在经典物理中，存在一个“外面的”客观世界，这一点是和常识相符合的。那个世界以一种清晰的、决定性的方式演化着，并受到被精确表达的数学方程的制约。这一点对于马克斯韦以及爱因斯坦理论，正如对原先的牛顿理论一样都是正确的。物理世界被认为独立于我们而存在的；经典世界究竟“是”什么样子不受我们选择去观察它的方法的影响，而且我们的身体和大脑本身也是那个世界的一部分。它们也被认为是按照同等精密和确定的经典方程演化的。不管我们如何觉得我们清醒的意愿在影响着我们的行为，我们的一切行动都被这些方程所决定。大多数关于实在的性质、我们清醒的知觉以及表观上的自由意志的严肃的1哲学论证的背景都具有一幅这样的图像。一些人也许会对量子理论――这一事物的基本的、却是使人困扰的理论――也起作用感到不舒服。
量子理论是在本世纪最初的二十五年由于观察到世界的实际行为和经典物理的描述之间的微妙偏差而产生的。对许多人来说，“量子理论”这一术语仅仅是唤起某种“不确定性原理”的模糊概念。该原理禁止我们在粒子、原子或分子的水平上对之进行精确的描述，所能得到的只是随机的行为。实际上，我们将会发现，尽管量子描述和经典物理彻底不同，它却是非常精确的。此外，我们还将看到，尽管一般的观点与它正相反，在粒子、原子和分子的微小的量子水平上不出现随机性――它们决定性地进行演化――概率似乎是通过某种大尺度的、神秘的、和我们能意识感觉的经典世界的呈现相关联的作用而产生的。我们必须理解量子理论如何迫使我们改变物理实在的观点。人们会以为量子和经典理论之间的偏差非常微小，但事实上它们同时又是许多常观物理现象的基础。固态物体之所以存在、物质的强度和物性、化学的性质、物质的颜色、凝固和沸腾现象、遗传的可能性、还有许多其他熟知的性质需要量子力学才能解释。也许还有意识，它是某种不能由纯粹经典理论来解释的现象。我们的精神也许是来源于那些在实际上制约我们居住的世界的物理定律的某种奇怪的美妙特征的性质，而不仅仅是赋予称之为经典的物理结构的“客体”的某种算法的特征。在某种意义上，这也许就是“为什么”尽管经典宇宙已经是如此地丰富和神秘，作为有情感的生物，我们必须在量子世界、而不是在完全经典的世界中生活。为了诸如我们这样的思维的知觉的生物可由世界物质构成，是否需要一个量子世界？诸如这样的问题似乎更适合于让一心建造一个可供人居住的宇宙的上帝，而不是我们去解答！但是这个问题和我们也有关系。如果意识不可能是经典世界的一部份，那么我们的精神必须以某种方式依赖于对经典物理的特殊的偏离。这就是我在本书中还要考虑的问题。如果我们要深入钻研一些哲学的主要问题：我们世界如何行为，以及由什么构成“精神”也就是“我们”，则我们的确必须屈服于量子理论，这个最精确也最神秘的物理理论。有朝一日科学将会给我们提供比量子理论更好的对自然的更深刻的理解。我个人的看法是，甚至量子理论也只是权宜之计，肯定不足以作为我们实际生活其中的世界的完整图画。但这不可作为我们的借口；如果我们想得到某些我们需要的具有哲学洞察力的东西，我们就必须按照已有的量子理论去理解世界图像。不幸的是，不同的理论家对什么是这个图像的实在持不同（尽管在观察上等效）的观点。以中心人物尼尔斯?玻尔为首的许多物理学家说根本就没有客观的图像。在量子水平上，“外界”没有什么东西。实在多多少少只是在和“测量”结果的关系上才呈现。按照这种观点，量子理论仅仅提供了计算步骤，而不想对世界的实际进行描述。我认为，这种对理论的看法是过于悲观了，而我采用更正面的看法，对量子描述赋予客观的物理实在：量子态。
存在一个非常精确的方程，即薛定谔方程，它为量子态提供了完全决定性的时间演化。但是在随时间演化的量子态和被看到物理世界发生的实际行为之间存在一种非常古怪的东西。只要我们认定“发生”了测量，我们就必须抛弃我们直到该时刻止辛辛苦苦演化来的物理态，而用它来计算该态会“跃迁”到一族新的可能的态去的不同的几率。除了这个量子跃迁的怪异之外，对于物理形态还存在什么是裁决“测量”实际上已经进行了的问题。测量装置本身毕竟假定是由量子元件建造的，所以也要按照决定性的薛定谔方程演化。“测量”的实际发生是否必须伴随有意识的存在？我想量子理论家中只有少数人会采取这种观点。大概人类的观察者自身也是由微小的量子元件所组成的吧！我们将在本章的后面考察量子态“跃迁”的某些奇怪推论――例如，为什么在一处的“测量”似乎会在遥远的区域引起一个跃迁！在这之前，我们还将碰到其他的怪现象：有时一个物体可以分别非常好地通过两个不同的途径。但是一旦同时允许通过两条途径它们就会互相抵消，使得任何一条也通不过！