为了了解意识如何是自然的一部分，我们对自然的运行要知道哪些呢？制约身体和头脑组成基元的定律与此关系重大吗？如果真的像许多人工智能的拥护者所竭力说服我们的那样，意识理解仅仅是由算法所规定的，那么这些定律实际上是什么样子的则是无关紧要的。任何能够实现算法的仪器都一样好。另一方面，也许我们的知觉比可怜的算法更富有内容。
也许构成我们的确切方式正和实际上制约构成我们物质的物理定律一样重要。我们也许需要理解构成物体物质以及规定所有物体行为的根本性质。物理学尚未做到这一步。许许多多的秘密还有待揭示和探索。然而，大多数物理学家和生理学家却断言，我们已经拥有足够的关于通常尺度的、诸如人脑物体运作的物理定律的知识。作为一个物理系统，大脑毫无疑义是极端复杂的，我们对其结构的大部分细节和相应功能相当无知。但是少数人说，人们对作为构成其行为基础的物理原则的理解不存在任何重大缺陷。相反地，我在下面将持一种非传统的论点，也就是我们对物理学的理解，甚至在原则上还不足够用以描述我们大脑的运作。为了论证这一点，我首先必须概述物理学的现状。本章是关于所谓的“经典物理”，它包括牛顿力学和爱因斯坦相对论。此处“经典”基本上是指在1925年左右发现量子理论之前的占统治地位的理论。量子力学是由诸如普郎克、爱因斯坦、玻尔、海森堡、薛定谔、德布罗依、玻恩、约丹、泡利以及狄拉克的开创性工作的成果。它是一种不确定的、非决定性的、神秘的、描述分子、原子和次原子粒子行为的理论。相反地，经典理论是决定性的，这样，将来总是由过去所完全固定。尽管许多世纪以来对经典物理学的理解使我们得到了非常精确的图像，它仍有许多神秘之处。我们还必须考察量子理论（在第六章）。因为和大多数生理学家的观点相反，我相信量子现象似乎对大脑的运行是相当重要的――这些是下面几章的内容。
迄今为止科学已取得了引人注目的成就。我们只要环视四周即可见证理解自然帮助我们取得了何等伟大的威力。现代世界的技术大多是从大量的经验中推导出来的。然而，正是物理学理论以更基本得多的形式成为我们技术的基础。这正是我们在此所关心的。我们的理论是相当精确的。但其力量并不仅仅在此，而且在于异乎寻常地遵从精密的、微妙的数学处理的这个事实。正是这两者一道为我们带来了威力无比的科学。这个物理理论的大部分并不特别新颖。如果首先要挑选一个事件的话，那应该是1687年伊萨克?牛顿出版了《原理》一书。这本重要著作向人们展示了，如何仅仅从几个基本的物理原理出发，能够理解并经常以惊人的精度预言了大量的物理对象的行为。《原理》一书中很大部分是关于数学技巧的非凡的发展，尽管欧拉等人后来提供了实用的方法。）正如牛顿所坦率承认的，他自己的工作大大得益于更早期思想家的成果，其中最杰出者为伽利雷?伽利略、雷奈?笛卡尔以及约翰斯?开普勒。还用了一些更古老的思想家们所奠定的重要概念，诸如柏拉图、欧多索斯、欧几里德、阿基米德以及阿波罗纽斯等人的几何概念。我在下面还要更多地说到这些。
后来出现了对牛顿动力学基本框架的偏离。首先是十九世纪中叶由詹姆斯?马克斯韦发展的电磁理论。这个理论不仅包括了电场和磁场，而且还描述了光的经典行为1！此一杰出的理论将是本章后面所关注的课题。
马克斯韦理论对于今天的技术具有相当的重要性，并且毫无疑义地，电磁现象和我们大脑的工作密切相关。然而，和阿尔伯特?爱因斯坦名字联结的两种伟大的相对论对我们的思维过程是否具有任何意义，还没有这么清楚。亨利?彭加莱、亨德里克?安东?洛伦兹以及爱因斯坦为了解释当物体以接近于光速运动时所产生的使人迷惑的行为，从研究马克斯韦方程出发，提出了狭义相对论（后来赫曼?闵可夫斯基给出了精巧的几何描述）。爱因斯坦著名的E=mc2方程是该理论的一部分。但是迄今为止此理论对技术的影响（除了对核物理的效应之外）甚微，看来它和我们头脑工作的关联最多也只是外围的。另一方面，狭义相对论加深了我们对和时间本质有关的物理实体的理解。我们将会在后面几章看到，这给量子理论带来一些根本的迷惑，这些迷惑和我们对“时间流逝”的感觉有重要关系。况且，人们在鉴赏爱因斯坦的广义相对论之前必须理解狭义相对论。广义相对论是用弯曲的空间――时间来描述引力。迄今为止此理论对技术的效用几乎是不存在的①， 看来极端地假设其对我们头脑的功能有何相关真有点异想天开了！然而，值得注意的是，广义相对论的确和我们后面特别是在第七章和第八章的思考关系重大。在那里为了探索要获得量子理论首尾一贯的图像所必须的一些变动，我们要最彻底地研究空间和时间，――这些在后面还要更仔细地讲到！经典物理学的领域很广阔。量子物理学的情况又如何呢？和相对论不同的是，量子理论正开始剧烈地影响技术。其部分原因在于，它为某些技术上诸如化学和冶金等重要领域提供了理解。人们的确可以讲，正是因为量子理论赋予我们新的详细的洞察力，才使这些领域被包含在物理之中。此外，量子理论还提供了许多全新的现象，我想最熟知的例子便是激光。
