使用“路径积分”是量子场论的一个受欢迎的方法。它是不仅把不同粒子态（通常的波函数）而且把物理行为的整个空间――时间历史的量子线性叠加而形成的（参阅费因曼1985年的通俗介绍）。但是，这个方法自身也有附加的无穷大，人们只有引进不同的“数学技巧”才能赋予意义。尽管量子场论勿庸置疑的威力和印象深刻的精确度（在那些理论能完全实现的很少情况），人们仍然觉得，必须有深刻的理解，才能相信它似乎是导向“任何物理实在的图像”16。
我应该澄清的是，由量子场论提供的量子理论和狭义相对论之间的一致性只是部分的――只对U过程――并且它具有相当数学形式的性质。量子场论甚至还未触及困难之处：对R过程中产生的“量子跃迁”（EPR类型实验留给我们的）作协调的相对论解释。此外，我们还没找到一个一致的或可信的引力量子场论。我将在第八章提议，这些问题也许不是完全相互无关的。薛定谔猫最后让我们回到从一开始描述就尾随我们的问题。我们为何从未见到经典尺度现象的量子线性叠加，诸如板球同时处于两个地方？究竟是什么东西使得构造测量仪器的原子的某种形态能用过程R来取代U？任何测量仪器自身无疑是物理世界的一部分，它是由那些量子力学的构件制配而成，它的行为是被设计来作此探索的。为何不将测量仪器和被考察的物理系统一起作为合并的量子系统来处理，如果这样就不牵涉到神秘“外界”
的测量。这合并的系统应简单地按照U 来演化。但是，果真如此吗？U 在合并系统的作用是完全决定性的，并没有R 类型的概率不确定性卷入到合并系统并对自身进行“测量”或“观察”的余地！这里存在一个显明的矛盾，在厄文?薛定谔（1935）引入著名的理想实验：薛定谔猫的矛盾中变得特别写实。
想象一个封闭的容器，它制造得如此完美以至于没有任何向内或向外的影响能通过容器壁。想象在容器里有一只猫，并且还有一台能被某量子事件触发的仪器。如果该事件发生，该仪器打碎装着氰化物的药瓶，并将猫毒死。如果该事件没发生，则猫继续活着。在薛定谔原先的设计中，量子事件为放射性原子的衰变。让我稍作修正，并把光子触发光电管作为我们的量子事件。在这里光子是由某个处于预先确定状态的光源发出，然后由半镀银的镜子反射下来（见图6.33）。镜面的反射将光子波函数分裂成两个分开的部分，由该镜子使之一部分反射而另一部分穿透。光子波函数的被反射部分聚集在光电管上，这样如果光子被光电管所记录，它就是被反射的。这种情形下，氰化物就流出来，猫就被毒死。如果光电管没有记录，光子就穿透过半镀银的镜子而到达后面的墙上，猫就存活。
图6.33薛定谔猫――以及附加物从处在容器内的（有点危险的）一个观察者的观点，这的确是在那里所发生的描述。（我们最好为此观察者提供合适的防护服！）或者光子被反射，因为光电管“观察到”并记录到，猫被毒死；或者光子穿透过，由于光电管没有“观察到”并没有记录，猫是活的。实际上，两者必居其一：
R 起了作用，每一种可能性的概率为百分之五十（因为它是一面半镀银的镜子）。现在，让我采用处于容器之外的物理学家的观点。我们可以认为，在容器被封之前他已知内部的初始态矢量。（我不是指在实际上他能知道，而是量子理论没有说在原则上不能让他知道。）根据外面的观察者，在实际上没有进行“测量”，这样整个态矢量必须按照U 进行。光子由处于预定的状态的源中发出――两个观察者在这一点上是一致的――它的波函数分成两束，譬如讲每一部分光子的幅度均为 （这样平方模就给 1/ 2出1/2的概率）。由于这整个系统被外界的观察者当作单独的量子系统来处理，不同选择之间的线性叠加必须一直保持到猫的尺度。光电管记录到和没有记录到光子的幅度各为 。在这种态下 选择都必须存在， 1/ 2 两种在量子线性叠加中权重相同。根据外面的观察者，猫是处于死和处于活的线性叠加态！