我们还将仔细地考察实际上量子态是如何描述的。我们会看到这种描述和相应的经典描述差别有多大。例如，粒子会一下子在两处出现！当一起考虑几个粒子时，我们会看到量子描述是多么复杂。人们会发现，个别粒子本身并没有单独的描述，而必须考虑所有它们在一道的不同形态的复杂叠加。我们会看到为什么同一类的不同粒子不能有各自的本体。我们将仔细地考察自旋的（基本是量子力学的）古怪性质。我们还将考虑由令人困惑的“薛定谔猫”的理想实验所引发的重要问题，以及理论家们提出的试图解决这个基本迷惑的各种不同看法。本章中的一些材料并不像前面（或后面）章节那么明白易解，有时又有点过于技术性。在描述中我尽量做到诚实，这样我们必须更勤勉一些。其目的在于真正理解量子世界。在论证的不甚清楚之处，我建议你要坚持下去，以期对整个结构有点印象。如果无法完全理解也不必沮丧；它是这个学科本身的性质！经典理论的问题我们何以得知经典物理不能真正描述我们的世界呢？主要的原因来自实验。量子理论不是理论家们加在我们身上的预言，大多数理论家是无可奈何地被赶到这一个在哲学的许多方面不满意的、奇怪的世界观上去。其根本的原因在于两种物理现象必须共存：粒子，每一粒子只由很少的有限数目（六）的参数（三个位置和三个动量）来描述；还有场，它需要无限多的参数来描述。这种二分法在物理上不是真正协调的。在粒子和场处于平衡（亦即“完全安置好”）的系统中，所有粒子的能量都会被场抽取走。
这即是所谓的“能量均分”现象的结果：系统处于平衡时，能量被公平地分布在所有的自由度上。由于场具有无限多自由度，所以根本就没有给可怜的粒子留下任何能量！
尤其是，经典原子不能是稳定的，粒子的所有运动都转移到场的波动模式中去。让我们回顾一下伟大的纽西兰/英国实验物理学家恩斯特?卢瑟福在1911年引进的原子太阳系模型。公转的电子处于行星的地位，中心的太阳为原子核所取代，它们在很微小的尺度上由电磁力而不是引力绑在一起。一个基本的、并且似乎是不可逾越的问题是，当一个公转电子绕着核子时，按照马克斯韦理论应发射出电磁波，其强度在比一秒钟短得非常多的时间间隔里迅速地增强到无穷，同时它以螺线形的轨道向内撞到核上去！然而，人们从未观测到过这类事。在经典理论的基础上理解所观察到的结果是非常困难的。原子会发射出电磁波（光），但是只能以突发的形式，它具有非常特别的分立频率，这就是被观察到的狭窄的光谱线（图6.1）。而且这些频率满足“莫名其妙”的规则2，这从经典理论观点看来毫无根据。图6.1经常发现从灼热的物质中的原子发射出的光只具有非常特别的频率，可用棱镜把这不同的频率分解，从而提供了原子的特征光谱线。另一种场和粒子不能共存的不稳定性的呈现是称为“黑体辐射”的现象。想象具有某个确定温度的物体，电磁辐射和粒子处于平衡状态。1900年，瑞利和琼斯计算出，所有能量都会被场吸收光――没有极限！此处发生了物理上荒谬的事情（“紫外灾难”：能量不断地跑到场中去，跑到越来越高的没有上限的频率上去），而自然本身却更谨慎。在场振动的低频处，能量正如瑞利和琼斯所预言的那样。但是在预言到灾难的高端，实际观察显示，能量分布并没有无限增加，而是随着频率增加而下落。在给定的温度下，能量的最大值发生在非常特别的频率（也即颜色）处（见图6.2）。 （火钳的红颜色和太阳的黄――白热实际上是两个人们所熟知的例子。）图6.2经典计算（瑞利――琼斯）和观察到的热体（“黑体”）辐射强度之间的偏差导致了普郎克开创的量子理论。量子理论的开端这些迷惑如何得到解决呢？牛顿原先的粒子理论肯定需要马克斯韦场来补充。人们是否可以走到另一极端，假定任何东西都是场，而粒子只是某种场的有限尺度的“结”？这本身也有困难，因为这样的话，粒子可连续地改变它们的形状，可以用无限多不同的方式蠕动和振动。而所有这些我们都没看到。物理世界中的所有种类的粒子都显得是等同的。例如，两个电子完全是相互一样的。甚至原子和分子只能采用分立的不同的形态3。如果粒子是场的话，那么需要一些新的因素去使场采取分立的特征。1900年，才气横溢的、但又是保守谨慎的德国物理学家马克斯?普郎克提出了一个革命性的思想用以压制“黑体”的高频率的模式：电磁振动只能以“量子”的形式发生，量子的能量E和频率v之间有一确定的关系E=hv，h为一自然的基本常数，现在被称作普郎克常数。令人叹为观止的是，普郎克利用这个荒谬绝伦（无法无天）的因素，能够在理论上得到和观察一致的作为频率函数的强度，这就是现在所谓的普郎克辐射定律。（按日常标准来看，普郎克常数是非常小的，大约为6.6×10-34焦耳秒。）普郎克凭此壮举揭示了量子理论光临的曙光。