让我们接受，任何种类的讯号――不仅仅是通常物理粒子所携带的――必须被光锥所限制。上面的论证实际上只牵涉到狭义相对论。但是在广义相对论中，这一个狭义相对论的规则仍然定域地成立。正是狭义相对论的这种局部有效性告诉我们讯号必须被光锥所限制，所以它也应该适用于广义相对论。我们将会看到这一点如何影响这些理论决定论的问题。我记得在牛顿（或哈密顿等等）理论中，“决定论”意思是说在一特定时刻的初始值完全固定了其他时刻的行为。如果在牛顿理论中采用空间――时间的观点，则给定初始值的那个“特定时刻”即是四维空间――时间中的某一个三维“截面”（亦即那一时刻的整个空间）。在相对论中，不可能为此而挑出一个全局的“时间”概念。通常的步骤是采用一种更灵活的做法。任何人的“时间”都可以。在狭义相对论中，可采取某个观察者的同时面，并用此同时面来取代上述的“截面”以赋予初始值。但在广义相对论中，“同时空间”的概念并没有很好地定义。从而人们使用更普遍的类空面 26的概念。我们在图5.33画出了这样的一个面；它的特征是处于它上面的每一点的光锥之外――这样，在局部上它和同时空间很相似。
图5.33在广义相对论中被逃选来赋予初始值的一个类空面。
在狭义相对论中，决定论可以表述成为在任何给定的同时面S上的初始值，固定了整个空间――时间中的系统的行为的这一事实。（尤其是在马克斯韦理论中这一点成立――它的确是“狭义相对性”的理论。）然而，人们可以有更强的陈述。如果想知道处在S的未来的某一事件P处发生的事，则只需要知道S上某一（有限的）有界的区域内，而不必是整个S上的初始值即可。这是因为“信息”不能传递得比光还快，而S上的任何离得太远的以至于光讯号不能到达P的点不能对P有何影响（见图5.34）①。这实际上比在牛顿理论中出现的情形更令人满意。在那里，人们为了能对将来某一时刻要发生的事件作任何预言，原则上要知道整个无限的“截面”上发生的事。牛顿式信息的传播速度不受任何限制，牛顿的力是瞬息性的。图5.34在狭义相对论中， 发生在P的事件只依赖于在同时空间中的一个有限区域的数据。这是因为传递到P的效应不能比光走得更快。广义相对论中的“决定论”比在狭义相对论中复杂得多，我在此只作少许评论。首先，我们为了赋予初始值必须使用一个类空面 S（不仅仅是一个同时面）。人们发现，如果像通常那样假定对能量张量有贡献的物质场的行为是决定性的，则爱因斯坦方程的确给出了引力场的局部的决定性的行为，然而，这里事情相当复杂。空间――时间的几何自身――包括它的光锥的“因果性”结构――现在成为实际上要被确定的一部分。由于我们预先不知道光锥结构，所以不能得知S的那一部分为确定未来某一事件P的行为所必须。在某种极端的情况下，甚至有整个 S都不够的情形，而因此就损失了全局的决定性！（这里牵涉到非常困难的问题，它们和一个在广义相对论中称为“宇宙监督”的末被证明的猜测相关。这猜测和黑洞形成有关系（参阅提普勒等1980年）；参阅第七章388页以及389页处的脚注和396页。）情况似乎很可能是，和“极端”的引力场的情形相共存的“决定性失效”和人类尺度的事件几乎没有任何直接关系。但是，从这里也可以看出，广义相对论中的决定论的问题绝不像人们设想的那样干脆利落。① 把空间坐标除以c――光速――的原因是为了以后使用便利，使光子世界线和垂直方向的夹角为45℃。经典物理的可计算性：我们的立场如何？
