图6.13按照光子动量态的螺旋的描述来分析双缝实验。不确定性原理大多数读者都听说过海森堡的不确定性原理。根据这一原理，不可能同时将一个粒子的位置和动量精确地测量（亦即放大到经典的水平）。更糟糕的是，这些精度，譬如分别为△x和△p的乘积有一绝对极限，它由下面的关系式给出△ △ ≥ x p h这一公式告诉我们，位置x测量得越准确，则动量p的测量就越不准确，反之亦然。如果位置被测量到无限精确，则动量就变得完全不确定；另一方面，如果动量被精确地测量，则粒子的位置就变得完全不确定。为了从海森堡关系给出的极限大小得到一些感性认识，假定将一个电子的位置测量到奈米（10-9米）的精度，那动量会变得这样的不确定，以至于人们不能预料一秒钟之后电子是否比100公里还近！一些描述使人相信，似乎这仅仅是测量过程中固有的粗陋。相应地根据这种观点，在刚才考虑的电子的情形下，为了找到它的位置不可避免地赋予了它这等强度的“随机的反冲”，使得电子以海森堡原理所表明的数量级的巨大的速度冲撞。人们在其他的描述中认为不确定性是粒子自身的一个性质，它的运动有一种固有的随机性，这表明在量子水平上它的行为是内在的不可预见的。还有另一种说法认为，量子粒子是某种不可理喻的东西，对此经典位置和动量的概念均不适用。我对这几种看法都不喜欢。
第一种有点误导，第二种肯定是错的，而第三种过于悲观。
波函数的描述究竟告诉了我们什么？首先让我们回忆一下动量态的描述。这是动量被准确指定的情况。ψ曲线为一个螺旋，它离开轴的距离一直是一样的。所以不同位置的幅度都具有相同的平方模。如果要进行位置测量的话，则在任何一点找到该粒子的概率和在任何其他地方一样。粒子的位置是完全不确定的！关于位置态又如何呢？现在ψ曲线是-δ函数，位置被精确地固定在δ函数的尖峰处――其他地方的幅度均为零。在动量空间表像中最容易得到动量幅度。现在ψ曲线为一个螺旋，而不同动量的幅度具有相等的平方模。在测量粒子动量时，其结果会变得完全不确定！考察位置和动量都只被部分地限制的中间情形是有趣的，只要它们和海森堡关系相一致就可以了。图6.14画出了这种情形的ψ曲线和相应的y～曲线（相互的福里哀变换）。我们注意到只在非常小的范围内每一曲线到轴的距离明显地不为零。曲线在远处非常紧密地环抱着轴。这样，不管是在位置空间还是在动量空间中都只有在一个非常有限的区域平方模才有可觉察到的大小。因此，粒子在空间可以相当定域，但有一定的弥散，类似地，动量也是相当确定，粒子以相当确定的速度运动，而可能的粒子位置的弥散不随时间增加太大。这样的粒子态被称作波包，经常将它作为一个经典粒子的量子论的最好近似。但是动量（或速度）值的弥散表明波包将随时间弥散。原先开始的位置越定域，则弥散开得越快。6.14波包。这些波包在位置空间和动量空间中都是定域的。U 和 R 演化步骤在描述波包的时间发展中隐含着薛定谔方程， 它告诉我们波函数在时间中的实际演化。 薛定谔方程实际上是说， 如果我们将ψ分解成动量态 （ “纯粹乐音”），那么每一个单独的分量将以问题中具有此动量的经典粒子速度去除c2而得到的速度离开。薛定谔数学方程在实质上是以更加紧凑的形式写下这些。下面我们再看它的精确形式。它有点像哈密顿或马克斯韦方程（和两者有紧密关系）。和那些方程一样，一旦波函数在某一时刻定好，则给出它的完全确定的演化！（见332页。）我们如果将ψ当作“世界实在”的描述，只要ψ是由决定性的薛定谔演化所制约，就根本不存在被认为是量子力学固有的特征的不决定性。让我们将这种演化过程称为U。然而，只要我们“进行一次测量”，将量子效应放大到经典水平，我们就改变了规则。现在我们不用U，而是用完全不同的我称作R 的步骤，取量子幅度的平方模以得到经典概率4！正是步骤R 也只有 R 在量子理论中引进了不确定性和概率。决定性的过程U 似乎是作量子理论工作的物理学家关心的主要部分；而哲学家则对非决定性的态矢量减缩 R（或者，正如有时形象化描述的：波函数的坍缩） 更感兴趣。 我们是否简单地将R 认为是关于一个系统的 “知识”的改变，还是认为（正如我认为）是“真正地”发生了什么。我们的确得到了物理系统的态矢量随时间变化的两种完全不同的数学方式。U 是完全决定性的，而R 是概率定律；U 保持量子复叠加原则，但是R 显著地违反之；U 的作用是连续的，而R 公然是不连续的。按照量子力学的标准过程，不存在以任何方式将R“归结”为U 的复杂的情况的含义。它干脆是和U 不同的过程，提供了量子力学的另一“半”的解释。所有的非决定性都是从R而不是从U 来的。为了使量子理论和已有的观测事实美妙地协调，U 和R 两者都是需要的。