尽管在爱因斯坦提出另一个使人惊愕不已的设想，即电磁场只能以这种分立的单位存在之前，普郎克理论并没有引起多大注意。我们记得，马克斯韦和赫芝指出了光是由电磁场的振荡所组成的。这样一来，按照爱因斯坦――以及牛顿在两个多世纪以前所坚持的――光本身实际上应为粒子！（在十九世纪初叶，卓越的英国理论家兼实验家托马斯?杨显明地建立了光为波动的事实。）光如何由粒子又同时由场振荡所组成的呢？这两个概念的矛盾似乎是不可调和的。某些实验事实很清楚地显示光是粒子，而另一些事实则指出光为波动。1923年，法国贵族及富有洞察力的物理学家路易?德布罗依王子在他的博士论文中（该论文是爱因斯坦认可的！）使这个粒子――波动的图像更加混淆，他提出物体的粒子本身有时应像波动那样行为！任何质量为m的粒子的德布罗依波频率v也满足普郎克关系式。这与爱因斯坦的E=mc2相结合，即告诉我们v和m之间的关系是hV=E=mc2。这样，按照德布罗依的设想，自然不遵循作为经典理论特征的粒子和场的二分法！事实上，任何以某频率v振荡的东西都只能以分立的单位质量hv/c2发生。自然以某种方式设计建造一个协调的世界，在其中粒子和场振动被认为是同一东西！或者，在她的世界中包含某种更微妙的要素，而“粒子”和“波动”两词汇只不过传达了它部分的合适的图像。
1913年，丹麦物理学家及二十世纪主要科学思想家尼尔斯?玻尔再次极其漂亮地利用了普郎克关系。 一个绕核公转的电子角动量 （参阅190页）只能为 π的整数倍，这即是玻尔规则。后来狄拉克为了省事引进了符 h/ 2号 ： hh= h / 2π。这样，绕着任何轴的角动量的可允许值为0 2 3 4 ， ， ， ， ， h h h h原子的“太阳系模型”在加上这个新的要素后，就得到了在相当的准确度上，自然实际服从的许多分立的稳定的能量级和谱频率的“怪异的”规则。玻尔漂亮的设想虽然极其成功，却只是提供了称之为“旧量子论”的某种临时的“凑合物”的理论。我们今天所知道的量子理论是由后来的两套独立的方案所产生的。它们由一对杰出的物理学家所开创的：一位是德国的威尔纳?海森堡，另一位是奥地利的厄文?薛定谔。这两种方案（分别为1925年的“矩阵力学”和1926年的“波动力学”）在初始时显得完全不同，但是很快发现它们是等同的，并且很快就被包摄到一个更合理、更一般的框架中去。这个框架是在不久之后首先由英国伟大的理论物理学家保罗?阿得林?毛里斯?狄拉克提出。我们将在以下几节了解该理论的概要以及它的非同寻常的含义。双缝实验让我们考虑这一“原型的”量子力学实验。一束电子或光或其他种类的“粒子――波”通过双窄缝射到后面的屏幕去（图6.3）。为了确定起见，我们用光做实验。按照通常的命名法，光量子称为“光子”。光作为粒子（亦即光子）的呈现最清楚地发生在屏幕上。光以分立的定域性的能量单位到达那里，这能量按照普郎克公式E=hv恒定地和频率相关。从未接收过“半个”（或任何部分，光子的能量。光接收是以光子单位的完全有或完全没有的现象。只有整数个光子才被观察到。图6.3单色光的双缝实验。
然而，光子通过缝隙时似乎产生了类波动的行为。先假定只有一条缝是开的（另一条缝被堵住）。光通过该缝后就被散开来，这是被称作光衍射的波动传播的一个特征。但是，这些对于粒子的图像仍是成立的。可以想象缝隙的边缘附近的某种影响使光子随机地偏折到两边去。当相当强的光也就是大量的光子通过缝隙时，屏幕上的照度显得非常均匀。但是如果降低光强度，则人们可断定，其亮度分布的确是由单独的斑点组成――和粒子图像相一致――是单独的光子打到屏幕上。亮度光滑的表观是由于大量的光子参与的统计效应（见图6.4）。（为了比较起见，一个60瓦的电灯泡每一秒钟大约发射出100000000000000000000个光子！）光子在通过狭缝时的确被随机地弯折――弯折角不同则概率不同，就这样地得到了所观察到的亮度分布。
图6.4只有一个缝隙打开时屏幕上的强度模式――分立小点的分布。