我在这一章从头到尾总是同时留心和决定论不同的可计算性的问题。我并且试图指出，在谈论到“自由意志”和精神现象时，可计算性的问题至少和决定论性的问题一样重要。但是，正如我们不得不相信的那样，在经典理论中决定论本身也不是那么清楚的。我们看到了带电粒子，运动的经典洛伦兹方程所引起的一些困扰的问题。 （回忆狄拉克的 “逃逸解”。）
我们还注意到，在广义相对论中存在一些决定论的困难。在这些理论中，只要没有决定论，当然也就不可计算了。然而上面引用的情形中似乎没有一种因为缺乏决定性而和我们有许多直接的哲学方面的关系。在这些现象中还是没给我们的“自由意志”留下余地：在第一种情况，因为点电荷的经典洛伦兹方程（正如狄拉克解决的那样）被认为在提这些问题的水平上在物理上不合理； 第二种情况， 由于经典广义相对论所引起的这些问题 （黑洞等等）的尺度和我们自己大脑的尺度差别太大。
现在，我们在经典理论中关于可计算性的境况如何呢？可以合理地猜测，如果超越了我刚才提出的因果性和决定性的差别的话，则广义相对论中的情形和狭义相对论不会有大的差别。任何在物理系统的未来行为被初始值所决定的地方，用我们在牛顿理论情况下类似的推论，则其未来的行为似应也被那些数据可计算地决定27（除了上面考虑过的，玻―埃勒―里查德遭遇到的波动方程的不可计算性的“不帮忙的”非可计算性的类型――这种情况对于光滑地变化的数据不会发生）。的确，在我迄今讨论过的任何物理理论中，很难看到任何重大的“不可计算”的因素。可以肯定预料到的是，在这许多理论中会发生“混沌的”行为，只要初始数据作非常微小的改变，就会对结果的行为产生巨大的影响。（看来在广义相对论中真是如此，参阅米斯纳1969，别林斯基等1970。）但是，正如我在前面所提到的，很难看出这类不可计算性亦即“不可预言性”对要“驾驭”物理定律的可能的不可计算因素的仪器有何“用处”。如果“大脑”可以任何方式利用不可计算的因素，那么这种因素必须是非经典物理的。我们必须在浏览了量子理论之后，重新回来审查这个问题。质量、物质和实在让我们简略地清查一下经典物理所呈现的世界图像。首先空间――时间，担任着主要任务：提供舞台给所有不同的物理现象。其次是任意不停活动着的物理对象，但这些活动由精密的物理定律所约束。共有两类物理对象：粒子和场。关于粒子，除了各个都有自己的世界线以及具有各自的（静）质量和也许还有电荷等，我们很少提到它们的实际性质或特殊品质。另一方面，场的特性非常明确――服从马克斯韦方程的电磁场，以及服从爱因斯坦方程的引力场。在处理粒子时存在一种互相冲突的情形。如果粒子的质量是如此微小，以至于其对场的影响可以忽略，则可称作检验粒子――而它们对场的响应的运动是毫不含糊的。洛伦兹力定律描述检验粒子对电磁场的响应，而测地线定律描述它们对引力场的响应（如果两种场都存在时，是上述情形的适当的结合）。这些粒子在这里必须被认为是点粒子，也就是具有一维的世界线。然而，当粒子对场（并因而对其他粒子）的效应必须考虑时――亦即，这些粒子成为场的源时――那么该粒子必须认为是在某种程度上在空间中散开的对象。否则在每个粒子的紧邻处的场会变得无穷大。这些散开的源为马克斯韦方程提供了所需要的电荷――电流分布（ρ，j），也为爱因斯坦方程提供了所需要张量能量。除此之外，所有这些粒子和场所处的空间――时间具有直接描绘引力的可变的结构。“舞台”参与到在它上面表演的情节中去！这就是经典物理在有关物理实在的性质方面给我们的教导。很清楚，我们在中学学到了许多，但同时我们又不可过于自得，以为我们一时形成的图像不会被某种以后更深刻的观点所推翻。