一般地讲，你会发现有一定量的光透过去。现在使其中一片不动而旋转另一片，通过的光量会发生变化。在一个方向上，穿透的光达到最大，第二偏振片实际上并没减少穿透的光量；在与此垂直的方向上，第二偏振片可使通过的光量减少到零。按照光的波动图像最容易理解所发生的现象。在这里我们需要用马克斯韦的光波的振动电磁场描述。图6.26画出了平面偏振的光。电场在一个称为极化面的平面上上下振动。而磁场在一个垂直于电场振动的平面上振动，电磁场相互共振。每一偏振片让极化面和偏振片结构相平行的光通过。当第二个偏振片的结构和第一个指向一致时，所有通过第一偏振片的光就会通过第二偏振片。但是，当它们结构的方向相互垂直时，第二偏振片就将通过第一偏振片的光全部阻拦住。如果两个偏振片的指向夹角为j时，则第二偏振片让cos2j部分的光通过。图6.26平面偏振的电磁波。
在粒子表像中，我们应该把每一单独光子认为是具有偏振的。第一偏振片的行为像一个偏振度测量器。如果光子的确在一个合适的方向偏振，它就给出是的答案，并让光子通过。如果光子在与此相垂直的方向偏振，则答案为非，光子就被吸收。（注意在希尔伯特空间中的“正交”并不对应于通常空间中的“夹直角”！）假定光子通过了第一偏振片，则第二偏振片就会问相应的问题，但是对于某个其他的方向。如果两个方向的夹角为j， 我们现在就有cosj2作为已经通过第一偏振片的光子通过第二偏振片的概率。黎曼球面和这些有何相干呢？为了得到偏振态的全部复数系列，我们必须考虑圆的和椭圆的偏振。图6.27画出了经典波动的情形。圆偏振时电场旋转，而不是振荡。磁场仍然和电场成直角并同步地旋转。椭圆偏振可看成旋转和振动的结合，而描写电场的矢量在空间划出一个椭圆。在量子描述中，每一单独光子允许这些不同极化的方式――光子自旋的态。
如何在黎曼球面上将所有这些可能性表示出来呢？想象一个垂直向上运动的光子。现在北极代表右手自旋的态｜R＞，这表明当光子通过时电场矢量以反时钟方向绕着垂直的轴旋转（从上面看）。而南极代表左手自旋的态｜L＞。 （我们可以把光子想象成像来福枪子弹一样自旋，或是右旋或是左旋。一般的自旋态｜R＞+q｜L＞是这两种态的复线性组合，它对应于黎曼球面上标出的一点。为了求出q和偏振椭圆的关系，我们首先取q的平方根 p：p = q。
然后在黎曼球面标出p而不是q。考虑通过球面中心的一个平面，该平面垂直于连接标上p的点和球心的直线。此平面和球面的交线为一圆周。我们将此圆周垂直投影就得了偏振椭圆（图6.28） 。q的黎曼球面仍然描述了光子偏振态的总体，但是q的平方根为之提供了空间实现。图6.27圆偏振电磁波。 （椭圆偏振是介于图6.26和图6.27之间的中间情况。）图 黎曼球面（现在是 的）也描述了一个光子的偏振态（指向 6.28 qq的矢量称为 。） 斯托克斯矢量我们可同样地将用于电子的同一个公式1/2（1+cosθ）用于计算概率，只要我们把它应用于q而不是p。考虑一平面偏振我们首先在一个方向上，然后在另一和它夹j角的方向上测量光子的偏振。这两个方向对应于球面赤道上从中心看张角为的两个p值。因为p为q的平方根，所以q点在中心的张角为p点张角的两倍：θ=2j。这样，在第一测量结果为是后第二测量结果亦为是（亦就是通过第一偏振片的光子再通过第二偏振片）的概率为1/2（1+cos2）这正是前面断言的cos2j…（可用简单的三角验证之）。乱这些描述。该因子是当我们要求｜→＞和｜←＞归一化时所引起的。大自旋物体对于具有多于两个基本态的量子系统，在物理上可区别的态的空间比黎曼球面更复杂。然而在自旋的情况，黎曼球面本身总是起着直接的几何作用。考虑以下 自旋为 × 的粒子或原子，让它处于静止。 有质量的 n / 2 h这样自旋就定义了一个n+1态的量子系统。（对于一个无质量的，也就是以光速运动的自旋的粒子，譬如光子，正如上面所描述的，自旋总是一个两态系统。但是对于有质量的粒子，态的数目随着自旋而增加。）如果我们选择在某一个方向测量该自旋，会发现共有n+1不同的可能的结果，此结果依自旋相对于该方向的指向而定。按照基本的单位h/2，在那个方向自旋的可能结果为n，n-2，n-4，…，2-n或-n。这样n=2时其值为2，0或-2；n=3时其值为3，1，-1或-3；等等。负值对应于自旋主要指向和所测量的方向相反的方向。在半自旋的情形，亦即n=1时，上述的值1对应于是，而值-1对应于非。