然而，当我们打开另一条缝隙时就出现了粒子图像的关键问题！假设光是来自于一个黄色的钠灯，这样它基本上具有纯粹的非混合的颜色――用技术上的术语称为单色的，也即具有确定的波长或频率。在粒子图像中，这表明所有光子具有同样的能量。此处波长约为5×10-7米。假定缝隙的宽度约为0.001毫米，而且两缝相距0.15毫米左右，屏幕大概在一米那么远。在相当强的光源照射下，我们仍然得到了规则的亮度模式。但是现在我们在屏幕中心附近可看到大约三毫米宽的称为干涉模式的条纹的波动形状（图6.5）。我们也许会期望第二个缝隙的打开会简单地把屏幕的光强加倍。如果我们考虑总的照度，这是对的。但是现在强度的模式的细节和单缝时完全不同。屏幕上的一些点――也就是模式在该处最亮处――照度为以前的四倍，而不仅仅是二倍。在另外的一些点――也就是模式在该处最暗处――光强为零。强度为零的点给粒子图像带来了最大的困惑。这些点是只有一条缝打开时粒子非常乐意来的地方。现在我们打开了另一条缝，忽然发现不知怎么搞的光子被防止跑到那里去。我们让光子通过另一条途径时，怎么会在实际上变成它在任何一条途径都通不过呢？图6.5两个缝隙同时打开时屏幕上的强度模式――分立小点的波动状分布。在光子的情形下，如果我们取它的波长作为其“尺度”的度量，则第二条缝离开第一条缝大约有300倍“光子尺度”那么远（每一条缝大约有两个波长宽）（见图6.6），这样当光子通过一条缝时，它怎么会知道另一条缝是否被打开呢？事实上，对于“对消”或者“加强”现象的发生，两条缝之间的距离在原则上没有受到什么限制。
当光通过缝隙时，它似乎像波动而不像粒子那样行为！这种抵消――对消干涉――是波动的一个众所周知的性质。如来两条路径的每一条分别都可让光通过，而现在两条同时都开放，则它们完全可能会相互抵消。我在图6.7中解释了何以致此。如果从一条缝隙来的一部分光和从另一条缝隙来的“同相”（也就是两个部分波的波峰同时发生，波谷也同时发生），则它们将互相加强。但是如果它们刚好“反相”（也就是一个部分波的波峰重叠到另一部分的波谷上），则它们将互相抵消。在双缝实验中，只要屏幕上到两缝隙的距离之差为波长的整数倍的地方，则波峰和波峰则分别在一起发生，因而是亮的。如果距离差刚好是这些值的中间，则波峰就重叠到波谷上去，该处就是暗的。图6.6从光子的观点看缝隙！大约在300倍“光子尺度”外的第二条缝是开还是闭，对它而言怎么会有影响呢？6.7在纯粹波动图像中，我们可按照波动的干涉来理解屏幕上亮的和暗（虽然不是分立）的模式。关于通常宏观的经典波动同时以这种方式通过两个缝隙没有任何困惑之处。波动毕竟只是某种媒质（场）或者某种包含有无数很小点状粒子的物体的一种“扰动”。扰动可以一部分通过一条缝隙，另一部分通过另一条缝隙。但是这里的情况非常不同；每一个单独光子自身是完整的波动！在某种意义上讲，每个粒子一下通过两条缝隙并且和自身干涉！人们可将光强降得足够低使得保证任一时刻不会有多于一个光子通过缝隙的附近。对消干涉现象，因之使得两个不同途径的光子互相抵消其实现的可能性，是加在单独光子之上的某种东西。如果两个途径之中只有一个开放，则光子就通过那个途径。但是如果两者都开放，则两种可能性奇迹般地互相抵消，而发现光子不能通过任一条缝隙！读者应该深入思考一下这一个非同寻常事实的重要性。光的确不是有时像粒子有时像波那样行为。 每一个单独粒子自身完全地以类波动方式行为；一个粒子可得到的不同选择的可能性有时会完全相互抵消！光子是否在实际上分成了两半并各自穿过一条缝隙呢？大多数物理学对这样的描述事物的方式持否定态度。他们坚持说，两条途径为粒子开放时，它们都对最后的效应有贡献。它们只是二中择一的途径，不应该认为粒子为了通过缝隙而被分成两半。我们可以考虑修正一下实验，把一个粒子探测器放在其中的一条缝隙，用来支持粒子不能分成两部分再分别通过两缝隙的观点。由于用它观测时，光子或任何其他种类的粒子总是作为单独整体而不是整体的一部分而出现，我们的探测器不是探测到整个光子，就是根本什么也没探测到。然而，当把探测器放在其中的一条缝隙处，使得观察者能说出光子是从哪一条缝隙通过时，屏幕上的波浪状的干涉花样就消失了。为了使干涉发生，显然必须对粒子“实际上”通过那一条缝隙“缺乏知识”。
为了得到干涉，两个不同选择都必须有贡献，有时“相加”――正如人们预料的那样相互加强到两倍――有时“相减”――这样两者会神秘地相互“抵消”掉。事实上，按照量子力学的规则，所发生的事比这些还更神秘！两种选择的确可以相加（屏幕上最亮的点），两者也的确可以相减（暗点）；但它们实际上也会以另外奇怪的组合形式结合在一起，例如“选择A”加上i乘以“选择B”，这儿是我们第三章的“负一的平方根”（ － ）（在屏幕上中等强 i = 1度的地方）。事实上任何复数都能在“不同选择的组合”中起作用！