让我们回到波函数ψ上来。假定它为一个动量态。只要此粒子不和任何东西相互作用， 它就会在其余的时间里快乐地维持在那个动量态上。 （这是薛定谔方程告知我们的。）无论我们什么时候去“测量其动量”都会得到同一确定的答案。此处不存在概率。和经典理论一样，可预言性在这里是非常清楚的。然而，假定在某一个阶段我们胆敢去测量（也就是放大到经典水平）粒子位置，这回我们就得到了一系列的概率幅度，我们必须将它们平方求模。那时候有许许多多的概率。完全无法肯定测量会产生什么结果。其不确定性和海森堡原理相一致。另一方面，让我们假定ψ从一个位置态开始（或几乎为一个位置态）。
现在，薛定谔方程告诉我们，ψ不再停留在位置态上，它会很快地弥散开来。尽管如此，其弥散的方式完全由此方程所固定的。它的行为没有任何不确定性或随机性。原则上存在去检查此事实的实验。 （下面还要讲到）。但是，如果我们不明智地决定去测量动量，就会发现所有可能的不同的动量值的幅度平方模相等。实验的结果则是完全的不确定性，这又和海森堡原则相一致，而概率是由幅度的平方模给定。
这无疑是非常奇怪和神秘的。但是它不是不可理喻的世界图像。关于这个由许多非常清楚和准确的定律制约的图像还有许多可说的。然而，关于何时应该祈求随机性的规则R去取代宿命论的U尚没有清楚的规则。 “进行一次测量” 是什么含义？为何 （何时） 对幅度平方取模使之 “成为概率”？“经典水平”能被量子力学地理解吗？这些都是在本章后头要讨论的深刻的令人困惑的问题。粒子同时在两处？我在上面的描述中采取了也许比通常的量子物理学家们更“现实”的关于波函数的观点。我采取了单独粒子的“客观实在”的状态的确是由它的波函数所描述的观点。似乎许多人发现这个观点很难以严肃的方式予以坚持。之所以这样的一个原因是，它牵涉到我们认为单独粒子在空间中弥散开来，而不总是集中在单独的点上的事实。对于一个动量态，由于ψ在整个空间范围内平均地分布，这弥散达到了极端。人们不认为粒子本身发散到空间中去，而宁愿认为位置是完全不确定的。这样，人们关于位置所能说的是粒子在任何一处正和在另一处同样的可能。然而，我们已经看到，波函数不仅提供了不同位置的概率分布；它还提供了不同位置的幅度分布。如果我们知道这个幅度分布（亦即波函数ψ），则我们从薛定谔方程就知道粒子的态从一个时刻向另一时刻演化的精确方式。为了这样地决定粒子的“运动”（也就是ψ随时间的演化），我们需要粒子的这一“发散开去”的观点；而如果我们的确采用这个观点，我们就会看到粒子的运动的确是被精确地决定的。如果我们对粒子施加位置测量，那么关于ψ（x）的“概率观点”就很合适，因为那时仅仅使用ψ（x）的平方模的形式：|ψ（x）|2。看来必须接受这样的粒子图像，它会在空间的大范围内发散开去，并会一直发散到下一次进行位置测量为止。甚至当一个粒子被定域为位置态后，下一时刻就会开始发散开去。动量态似乎难于被接受为一个粒子存在的“实在”图像，但它也许更难被接受作刚穿过双缝出来的双峰态的“实在”图像（图6.15）。在垂直的方向上，波函数ψ的形式在每一条缝隙处都有尖锐的峰值。 该波函数为上缝有峰值的波函数ψt和在下缝有峰值的波函数ψb的和①：
ψ(x)=ψt(x)+ψb(x)。
如果认为ψ代表粒子态的“实在”，那么我们必须接受粒子的确同时在两处的图像！基于这一观点，粒子确实同时穿过两条缝隙。回忆一下反对粒子“同时穿过两条缝隙”这观点的标准说法：如果我们在缝隙处作测量以确定它是否通过那一条缝隙，我们总是发现整个粒子通过这条或那条缝隙。但是这是因为我们对粒子进行位置测量引起的，这时ψ仅仅提供和按照平方模步骤一致的粒子位置的概率分布|ψ|2， 而我们的确发现它在这一处或那一处。但是在缝隙处我们还能进行不同于位置测量的其他测量。为此，我们应该知道不同位置x的双缝波函数ψ，而不仅① 由于在一个准确点上找到一个粒子的概率为零，所以在这里产生了技术上的困难。我们把|ψ（x）|2定义为概率密度，它表示在我们定义的点附近的某个很小的固定尺度的间隔内找到该粒子的概率。这样，ψ（x）定义了幅度密度，而不是一个幅度。是|ψ|2。这样的测量可以将上面给出的双峰态ψ=ψt+ψb和另一双峰态，如ψt－ψbφt－φb或ψt+iψb区别开来。 （见图6.16中三种不同情形下的ψ曲线。）因为确实存在将这些不同可能性区别开来的测量，所有它们必须是光子能存在的不同可能的“实际”方式！6.15当光子波函数从一双缝隙出来时，它同时在两处到得峰值。