量子理论的某些基本方面会不会在我们的思维过程的物理学中起关键的作用呢？我们关于更现代的物理学能说些什么呢？一些读者也许会想起那些激动人心的观念，包括诸如“夸克” （参阅177页）。 “GUT” （大统一理论）、① 王浩实际上考虑了稍微不同的问题――用方的花砖，不旋转，并且边缘颜色必须匹配，但是对我们这里这些差别并不重要。暴涨宇宙论（参阅402页的注释13）、“超对称”、“（超）弦理论”等等。将这些方案和我刚才提到的那些相比较又如何呢？我们是否也必须通晓这些呢？我相信，为了更清楚地透视，可将基本的物理理论分成三大类。我将这三类命名为：
1．超等的，2．有用的，3．尝试的。
本段之前所讨论的一切理论都必须归于超等类中。我并不强求只有该理论无可辩驳地适用于世界上的一切现象时才能称为超等的。但是，我要求在适当的意义上，该理论适用的范围和精确度必须是显著的。就我所理解的“超等”这个术语而言，居然会有属于这一类的理论存在，这真是极其令人惊异的事！我不知在其他科学中是否有理论可以归入这一类。也许达尔文和瓦拉斯提出的自然选择庶乎近之，但还差得相当远。我们在中学学到的欧几里德几何是一种最古老的超等的理论。古代人也许根本不将其当作一种物理理论，但实际上它的确是物理空间以及固体几何的卓越的理论。为何我将欧几里德几何归于物理理论而不是数学的一个分支呢？具有讽刺意义的是，现在我们知道，欧几里德几何不能当作我们实际生活其间的物理空间完全准确的描述，而这是采取这个观点的一个最清楚的原因！爱因斯坦的广义相对论告知我们，在引力场存在时，空间（――时间）实际上是“弯曲的”（也就是说不是完全欧几里德型的）。
但是这个事实并没损坏欧几里德几何的超等的资格。在一米的尺度上，与欧几里德的平坦性偏差的确非常微小，它比一个氢原子的直径还小！阿基米德，帕波斯和斯蒂文研究静态物体，并将其发展成个漂亮的科学分支――静力学，该理论可以合情合理地够格称作是超等的。现在该理论已被牛顿理论所包容。1600年左右由伽利略提出，并由牛顿将其发展成美丽的、内容丰富的理论的，研究运动物体的动力学的根本观念，应该毫无疑问地纳入超等的范畴。把它应用于行星和月亮的运动时，具有惊人的可观察的精确性――其误差比一千万分之一还小。同一个牛顿的方案也以相当的精确性适用于地球以及外推到恒星和星系的范围。类似地，马克斯韦理论在向内可达到原子和次原子的粒子尺度，向外达到大约大一万亿亿亿亿倍的星系的尺度的异乎寻常的范围内准确地成立！（在此尺度的小的那一端，马克斯韦方程必须和量子力学的规则适当地合并在一起。）它也肯定够格被称作超等的。
爱因斯坦的狭义相对论（为彭加莱所预想并被闵可夫斯基非常精巧地表述）对允许物体以接近光速运动的现象给出了令人惊叹地准确的描述。牛顿的描述最终在这种情况下开始动摇。爱因斯坦的无与伦比漂亮的和开创性的广义相对论推广了牛顿的引力动力学理论并改善了它的精确性，继承了牛顿理论处理行星和月亮运动的所有非凡的成就。此外，它还解释了各种和旧的牛顿方案不一致的观测事实。其中一个例子（参阅242页的双脉卫星的例子）指出爱因斯坦的理论能精确到大约1014分之一。两种相对论――第二种将第一种包含了――应该明确地归到超等的类中去（其数学上的优雅几乎和其准确性一样重要地作为这分类的原因）。由不可思议地漂亮的和革命性的量子力学理论所能解释的现象的范围，以及它与实验符合的精度，很清楚地表明它必须归至超等的类中去。迄今尚未找到与该理论在观测上的偏差――然而在用该理论解释许多迄今令人费解的现象方面，显示出其威力远远地超过这些。化学定律、原子的稳定性、光谱线的狭窄（参阅263页）以及非常特别的花样，超导的零电阻的古怪现象以及激光的行为仅仅是其中的几个例子。我给超等的分类立下了很高的标准，但这是我们在物理中已经习惯了的。那么，对于最近代的理论能说些什么呢？以我的观点看，恐怕其中只有一种或许够格被称为超等的，并且它还不是特别新的：即是所谓的量子电动力学（或QED）。它是由约丹、海森堡和泡利提出，1926至1934年间由狄拉克所表述，最终在1947至1948年间由贝特、费因曼、施温格以及朝永加以改进使之可以应用。