读者可能会记得在第三章时我的复数对于“量子力学的结构是绝对基本的”警告。这些数绝不仅仅是数学的精巧。它们通过令人信服的、使人意外的实验事实来迫使物理学家注意。我们必须接受复数权重才能理解量子力学。现在我们接着考虑它的推论。概率幅度在上面的描述中利用光子并无任何特别之处。这里可以同样好地利用电子或任何其他种类的粒子或者甚至原子。量子力学的规则坚持，甚至连棒球和大象都应以这种古怪的方式行为，不同选择的可能性可用复数的组合“相加起来”！然而，我们从未在实际中看到棒球或大象这种奇怪方式的叠加。为什么我们没有见到呢？这是一个困难的富有争议的问题，我现在还不想去对付之。作为工作规则，现在让我们简单地假设物理描述有两种不同可能的水平，我们将其称为量子和经典水平。我们只在量子水平上利用这些古怪的复数组合。棒球和大象是经典水平上的对象。
量子水平就是分子、原子和次原子粒子的水平。这通常被认为是非常“小尺度”现象的水平，但是这个“小”实际上并非是指物理尺度。我们将会看到量子效应能在许多米甚至一光年的距离上发生。如果认为只牵涉到非常小的能量差，这才有点接近于认为某种东西是“处于量子水平上”的特征。（以后我将尽力弄得更精确些，尤其是在第八章的424页）。经典水平就是我们直接了解的“宏观”水平。在这水平上，我们的“事物”发生的通常图像是正确的，并且可以使用通常的概率观念。我们将看到在量子水平上，我们必须使用的复数和经典概率有紧密的关系。它们并不真正相同，但是为对付这些复数，先回顾一下经典概率的行为是有益的。
考虑一个不确定的经典情形，两种选择之中我们不知哪一种会发生。
可将这种情形描述作这些选择的“加权”组合：
pד选择A”加上qד选择B”
此处p为A发生的概率，而q是B发生的概率。（要记住，概率是在0和1之间的实数。概率1表明“一定发生”，而概率0表明“一定不发生”。概率1/2表明“发生和不发生是同等可能的”。）如果A和B是仅有的不同选择，则两者概率的和必须是1：P+q=1。
然而如果还有其他选择，则此和可以比1小。那么，比率p∶q就给出了发生A和发生B的概率的比率。在只有两种选择时，发生A和发生B的实际概率分别为p/（p+q）和q/（p+q）。如果p+q比1大，我们还可以这样地解释。（这可能是有用的，例如，只要我们进行了多次的实验，p为发生A的次数，q为发生B的次数。）如果p+q=1，我们就说p和q是归一化的，这样它们就给出了实际的概率，而不仅仅是概率的比率。在量子力学中我们将做一些显得与此非常相似的事，现在P和q变成为复数――我将使用w和z分别表示之wד选择A”加以zד选择B”
我们如何解释w和z呢？由于它们会各自独立地变为负数或者复数，它们肯定不是通常的概率（或概率比），但是在许多方面很像概率。它们被叫作（适当地归一化之后――见后面） 概率幅度，或简单地称作幅度。此外，人们经常用这类暗示概率的术语，如：“发生A的幅度为w和发生B的幅度为z”。它们不是实际的概率，但是我们假装它们是――或宁愿说成概率在量子水平上的相似物。
通常的概率如何起作用呢？考虑一个宏观对象将有助于理解， 譬如说打一个球使之穿过两个洞中的一个再到后面的屏幕去――正如上述的双缝实验那样（参见图6.3），但现在我们用经典的宏观球取代了前面讨论的光子。从 s将球打到上洞的概率为P （s， t），打到下洞的概率为P （s， b）。而且，如果我们在屏幕上选取特定的一点p，只要球的确通过t，则到此特定的p点的概率为P（t，p），而球通过b到达p的概率为P（b，p）。如果只有上面的洞t是开放的，则球通过t到达p的实际概率为将从s到t的概率乘上从t到p的概率：（s，t）×P（t，p）。
类似地，如果只有下面的洞是开放的，则球从s到p的概率为P（s，b）×P（b，p）。如果两个洞都开放的话， 则从s通过t到达p的概率仍为第一表达式P （s，t）×P（t，p），正如只有t洞开放时那样。而从s通过b到p的概率仍为P（s，b）×P（b，p）。所以，从s到p的总概率P（s，p）为两者之和P（s，p）=P（s，t）×P（t，p）+P（s，b）×P（b，p）。
在量子水平上，除了现在是奇怪的复的幅度起着我们前面的概率的作用外，其规则和这一模一样。这样，在上面考虑的双缝实验中，光子从源s到上缝t我们有一幅度A （s， t），从上缝到达屏幕上p点有一幅度A （t，p），两者相乘得到从s通过t到达p的幅度A（s，t）×A（t，p）。
作为概率，假定上缝是开的，不管下缝是否打开，这都是正确的幅度。类似地，假定b是开的，则存在光子从s通过b到达p的幅度（不管t是否打开）
A（s，b）×A（b，p）。