缝隙没有必要靠得很近使“光子”同时穿过它们。为了演示不管它们距离多么远量子粒子总能“同时在两处”，考虑一个稍微和双缝实验不同的实验装置。和以前一样，我们有一个发出单色光的灯泡。每一时刻只发一个光子；但是这回不让光子通过两个缝隙，我们让它从一面倾斜角45°的半镀银的镜面反射出来。（半镀银镜子是一种刚好将射到它上面的光反射一半，而让所余下的一半光直接穿透过去的镜子。）在它遭遇到镜子以后，光子的波函数分裂成两个部分，一部分反射回来，另一部分继续原先光子的方向。波函数又是双峰值的，但是这回双峰是更宽广地分离开了。一个峰描述反射的光子，而另一峰描述透射的光子（见图6.17）。此外，两峰的分离随着时间流逝变得越来越大，并随着时间无限地增加。想象波函数的这两部分跑到空间去，而我们整整等待了一年。那么光子波函数的这两部分相距将超过一光年。光子不知怎么搞的发现自己同时出现在相距比一光年还远的两地方！
图6.16 三种具有双峰的光子波函数的不同方式。
图6.17 双峰波函数的双峰可以分开到一光年那么远。这可以用半镀银镜面做到。是否有理由去认真地接受这样的图像呢？难道我们不能简单地认为光子有百分之五十的机会在一个地方，而另外百分之五十的机会在另一处呢？不，我们不能！不管旅行了多长时间，总能将光束折射回来，使之再互相遭遇，得到两种不同选择的概率权重所得不到的干涉效应。假定光束的两部分各遇到一面全镀银的镜子。我们调整好镜子的角度使之再次遭遇在一起。在交会点放上另一面半镀银镜子，角度刚如和第一面一样。在两束光的直线方向上各放一个光电管（见图6.18）我们会看到什么呢？如果情况仅仅是，光子有一半的机会走一条途径，另一半机会走另一条，那么我们应该发现其中一个检测器有一半的机会记录到光子，另一半机会是被另一个检测器记录到。然而，事情并非如此。如果两个途径的长度完全相同，则百分之一百的机会是光子抵达放在原先光子运动的方向上的检测器A，而百分之零的概率是光子抵达另一检测器B――光子肯定打到检测器A上去！ （正如在双缝实验中那样，我们可用上面的螺旋描述来看到这些。）当然，这类实验从未在途径长度达到光年数量级以上被实现过，但所叙述的结果从未被（传统的量子物理学家）认真地怀疑过！实际上，这类实验在途径长度为几米的情形下被实现过，其结果的确和量子力学的预言相一致（参阅惠勒1983）。关于光子在它第一次和最后一次和半反射镜遭遇之间的存在的态的“实在”，此结果告诉了我们什么呢？似乎不可避免的是，在某种意义上光子实际上同时沿着两条途径旅行！因为如果将一吸收屏幕放在任何一条途径上，则光子到达A和B的概率将相等；但是当两条途径同时打开（并具有一样长度）则只能到达A！而堵住一条途径时却实际允许到达B！两条途径都打开时，光子“知道”不允许它到达B，所以它必须感觉到两条途径。尼尔斯?玻尔关于在测量瞬息之间的光子存在没有客观“意义”的观点，依我看来是有关光子态实在的过于悲观的观点。量子力学让我们以波函数来描述光子位置的“实在”，而在半镀银镜子之间的光子波函数刚好是双峰态，双峰之间的距离有时非常可观。图6.18 双峰波函数的两个峰不能被简单地认为是光子在这一位置或那一位置的加权概率。可使光子所采取的两个途径相互干涉。我们还注意到， “同时处于两个指定的位置”不是光子态的完全描述：
譬如讲我们必须能把态ψt+ψb从态ψt-ψb（或ψt＋iψb）区别开来，这儿ψt和ψb是指分别处于两条途径中的光子 （现在分别为 “穿透的”和“反弹的”光子）。正是这种区别决定了光子到达半镀银镜子时，肯定到达A或B（或以中等的概率到达A或B）。量子实在的令人困惑的特征，也就是我们必须认真地认为的粒子可以各种（不同！）的形式“同时处于两处”――这是因为必须允许用复数权重把量子态加起来以得到其他量子态这个事实引起的。这种态的叠加是量子力学称之为量子线性叠加的一般的、重要的特征。正是它允许我们从位置态组成动量态，或从动量态组成位置态。在这些情形下，线性叠加被应用到无限多的不同的态，也就是所有不同的位置态，或所有不同的动量态。但是，正如我们已经看到的，只要把它仅仅应用于一对态就引起了这样的困惑不解。其规则是不管任何两个态是多么不同，它们能在任何复线性叠加上共存。的确，任何自身由单独粒子构成的物理对象应当能以这种在空间中分隔得很开的态的叠加的形式而存在，并因此“同时处于两处”！