这个理论是狄拉克将量子力学、狭义相对论、马克斯韦方程以及制约电子自旋和运动的基本方程结合在一起的结果。总的来说，该理论缺乏早先的许多超等理论的令人信服的精巧和一致性，但它的资格在于真正惊人的准确性。特别值得一提的结果是它给出了电子磁矩的值。（电子的行为类似于一个自旋的电荷的微小磁铁。此处“磁矩”即是这小磁铁的强度。）由QED计算出的这一小磁矩的值为1.00115965246（以某一单位测量――误差大约在最后二位小数上的20），而最近的实验值为1.001159652193（误差大约在最后二位小数上的10）。正如费因曼所指出的，其精确度等效于从纽约到洛杉矶之间相差一根头发的宽度！我们没有必要在此了解该理论。为了完整起见，我将在下一章的结尾简单地提到它的一些重要的特征①。我要将一些现代理论放到有用的范畴中去。有两种理论虽然在这里不需要，却值得提及。第一个是称为强子（质子、中子、介子等等组成原子核――或更准确地讲“强相互作用”的粒子）的次原子粒子的盖尔曼――兹维格夸克模型以及描述它们之间相互作用的详细的（后期的）称为量子色动力学或QCD的理论。其思想是，所有强子都由称作“夸克”的部份组成，夸克之间以从马克斯韦理论的某种推广（称为杨――米尔斯理论）的方式进行相互作用。第二种理论是由格拉肖、萨拉姆、瓦尔德和温伯格提出的，它又是利用杨――米尔斯理论将电磁力和描述放射性衰变的“弱”① 一个“多项式”实际上是像7n4-3n3+6n+15 这样的更一般的表示式，但是这并不增加我们的一般性。当 n变大时，任何这类表示式中的所有包含n的更低方次的项都变得不重要（所以在我们的特例中，除了7n4项之外可不管其他的项）。作用结合起来。该理论对所谓的轻子（电子、μ子、中微子；还有W和Z粒子――所谓的“弱相互作用”的粒子）作出统一描述。这两种理论有好的实验支持。但是由于种种原因，这些理论远不如人们期望的像QED那么清爽，而且它们目前的观测精度以及预言能力离开超等类的惊人的标准还非常远。有时将这两种理论（第二种还包含QED）称作标准模型。
最后，还有另一种我相信至少可归于有用的范畴的理论。这就是称为宇宙的大爆炸起源的理论①。此理论在第七章和第八章的讨论中将起重要的作用。
我认为没有更多的理论属于有用的 2范畴。现代（或近代）有许多盛行的观念。它们除了“GUT”理论（以及某些从它导出的观念，诸如“暴涨模型”，参阅402页的注13）外还有：“卡鲁查――克莱因”理论、“超对称”（或“超引力”）以及还极其时髦的“弦”（或“超弦”）理论。以我之见，所有这些都毫无疑义地属于尝试类中。（参阅贝娄1988，克罗斯1983，戴维斯和布朗1988，斯奎尔斯1985）。在有用和尝试类之间的重大差别是后者没有任何有意义的实验支持3。但是这并不是说，其中不会有一个将戏剧性地升格为有用的甚至超等的范畴去的理论。 其中某些的确包含有许多相当有前途的、富有创见的思想，但是，可惜迄今仍然没有得到实验的支持，而只停留在观念阶段。尝试类是一个非常宽广的范畴。它们其中有些牵涉到包括能导致新的实质性的理解上的进步的基因，同时我认为其他的一些肯定是误导的或做作的。（我曾经受不了诱惑，试图从可尊敬的尝试类中分出称作误导的的第四类――但是后来我想还是不分的好，因为我不想失去我的一半朋友！）超等的理论主要是古代的，人们不必为此感到惊讶。在整个历史上一定有过多得多的归于尝试类的理论，但是多数都被遗忘了。与此相似，许多有用类的理论后来也被湮没了；但是也还有一些被吸收到后来归于超等类的理论中。让我们考虑一些例子。在哥白尼、开普勒和牛顿提出优越得多的方案之前，古希腊人提出过一个十分精巧的行星运动的称作托勒密系统的理论。按照这一方案，行星的运行由圆周运动的复杂组合所制约。它能相当有效地做预言，但是在需要更高的精度时，变得越来越繁复。今天我们看来， 托勒密系统的的人为因素显得非常突出。 这是一个有用理论 （实际上大约用了两千年）后来整个退出物理理论的极好例子，虽然它曾在历史上起超过很重要的组织作用。相反地，开普勒的辉煌的椭圆行星运动的观念便是从有用的理论变成我们能见到的最终成功的例子。 化学元素的门捷列夫周期表是另一个例子。它们并没有提供具有“惊人”特征的预言方① 几乎是这样的，但也不完全；空间探测器行为所需的精度实际上需要在对它们的轨道计算时计入广义相对论效应――存在有能在地球上定位到如此精确（事实上达到几英尺）的仪器，以至于广义相对论的空间――时间曲率效应的确必须考虑在内！