如果两条缝隙都打开，我们可得到光子从s到p的总幅度A（s，p）=A（s，t）×A（t，p）+A（s，b）×A（b，p）。这一切都非常好。但是，我们在量子效应被放大达到经典水平从而知道如何去解释这些幅度之前，它对我们并没有多大用处。我们可把一个光子探测器或光电管放在p处，它提供了把量子水平的事件――光子抵达p――放大成经典的可辨别得出的发生，例如听得见的“咔啦”一声。（如果屏幕的作用相当于照相底版，使得光子留下可见的斑点，那么这也是一样的。但为了清楚起见我们就用光电管好了。）必须存在产生“咔啦”一响的实际的概率，而不仅仅是这些神秘的“幅度”！当我们从量子水平变到经典水平时，如何从幅度过渡到概率呢？人们发现这里有一种非常美丽而神秘的规则。其规则是我们必须对量子的复的幅度取平方模以得到经典的概率。什么是 “平方模” ？回忆一下我们在复平面上的复数的描述 （第三章101页）。
复数z的模|z|简单地就是z离开原点（也就是点0）的距离。平方模|z|2即是这个数的平方。这样，如果我们写z=x+iy，这儿x和y都是实数。由于从0到z的连线为直角三角形0，x，z的斜边，从毕达哥拉斯定理得知我们所需的平方模是|z|2=x2+y2注意，为了使之成为一个真正的“归一化的”概率，|z|2的值必须在0和1之间。这表明对于适当归一化的幅度，在复平面上z必须处于单位圆内的某处（见图6.8）。然而，有时我们要考虑组合wד选择A”+zד选择B”，此处w和z仅仅是和概率幅度成比例，它们没必要在单位圆内部。它们归一化（并因此提供真正的概率幅度）的条件是平方模的和必须为1：丨w丨2+丨z丨2=1。
图6.8用复平面上单位圆内的点z来代表概率幅度。其与中心的距离的平方|z|2可成为当效应被放大到经典水平时的实际概率。如果它们不是归一化的，则A和B的实际幅度应分别为w w z z w z / / ,2 2 2 2+ + 和它们都处于单位圆内部。
现在我们看到，概率幅度根本不像真正的概率，而更像概率的“复数平方根”。当量子水平上的效应被放大到经典水平上时，这会发生什么影响呢？我们记得，在进行概率和幅度运算时，我们有时要将它们相乘，有时将它们相加。第一点值得注意的是，乘法运算在从量子过渡到经典规则时没有什么问题。这是因为乘积的模数等于各自模数的乘积的这一显著的数学事实丨zw丨2=丨z丨2丨w丨2（这个性质可由第三章的一对复数的乘积的几何描述立即得出；但是若按照实部和虚部z=x+iy w=u+iv，这还算是一点奇迹。不妨试一下！）
此事实的含义是，如果只有一条通道对粒子开放，也就在双缝实验中只有一条缝隙（譬如t）开放，即可以“经典地”论证，不管是否在中间某点（譬如在t）进行附加的粒子检测，出来的概率必须是一样的①。我们① 也许我们可以说，波动方程和马克斯韦方程类似，（参阅215页的注脚）也是一个相对论性方程。这样，可以在两个阶段或只在最后取平方模，也即丨A(s,t)丨2×丨A(t,p)丨2=丨A(s,t)×A(t,p)丨2，对于最后的概率，其结果都是一样的。然而，如果多于一条通道可让粒子通过（也即如果两条缝隙都开放的话），则我们要求和，而量子力学的特征就在这里开始出现。当我们取两个复数w和z的和w+z的平方模时， 通常不能得到它们各自的平方模的和；还有附加的“修正项”：丨w+z丨2=丨w丨2+丨z丨2+2丨w丨丨z丨cosθ。
此处θ为点z和w对复平面原点所张的角（见图6.9）。（我们知道，一个角的余弦是一直角三角形的“邻边/斜边”比。不熟悉上式的敏捷读者可用第三章引进的几何去直接推导之。实际上，这正是众所周知的“余弦法则”，只不过稍微伪装了一下！）正是修正项2|w||z|cosθ提供了量子力学的不同选择间的量子干涉。cosθ的值的范围在-1和1之间。我们在θ=0°时有cosθ=1。这时这两种选择相互加强，使得总概率比单独概率之和更大。我们在θ=180°时有cosθ=-1，这时这两种选择便相互抵消，使得总概率比单独概率之和更小 （对消干涉）。我们在θ=90°时有cosθ=0。
这时得到了一种中间状态，两种概率相加。对于大的或复杂的系统修正项通常被“平均掉了”――因为cosθ的“平均”值为零――我们就余下通常的经典概率的规则！但是在量子水平上这些项提供重要的干涉效应。
图6.9有关两个幅度的和的平方模的修正项2|w||z|cosθ的几何。
考虑双缝都打开时的双缝实验。到达p的光子幅度为和w+z，此处w=A（s，t）×A（t，p）和，z=A（s，b）×A（b，p）。在屏幕的最亮的点我们有w=z（这样cosθ=1），所以丨w+z丨=丨2w丨2=4丨w丨2为只有一条缝开放时概率|w|2的四倍――所以当光子数很大时光强变大到四倍，这与观察相一致。在屏幕的暗的点我们有w=-z（这样cosθ=-1），所以丨w+z丨2=丨w-w丨2=0,也就是零（对消干涉！），又与观察相一致。在刚好中间的点我们有w=iz或w=-iz（这样cosθ=0），所以丨w+z丨2=丨w±iw丨2=丨w丨2+丨w丨2=2丨w丨2给出只有一条缝的强度的两倍（这是经典粒子的情形）。我们在下一节的结尾处会看到如何去实际计算亮、暗和中间的位置。