我们在下一章会看到，甚至相对论所带来的革命性变革在与量子力学相比较时都会显得黯淡无光。但是，我们和经典理论以及它对物质实在的描述方面缘份还未尽。还有件使我们惊奇的事！什么是“物质”？它是实际的物理对象，亦即世界的“东西”由之构成的实体。 它是你、 我以及我们的房子由之所组成的材料。 如何量化物质？初等物理教科书为我们提供了牛顿的清楚的答案。它是一个对象或一群对象的质量，它是所包含的物质的测度。这看来的确是对的――没有任何其他的物理量能在作为总物质的真正量度这一点上和质量认真地作较量。况且它是守恒的：任何系统的质量，也就是物体内容的总量总是保持不变。爱因斯坦著名的狭义相对论中的公式E=mc2还告诉我们质量（m）和能量（E）是可以互换的。例如，一个铀原子会衰变分裂成小块，如果能够使这些小块处于静止，则这些小块的总质量会比原来铀原子的质量小；但是若把每一块的运动的能量――动能（参阅190页 ）――也计算在内，再除以c2（因为E=mc2）以转化为质量值，则我们发现总量实际上是不变的。质量的确是守恒的，但由于部分是由能量组成，它作为实在物质的量度显得不那么清楚了。能量毕竟依赖于物质运动的速度。一列直达列车的运动的能量相当大。但是如果我们刚好坐在此火车上，则按照我们自己的观点火车根本没有运动。（虽然单独粒子的杂乱运动的热能不会），但运动能量会因为适当地选择观点而被“减少到零”。一种称作π0介子的次原子粒子的衰变是一个鲜明的例子， 爱因斯坦的质量――能量关系的效应在这场台达到了极致的程度。它肯定是一种具有定义得很好的（正的）质量的物质粒子。大约10-16秒之后，它几乎总是分解（像上述的铀原子那样，但要更快速得多）成仅仅两个光子（图5.35）。从和π0介子一起处于静止的观察者看来，每个光子携带走一半能量，这的确是π0介子质量的一半。然而这光子“质量”具有一些模糊的性质：它是纯能量。如果我们能在一个光子的方向上快速地运动，我们就能将其质量――能量要减小到什么程度就减小到什么程度――光子的内禀质量（或正如我们很快就要讲到的静质量）实际上为零。所有这一切为质量守恒描绘出一幅协调的图像，但是它和我们过去的不完全一样。在某种意义上，质量仍是“物质的量”的测度，但在观点上有显著的改变：既然质量等效于能量，那么系统的质量，正如能量那样依赖于观察者的运动！图5.35一个有质量的π0介子衰变为两个零质量的光子。从空间――时间图可以看出能量――动量的四矢量是守恒的：按照平行四边形加法定律（阴影所示），π0介子四矢量是两光子四矢量之和。
图5.36能量――动量四矢量值得花时间将我们得到的观点表述得更明白一些。取代质量作用的守恒量是叫能量――动量四矢量的整体。 在闵可夫斯基空间中可把它画成从原点O出发的一个箭头（矢量），它指向O点未来光锥的内部（或者在光子的极端的情况下，处于光锥之上）；见图5.36。这个和物体世界线指向一致的箭头包含有能量、质量和动量的所有信息。这样，此箭头端点在某观察者座标系中测量的“t-值”（或“高度”）表示观察者看到的，物体的质量（或能量除以c2），而动量（除以c）由其空间分量所提供。这个箭头的闵可夫斯基“长度”是称为静质量的重要的量。它描述和此物体同处静止的观察者所看到的质量，人们也许会采取将此当作“物体的量”的好的量度的观点。然而，它没有可加性：如果一个系统分裂成两半，则原先的静止量并不是结果的两个静质量的和。回想一下π0介子衰变对于看到这两个事件同时发生的观察者而言，它即是通常的距离（参见后面）。的情形。