案，但是后来成为从它们成长出来的超等的理论的“正确”的推论（分别为牛顿动力学和量子理论）。在以后的章节中， 我不再对仅仅归于有用的和尝试的范畴的现代理论多加讨论。因为超等理论已足够讨论的了。我们有这等理论，并能以非常完整的方式理解生活其中的世界，确实是非常幸运的。我们最终必须决定，甚至这些理论是否足够丰富到能制约我们头脑和精神的作用。我将依序触及这些问题；但目前让我们先考虑超等理论并深入思考它们和我们目的相关联之处。欧几里德几何欧几里德几何即是我们在中学当作“几何”学习的学科。然而，我预料大部分人会将其视作数学，而不视作物理。当然，它也是数学。但是，欧几里德几何决不是仅有的可以想得出的数学几何。欧几里德传给我们的特殊几何非常精确地描述了我们生活其间的世界的物理空间，但这不是逻辑的必然――它仅仅是我们物理世界的（几乎准确的）被观察的特征。
图5.1(a)欧几里德空间中的一个三角形。
(b)罗巴切夫斯基空间中的一个三角形。
的确还存在另外称作罗巴切夫斯基（或双曲）的几何①，它大部分方面非常像欧几里德几何，但还具有一些有趣的差别。例如，我们记得在欧几里德几何中任意三角形的三个角的和为180°。在罗巴切夫斯基几何中，这个和总是比180°小， 并且这个差别和三角形的面积成比例 （见图5.1）。著名的荷兰艺术家毛里兹? C?伊歇为这种几何给出了一种非常精细和准确的表象（见图5.2）。按照罗巴切夫斯基几何，所有的黑鱼具有相同的大小和形状；类似地，白鱼亦是如此。不能将这种几何在通常的欧几里德平面上完全精密地表达出来，所以在圆周边界的内缘显得非常拥挤。想象你自身位于该模型的某一靠近边界的地方，罗巴切夫斯基几何使你觉得就象位于中间或任何其他地方一样。 按照这一欧几里德表象， 该模型的 “边界”正是罗巴切夫斯基几何中的“无穷远”。此处边界圆周根本不应该被看成罗巴切夫斯基空间的一部分――在圆周之外的任何其他的欧几里德区域就更不是了。（这一罗巴切夫斯基平面的天才表象应归功于彭加莱。它卓越的优点在于，非常小的形状在此表象中不被畸变――只不过它的尺度被改变。）该几何中的直线（伊歇鱼就是沿着其中某些直线画出的）即为与边界圆周作直角相交的圆弧。我们世界在宇宙学的尺度下，实际上很可能是罗巴切夫斯基空间（参阅第七章376页）。然而，在这种情形下，三角形亏角和它的面积的比例系数必须是极为微小。在通常的尺度下，欧几里德几何是这种几何的极好的近似。事实上正如我们在本章将要看到的，爱因斯坦的广义相对论告诉我们，在比宇宙学尺度小相当多的情形下，我们世界的几何的确与欧几里德几何有偏离（虽然是以一种比罗巴切夫斯基几何更复杂的“更无规”的方式），尽管这偏离在我们直接经验的尺度下仍是极为微小的。
图5.2罗巴切夫斯基空间的伊歇图。（所有黑鱼和白鱼都认为是全等① 参阅费因曼(1985)关于QED 理论的通俗解释。欧几里德几何似乎精确地反映了我们世界 “空间”的结构的这一事实，作弄了我们（以及我们的祖先），使我们以为几何是逻辑所必须的，或以为我们有种先天的直觉的领悟， 欧几里德几何必须适用于我们在其中生活的世界。（甚至伟大的哲学家伊曼努尔?康德也作此断言。）只有爱因斯坦在许多年以后提出的广义相对论真正地突破了欧几里德几何，欧几里德几何远非逻辑所必须的，它只是该几何如此精确地 （虽然不是完全准确地）
适合于我们物理空间结构的经验的观测事实！ 欧几里德几何确实是一个超等的物理理论。这是它作为纯粹数学的一部分的精巧性和逻辑性以外的又一个品质。
在某种意义上，这和柏拉图（约公元前360年；大约在欧几里德著名的《原本》一书出版之前五十年左右）采纳的哲学观点相差不远。依柏拉图观点，纯粹几何的对象――直线、圆周、三角形、平面等等――在实际的物理世界中只能近似地得到实现。而那些纯粹几何在数学上的精确对象居住在一个不同的世界里――数学观念的柏拉图的理想世界中。柏拉图的世界不包括有可感觉的对象，而只包括“数学的东西”。我们不是通过物理的方法，而是通过智慧来和这个世界接触。只要人的头脑沉思于数学真理，用数学推理和直觉去理解，则就和柏拉图世界有了接触。这个理想世界被认为和我们外部经验的物质世界不同，虽然比它更完美，但却是一样地实在。（回顾一下我们在第三章113页和第四章129页关于数学概念的柏拉图实在性的讨论。）这样，可以单纯地用思维来研究欧几里德几何，并由此推导其许多性质，而外部经验的“不完美的”世界不必要刚好符合这些观念。