量子力学的形式在这方面对于单独粒子还是许多粒子的复杂系统并没有差别。那么为何我们从未经验过宏观物体，（譬如棒球或甚至人）同时处于完全不同的地方？这是一个根本的问题，今日量子理论尚不能为我们真正地提供一个满意的答案。对于像棒球这样的如此富有内容的对象，我们必须认为这些系统处于“经典水平”――或者，正如通常说的，“观察”或“测量”将对该棒球进行的――而那时对我们的线性叠加进行加权的复概率幅度必须已被平方求模，并当作描述实际不同选择的概率。然而，这正好引起一个争议性问题：为何允许我们以这种方式改变U到R的量子规则！以后我还要讨论这个问题。希尔伯特空间我们记得在第五章为了描述经典系统引进了相空间的概念。相空间中
的单独的点代表整个物理系统的（经典的）态。在量子力学中，其相应的类似概念是希尔伯特空间①。现在希尔伯特空间中的单独的点代表整个系统的量子态。我们需要浏览一下希尔伯特空间的数学结构。我希望读者对此无所畏惧。我应该说，虽然其中的一些思想也许是非常陌生的，它不是数学上非常复杂的东西。
希尔伯特空间的最基本的性质在于它是一种所谓的矢量空间――事实上，是一个复的矢量空间。这表明允许我们把空间的任何两个元素加起来得到另一个元素，也允许我们实行带有复杂权重的加法。因为这些是我们刚刚考虑的量子线性叠加的运算，也就是对于上面光子给予我们ψt+ψb，ψt-ψb，ψt＋iψb等等的各种运算。我们能做到这些。我们使用的术语“复矢量空间”的所有含义就是允许进行这类带权的求和5。可以十分方便地使用狄拉克引进的记号，用某种带角形的括号诸如|ψ＞，|x＞，|ψ＞，|1＞，|2＞，|3＞，|n＞，|↑＞，|↓＞，|→＞，|‰＞等等表示被当作态矢量的希尔伯特空间元素。这样，这些符号现在表示量子态。我们把两个态矢量的叠加写作|ψ＞+|x＞，而带复数权重w，z的求和写作w|ψ＞＋z|x＞（这里w|ψ＞表示w×|ψ＞等等）相应地，我们现在可以将上述的组合ψt+ψb，ψt-ψb，ψt+iψb分别写为|ψt＞+|ψb＞，|ψt＞-|ψb＞，|ψt＞+i|ψb＞。我们还可以将一个单独态|ψ＞乘上一个复数w得到w|ψ＞。
（这是前面的一个特例，即z＝0。）
我们知道可以允许进行复权重的组合，这里w和z不必要是真正的概率幅度，只要是和这些幅度成比例即可。相应地我们采用允许以一个非零复数去乘整个态矢量而物理态不变的规则。 （这会改变w和z的实际的值，但是w∶z保持不变。）下面的每一矢量|ψ＞，2|ψ＞，-|ψ＞，i|ψ＞， ψ＞，π ψ＞，（ ） ψ＞等等，正如 ψ＞一样，代表 2| | 1 - 3i | z| 同一个物理态（z≠0）。希尔伯特空间唯一不能解释为物理态的要素是零矢量。（亦即希尔伯特空间的原点）。
图6.19 在希尔伯特空间中的矢量加法和矢量乘以标量，可以用通常① 按照更标准的分析的描述，我们的每一个螺旋（也就是动量态）由表达式ψ=eipx/h=cos(ipx/h)+isin(ipx/h)给出（见第三章102页）这里p 是问题中动量的值。的方式，正如对在平常空间中的矢量那样摹想为了对所有的这一切进行几何描述，让我们首先考虑“实”矢。量的更通常的概念。人们通常将这样的矢量简单地摹想成平面上或三维空间上的一个箭头。利用平形四边形定律可得到两个箭头的和（图6.19）。用一个（实）数乘一个矢量的运算，按照“箭头”的图像就是简单地将此箭头的长度乘上这数，同时保持箭头的方向不变。如果乘数为负的，那么箭头的方向倒过来；如果乘数为零，则得到零矢量，它没有方向。（矢量O表示零长度的“零箭头”。）作用到一个粒子上的力即是这种矢量的一个例子。而经典速度、加速度和动量则为另外的例子。还有我们在上一章结尾处考虑的动量四矢量那是在四维而不是二维或三维空间的矢量。然而，希尔伯特空间中的矢量具有更高维数（事实上，通常是无限维的，但这一点在这里并不是重要的）。我们记得在经典相空间中也用箭头来表示矢量――那一定是非常高维的。相空间的“维数”不代表通常的空间的方向，希尔伯特空间的“维数”也是这样。相反地，每一希尔伯特空间的维数对应于量子系统的不同的独立的物理态。图6.20希尔伯特空间中的整射线代表物理量子态。
由于|ψ＞和z|ψ＞是等效的，所以一个物理态实际上对应于希尔伯特空间中通过原点的整条直线或射线（表述成某一矢量的所有的倍数），而不是这条线上的某一特殊的矢量。 这射线包含特定态矢量|ψ＞的所有可能的倍数。（请记住，这些是复的倍数，所以直线实际上是复的线，但是现在最好不去忧虑它！）（参见图6.20）。我们将很快找到二维希尔伯特空间情形下的射线空间的精巧图画。无限维的希尔伯特空间是另一种极端情形。甚至在简单的单独粒子位置的情形下也会出现无限维的希尔伯特空间。粒子所有可能的位置都有完整的维！粒子的每个位置都在希尔伯特空间中定义一个完整的“座标轴”。这样，对应于粒子的无限不同的位置在希尔伯特空间中就有无限多不同的独立的方向（或“维数”）。