π0介子具有正的静质量，而分裂成的每个光子的静质量为零。但是，可加性对于整个矢量，（四矢量）的确成立，我们现在必须在画在图5.36中的矢量加法定律的意义上进行“相加”。现在我们“物质的量”正是用整个箭头来测量！让我们现在考虑马克斯韦电磁场。我们知道它携带能量。按照E=mc2，它还应该有质量。这样，马克斯韦场又是物质！由于马克斯韦场非常密切地参与到将粒子捆绑在一起的力中，所以这一点我们肯定必须接受。在任何物体中的电磁场一定对其质量有重要的贡献28。关于爱因斯坦引力场又如何呢？在许多方面它和马克斯韦场很类似。
和在马克斯韦理论中的运动带电体会发射电磁波相似，运动的大质量物体（按照爱因斯坦理论）也会发射出引力波（参看242页）――它正如电磁波一样以光速传播并携带能量。然而，此能量不是以标准的方式测量的，它是前面讲到的张量能量。在（纯粹）引力波中，此张量实际上处处为零！尽管如此，人们可采用如下观点，空间――时间的曲率（现在全部由张量魏尔给出）多多少少能代表引力波中的“东西”。但是引力能是非定域的，也就是说，人们不能靠考察一个有限区域的空间――时间曲率来决定能量的度量。引力场的能量――并因此质量――的确是非常滑的鳝鱼，我们无法将其钉死在任何清楚的位置上。尽管如此，我们必须严肃认真地对付。
它肯定在那里，必须把它考虑在内才能使质量的概念在大范围内守恒。已找到一个可用于引力波的好的（并且是正的）质量测度（邦迪1960，萨克斯1962），但它的非定域性变成这种样子，在两次辐射爆之间的空间――时间的平坦区域中（和飓风眼中的静区很类似）此测度有时为非零，在该处其实完全没有曲率（参阅彭罗斯和林得勒1986，427页）（亦即魏尔和里奇均为零）！在这种情形下，我们看来不得不做出结论，如果此质量――能量必须存在某处的话， 则应该处于这个平坦的空的空间中――一个完全没有任何种类的物质和场的区域。在这些古怪的情形下，我们“物质的量”或者在那里，在此空的区域中的最空虚之处，或者根本那里也不在！
这看来纯粹是佯谬。然而，它正是我们最好的经典理论――它们也的确是超等的理论――所告诉我们关于世界的“实”物质的性质。按照经典理论，且不必说我们即将探索的量子理论，物质实体比人们所设想的更模糊得多。它的测量――甚至它是否存在――很清楚地依赖于一些微妙的症结，并且不能仅仅定域地确证！如果这种非定域性都使人迷惑不解的话，我们还要准备迎接更大打击的来临。注 释1.一个显著的事实是，所有确立的和牛顿图像的偏差都以某种基本的方式和光的行为相关。首先，存在马克斯韦理论中的脱离物体的携带能量的场。其次，正如我们就要看到的，光速在爱因斯坦狭义相对论中起着关键的作用。第三，只有当运动速度和光速可相比较时，爱因斯坦广义相对论和牛顿引力论的微小偏离才变得显著。 （太阳引起的光偏折，水星运动，在黑洞中和光相比较的逃逸速度等等。）第四，首先是在光的行为中观察到量子力学中存在的波粒二象性。最后，还有量子电动力学，它是带电粒子的量子场论。可以合情理地猜测，牛顿本人已经准备接受他的图像的躲藏在光的神秘行为后面的深刻问题。参阅牛顿（1730）；还可参阅彭罗斯（1987a）。2.有一个美妙的、很成功的物理理解的实体――亦即卡诺、马克斯韦、开尔芬、玻尔兹曼等等的热力学――我在分类时忽略了它。这可能引起某些读者的困惑，但我是故意这么做的。因为某种在第七章会变得更清楚的原因，我本人非常犹豫是否将其归于超等理论的范畴中。然而，许多物理学家也许会认为把这么漂亮的根本的观念放到低到仅仅有用的范畴是亵渎神物！