我们真的会相信这种事吗？薛定谔本人清楚地表示他不相信。他论证道：量子力学的U 规则实际上不能适用于像猫这么大、这么复杂东西上。在这过程中薛定谔方程一定出了什么差错。当然薛定谔有权利用这种方式来评论他的方程，但是我们并没有分享到这种特权！相反地，大量（也许大多数）物理学家宁愿坚持，现在有如此大量的实验证据支持U――没有一个人反对之――甚至在猫的尺度下，我们没有什么权利去抛弃这类演化。如果这一点被接受，我们就似乎被导致到物理实在的非常主观的观点。对于这外面的观察者，猫的确是处于活和死的线性组合中，只有当容器最后被打开后猫的态矢量才坍缩成其中的一种选择。另一方面，对于在里面的（适当防护的）观察者，猫的态矢量坍缩得早得多，而外面观察者的线性叠加│ψ＞ ｛│死＞ │活＞｝ = +12和他不相干。态矢量似乎“完全处于精神之中”！
但是，我们真能采用态矢量的这种主观观点吗？假定外面的观察者做了某些复杂得多的事，而不仅仅是“窥视”该容器。假定他首先从他得到的容器内部的初始态的知识，使用他能得到的一台大型计算设备，由薛定谔方程计算出容器内的态应实际上是什么样的，得到了（正确的！）答案│ψ＞。这里│ψ＞的确是上述的死猫和活猫的线性叠加）。然后他进行一个特殊的实验，把这个态│ψ＞和所有与之正交的态鉴别开来。（根据前述的量子力学规则，他在原则上可以进行这样的实验，尽管在具体实现时会遭遇到极大的困难。）“是的，它是处于态│ψ＞”和“不，它处于与│ψ＞正交的态”的两种结果的概率分别为百分之百和百分之零。特别是，态│x＞=│死＞-│活＞的概率为零，它是和│ψ＞正交。│x＞作为实验结果的不可能性只能是因为两个选择│死＞和│活＞共存并相互干涉而引起的。如果我们稍稍调整光子的路径长度（或镀银的量），使所得到的态不是│死＞+│活＞，而是别的组合，譬如│死＞-i│活＞等等。所有这些不同的组合在原则上都具有不同的实验后果！所以它甚至“不仅”是某种会影响我们的可怜的猫的死亡和存活的共存的事体。所有不同的复组合都是允许的，它们在原则上应能互相被区分开来！然而，对于容器内的观察者，似乎所有这些组合都是无关紧要的。猫或者是活的，或者是死的。我们如何理解这种偏离呢？我将简要地指出一些关于这些（以及相关的）问题的不同观点，――虽然毫无疑问地，我将不会完全公平地对待它们！现存量子理论的不同看法首先，在实现诸如将态│ψ＞与任何和│ψ＞正交的态区分开来的实验中存在着明显的困难。毫无疑问地，在实际上，这种实验对于外面的观察者而言是不可能的。特别是，甚至在他计算│ψ＞将来实际上应是什么样子之前，他需要知道（包括内部观察者的）整个内容的态矢量！然而，我们要求这个实验不仅在实际上、而且在原则上不可能实现，由于否则我们就没有权利从物理实在中移走态│活＞或态│死＞中的一个。麻烦在于，量子理论的现状并没有在“可能的”测量和“不可能的”测量之间划上一道清楚界限的法规。也许应该存在这样清楚的区别。但是，理论的现状不允许这种东西。引进这种区别就会使量子理论改观。其次，一种相当普遍的观点认为，如果我们充分地考虑环境的影响，则困难就会被消除。的确，要使系统完全和外界隔离在实际上是不可能的。只要外界的环境牵涉到容器内的态，则外部观察者就不能认为系统是由一个单独的态矢量来描述。甚至他自己的态和这系统以一种复杂的方式相关联。况且，还有大量的不同粒子纠缠，以及一直弥散到宇宙中越来越远的、包括极大量自由度的不同可能的线性组合的效应。不存在一种可行的方式（譬如靠观察适当的干涉效应）把这些复线性组合从仅仅为概率加权的选择中区别出来。这甚至不必是把系统和外界隔离开来的问题。猫本身牵涉到巨大数量的粒子。这样死猫和活猫的复线性组合可以像似乎它简单地是一概率混合那样处理。然而，我本人认为这根本不是令人满意的。正如对付前面的观点一样，我们可以问在哪一阶段可以正式认为 “不可能”