动量态也可在同一希尔伯特空间中被表述。动量态可表达成位置态的组合，每一动量态对应于一个“对角线”出发的相对于位置轴倾斜的轴。所有动量态的集合提供了新的轴的集合。而从位置态轴向动量态轴的过渡牵涉到希尔伯特空间中的一个旋转。图6.21位置态和动量态在同一个希尔伯特空间中提供了正交轴的不同选取。人们甭想以精密的方式来摹想这一切。那是不合情理的！然而，从通常的欧几里德几何可以得到某些对我们非常有用的观念。特别是，我们直到现在考虑过的轴（所有的位置空间轴或所有的动量空间轴都认为是相互正交的，也就是相互夹角为“直角”。射线之间的“正交性”是量子力学中的一个重要概念：正交的射线是指相互独立的态。粒子所有可能不同的位置态都相互正交，所有可能不同的动量态也是如此。但是位置态并不和动量态垂直。这种情形已在图6.21上被非常梗概地表达出来。测 量测量（或观察）的一般规则R要求，量子系统的不同方面能被同地放大到经典水平的以及之后系统应当选取的不同状态必须永远是正交的。对于一次完整的测量，可选取的不同选择的集合组成正交基矢量的集合，表明希尔伯特空间中的每一矢量都能（唯一地）按照它们线性地表达出来。对于一个只包含单粒子的系统的位置测量，这些基矢量定义了我们刚刚考虑的位置轴。对于动量，它是定义为动量轴的不同的集合，对于不同种类完整的测量，还相应有其他的集合。测量之后，该系统的态跃迁到这些测量所决定的集合的一个轴上去――其选择只由概率来制约。没有任何动力学定律能告诉我们大自然会在已挑出的轴中选择哪一个。其选择是随机的，其概率为概率幅度的平方模。图6.22态｜Ψ＞在轴｜0＞，｜1＞，｜2＞，……上的正交投影的大小提供了所需要的幅度z0，z1，z2，……。假定我们对一个具有态｜ψ＞的系统进行了完整的测量，所选择的测量的基为：｜0＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，……。
由于它们组成了完全集，任何态矢量，特别是｜ψ＞可以按照它们而线性地①表示为：丨ψ＞=z0丨0＞+z1丨1＞+z2丨2＞+z3丨3＞+……。
在几何上，分量z0，z1，z2，……是矢量｜ψ＞的在不同的轴｜0＞，｜1＞，｜2＞……上的正交投影的大小的测度（见图6.22）。我们能将复数z0，z1，z2，……解释作所需要的概率幅度，这样它们的平方模就提供了在测量之后该系统处于相应的｜0＞，｜1＞，｜2＞， ……等态的不同概率。 然而， 这还不完全， 因为我们还未固定住不同的基矢量｜0＞，｜1＞，｜2＞，……等等的“尺度”。为此我们必须指明它们在某一种意义上是单位矢量（亦即具有单位“长度”的矢量），用数学的术语，它们组成了所谓的正交基（相互垂直的并归一化为单位矢量）6。如果｜ψ＞也被归一化成单位矢量，那么所需的相应的概率｜z0｜2，｜z1｜2，｜z2｜2……。如果｜ψ＞不是单位矢量，则这些数就分别和所需的概率幅度成比例。实际的幅度就为：
z z z 0 1 2y y y， ， ，等等并且实际概率为：
① 在更通常的量子力学描述中，将此和除以归一化因子――此处为 杂。z z z 022122222y y y， ， ，等等，这里｜ψ｜是态矢量｜ψ＞的“长度”。每一态矢量都具有正实数的“长度”（除了O具有零长度），而且如果｜ψ＞为单位矢量则｜ψ｜=1。完整测量是一种非常理想的测量。例如，一个粒子的位置的完整测量需要我们能在宇宙中的任何地方以无限精度将该粒子定位！一种更初等的测量是我们简单地问是或非的问题，譬如：“该粒子是处于某一根直线的左边或右边？”或“该粒子的动量是在某一个范围内吗？”等等。是或非的测量真正是测量的最基本类型。（例如，人们可以只用是或非测量把粒子的位置或动量收缩到任意小的范围。）假定是或非测量的结果为是。那态矢量必须在希尔伯特空间的“是”的我称之为Y的区域内。另一方面，如果测量的结果为非，那态矢量就在希尔伯特空间的“非”的我称之为N的区域内。区域Y和N是完全相互正交的，任何属于Y的态矢量必须和属于N的任何矢量正交（反之亦然）。此外，任一态矢量都能以唯一的方式表达成分别来自Y和N的两个矢量之和。用数学的语言讲Y和N是相互正交互补的。这样，｜ψ｜可唯一地表达成｜ψ＞=｜ψY＞+｜ψN＞，这里｜ψY＞属于Y，而｜ψN＞属于N。｜ψY＞称为态｜ψ＞在Y的正交投影，相应地｜ψN＞为｜ψ＞在N上的正交投影（见图6.23）。
图6.23态矢量的减缩。可以按照一对相互正交互补的子空间Y和N来描述是或非测量。测量后，态｜ψ＞跃迁到它在其中一个子空间的投影，而态矢量长度平方在投影中减少的因子给出跃迁概率。