由于我不想企图在这里解释的原因，人们发现（马约拉纳1932，彭罗斯 ）对于 的自旋 （准确到一个比例系数）可唯 1987a n / 2 h 每一个自旋态一地由黎曼球面上的 （无序的） n 点的集合， 也就是从中心出发的n个 （通常不同的）方向表征（见图6.29）。这些方向由可能对此系统进行的测量所表征：如果我们在它们中的任一个方向测量自旋，则结果一定不会全在相反方向上，也就是给出值n，n-2，n-4，…2-n，但不会有-n。）在譬如上述电子的n=1的特殊情形下，这就是在上面描述中标以q的黎曼球面上的一点。但是对于大数值的自旋，正如我刚才描述的，图像变得更为精巧――虽然，由于某种原因，物理学家对此并不特别熟悉。
在这些描述中有些相当令人吃惊和困惑的东西。人们经常相信，当系统变得更大更复杂时，在某种适当的极限的意义上，原子（或基本粒子或分子）的量子描述就会过渡到经典的牛顿描述。然而，在实际情况中，这肯定是不对的。正如我们已经看到的，具有大角动量的客体的自旋态对应于大量的杂乱地撒开在黎曼球面上的点①。 我们可以把物体的自旋认为是由一大堆大小为一半的，方向由这些点决定的自旋所组成。这些结合态中只有很少情形，其大部分点集中在球面上的一个小区域中（亦即大部分半自旋近似地指向同一个方向）――这些才对应于人们通常在譬如板球等等经典物体处遇到的角动量的实际的态。我们也许会预料到，如果我们选择一个总角动量为某个非常大的数（按照单位 ）， h/ 2是处于“紊乱”的自旋态，那么某种类似于经典自旋的东西就会开始出现。
但是情况根本不是这样，一般地讲，具有大的总自旋的量子自旋态和经典① 这个客观性是我们认真采用标准量子力学形式的一个特征。在一种非标准的观点中，系统也许事先已 “知道”它将提供给任何测量的结果。还会带给我们物理实在的一种不同的显然客观的图像。态毫不相像！
图6.29对于一颗有质量的粒子， 一般的高自旋态可用指向任意方向的半自旋态的集体来描述。那么经典物理中的角动量的对应物是如何构成的呢？大多数大自旋量子态实际上不和经典的东西相类似，它们是每一个都类似于经典的（正交的）态的线性叠加。对此系统进行“测量”时，其状态（以某种概率） “跃迁”到这一个或那一个类经典的态上去。这种情形和系统的任何其他经典地可测量的性质相类似，而不仅仅是角动量。正是量子力学这个方面在一旦系统“到达经典水平”时即起作用。在后面我还要仔细讨论这些，但在讨论这么“大”或这么“复杂”的量子系统之前，我们必须对量子力学如何实际处理包含多于一个粒子的系统的古怪方式有些了解。多粒子系统很不幸，多粒子状态的量子力学描述是相当复杂的。事实上，它们会变得极其复杂。人们必须按照所有粒子各自所有可能的不同位置的叠加来思考！这导致可能状态的极庞大的空间――比在经典理论中的一个场大得多了。我们已经知道，甚至在单粒子的量子态，也即一个波函数即有一整个经典场的复杂性。这个图像（需要无限个参数才能指明）已经比粒子的经典图像（这里只需几个参数就能指明其状态――如果没有内部自由度，譬如自旋的话，实际上是六个，参阅第五章202页）复杂得很多。这似乎很糟糕。人们也许以为，必须用两个场来描述两个粒子的量子态。根本不是这回事！两个或更多粒子的状态的描述，正如我们将看到的，要比这个更精巧得多！
一个单独的（无自旋的）粒子的量子态由粒子所能占领的每一可能位置上的一个复数（幅度）所定义。粒子在点A有一幅度，在点B有一幅度，在点C有一幅度等等。现在考虑两个粒子。譬如，第一个粒子可能呆在A，而第二个粒子呆在B这种可能性必须有一幅度。另外，第一个粒子可呆在B，而第二个粒子呆在A，这也需要一幅度；或第一个粒子呆在B，而第二个粒子呆在C； 或者也许两个粒子都在A。 每一种可能都有一个幅度。 这样，波函数不仅仅是位置的一对函数（也就是一对场）；它必须是两个位置的一个函数！为了估计一个双位置的函数比二个单位置的函数复杂多少，我们可想象一种情景，只存在有限数目的允许位置的集合。假定只有十个允许的由（正交）态给定的位置｜0＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，｜4＞，｜5＞，｜6＞，｜7＞，｜8＞，｜9＞。
粒子态｜ψ＞为某种组合｜ψ＞=z0丨0＞+z1丨1＞+z2丨2＞+z3丨3＞+……+z99＞，此处不同分量z0，z1，z2，…z9分别顺序提供了粒子在每一点处的幅度。十个复数指定了粒子的状态。对于双粒子状态，我们对每一对位置都需要一个幅度。共有102=100不同的（有序）位置对，所以我们需要一百个复数！如果我们只有两个单粒子态（亦即“位置的两个函数”而不是上面的“一个双位置的函数”），则我们只需要二十个复数。