依我看来，热力学按通常的理解是某种仅适合于平均的东西，而不适合于系统中的每一个别部分――部分的原因是由于它为其他理论的推论――在我这里的意义上不是一个完整的物理理论（这同时适用于作为其数学基础的统计力学的数学框架）。我以此事实作为借口以回避这一问题，把它们一块放到分类之外，正如我们在第七章将会看到的，我宣布在热力学和在前面已经提到的属于有用的范畴的大爆炸标准宇宙模型之间存在一种紧密的联系。我相信，在这两组观念之间（现在还缺一部分）的某种联合，在必需的意义上，甚至会被认为属于超等的范畴的物理理论。
这是我还要在后面论述的内容。
3.我的同事们问我应将“扭量理论”归于何类。这是一种观念和技巧的精心集合，我自己曾为此花费了许许多多的心血。就扭量理论作为物理世界的一个不同理论而言，它只能被收到尝试的范畴中。
4.然而，伽利略经常用水钟来为其观察定时，见巴博（1989）。
5.用牛顿的名字来命名这个模型――的确就“牛顿”力学总体而言――仅仅是一个方便的标志。牛顿自身对于物理世界的实际性质的观点似乎不像这么独断，而是更微妙，更难以捉摸。（最有力地促进这一“牛顿”
模型的人要算R.C玻斯科维奇1711―1787）。
6.拉飞逸?索金曾向我指出，存在一种意义，在这种意义上，可用一种和对（譬如讲）牛顿系统所用的相似的方式来“计算”此一特殊的玩具模型。我们可摹想一个计算序列C1，C2，C3…，这些步骤允许将系统的行为计算到越来越后而没有时间的极限，并且不断增加精确性（参阅198、199页）。在现在情况下，为了达到这个目的，我们可允许将图灵机动作Tu（m）进行N步定义为CN，如果这一动作那时还不停止则“认为”Tu(m)=□。然而，在Tu（m）=□的地方，由引进牵涉到诸如“对所有的qT（q）
停止” 的双重量化的陈述的演化， 不难修正我们的玩具以战胜这类 “计算”。
（存在无限多对相差为2的质数的未解决问题即为这样的陈述的一个例子。）
7.正如第四章（169页注9）提示的，新的柏龙――沙柏――斯马勒（1989）理论可提供一种在数学上更能接受的方法来解决其中的一些问题。8.伟大的意大利/法国数学家约瑟夫?L?拉格朗日（1736―1813）大约比哈密顿早24年左右就知道了哈密顿方程。他虽然和哈密顿观点不一样。 更早时期的一个同等重要的发展是力学的欧拉―拉格朗日方程的表达形式。这样牛顿定律可认为是从一个更高的原则，即最小作用量原理（P.L.M德毛帕裘斯）推导而来。除了其伟大的理论意义之外，欧拉――拉格朗日方程还提供了具有显著威力和实用价值的计算步骤。9． 刘维尔相空间体积只是整族具有不同维数的在哈密顿演化下保持不变的“体积”（称作彭加莱不变量）之一。但是，我的这个断言如此之囊括无遗实在有些过分，我们可以想象一个系统，将其中我们不感兴趣的一些自由度（对某些相空间体积有贡献）“倾倒”到某处去（诸如逃到无穷处的辐射），这样我们感兴趣的部分的相空间就会减小。
10.这第二个事实尤其是科学的极大的幸运。因为没有它的话，巨大物体的动力行为就不可理解，而大物体行为几乎不能给精确适用于粒子本身的定律提供任何暗示。我猜想，牛顿之所以那么强调他的第三定律的原因在于，如果没有它，则从微观到宏观的动力行为的传递就不成立。另一个对于科学发展生死攸关的“奇迹般的”事实是，反平方律是仅有使围绕着中心物体的一般轨道具有简单的几何形状的方次律（随距离而减小）。 如果定律或力是倒数律的或反三方律的， 开普勒还会有何成就呢？