在测量时，态｜ψ＞跃迁并成为（比例于）｜ψY＞或｜ψN＞。如果结果为是，则它跃迁到｜ψY＞；如果为非，则跃迁到｜ψN＞。如果｜ψ＞是归一化的，则发生这些的相应概率为这些投影的态的长度平方｜ψY｜2，｜ψN｜2。如果｜ψ＞不是归一化的，我们必须将这些表示式除以｜ψ｜2。（“毕达哥拉斯定理”，｜ψ｜2=｜ψY｜2+｜ψN｜2断言，这些概率之和为1，正如所预想的那样！）请注意，从｜ψ＞跃迁到｜ψY＞的概率由在投影中的长度平方的减少的比所给出。关于作用于量子系统的“测量动作”还有最后一点要弄清。不管对于任何态――譬如态｜x＞――总存在一个可在原则上进行的是或非测量7。如果被测量的态是（比例于）｜x＞，其答案则为是；如果垂直于｜x＞则为非。这样上面的区域Y可包含任何选定的态所有的倍数。这似乎隐含有很强的意义，态矢量必须是客观存在的。不管物理系统的态是什么，我们可称之为｜x＞。存在一种原则上可实行的测量，在此测量下｜x＞为唯一的（只差一个比例系数）肯定得到是的结果的态。这种测量对于某些态｜x＞也许是极其困难、甚至在实际中是“不可能”实现的。但是，根据这个理论，这样的测量在原则上能实现的事实，将会在本章后面产生某些惊人的推论。自旋和态的黎曼球面量子力学中称为“自旋”的量有时被认为所有物理量中最 “量子力学”的。这样，我们对之稍微多加注意是明智的。什么是自旋？它本质上是粒子旋转的度量。“自旋”这个术语暗示某种像板球或棒球自旋的东西。让我们回忆一下角动量的概念，正如能量和动量一样，它是守恒的（见第五章190页和266页）。只要物体不受摩擦力或其他力的干扰，它的角动量就不随时间改变。量子力学的自旋的确是如此，但是我们这里开心的是单独粒子的“自旋”，而不是大量的单独粒子围绕着它们共同质心的轨道运动（这正是板球的情形）。物理学的一个显著事实是，自然中发现的大多数粒子在这种意义下的确是在“自旋”，每种粒子都有自己固有的自旋的大小8。然而，正如下面要看到的，单独量子力学粒子的自旋有一种我们绝不能从自旋着的板球等等的经验所能预料到的某种特殊的性质。首先，对于每一特殊类型的粒子，其自旋的大小总是一样的。只有自旋的轴的方向可以（以一种我们就要讲到的非常奇怪的方式）改变。这和板球的情形形成全然的对比，板球可依出球方式的不同具有任意大小任意方向的自旋！对于电子、质子或中子，自旋大小总为 ，刚好是玻尔 h/ 2原先允许的一个原子的量子化的角动量的最小正值的一半。（我们记得这些值为 ， ， ， ，……）我们在这里需要基本单位的一半―― 0 2 3 h h h而在某种意义上， 本身是更基本的单位。只包括一些公转的粒子而 h/ 2每一个粒子都不自旋的对象不允许有这个角动量值。它只能是由自旋为粒子自身的固有的性质而引起的（也就是说，不是因为它的“部分”围绕某种中心的公转引起的）。具有自旋为 的 数倍（如 ， 或 等等）的粒子 h h h h / 2 / 2 3 / 2 5 / 2 奇称为费米子。它在量子力学描述中呈现出非常奇怪的行径：完整的360°的旋转使态矢量回到负的态矢量，而不是回归到自身！自然界的许多粒子的确是费米子。它们古怪的形式，对我们自身的存在是如此之关键――我们在后面还要讲到。余下的自旋为 的偶数倍，也就是 的整数倍（即 h h / 20 2 3 360 ， ， ， ，……）的粒子称作 。在 °的旋转下，玻 h h h 玻色子色子的态矢量回归到自身，而不是它的负矢量。
考虑一个 也就是自旋值为 的粒子。为了确定起见，假定 半自旋 h/ 2粒子为电子，但质子、中子或甚至某种原子的情形也是一样的。 （一个 “粒子”可以允许具有个别部分，只要它整个可以用量子力学处理，并具有定义得很好的角动量就可以了。）我们使电子处于静止状态，并只考虑其自旋态。现在量子态空间（希尔伯特空间）只有二维，所以我们可以采用只有两种状态的基。我把这些态标成｜↑＞和｜↓＞。其中｜↑＞表示按右手定则垂直向上的自旋，｜↓＞表示向下的自旋（图6.24）。态｜↑＞和态｜↓＞是相互正交的，我们并将它们归一化（｜↑｜2=｜↓｜2=1）。电子任何可能的自旋态都是这仅有的两个正交态｜↑＞和｜↓＞也就是向上和向下的态的线性叠加，譬如w｜↑＞+z｜↓＞。