我们可以把这一百个数标为z00,z01,z02,…,z09,z10,z11,z12,…z20…z99,以及把相应的（正交）基矢量标为12｜0＞｜0＞，｜0＞｜1＞，｜0＞｜2＞，…，｜0＞｜9＞，｜1＞｜0＞，…，｜9＞｜9＞。则一般的双粒子态｜ψ＞可写成|ψ＞=z00|0＞|0＞+z01|0＞|1＞+…+z99|9＞9＞。此处态的“乘积”记号具有如下意义：如果｜α＞是第一个粒子可能的态（不必是位置态），而｜β＞为第二个粒子的可能的态，则断言第一个粒子的态为｜α＞以及第二个态为｜β＞的态可写作｜α＞｜β＞。可对任何其他的量子态而不必仅仅是单粒子态取“乘积”。这样，我们总是将乘积态｜α＞｜β＞（不必为单粒子的态）解释作描述以下事件的同时发生：
“第一系统处于态｜α＞而且第二系统处于态｜β＞”。
（可对｜α＞｜β＞｜γ＞等等进行类似的解释；见下面。）然而，一般双粒子态实际上并不具备这种“乘积”的形式。例如，它可以为｜α＞｜β＞+｜ρ＞｜σ＞，此处｜ρ＞为第一系统的另一个可能的态，而｜σ＞是第二系统的另一个可能的态。此状态是一线性叠加；也就是第一个（｜α＞以及｜β＞）的同时发生加上第二个（｜ρ＞以及｜σ＞）的同时发生，而它不能被重写成一个简单的乘积（亦即作为两个态的同时发生）。作为另一例子，态｜α＞｜β＞-i｜ρ＞｜σ＞描述另一个不同的线性叠加。注意量子力学需要很清楚地区别“以及”和“加”这两个词。在现在语言中――譬如在保险小册子中――非常不幸地将“加”在“以及”的意义上使用。这里我们要加倍小心！
三个粒子的情形非常类似。在上述的只有十个可选择的位置的情况下，为了指明一般的三粒子状态，我们现在需要一千个复数！三粒子态的完备基是｜0＞｜0＞｜0＞，｜0＞｜0＞｜1＞，｜0＞｜0＞｜2＞，…，｜9＞｜9＞｜9＞。
特殊的三粒子态具有如下形式｜α＞｜β＞｜γ＞（这里｜α＞，｜β＞和｜γ＞不必为位置态），但是对于一般的三粒子态人们必须将许多这种简单的“乘积”叠加起来。对于四个或更多粒子的相应的模式则不必多赘。
迄今为止我们只是讨论可辨别的粒子。这里我们将“第一个粒子”，“第二个粒子”和“第三个粒子”等等都当作不同种类的。然而，量子力学的一个显著特点是，等同粒子的规则与上面不同。其规则事实上是，在很清楚的意义上，特别种类的粒子必须完全等同，而不仅仅是极端接近于等同。但是，所有电子之间相互等同的方式和所有光子的方式不同。粒子的这两种一般种类必须以相互不同的方式处理。为了不使读者在完全被用词不当所混淆之前，让我首先解释费米态和玻色态实际上是如何表征的。其规则如下。如果｜ψ＞是牵涉到某一特别种类的一些费米子，那么如果两个费米子相互交换，则｜ψ＞必须作如下的变化｜ψ＞―→－｜ψ＞。如果｜ψ＞牵涉到某一特别种类的一些玻色子，则其中任何两个玻色子交换时，｜ψ＞必须作如下变化｜ψ＞―→－｜ψ＞。
它的一个含义是两个费米子不能处于同一态中。因为如果这样的话，把它们交换就根本不影响其总的态， 我们就必须有-｜ψ＞=｜ψ＞， 也就是｜ψ＞=零，对于量子态来说这是不允许的。这个性质称之为泡利不相容原理 13，它对物体的结构具有基本的含义。物体的主要成份的确是费米子：电子、质子和中子。若没有不相容原理，物体就会向自身坍缩！
我们来重新考虑十个位置的情形。我们假定有一个含有两个等同费米子的态。态｜0＞｜0＞被泡利原理所排除（在第一个因子和第二个因子交换时它保持不变并没有反号）。而且，｜0＞｜1＞就这样子也是不行的，由于在交换时没有变成它的反号；但是这很容易由下式予以补救｜0＞｜1＞-｜1＞｜0＞（如果需要的话，为了归一化，可以加上一个总的因子 。）此态在 1/ 2粒子相互交换时正确地变号。但现在｜0＞｜1＞和｜1＞｜0＞不再分别为独立的态。我们现在只许用一个态来取代这两个态。总之，共有12（ × ） 10 9 = 45这类的态，每一个态是从不同的｜0＞，｜1＞，…，｜9＞态的无序对而来。这样，需要45个复数才能指明我们系统的态。对于三个费米子，人们需要三个不同的位置，而基本的态看起来像下面的样子｜0＞｜1＞｜2＞+｜1＞｜2＞｜0＞+｜2＞｜0＞｜1＞-｜0＞｜2＞｜1＞-｜2＞｜1＞｜0＞-｜1＞｜0＞｜2＞，总共有 （10×9×8） /6=120态，这样需要用120个复数去指明三费米子态。
更多费米子的情形是类似的。