11.我已为各种场选好了单位， 以使和马克斯韦的密先的方程的形式相接近（除了他的电荷在我处为c-2ρ以外）。当用其他的单位制时，因子c的分布将会不同。
12.事实上，我们具有无限多的 Xi和Pi更复杂之处在于，我们不能只用这些场的值作为座标，必须引进某种马克斯韦场的“势”才能纳入到哈密顿理论的框架中去。
13.也就是说，不过两次可微的。
14.洛伦兹方程告诉我们， 由电荷所处的地方的电磁场引起了作用于它上面的力；如果它的质量又是已知的，牛顿第二定律就告诉我们该粒子的加速度。然而，带电粒子经常以近于光速的速度运动，狭义相对论的效应变得很重要，影响了实际上应取的粒子质量数值（见下一节）。正是这种原因使作用在带电粒子上的正确的力定律推迟到狭义相对论的诞生才被发现15.事实上，自然界中的任何量子粒子，在某种意义上，整个自身都像一台这样的钟。正如第六章要讲到的，任何量子粒子都和一个振动相关系，其频率与质量成比例；见265页。现代最精确的钟表（原子钟、核子钟）归根到底是依赖于这个效应。
16.也许读者会忧虑，由于旅行者世界线在B处出现了一个“角”，正如图示的，他在事件B处遭受到无限大的加速度。可以用有限的加速度将他的世界线在B处的尖角弄圆滑，这只不过把他所经历的由整个世界线的闵可夫斯基“长度”所测量的总时间稍微改变一点。17.这些就是M依照爱因斯坦的同时性定义，由从M发出并被问题中的事件反射回到M的光讯号判断的事件空间。例如，见林德勒（1982）。18.这是该形状的初始的对时间的二阶微分（或“加速度”）。形状的改变率（或“速度”）在初始时为零，因为球面在开始时刻是静止的。19.杰出的法国数学家埃利?卡当（1923）首先对牛顿理论的数学形式重新进行表述――这当然是在爱因斯坦的广义相对论之后。20.在这种意义上的局部的欧几里德性的弯曲空间称作以伟大的贝纳德?黎曼（1826――1866）命名的黎曼流形。他在高斯的某些更早的有关的两维情形的工作之后，首先研究这类空间。我们在此需对黎曼观念作重大的修正，也即允许几何为局部闵可夫斯基的，而不是欧几里德的。通常将这种空间称为洛伦兹流形 （属于所谓的伪黎曼或更不逻辑点的半黎曼流形的一类）。21.或许读者会忧虑，零值何以代表“长度”的最大值！事实上的确是如此，只不过在空洞的意义上而言：零长的测地线的特征是，没有任何其他的粒子的世界线可将其上面的任何一对点（局部地）连接。
22.畸变效应和体积改变的分解事实上不像我所表达的那么明确。 里奇张量本身会引起一定量的潮汐畸变。（对于光线而言，这种分解是完全明确的；参阅彭罗斯和林德勒（1986），
第七章）例如可参阅该书第240和210页关于魏尔和里奇张量的精确定义。（德国出生的赫曼?魏尔是本世纪一位杰出的数学人物；意大利的格里高里?里奇是一位有巨大影响的几何学家，他在上世纪奠定了张量理论。）
23.大卫?希尔伯特在1915年11月发现了实际方程的正确形式，但该理论的物理观念则完全归功于爱因斯坦。24.对于通晓这些东西的读者而言， 这些微分方程正是用爱因斯坦方程代入到完整的比安基等式而得到的。25.存在某些（虽然不是非常令人满意的）方法可绕过这个论证，参阅惠勒和费因曼（1945）26.因为它不是二维的，而是三维的， 所以在这里用术语 “超面”比 “曲面”在技术上更为合适。27.有关这些问题的严格定理一定是非常有用的，并且非常有趣，可惜迄今还没有得到。28.现在这个理论是不可计算的，它的（临时的）毫无用处的答案是无限大。