图6.24电子自旋态的基由两种状态组成。它们可取作自旋向上和自旋向下的两种态。关于“向上”和“向下”的方向并没有什么特别之处。我们可以一样便利地选择在任何其他方向的自旋，譬如向右｜→＞和相反的向左｜←＞的态去描述。然而，（对于｜↑＞和｜↓＞的适当的复数比例的选取，我们发现｜→＞=｜↑＞+｜↓＞以及｜←＞=｜↑＞―｜↓＞。这为我们提供了新的视角：任何电子的自旋态都是两正交态｜→＞和｜←＞也就是向右的和向左的态的线性叠加。 我们可以另外选择完全任意的方向，譬如态矢量｜‰＞指定的方向。这又是｜↑＞和｜↓＞的某种复线性叠加，譬如｜‰＞=w｜↑＞+z｜↓＞，而每一个自旋态为此态和与它正交的态｜?＞（指向和｜‰＞相反9）的线性叠加。（注意，在希尔伯特空间中的“正交”的概念不需要对应于通常空间的“直角”。此处正交的希尔伯特空间矢量对应于空间的相反方向，而不是两个方向夹直角。）
什么是｜‰＞在空间中所决定的方向和两个复数w和z的几何关系呢？由于｜‰＞给出的物理态并不因为被用任何非零复数去乘它而改变，所以只有z和w的比才有意义。将这个比写作q=z/w。q只是某个复数，除了为了和w=0的情形相一致而“q=∞”，也就是当自旋方向垂直向下也是允许的以外。除了q=∞以外，我们总能用q代表复平面上的一点，正如我们在第三章所做的。我们可以想象复平面水平地处于空间中，按上面的描述实轴的方向“向右”（亦即在自旋态｜→＞的方向上）。想象一个中心在复平面原点上的单位球面，这样点l，i，-1，-i都在球面的赤道上。我们将南极上的点认为是∞，然后从该点开始投影，这样整个复平面都被映射到球面上。任何复平面上的点q都在球面上对应唯一的点q，它可由这两点必须和南极联成直线而得的（图6.25）。这一对应称之为立体角投影。它具有美丽的几何性质（亦即它保持角度并将圆映射成圆）。该投影使我们可用复数和∞一起，也就是所有可能的比q的集合，来标记球面上的每一点。以这种特殊方式标记的球面称作黎曼球面。
① 大卫?希尔伯特，我们已在前面的章节中遇到了他的名字，在量子力学发现以前很久，他在无限维的情况下，并为了完全不同的数学上的目的，引进了这个重要的概念！黎曼球面对于电子自旋态的意义在于，态｜‰＞=w｜↑＞+z｜↓＞的自旋方向和由从中心到黎曼球面上标记有q=z/w点的实际方向一致。我们注意到，北极对应于态｜↑＞，它是z=0，也就是标记作q=0，而南极为｜↑＞，标记作w=0亦即q=∞。最右的点标记着q=1，它提供｜→＞=｜↑＞+｜↓＞，而最左的点q=-1提供了｜←＞=｜↑＞-｜↓＞。绕过球面最远的点标作q=i，相应于态｜↑＞+i｜↓＞，其自旋的方向直接离开我们，而最近的点为q=-i，对应于｜↑＞-i｜↓＞，其自旋直接指向我们。而一般的标记为q的点对应于｜↑＞+q｜↓＞。
图6.25此处用黎曼球面来表示自旋为1/2的粒子的物理上不同的自旋态。球面从它的南极（∞）被立体地投影到通过其赤道的复平面上去。所有这一切和人们要进行的电子自旋的测量有什么关系呢10？在空间选取某一个方向；我们称为α。如果我们在此方向测量电子自旋，答案为是表明电子（现在）的确以右手定则在α方向自旋，而非表明自旋的方向和α相反。假定答案为是；那么我们将此结果的态标记为｜α＞。如果我们简单地重复此测量，利用和前面完全同样的方向α，则我们的答案应该又是百分之百的概率为是。但是如果在第二次测量时我们改变方向，改到一个新的β方向，则会发现答案为是的跃迁到态｜β＞上去的概率小了。还有答案为非的跃迁到和β相反方向的态上去的概率。如何计算此概率呢？答案是在上节结尾处的方案中。第二次测量为是的概率为12(1+ cos ) θ ，这里θ是两个方向α，β之间的夹角11。相应地，第二次测量为非的概率为12（ θ）。 1 -cos我们从这里能看到，如果第二次测量是在与第一次夹角直角的情况，则两种结果的概率都为百分之五十（cos90°=0）：第二次测量的结果完全是随机的！如果两次测量的夹角为锐角，则答案为是的可能性比非要更多。如果为钝角。则非的可能性更多。在β和α相反的极端情形下，答案为是的概率为0，而为非的概率为百分之百；也就是说，第二次测量的结果一定是和第一次相反。（参见费因曼等1965关于自旋的更详尽的讨论。）黎曼球面实际上对于任何双态的量子系统，在描述一系列可能的量子态（准确到一个比例系数）时起着基本的（但是未被广泛认识到的）作用。对于半自旋的粒子，它的几何作用特别明显，因为球面上的点对应于自旋轴的可能的空间方向。在其他很多情形，难以看到黎曼球面的作用。考虑刚刚通过双缝隙，或从半镀银镜子反射回来的光子。光子态为某个描述两个完全不同位置的双态｜ψt＞和｜ψb＞的诸如｜ψt＞+｜ψb＞，｜ψt＞-｜ψb＞或｜ψt＞+i｜ψb＞等等的线性组合。黎曼球面仍然描述物理上一系列不同的可能性，但现在仅仅是抽象地。态｜ψt＞由北极（“顶”），｜ψb＞由南极（“底”）分别代表。