对于一对等同的玻色子，独立的基本态共有两类，即像｜0＞｜1＞+｜1＞｜0＞的态和像｜0＞｜0＞的态（现在这是允许的），共有（10×11）/2=55态。这样我们的双玻色子态需要55个复数。对于三玻色子共有三种类型的基本的态，共需要（10×11×12）/6=220个复数，等等。
当然，为了表达主要的观念，我在这里考虑简单化的情形。更现实的描述则需要位置态的整个连续统，但其基本思想是一样的。另一微小的复杂性是自旋的参与。一个半自旋的粒子（必须为费米子）在每一个位置都有二个可能的态。我们可以把它们标作“↑”（自旋“向上”）和“↓”
（自旋“向下”）。在我们简化的情况下，对于每一个粒子共有二十个而不是十个基本的态｜0↑＞，｜0↓＞，｜1↑＞，｜1↓＞，｜2↑＞，｜2↓＞，…，｜9↑＞，｜9↓＞，但是除此以外，所有讨论都和以前一样地进行（这样，对于两个这样子的费米子人们需要（20×19）/2=190个数；对于三个则需要（20×19×18）/6=1140个数，等等。）
我在第一章提到了这样的一个事实，根据现代理论，如果一个人的身体中的一个粒子和他的屋子的砖头中的一个粒子相交换，则根本不会有什么事会发生。如果那一个粒子为玻色子，正如我们看到的，态｜ψ＞的确完全不受影响。如果该粒子为一个费米子，则态｜ψ＞将由-｜ψ＞所替换，在物理上它和｜ψ＞是等同的。（如果我们感到有必要，可以修补这一符号改变，在交换之时简单地将粒子旋转360°就可以了。我们记得在进行360°旋转时， 玻色子不受影响而费米子变号！ 现代理论 （大约在1926年左右）的确告诉我们有关物理物质的个别本体的问题的某些基础的东西。严格地讲，人们不能提到“这个特别的电子”或“那个单独光子”。断言“第一电子在这里而第二电子在那里”是声称态具有｜0＞|1＞的形式。正如我们已经看到的，这对于费米子态是不允许的！然而，我们可以讲“存在一对电子，一个在这里，另一个在那里。”可以合法地说所有电子或所有质子或所有光子的集团（虽然在这里不管不同种类的粒子之间的相互作用。许多单独电子为这个总图像提供一个近似，正如许多单独的质子或光子那样。这个近似在大多数目的下相当有效，但在其他一些情形下失效，超导、超流和激光的行为是众所周知的反例。
量子力学呈现的物理世界根本不是我们在经典物理中习惯了的图像。
请赶紧抓牢你的帽子――量子世界中还有更为怪异的现象！爱因斯坦――玻多尔斯基――罗逊“矛盾”
正如在本章开头提到的，阿尔伯特?爱因斯坦的观念，对于量子理论的发现是相当根本的。我们记得早在1905年，正是他曾先提出了“光子”的概念――电磁场的量子，由此发展了波――粒二象性的观念。（“玻色子”的概念，正如许多其他的思想也是一部分属于他的，这在理论中占有中心地位。）然而，爱因斯坦从未接受后来从这些思想发展而来的这一个理论，他认为这理论只不过是物理世界的临时性描述。他对于这一个理论的概率方面的厌恶是众所周知的，这集中表现在他在1926年致马克斯?玻恩的回信之中（引用于派斯1982，443页）：量子力学是令人印象深刻的。但是一个来自内部的声音告诉我，它还不是事物的真谛所在。该理论虽然富于成果，但是却几乎没有在接近骰子。
然而，比这物理学的非决定论性更甚的、也是最困扰爱因斯坦的是，量子力学的描述方式明显地缺乏容观性。我在解释量子理论时竭尽全力地强调，该理论所做的世界描述，虽然经常是非常古怪和反直观的，却是真正客观的。相反地，玻尔似乎认定（在测量之间）系统的量子态并没有物理的真正的实在，只不过是关于该系统的“某人知识”的总结而已。难道不同的观察者会有关于同一个系统的不同知识，这样波函数变成某种根本上主观的――或“完全在物理学家头脑中的”某种东西？许多世纪以来我们发展的美妙无比而精确的物理图像不应该完全消失掉；所以玻尔在经典水平上认为世界确实具有客观的实体。而似乎作为它这一切的基础的量子水平态却不具有“实在性”。爱因斯坦完全拒绝这样的图像，他相信甚至在量子力学的微小尺度下，必须存在一个客观的物理世界。在他和玻尔之间的长期论战中，他企图（但没有成功）指出在事物的量子图像中的固有的矛盾，在量子理论之下还必须有另一个更深的结构，或许这一个结构和经典物理呈现给我们的图像更相似。也许一种我们没有直接知识的、系统的、更小的基元或“部分”的统计作用，是量子系统的概率行为的基本原因。爱因斯坦的追随者，尤其是大卫?玻姆，发展出一种“隐变量”的观点。按照这种观点，的确有某种确定的存在，但是我们不能直接得到精确定义一个系统的参量，由于在测量之前不知道这些参数值，所以产生了量子的概率。