基于当时十分稀少的证据，柏拉图以某种不可思议的洞察力预见到：一方面，必须为数学而研究数学，不能要求它完全精确地适用于物理经验的对象；另一方面，实际的外部世界的运行只有按照精确的数学――亦即“智慧接触得到的”柏拉图理想世界才能最终被理解。柏拉图在雅典创建了科学院以推动这种观念。极富影响的著名的哲学家亚里斯多德即为其中之出类拔萃者。但是我们要在这里论及另一位比亚里斯多德名望稍低的科学院成员，即数学家兼天文学家欧多索斯。依我看来，他是一位更优秀得多的科学家，也是古代最伟大的思想家之一。欧几里德几何中有一基本的、微妙的并的的确确最重要的部分，那就是实数的引进，虽然今天我们几乎不认为它是几何的（数学家宁愿将它称作“分析”的，而非“几何”的。）因为欧几里德几何研究长度和角度，所以必须了解用何种“数”来描写长度和角度。新观念的核心是在公元前四世纪由欧多索斯（约公元前408至355年）②提出的。
② 我在这儿是指大爆炸的“标准模型”，还有许多大爆炸理论的变种，目前最流行的是所谓的 “暴涨模型”，由于毕达哥拉斯学派发现了像 这样的数不能被表达成分数，使得希腊 2几何陷入了“危机”之中（参阅第三章第94页）。将正方形的对角线，以其边长来度量时就必然出现 这个数。对于希腊人来说，为了用算术的 2定律来研究几何量，将几何测量（比）按照整数（比）来表示是很重要的。欧多索斯的基本思想是提供一种以整数表达长度比例的办法（也就是实数）。他依赖于整数的运算提出了决定一个长度比例是否超过另一个比例，或两者是否完全相等的判据。
该思想可概述如下：如果a，b，c和d是四个长度，则断定比例a/b大于比例c/d的判据是：存在整数M和N，使得a增大到N倍超过b增大到M倍，而同时d增大到M倍超过c增大到N倍①。可用相应的判据来断定a/b是否比c/d小。所寻求的使a/b和c/d相等的判据也就是前两个判据都不能满足！
直到十九世纪，狄得钦和韦尔斯特拉斯等数学家才发展出完全精确的抽象的实数数学理论。 但是他们的步骤和欧多索斯早在22个世纪以前已经发现的思路非常相似！我们在此没有必要描述这个现代发展。在第三章第95页我已给出了这个理论的模糊暗示。但是，为了更容易表达，我宁愿在这里用更熟悉的小数展开的方法来讨论实数理论。（这种展开实际是在1585年才由斯蒂文引进的。）必须指出，虽然我们很熟悉小数表达方式，但希腊人却对此无知。图5.3托勒密定理然而，在欧多索斯设想和狄德钦――韦尔斯特拉斯设想之间有一个重大差别。古希腊人把实数设想成按照几何量 （比）的给定的东西，当作 “实际”空间的性质。希腊人用算术来描述几何量是为了要严格地处理这些量以及它们的和与积――亦即古人这么许多美妙几何定理的要素的先决条件。（我在图5.3画出并解释了杰出的托勒密定理――虽然托勒密比欧多索斯要晚许久才发现它――该定理和一个圆周上的四点之间的距离相关，它很清楚地表明了和与积都是需要的。）历史证明欧多索斯判据极其富有成果，尤其是它使希腊人能严格地计算面积和体积。
然而，对于十九世纪尤其是当代的数学家而言，几何的作用已被改变了。古希腊人，尤其是欧多索斯，认为“实”数是从物理空间的几何中抽取出来的东西。现在我们宁愿认为在逻辑上实数比几何更基本。这样的做法还可以允许我们建立所有不同种类的几何，每一种几何都是从数的概念依我看来，它无疑地是属于尝试的范畴之中！
① 尼古拉?伊凡诺维奇?罗巴切夫斯基（1792―1856）是几位独立发明这种和欧几里德几何不同的几何中的一个人。其他人是卡尔?弗里德里希?高斯（1777―1855），菲迪纳德?施维卡德和雅诺斯?波里埃。出发。（其关键的思想是十六世纪由费马和笛卡尔引进的座标几何。座标可用来定义其他种类的几何。）任何这种“几何”必须是逻辑协调的，但不必和我们经验的物理空间有任何直接的关联。我们似乎感知的特别物理几何是经验的理想化（例如，依赖于我们将其向无限大或无限小尺度的外推，参阅第三章第99页）。但是现代的实验已足够精密，以至于我们必须接受 “经验的” 几何的确和欧几里德观念有差别的这一事实 （参阅242页）。
这种经验和从爱因斯坦广义相对论推导的结果相一致。然而，尽管我们的物理世界的几何观点起了变化，欧多索斯二十三世纪之久的实数概念在实质上并没有改变。它对爱因斯坦理论正如对欧几里德理论一样重要。其实，迄今为止它仍然是一切严肃物理理论的重要部分。欧几里德的《原本》的第五部基本上是关于欧多索斯“比例论”的阐述。这对整本书而言是极为重要的。全书首版于公元前300年的《原本》的确必须列为有史以来最具深远影响的著作之一。它成为后来的几乎所有科学和数学思想的舞台。它全部是由一些被认为空间的“自明”性质，亦即清楚叙述的公理出发演绎而来，其中许多重要推论根本不是显而易见的，而是令人惊异的。无疑地，欧几里德的著作对后世科学思想的发展具有深刻的意义。