我们早先考虑过的玻―埃勒―里查德“可计算性现象”也是一个只对在S的有界区域中的初始值而言的效应。还有最后一点必须加以评论。当双缝都开放时，通过t到达p的粒子的幅度确是w=A（s，t）×A（t，p），但是我们不能将其平方模|w|2当作粒子“实际”通过上面的缝隙而到达p的概率。这会导致没有意义的答案，特别是如果p是在屏幕上的暗的地方时。但是，如果我们决定“检测”光子是否在t存在，把它在那儿的存在（或不存在）的效应放大到经典的水平，则可用|A（s，t）|2作为光子实际到达t的概率。但是这样的检测抹去了波浪状的模式。为了使干涉发生，我们必须保证光子在通过缝隙时仍维持在量子水平上，以使得两个不同途径能共同有贡献并且有时会互相对消。单独的选择途径只有幅度，而没有概率。粒子的量子态这些在量子水平上为我们提供了 “物理实在”的什么图像呢？在这里，一个系统的不同的“选择可能性”必须一直共存，并且用奇怪的复数权重加在一起。许多物理学家本身对是否能找到这样的图像感到绝望。相反地，他们断言，他们喜欢量子力学仅仅为我们提供了计算概率的步骤，而不是物理世界的客观图像的观点。有些人断定量子理论不可能有客观图像――至少没有一种和物理事实相一致。我认为这样的悲观主义是没有根据的。在我们已经讨论到的基础上，采取这种看法无论如何都是不成熟的。我们将在下面讨论某些量子效应更令人吃惊的困惑，进而更全面地了解这种绝望的原因。但是，现在我们暂且更乐观地前进，并接受量子力学告知我们所必须面临的情景。这就是一种量子态所呈现的图像。我们现在考虑一个单独的量子粒子。一个粒子由它的空间位置经典地决定。为了知道它下一步还要做什么，我们还需要知道它的速度（或等效地，它的动量）。在量子力学中，粒子所能到达的每个单独位置都是它所能得到的一个“选择”。我们看到所有的选择必须以复数的权重组合在一道。这一复权重的集合描述了粒子的量子态。标准的做法是用希腊字母ψ（发“psi”的音）表示权重的集合，ψ被认为称作粒子的波函数的位置的复函数。对于每一位置x，波函数都有一用ψ（x）表示的特殊的值，它是粒子处于x的幅度。我们可用单独的ψ来表示整个量子态。我所采取的观点是，粒子所处位置的物理实在的确是它的量子态ψ。我们如何画出复函数ψ呢？一下子将所有的三维空间都画出是有点困难，所以我们先简化一些并假定粒子被限制在一维的线上――譬如说沿着标准（笛卡尔）座标系的x轴上。如果ψ是一个实函数，则我们可以想象和x轴垂直的“y轴”并画出ψ的图（图6.10a）。但是，为了描述复函数的ψ的值，我们在这儿需要一个“复的y轴”――它必须是一个复平面。
我们在想象中可以利用空间的两个维：譬如把空间的y方向当作复平面的实轴，z方向作为虚轴。我们可以把ψ（x）画成在这个复平面（也即是通过x轴上每位置的（y，z）平面）上的一点，这样就可得到一个波函数的精确的图像。这一点随着x的变化而变化，而它的轨迹在空间画出一条绕着x轴附近的曲线（见图6.10b）。我们称这条曲线为粒子的ψ曲线。如果在一指定点x处放置一台粒子检测器，则在该点找到该粒子的概率可由幅度ψ（x）取平方模而得到这正是ψ曲线离开x轴的距离的平方 。
丨ψ(x)丨2，度；但在狭义相对论中，表达式要稍微复杂些。图6.10(a)实变量x的实函数的图。(b)实变量x的复函数ψ的图。
为了画出在所有三维物理空间上波函数的完整的图，五维是必须的：
三维是物理空间，加上画出ψ（x）的复平面的二维。然而，我们简化了的图仍是有助的。如果我们选择沿着物理空间的任一特别的线来考察波函数，我们就可简单地让x轴沿着这线，并临时利用其他两个空间方向来提供所需的复平面。这对理解双缝实验是有用的。正如我前面提到的，在经典物理中为确定粒子下一步怎么走，人们需要知道它的速度（或动量）。在这里，量子力学以显著的经济的方式为我们提供了这些。波函数ψ中已经包含有不同可能动量的各种幅度！（一些不满的读者考虑到我们已经将点粒子的简单的经典图像变复杂了这么多，也许认为现在该是有一点经济的“时候”了！虽然我非常同情这种读者，我得警告他们赶紧将扔给他们的这一些先捡起来，因为后面还有更坏的来临！）如何从ψ来决定速度幅度呢？实际上考虑动量幅度更好。（我们记得动量是速度乘以粒子的质量，192页）。人们所做的是把所谓的谐和分析应用到函数ψ上去。我不可能在这里仔细地解释它，但它和处理乐声有紧密的关系。任何波形都能被分解成为不同“谐音”的和（这就是“谐和分析”术语之来源）。它们是不同音调（亦即不同频率）的纯净的乐音。