这种隐变量理论能与量子物理所观察到的所有事实相一致吗？只要隐参数能瞬息地影响任意远的区域，也就是理论本质上是非定域的，则答案似乎是肯定的！那也不会使爱因斯坦高兴，特别是由于它引起了和狭义相对论冲突的困难。我在以后再考虑这些。最成功的隐变量理论称为德布罗依――玻姆模型（德布罗依1956，玻姆1952）。由于本章的目的是对标准的量子理论，而不是对不同的竞争设想的总括，所以我不在这里讨论这些模型。如果人们需要物理的客观性，但又准备免除决定性，则标准理论本身就已足够了。人们简单地以为态矢量提供了“实在”――它通常按照平滑的决定性的步骤U演化，但是只要有效应将其放大到经典水平，它就要按照R作古怪的跃迁。然而，非定域性和相对论的明显困难依然存在。让我们浏览一下这些问题。假定我们有一个包含两个子系统A和B的物理系统。例如，A和B可以是两个不同的粒子。假定A的状态有两个（正交的）选择｜α＞和｜ρ＞，而状态B可为｜β＞和｜σ＞。正如上面看到的，一般的结合态不是简单地为A的一个态和B的一个态的积（“并且”），而是这种乘积的叠加（“加”）。（我们说A和B是相关的。）让我们假定此系统的态为｜α＞｜β＞+｜ρ＞｜σ＞。现在对A进行一个是或非的测量，将｜α＞（是）从｜ρ＞（非）中辨别出来。B发生了什么呢？如果测量的结果为是，那结果的态应为｜α＞｜β＞，而如果结果为非，则结果的态是｜ρ＞｜σ＞。
这样我们测量A会引起状态B的跃迁：在答案为是时它跃迁到｜β＞，而在答案为非时跃迁到｜σ＞！粒子B根本没必要处在靠近A的任何地方；它们可以相距一光年那么远。然而，B的跃迁和A的测量是同时发生的！
但是，且慢！――读者会说。这些被断定为“跃迁”的究竟是怎么回事？为何事情不像下面所描述的那样呢？想象一个盒子并事先知道里面装有一个黑球一个白球。假定取出这些球，把它们放在屋子的两个相反的角落里，并且没有一个球被看到。然后审视其中一个球并发现是白的（正如上述的｜α＞）――嘿，奇怪！另一球变成黑的（如同｜β＞）！如果发现第一球是黑的（｜ρ＞），则一眨眼间第二球的不确定态就跃迁到“肯定是白的状态”（｜σ＞）。读者会坚持道，没人在他或她头脑中会把第二球从“非确定的”状态到“肯定是黑的”或“肯定是白的”的突变归结为某种神秘的非定域性的从考察第一球的时刻瞬息间传来的“影响”。
但是，自然界实际上比这更不寻常得多。在上述实验中，我们的确可以想象在测量A之前系统已经“知道”，譬如讲B的状态为｜β＞而A的状态为｜α＞（或B是｜σ＞而A是｜ρ＞）；只不过实验者不知道而已。
在发现A是｜α＞后，他简单地推断 B应处于｜β＞。这是一种 “经典的”
观点――正如在定域的隐变量理论中一样――在实际上并没有发生物理的“跃迁” （所有都是在实验者的头脑中进行的！）根据这样的一种观点，系统的每一部分在事先“知道”任何要对之进行的结果。概率的出现只是由于实验者缺乏知识而已。值得注意的是，不能用这样的观点来解释量子力学中出现的令人困惑的、显然是非定域的概率！为了展示这一点，让我们考虑一个和上面相像的情形，但是只有在A和B分隔得很开以后才决定对系统A测量的选择。 似乎B的行为瞬息地受这个选择的影响！ 正是阿尔伯特? 爱因斯坦、 玻里斯? 玻多尔斯基和奈坦?罗逊（1935）提出了这类似是而非的“EPR”型的“理想实验”。我将沿用大卫?玻姆（1951）提出的一个变种。从约翰? S?贝尔的一个杰出的定理 （参阅贝尔1987，劳依1986，斯魁尔斯1986）可以得到这样的推论，任何定域的“现实的”（例如隐变量，或“经典型的”）描述都不能给出正确的量子概率。假定由一个在某一中心点自旋为零的粒子衰变产生两个半自旋的粒子――我将其称为电子和正电子（也即反电子），它们沿着相反方向做直线运动（图6.30）。由于角动量守桓，电子和正电子的加起来的总自旋必须为零，这是因为原先中心粒子的角动量为零。这个实验的含义是，当我们在某一个方向测量电子的自旋，无论我们选择什么方向，正电子都在相反的方向上自旋！这两个粒子可以相隔几英里甚至一光年那么远。然而对一个粒子的测量的选择似乎瞬息地固定了另一个粒子的自旋轴。