阿基米德（公元前287―212）无疑是古代最伟大的数学家。他天才地利用欧多索斯的比例论，计算出诸如球体，或者更复杂地牵涉到抛物线和螺线的许多不同形体的面积和体积。今天我们可以用微积分十分容易地做到这些。但是我们要知道，这是比牛顿和莱布尼兹最终发现微积分早十九世纪的事！（人们可以说，阿基米德已经通晓微积分的那一多半――亦即积分的那一半！）阿基米德的论证，甚至以现代的标准看，也是毫无瑕疵的。他的写作深深地影响许多后代的数学家和科学家，最明显的是伽利略和牛顿。阿基米德还提出了静力学的（超等的？）物理理论（亦即制约平衡的物体，诸如杠杆和浮体的定律）。他用类似于欧几里德发展几何空间和固体几何的科学方法，将其发展成演绎的科学。阿波罗纽斯（约公元前262―200）是我必须提及的一位阿基米德的同时代人。他是一位具有深刻洞察力的、伟大的、天才的几何学家。他关于圆锥截线（椭圆、抛物线和双曲线）的研究极大地影响了开普勒和牛顿。
令人惊异的是，这些截线的形状刚好是描述行星轨道所必须的！伽利略――牛顿动力学对运动的理解是十七世纪科学的根本突破。古希腊人对静态的物理――刚性的几何形状或处于平衡的物体（此时所有的力都平衡，因而没有运动）理解得很透彻。但是他们对制约实际运动的物体的定律并没有很好的概念。他们所缺少的是一个好的动力学理论，亦即自然实际上控制物体的位置从第一时刻到下一时刻变化的完美方式的理论。其部分原因（绝非全部）则是没有测量时间的足够精密的手段，亦即没有相当好的“钟表”。
为了给位置变化定时以及确定物体的速度和加速度，人们必须有钟表。因此1583年伽利略观察到摆能作为计时的可靠手段的这个事件对他 （甚至对整个科学！）极具重要性，因为这样一来运动的计时就变准确了4。随着55年后的1638年伽利略《对话》一书的出版诞生了新的学科――动力学――开始了从古代神秘主义到现代科学的转化！
图5.4速度，速率和加速度让我仅仅列举伽利略提出的四个最重要的物理观念。第一是作用在物体上的力决定的是它的加速度，而不是速度。此处“加速度”和“速度”
的含意是什么呢？粒子――或物体上的某点――的速度是该点位置相对于时间的变化率，速度通常是一个矢量，亦即必须同时考虑其方向和大小的量（否则我们用“速率”这一术语，见图5.4）。加速度（又是一个矢量）是速度相对于时间的变化率――这样加速度实际上是位置相对于时间的变化率的变化率！ （这对于古人来说实在太难为了！他们既缺乏可胜任的“钟表”，又不具备与变化率相关的数学概念。）伽利略断言，作用在物体的力（在他的情形下是指重力）制约物体的加速度，而非直接制约其速度――正和古代人例如（亚里斯多德）所相信的不一样。特别是当不存在外力时，速度必须是常数――因此，在直线上作的恒常运动应是没有外力作用的结果（牛顿第一定律）。自由运动着的物体继续其匀速运动，而不必施加外力去维持它。伽利略和牛顿发展的动力学定律的一个推论是，直线匀速运动和静止状态亦即不运动在物理上完全不可区分：不存在一种局部的方法，将匀速运动从静止中区别开来！伽利略关于这点特别清楚（甚至比牛顿还清楚）。他以海上的航船作例子对此作了非常形象的描绘（参阅德拉克1953，186至187页）：
把你和某位朋友关在某艘大船的甲板下的主舱里，和你一道的还有一些苍蝇、蝴蝶和其他飞行的小动物。一些鱼在一大碗水中自由自在地游着；水一滴一滴从悬挂着的瓶子落到下面的一个大器皿里。当船静止时，仔细观察这些小动物如何以同样的速率向船舱的所有方向飞行。鱼儿不辨方向地游着，水滴落到下面的器皿中；……在仔细地观察了这一切以后……让船以你想要的速度行驶。只要其运行是均匀的、并且不让它作这样那样的摇动，你就会发现，不但所有提及的现象没有丝毫变化，而且你根本就不知道船是在行驶，还是在静止不动……正如早先那样，小水滴落到下面的器皿中去，而不向船尾的方向飘去，虽然就在水滴在空气中的时间间隔里，船已经向前走了船身长度好几倍的距离。水中的鱼向前游动并不比向后更费动，同样轻松地向放在碗的任何方向的边缘上的鱼饵游去。还有，蝴蝶和苍蝇毫无异样地继续飞向四方。似乎它们为了避免落后，在空中随着船作长途旅行后感到疲劳，最后聚集到船尾的现象从未发生过！