在波函数ψ的情形，“纯粹乐音”对应于粒子可能有的不同的动量，而每一“纯粹乐音”对ψ贡献的大小提供了该动量值的幅度。而“纯粹乐音”本身被称作动量态。
动量态在ψ曲线上看起来是什么样子的呢？它看起来像个螺旋，其正式的数学名字叫螺旋线（图6.11）①。卷得紧的螺旋对应于大动量，而几乎不卷的只具有很小的动量。极限情形是根本不卷，而ψ曲线变成直线：
这是零动量的情形。这里稳含有著名的普郎克关系。卷得紧表明短波长和高频率，并因此高动量和高能量；而卷得松表明低频率和低能量，能量E总是和频率v成比例（E=hv）。如果复平面以正常的方法指向，亦即上面给出的按照右手定则的x，y，z描述），那么在x轴正方向上的动量对应于右旋的螺旋（这正是通常用的螺旋）。
不像上面那样按照通常的波函数，而是按照动量的波函数来描述量子态有时更有用。这归结为把ψ按照不同的动量态而展开，从而建立一个新的函数 。这回它是动量 而不是位置 的函数。它的值～（ ）对于每 y y p x p一个p给出了p动量态对ψ的贡献的大小。（p空间称作动量空间。）① 该检测不可以干扰粒子通过t 点。可将许多探测器放置在围绕着s 的其他许多地方，当这些探测器都没有发生卡嗒的声响时，就可推理粒子通过t 点！y y～的解释是，对于每一特别选定的 ，复数～（ ）给出 p p 粒子具有动量p的幅度。图6.11动量态具有螺旋形状的ψ曲线。
在函数ψ和～之间的关系有一个数学术语。这些函数称为相互的 y福里哀变换――这是以法国工程师兼数学家约瑟夫?福里哀（1768―1830）命名的。在此我只对该关系做些评论。第一点是在ψ和～之间 y存在一个显著的对称。我们可以应用在本质上和从ψ得到～的同样的 y的步骤从ψ得到～。现在是对ψ进行谐和分析。而“纯粹乐音”（也 y就是在动量空间表像中的螺旋）被称作位置态。每一位置x在动量空间决定一这样的“纯粹乐音”，而这个“纯粹乐音”对～的贡献的大小决定 y了ψ（x）的值。一个位置态本身在通常的位置空间表像中对应于在一个给定的x值处的非常尖锐的峰，除这一点外任何位置的幅度都为零。这种函数称作（狄拉克）δ函数――尽管由于它在x处的值为无限，从而它在技术上并不是通常意义上的“函数”。同样地，动量态（也即位置表像空间中的螺旋）在动量空间表像中给出δ函数（见图6.12）。这样，我们看到了螺旋的福里哀变换是一个δ函数，而且反之亦然！只要人们要测量粒子的位置，位置空间的描述是有用的。这种测量归结于做一些事情，将不同可能的粒子位置的效应放大到经典的水平。（粗略地讲，光电管和照像底版进行了光子位置的测量。）动量空间的描述对测量粒子的动量有用，这种测量就是将不同的可能的动量的效应放大到经典的水平（反冲效应或晶体的衍射可用于动量测量。）在每种情形下，相应的波函数（ψ和～）的平方模给出了所要测量结果的所要的概率。 y图6.12位置空间中的δ函数变换成动量空间中的螺旋，反之亦然。
在本节结束之前我们再一次回到双缝实验。我们已经知道，按照量子力学，甚至一个单独的粒子都应像波动一样行为。这个波动为波函数ψ所描述。动量态是最“类似波动”的波。我们在双缝实验中摹想具有确定频率的光子；这样光子的波函数是由在不同方向的动量态组成。这些态中的螺旋的螺矩都是相同的，这螺矩又称作波长。（波长由频率所固定。）
每个光子波函数一开始从源s散开来并且通过两个缝隙（在缝隙上不做任何检测）而到屏幕上去。只有波函数的一小部分从这缝隙出来。我们将每一条缝隙当作从该处分别散开来的波函数的新源。这两部分波函数互相干涉。这样，当它们到达屏幕时，在有些地方互相叠加，在另外一些地方互相抵消。为了找到它们在何处叠加和何处对消，我们在屏幕上取点p并考察其到两条缝隙t和b的直线、沿着tp有一个螺旋，沿着bp另有一个螺旋。（我们沿着st和sb也有螺旋，但是假定光源到每一条缝隙的距离相同，则在缝隙处两个螺旋刚好旋转了一样多。）现在，当这些螺旋到达屏幕的p点处旋转了多少得由直线tp和bp的长度决定。当这些长度的差为波长的整数倍时， 则两个螺旋在p点就从它们的轴向同一方向位移 （亦即θ=0°，这儿的θ的意思和上节一样），这样相应的幅度就互相叠加，我们得到一个亮点。当这些长度的差为波长的整数倍加上半波长时，则两个螺旋在p点从它们的轴向相反方向位移（θ=180°），这样相应的幅度就互相抵消，我们得到一个暗点。在所有其他情形下，这两个螺旋到达p时位移间有某一角度，这样幅度就以某种中间的方式相加，我们得到中等的光强（见图6.13）。