让我们看看量子的形式是如何地导致这一个结论的。 我们用态矢量｜Q＞来表达联合的双粒子的零角动量态，并发现下式成立｜Q＞=｜E↑＞｜P↓＞-｜E↓＞｜P↑＞，这里E是电子而P是正电子。这里的情形是按照自旋向上或向下的方向来描述的。我们发现，整个态应是自旋向上的电子和自旋向下的正电子以及自旋向下的电子和自旋向上的正电子的态的线性叠加。这样，如果我们在自旋向上或向下态的方向测量电子时，若发现电子自旋确实向上，则我们必须跃迁到态｜E↑＞｜P↓＞，这样正电子的自旋态必须向下。另一方面，如果我们发现电子自旋向下，则态跃迁到｜E↓＞｜P↑＞，这时正电子自旋向上。图6.30自旋为0的粒子衰变成两个自旋为1/2的粒子，一个电子E和一个正电子P。测量其中的一个自旋为1/2的粒子的自旋，显然瞬息地决定了另一个粒子的自旋态。
假定我们现在选择其他的一对相反的方向，譬如向右的和向左的，而｜E→＞=｜E↑＞｜E↓＞，｜P→＞=｜P↑＞+｜P↓＞并且｜E←＞=｜E↑＞-｜E↓＞，｜P←＞=｜P↑＞-｜P↓＞；则我们发现（如果你愿意的话，可用代数检查一下！）｜E→＞｜p←＞-｜E←＞｜P→＞=（｜E↑＞+｜E↓＞） （｜P↑-｜P↓＞）- （｜E↑＞-｜E↓＞） （｜P↑+｜P↓＞）
=｜E+↑＞｜P↑＞+｜E↓＞｜P↑＞-｜E↑＞｜P↓＞-｜E↓＞｜P↓＞-｜E↑＞｜P↑＞+｜E↓＞｜P↑＞-｜E↑＞｜P↓＞+｜E↓＞｜P↓＞=-2（｜E↑＞｜P↓＞-｜E↓＞｜P↑＞）=-2｜Q＞。
它（除了一个不重要的因子-2以外）和我们开始的态一致。这样，我们原先的态可同样合格地被认为是自旋向左的电子和自旋向右的正电子以及自旋向右的电子和自旋向左的正电子的态的线性叠加！如果我们要在向左或向右的方向上而不是向上或向下的方向上测量电子的自旋，这一个表达式就十分有用。如果我们发现电子的自旋向右，则态跃迁到｜E→＞｜P←＞，这样正电子的自旋就向左。另一方面，如果我们发现电子自旋向左，则态跃迁到｜E←＞｜P→＞。这样正电子自旋就向右。假定我们在任何其他方向上测量电子的自旋，其情景完全是相对应的：正电子的自旋态会立即跃迁到同一方向或者相反的方向上去，这要依赖于对电子测量的结果。
为何我们不能用一种类似的方法，以上述的从一个盒子中取出黑球和白球的例子，来作为我们电子和正电子的自旋的模型呢？让我们考虑一般的情形。我们现在不用黑球和白球，而用原先合在一起然后向两个相反方向运动的两台仪器E和P。假定不管E还是P都能对在任何方向进行的自旋测量作是或非的响应。对于选择任何的方向，其响应可以被仪器完全决定，或许仪器只产生概率的响应，其概率由该仪器所决定。但是，我们假定在分开之后，不管是 E还是 P都是完全相互独立地行为。
我们在每一边都有一台自旋测量仪，一台测量E的自旋，另一台测量P的自旋。假定在每台测量仪上都有自旋的三个方向的刻度，譬如E测量仪上的A、B、C和P测量仪上的A′、B′、C′。方向A′、B′、C′分别和A、B和C相平行。我们取A、B和C在平面上的相互夹角为120°（见图6.31）。现在想象在每一边的不同的刻度将该实验重复多遍。有时E测量仪会记录上是（也就是自旋是在测量的方向A、B或C上），还有时候会记录非（自旋在相反方向）。类似地，P测量仪有时会记录是，有时会记录非。我们注意到实际量子概率必须具备两个性质：(1)如果两边的刻度是同样的（亦即A和A′等等），那么两个测量所产生的结果总是不同意（亦即，只要P测量仪记录非时，E测量仪就记录是，而且只要P给出是时E就为非。）
(2)如果将刻度盘随机地旋转并放置，两者完全相互独立，则两个测量仪同意或不同意的情况是等概率的。图6.31 EPR矛盾和贝尔定理的大卫?墨明简化形式，显示出在现实的定域的自然观点和量子理论的结果之间存在矛盾。E测量仪和P测量仪各自独立地具有测量它们各自粒子的自旋的三个方向刻度。
我们容易看出，性质(1)和(2)是直接从我们早先的量子概率规则来的。我们可以假定E测量仪先动作。然后P测量仪发现粒子的自旋态，和E测量仪测量的结果相反。这样立即得到了性质(1)。为了得到性质(2)，我们注意到，对于测量方向之间差120°的情形，如果E测量仪给出是，则P方向是和它所作用的自旋态夹角为60°；如果E给出非，则它和这自旋态夹角为 °。这样测量同意的概率为 （ °），不同 120 =21+ cos60341意的概率为 （ °）。所以，对于三个 刻度，如果 14=121+ cos120 P E给出 ， 也给出是的概率为 ，而 给出 的概率为 是 非 P (0 +34+34) =12P13131141412( ) + + = ，不同意是等概率的。类似地，如果 给出 ，情况也 E 非一样。这样的确就是性质(2)。（见308页）非常令人吃惊的是，性质(1)和(2)和任何定域的现实模型（亦即和所有能摹想到的这类仪器）都不协调！假定我们有这样的一个模型，E仪器必须准备好应付每一可能的A、B或C测量。