这个被称为伽利略相对论原理的惊人事实，在使哥白尼观点具有动力学意义上十分关键。尼古拉?哥白尼（1473―1543）（以及古希腊天文学家亚里斯塔哥斯（约公元前310―230）――不要和亚里斯多德相混淆！
――比他早十八世纪）提出了日心说，即太阳处于静止状态，而地球在沿自己的轴自转的同时绕着太阳公转，公转速度为每小时十万公里。为何我们没有感觉到这种运动？在伽利略提出动力学理论之前，这的确是哥白尼观点的深深的困惑。如果更早先的“亚里斯多德式”的动力学观点是正确的话，即在空间中运动的系统的实在速度要影响其动力学行为，那么地球的运动对我们就会有直接明显的效应。伽利略相对论弄清了，何以地球在运动，而同时我们却不能直接感觉到它的原因①。
值得指出的是，在伽利略相对论中，“静止”的概念并无任何局部上的意义。它对人类的空间――时间观念已经具有显著的含义。我们直观的空间――时间图像是，“空间”构成了物理事件在其中发生的舞台。物理对象在某一时刻可处于空间的某一点，在后一时刻可处于同一个，或另一个不同的空间的点。我们想象空间中的点可以从一个时刻维持到另一个时刻。这样，一个物体实际上是否改变其空间位置的说法就具有意义。但是，伽利略相对论指出，不存在“静止状态”的绝对意义；所以，“在不同时间的空间的同一点”的说法是毫无意义的。某一时刻的物理经验的欧几里德三维空间的哪一点是我们的欧几里德三维空间另一时刻的 “同一点” 呢？
没有办法找到。对应于每一时刻我们似乎必须有一个完全“新”的欧几里德空间！ 考虑具有物理实在性的四维空间――时间图就会使这一层意思明了（见图5.5）。不同时刻的三维欧几里德空间的确被分开，但所有这些空间合并在一起构成了完整的四维的空间――时间图。在空间――时间中进行匀速直线运动的粒子的历史是一条直线（称为世界线）。以后在讨论爱因斯坦相对论时我还会回到空间――时间以及运动的相对性的问题上来。我们将发现在那种情形下对四维维数的论证会更加有力。
① 欧多索斯也是两千年以来行星运动的有用理论的首创者。此理论后来由希帕裘斯和托勒密所发展，以后即被称为托勒密系统。图5.5伽利略空间――时间：匀速运动的粒子可用直线标出。伽利略的第三个伟大洞察是开始理解能量守恒。伽利略主要关心物体在重力下的运动。他注意到，如果从一静止状态释放一个物体，则不管它是简单地落下，还是随一个任意长度的摆振动，或是沿着一个光滑斜面滑下，其速率只依赖于它从释放之处下落的垂直距离。正如我们现在所说的，储存于超过地面的高度的能量 （引力势能）会转换成它的运动的能 （只依赖于物体速率的动能）。反之亦然，但总能量既不损失也不增加。能量守恒定律是一个非常重要的物理原则。它不是物理学的一个独立要求，而是我们很快就要讨论的牛顿动力学定律的推论。笛卡尔、惠更斯、莱布尼兹、欧拉以及开尔芬等人几个世纪来的努力，使这一定律的表述越发清晰。在本章的后部以及第七章，我们将要再回到这个问题上来。如果把能量守恒定律和伽利略的相对论原理相结合，我们就能得到更多的相当重要的守恒定律：质量和动量守恒。粒子的动量是它的质量和速度的乘积。火箭的推进即是动量守恒的众所周知的例子之一，火箭往前动量的增加恰好和（更轻的、但是更急速的）废气往后的动量相平衡。枪的后座力也是动量守恒的一个表现形式。牛顿定律的进一步推论是角动量守恒，角动量守恒是描写一个系统的自旋的不变性，地球绕自己的轴自旋以及网球的自旋都是依靠它们的角动量守恒来维持的。组成任何物体的每一个粒子都对该物体的总角动量有贡献，这贡献等于它的动量与它离开中心的垂直距离的乘积。（自旋转物体只要变紧凑，其角速度就会增加，即是其中的一个推论。滑冰者和马戏团高架秋千艺术家经常表演的令人惊叹而熟悉的动作也起源于此。他们经常利用收回手臂或腿的动作使旋转速度自动增加。）在后面的内容中我们将会看到质量、能量、动量以及角动量都是重要的概念。
最后，我应该让读者回顾一下伽利略的先知的洞察力，那就是当大气摩擦力不存在的时候，在重力作用下所有物体都以同一速率下落。（读者也许会回想起他从比萨斜塔上同时释放不同物体的著名故事，）三个世纪以后，正是这一个洞察导致爱因斯坦将其相对论原理推广到加速参考系统，从而为他的非凡的引力的广义相对论提供了基石，这在本章的结尾处将会看到。图5.6矢量加法的平行四边形定律。
