总存在有限项后就使人们得知的方法。（事实上，只要它达到以原点为中心以 为半径的圆周就 1+ 2能肯定该序列是无界的。）这样，在一定的意义上讲，孟德勒伯洛特集的补集（也就是白的区域）
是递归可列的。如果复数C在白的区域中，就有确定此事实的算法。孟德勒伯洛特集本身也就是黑的区域的情况又如何呢？是否有确切告知一个被怀疑处于黑区域的点果真是在黑区域的算法呢？迄今看来这一问题的答案仍是未知的9。我询问了许多同事和专家，似乎没有人知道存在这样的算法。他们也从未表明过不存在这样的算法。对于黑区域至少还没有已知的算法。孟德勒伯洛特集的补集也许真正是一个递归可列但不是递归的集合！
在进一步探索这个设想之前，必须先讨论我掩饰的某些问题。这些问题对于以后讨论物理的可计算性具有某种重要性。我前面的讨论实际上有些不精确。我把诸如“递归可列的”和“递归的”这样的术语应用于阿伽德平面也就是复数的集合上。严格地讲，这些术语只能适用于自然数或其他可列的集合。我们已经在