我们注意到，如果只准备得到随机的答案，那么为了和性质(1)相符合，P仪器分别对于A′、B′和C′不能一定给出不同意的结果。的确，两台仪器必须对预先确定地准备好的三种可能的测量每种给出答案。例如，假定对于A、B、C这些答案分别为是、是、是；则右手的粒子就必须准备对于三个相应的右手刻度给非、非、非的答案。如果，左手准备的答案为是、是、非，则右手答案就必须为非、非、是。所有其他情况都在本质上和这些相似。现在让我们看看这是否和性质(2)相协调。做是、是、是/非、非、非的指定不是非常有助的，因为这时在所有可能的配对A/A′，A/B′，A/C′，B/A′等等中有9种情形不同意，0种情形同意。关于其他情况，譬如是、是、非/非、非、是以及类似的情况又如何呢？有5种不同意4种同意。（只要全部列举出来就能检验了：是/非、是/非、是/是、是/非、是/非、是/是、非/非、非/非、非/是，其中5种不同意，4种同意。）这离开(2)的需要要近得多了，但还不够好，因为我们要求同意和不同意一样多！其他任何和性质(1)相协调的一对指定都会给出5比4（除了更坏的非、非、非/是、是、是情形，又给出9比0的答案）。不存在一组准备好的答案能产生量子力学的概率。因此，定域的现实模型必须被排除掉 14！光子实验：相对论的一个问题？
我们应该问实际的实验是否支持量子力学的这些令人惊愕的预言。刚刚描述的精密的实验只是假想的，并没有被进行过。但是人们曾经利用一对 的极化，而不是自旋为 的有质量的粒子的自旋进行过类似的实 光子 12验。除了这个区别外，这些实验在本质上和上述的一样，除了有关的角度（由于光子的自旋为一，而不是一半）只是那些半自旋的粒子的一半。对光子的极化或偏振已在各种不同的方向组合上测量过，结果和量子力学的预言完全一致，而和任何定域的现实模型不协调！迄今最精确和令人信服的实验结果是由阿铃?阿斯匹克斯（1986）和他在巴黎的合作者得到的15。阿斯匹克斯的实验还有另一个有趣的特点。以何种方法测量光子极化的“决定”是在光子完全飞走之后才做的。这样，如果我们认为存在从一个光子探测器跑到在相反一边的另一个光子探测器的非定域的、通知另外那个光子人们想要测量的偏振的方向的某种影响，则我们看到这种影响必须走得比光还快！任何和这事实相一致的量子世界的现实的描述，显然必须是非因果性的。这是在效应应该能比光传递得更快的意义上讲的。但是，我们在上一章已经看到，只要相对论是正确的，用超光速发送讯号就会导致荒谬（并和我们“自由意志”的感觉相矛盾等等，参阅245页）。这肯定是对的。但是，在 EPR类型实验中出现的非定域的“影响”，如果这样做的话就会导致荒谬，所以不能用以传递信息。（吉拉迪?雷米尼和韦伯在1980年详细地演示了这样的“影响”不能用于传递讯号。）直到我们被告知实际是两种选择中的哪一种时，说一个光子“在垂直或水平”（或相反地说是在60°或者150°）方向偏振，是没有用的。“信息”
的这一部分（亦即不同的偏振方向）比光到达得更快（“瞬息”），而这两个方向中哪一个实际上被极化的知识，通过传递第一偏振测量的结果的通常讯号，将更慢地到达。
在通常发送信息的意义上，虽然EPR类型的实验不和相对论的因果性发生冲突，它肯定和我们的“物理实在”的图像中的相对论精神相矛盾。让我们看看如何将态矢量的现实的观点应用到上述的EPR类型的实验（牵涉到光子）中去。当两个光子向外运动，态矢量描述作为单独单元的光子对的情形。没有一个光子单独地具有一个客观的态；量子态只适用于两个光子一起的情形。没有一个光子单独地有偏振方向；偏振是两个光子结合在一起的性质。当这两个光子中的一个偏振被测量时，态矢量就跃迁，使得未被测量的光子具有确定的偏振。当那个光子的偏振接着被测量时，将通常的量子规则应用到那个偏振态上去，就正确地得到了概率的值。用这种方式来看问题就得到了正确的答案；这正是我们通常应用量子力学的方法。但是，在本质上这是一种非相对论性的观点。因为这两个偏振的测量是称为类空分隔的。它表明任一测量都处于另一测量的光锥之外，正如图5.21中的点R和Q的情形。两个测量哪个先发生的问题在实际上没有物理意义，它依赖于“观察者”的运动状态（见图6.32）。如果观察者向右运动得足够快，则他认为右手的测量先发生；如果向左，则左手的测量先发生！但是，如果我们认为右手的光子先被测量，我们就得到了和认为左手光子先被测量的完全不同的物理实在的图像！（正是不同的测量引起了非定域的“跃迁”。）