图5.7两粒子之间的力是沿着它们之间连线的方向（由牛顿第三定律，B作用到A的力总是和A作用到B的力大小相等方向相反）。在伽利略的创立的令人印象深刻的基础上，牛顿建立了绝顶庄严华美的大教堂。牛顿指出了物体行为的定律。第一和第二定律基本上是伽利略给出的：如果没有外力作用到一个物体上，则物体将继续其直线匀速运动；如果有外力作用到上面，则物体的质量乘以它的加速度（亦即其动量变化率）等于这个力。牛顿本人的一个特殊的洞察，在于意识到还需要第三定律：物体A作用在物体B上的力，刚好和物体B作用到物体A上的力大小一样而方向相反（“每一个作用必有其大小一样方向相向的反作用”）。这就提供了基本的框架。“牛顿宇宙”是由在服从欧几里德几何定律的空间中运动的粒子所组成。作用到这些粒子上的力决定了他们的加速度。每一个粒子所受的力是由所有其他粒子分别贡献到该粒子的力利用矢量加法定律相加而得到（见图5.6）。为了很好地定义这个系统需要一些规则，这些规则可以告诉我们从另一个粒子B作用到粒子A的力是什么样子的。
通常我们需要该力沿着AB之间的连线作用 （见图5.7）。如果该力是引力，则A和B之间的力是互相吸引的，其强度和它们质量乘积成正比，而和它们之间的距离的平方成反比：亦即反平方律。对于其他种类的力，其依赖于位置的方式可与此不同，也可能决定于粒子质量以外的其他性质。伽利略的一位同时代人，伟大的约翰斯?开普勒（1571―1630）注意到，行星绕太阳公转的轨道是椭圆而不是圆周（太阳总是处于该椭圆的一个焦点上，而不在其中心）。他还给出了制约行星作此椭圆运动的速率的其他两个定律。牛顿能够从他自己的一般理论（以及引力的反平方律）推导出开普勒三定律。不仅如此，他还对开普勒的椭圆轨道作了各种细节上的修正，诸如春秋分日点的进动（许多世纪以前的希腊人已注意到这些地球旋转轴方向的这种极慢的运动）。为了取得所有这些成就，牛顿就必须发展除了微积分之外的许多数学手段。他惊人的成就得大大归功于其超等的数学技巧及其同等超人的物理洞察力。牛顿动力学的机械论世界如果已知特定的力的定律（例如引力的反平方律），则牛顿理论就表达成一组精密的确定的动力学方程。如果各个粒子在某一个时刻的位置、速度和质量是给定的，则它们随后任何时间的位置、速度（以及质量――这被当作常数）就被数学地确定，这种牛顿力学的世界所满足的决定论形式对哲学思维产生了（并正在产生着）深远的影响。让我们更仔细地考察牛顿的决定论。它对“自由意志”有何含义呢？一个严格的牛顿世界能包含精神吗？甚至牛顿世界能包含计算机器吗？让我们先明确一下什么是世界的“牛顿”模型。例如，我们可以认为组成物体的所有粒子是数学的、亦即没有尺度的点。另外的办法是将它们当作球状的刚性球。无论如何，我们都必须假定知道力的定律，例如，牛顿引力论中的引力的反平方律。我们还要对自然的其他力，比如电力和磁力（威廉?吉尔伯特在1600年首先仔细研究过）以及现代已知将粒子（质子和中子）绑在一起形成原子核的强核力的定律也表述出来。电力正和引力一样满足反平方律，但类似的粒子互相排斥（而不像引力那样互相吸引）。这里不是粒子的质量，而是它们的电荷决定它们之间电力的强度。磁力和电力一样也是“反平方的”②，但是核力以相当不同的形式随距离而变化。在原子核中当粒子相互靠得紧密时核力极大，而在更大距离下则可以忽略不计。
假定我们采用刚体圆球的模型，并要求两个球碰撞时，它们即完全弹性地反弹。也就是说，它们如同两个完好的撞球那样，在能量（或总动量）没有损失的情况下分离开。我们还必须明确指明两球之间的作用力。为了简单起见，我们可以假定任两球之间的作用力都沿着它们中心的连线，其大小为该连线长度的给定的函数。（由于牛顿的一个出色的定理，此假设对牛顿引力自动成立。对其他力的定律，这可当成一个协调的要求而加上的条件。）如果刚体只进行成对碰撞，而不发生三个或更多个的碰撞，则一切都定义得很好，而且结果会连续地依赖于初始条件（亦即只要初态的变动足够小，财能保证结果变化也很小）。斜飞碰撞的行为是两球刚好相互错过的行为的连续过渡。但在三球或多球碰撞的情形下就产生了新问题。例如，如果三球ABC一下子跑到一块，那AB先碰撞，紧接着C和B碰撞，或AC先碰撞，紧接着B和A碰撞，情况就很不一样（见图5.8）。在我们的模型中，只要有三碰撞发生就存在非决定性！只要我们愿意，就可以用“极不可能”的理由简单地将三碰撞或多碰撞的情形排除掉。这就提供了一种相当一致的方案，但三碰撞的潜在问题表明终态将以不连续的② 用现代的语言，这表明存在分数M/N 使得a/b＞M/N＞c/d。只要a/b＞c/d则在两实数a/b和c/d之间一定存在一个这样的分数，以使欧多索斯判据确实被满足。方式依赖于初态。