而｜ψt＞+｜ψb＞，｜ψt＞-｜ψb＞以及｜ψt＞+i｜ψb＞由赤道上的不同的点代表。一般地，w｜ψt＞+z｜ψb＞为点q=z/w所代表。 在很多情况下， 正像这个例子， “黎曼球面可能的价值”相当隐蔽，和空间几何没有清楚的关系。客观性和量子态的可测量性尽管我们在正常的情况下只能为实验的结果提供概率的这个事实，关于量子力学的态似乎有某些客观的东西。人们经常断言，态矢量只为了方便描述“我们已知”的物理系统――或者，态矢量也许实际上并不描述一个单独的系统，而仅仅是提供大量制备好的类似系统在“系综”方面的概率信息。在关于量子力学告诉我们物理世界的实在性方面，我觉得这种意见过分胆怯。
有关态矢量的“物理实在性”的一些谨慎或怀疑，是由于按照该理论，物理上可测量的东西严格地受到限制这个事实引起的。让我们考虑上述的电子自旋态。假定自旋态刚好是｜α＞，但是我们不知道这些，也就是说我们不知道电子自旋的方向α。我们能否用测量来决定此方向呢？不，我们不能。我们最多能做的只是提取“部分”信息――就是简单的是或非问题的答案。我们可以选取空间中的某个方向β并在该方向上测量电子自旋。我们得到的答案非是即非，但在此之后，我们就丧失了关于原先自旋方向的信息。答案为是的话，我们知道现在这个态和｜β＞成比例；答案为非的话，则现在的态在和β相反的方向上。没有任何一种情形告诉我们测量之前态的方向α，它仅仅是给出了关于α的某种概率的信息。另一方面，似乎有某种完全客观的关于方向α的东西，电子在测量之前“刚好沿着这个方向自旋”①。由于我们也许选定了在方向α上测量电子的自旋――而电子必须肯定地给出的答案，如果我们刚好猜中了的话！
无论如何，电子的自旋态中贮藏着电子实际上必须给出的这个答案的“信息”。我似乎觉得，在按照量子力学来讨论物理实在的问题时，我们应该将什么是“客观的”和什么是“可测量的”区别开来。在对一个系统进行实验时，不能准确地（除了比例系数外）断定它处于何态，也就是说系统的态矢量的确是不可测量的。但是，态矢量似乎的确 （又是除了比例系数外）是系统的完全客观的性质，它为人们可能进行的实验的结果所完全表征。
在诸如电子的半自旋的单独粒子的情形，因为它仅仅断言存在电子自旋被精确定义的某方向，即便也许我们不知道这个方向，这种客观性也不是不合理的。（然而，以后我们会看到，对于更复杂的系统，这个“客观的”
图像会变得更奇怪得多――甚至对于仅仅包含一对半自旋粒子的系统而言也是如此。）但是，在电子自旋被测量之前它必须有一个物理上定义的态吗？在许多情形下，它没有必要。因为它自身不能被认为是一个量子系统，物理态① 这里必须在允许矢量的无限求和的意义下才行。希尔伯特空间牵涉到了有关这种无限求和的规则（由于这些过于技术性了，所以我不详细论及）。一般地必须认为是一个和其他大量粒子纠缠在一起的电子的描述。然而在特殊情形下，可以考虑电子本身（至少就其自旋而言）。按照标准的量子理论，在这种情况下，譬如它的自旋的方向预先（也许未知的时刻）被测量过之后的一段时间内没受到干扰，那么电子就具有完全客观的定义好的自旋方向。复制量子态电子自旋态的客观性以及不可测量性阐释了另一个重要事实：不能在使原先的态不被触动的情形下将其复制。因为假定我们能对一个电子的自旋态｜α＞进行复制。若能复制一遍，则能两遍多遍地复制。结果的系统会在一个定义得非常好的方向上具有大的角动量。可由宏观测量把这个方向｜α＞确定下来。这就违反了自旋态｜α＞的基本的不可测量性。
然而，如果我们准备去破坏原先的态，则复制便成为可能。例如，我们有一处于未知的自旋态｜α＞的电子和另一处于另一个自旋态｜γ＞的中子。将它们交换使中子自旋态为｜α＞而电子态为｜γ＞是完全合法的。我们所不能做的是复制｜α＞，（除非我们预先知道｜α＞实际上为何态）！（还可参阅伍特斯和朱列克1982。）
我们记得在第一章（29页）讨论过“远距运送机器”。这机器，原则上依赖于在遥远的行星上有可能拼装出一个人的身体大脑的复制本。一个人的“所知所闻”可以依赖于一个量子态的某些方面，这是一个令人感兴趣的猜想。若果真如此，则量子力学禁止我们去复制“所知所闻”而不破坏原先的态。远距离搬运的“矛盾”可望以这种方式得到解决。量子效应和大脑功能的可能关联将在最后两章考虑。光子自旋让我们在下面考虑光子的“自旋”以及它和黎曼球面的关系。光子具有自旋，但是因为它们总是以光速运动，人们不能将自旋认为是围绕于一个固定点；相反地自旋轴总在运动的方向。光子自旋称之为极化，这就是“偏振片”太阳镜的行为所根据的现象。把两偏振片重叠在一起并透视之。