在我们物理实在的空间――时间图像――甚至是正确的非定域的量子力学的图像――和狭义相对论之间有本质上的冲突！这是一个严重的困惑，“量子的现实主义者”还不能予以解决（参阅阿哈洛诺夫和阿尔伯特1981）。我在以后还要回到这问题上来。图6.32在EPR实验中两个光子从一个自旋为零的态向相反的方向发射。两个不同的观察者形成“实在”的不一致的图像。向右运动的观察者判断态的左手部分在它被测量之前跃迁，这跃迁是由于右边的测量引起的。而向左运动的观察者的观点与此刚好相反！薛定谔方程；狄拉克方程我在本章的前一部分提到了薛定谔方程。它是一个定义得很好的决定性的方程，在许多方面和经典物理的方程相当类似。它的规划是说，只要不对量子系统进行“测量”（或“观察”），薛定谔方程必须成立。读者或许会愿意看到它的实际形式：ith
y y ＞ ＞。 = H我们会记得， 是普郎克常数的狄拉克写法（ π）， ， h h / 2 i = -1用到│ψ＞上的算符?/?t（对时间的偏微分）就表示│ψ＞对时间的变化率。薛定谔方程讲“H│ψ＞”描述│ψ＞是如何演化的。但是“H”是什么呢？它是我们在前一章考虑过的哈密顿函数，但是这里有一个根本的不同！回顾一下经典哈密顿量是按照系统中的所有物理对象的各种位置座标qi和动量座标pi来表达的总能量。为了得到量子的哈密顿量，我们可取同样的表式，但是对每一处出现的动量Pi要用微分算符“对 的偏微分”的倍数取代。明确地讲，我们用 来取代 q - i / q i ih? ?pi。我们的量子哈密顿量H就变成某种（经常是复杂的）牵涉到微分和乘法等等的数学运算――而不仅仅是一个数！这有点像变魔术！但是它不仅仅是数学符咒，它是真正起作用的魔术！（应用这个过程从经典哈密顿量产生量子哈密顿量需要一点“艺术”，但是和其奇异的性质相比较，在这个过程中固有的、起作用的模糊之处是这么微小，真是令人印象深刻。）
薛定谔方程（不管H是什么样子的）是线性的，这是值得注意的重要之处。也就是说，如果│ψ＞和│ψ＞都满足该方程，则│ψ＞+│ψ＞或甚至任何组合ω│ψ＞+z│ψ＞都满足，这里W和z为固定的复数。这样，薛定谔方程维持复线性叠加。两个可能的不同的态的（复）线性叠加不能仅仅由于U的作用而被“拆开”！这就是为何为了使只有一个选择存活下来，作为与U相分别的步骤R的作用是必须的。薛定谔方程像经典物理中的哈密顿形式一样不是那么特殊的方程，而是量子力学方程的一般框架。一旦人们得到了合适的哈密顿量，态按照薛定谔方程演化的方式，使得│ψ＞仿佛是服从于某种诸如马克斯韦的经典场方程的经典场。事实上，如果│ψ＞描述一单独光子的态，那么薛定谔方程实际上成为马克斯韦方程！单光子的方程刚好和整个电磁场的方程①完全相同。这一个事实是我们早先瞥见的单独光子的马克斯韦场的类波动行为和偏振的缘由。另一个例子是，如果│ψ＞描述单电子的态，则薛定谔方程就变成狄拉克著名的电子波动方程。这一个方程是他以伟大的创造① 复数-p 和p 一样同为q的平方根，并给出同一偏振椭圆。取平方 关。对于引力子――这种还未探测到的质量为零的量子引力的粒子――自旋为2也就是基本单位的四倍，在上述的描述中我们要取q的四次方根。性和洞察力于1928年发现的。
事实上，狄拉克电子方程必须和马克斯韦方程以及爱因斯坦方程同列为物理学的伟大的场方程之一。为了使我们对之有深刻的印象，我就得必中的│ψ＞有一奇怪的“费米子”的性质，即在360°旋转下│ψ＞变成-
│ψ＞，这一点我们早先已经考虑过了（303页）。狄拉克方程和马克斯韦方程一道组成了最成功的量子场论――量子电动力学的基础。我们在下面简要地讨论它。量子场论所谓“量子场论”的学科是从狭义相对论和量子力学的观念的结合而产生的。它和标准（亦即非相对论性）的量子力学的差别在于，任何特殊种类的粒子的数目不必是常数。每一种粒子都有其反粒子（有时，诸如光子，反粒子和原先粒子是一样的）。一个有质量的粒子和它的反粒子可以湮灭而形成能量，并且这样的对子可由能量产生出来。的确，甚至粒子数也不必是确定的；因为不同粒子数的态的线性叠加是允许的。最高级的量子场论是“量子电动力学”――基本上是电子和光子的理论。该理论的预言具有令人印象深刻的精确性（例如，上一章已提到的电子的磁矩的精确值，参阅177页）。然而，它是一个没有整理好的理论――不是一个完全协调的理论――因为它一开始给出了没有意义的“无限的”答案，必须用称为“重正化”的步骤才能把这些无限消除。并不是所有量子场论都可以用重正化来补救的。即使是可行的话，其计算也是非常困难的。