得到干涉效应――使得可以宣布说复线性叠加的幅度平方模提供了衡量“死”和“活”的概率？甚至如果世界的“实在”在某种意义上“在实际上”变成一个实数概率权重，如何将它只分解成这种或那种选择？在仅仅依赖演化U 的基础上，我看不到实在如何将两种选择的一个复（或实）线性叠加变换成其中的这样一种选择。我们似乎被逼回到世界的主观观点上去！有时人们采取这样的观点，复杂的系统实际上不应该由“态”而应由所谓的密度矩阵的推广来描述（冯?诺依曼1955）。这些同时牵涉到经典概率和量子幅度。事实上，许多不同的量子态被一起用来代表实在。密度矩阵是有用的，但是它们自身不能解决量子测量深刻而可疑的症结。人们也许同意，实际的演化是决定性的U，但在了解该组合系统的量子态究竟是什么时牵涉到的不确定性引起了概率。这可认为是关于概率起源的非常“经典的”观点――它们全部是从初始态的不确定性引起的。人们可以想象，微小的初始态的差别会产生演化中的巨大差别。正如经典系统会产生“混沌”一样（譬如，天气预报；参阅第五章199页）。然而，单由U 本身不会产生这种“混沌”，因为它是线性的：在U 的作用下，人们不想要的线性叠加被一直维持着。要把这种叠加归结成这种或那种选择，U 本身做不到，需要某种非线性的东西。作为另一种观点，我们也许注意这个事实，在薛定谔猫的实验中唯一和观察结果完全明确的偏差似乎是由于有意识的观察者引起的，一个 （或两个）在容器里面和另一个在外面。也许复量子叠加定律不能应用于意识！欧根?P?维格纳（1961）为此观点提出了一个粗糙的数学模型。他提议，薛定谔方程的线性也许对于有意识的（或仅仅是“活”的）本体无效，它由某种非线性的步骤所取代，由此被归结成两种选择中的一个。读者或许会认为，由于我在寻求某种量子现象在我们意识思维中的作用――我们的确如此，我应最为同情这种可能性。然而，我一点也不喜欢它。它似乎会导致世界实在的非常不均衡的使人烦恼的观点。宇宙中意识栖息存在的角落可以说是非常稀少并相隔得非常远。依此观点，复线性叠加只在那些角落归结成实际的选择。情况也许是这样，对我们来说，其他这样的角落和宇宙的其余部分显得相同，因为不管我们自身看到（或观察到）什么，由于我们意识的行为使它“归结成选择”，而不管是否之前已经归结成这个样子。若果真如此，这种巨大的失衡会给世界的实在性提供一个非常使人烦忧的图像，而要我作为其中一员只能非常犹豫地去接受它！
还有一种相关的称作参与宇宙的观点（由约翰?A?惠勒在1983年提出），将意识的作用推向一个（不同的）极端。例如，我们注意到，这一个行星上的意识生命的演化是由于不同时期的适当的沧桑巨变。这些被设想为量子事件，所以它们只在线性叠加的形式中存在，直到它们最后导致意识生命的演化――其存在完全依赖于正确的巨变“在实际上”发生！依此观点，正是我们自身的存在把我们的过去变戏法为存在。此图像中的逻辑循环的矛盾引起人们的一些注意，但我自己感到这种观点困难重重，并且几乎是不可信的。另外一种本身是逻辑性的，但是提供出同等奇怪图像的称为多世界的观点。这是休斯?埃维勒特三世首次公开提出的（1957）。按照多世界解释，R 根本从未发生过。实在的态矢量的全部演化被认为总是由决定性的过程U 所制约的。这意味着可怜的薛定谔猫和容器中的受防护的观察者的确应该存在于一种复线性组合之中，猫处于某种活和死的叠加态中。然而，死的状态是和内部观察者意识的一种态相关，而活的与另一状态相关（并且假定，部分地和猫的意识相关――并且当这些内容呈现给外界观察者时，最终也和他相关）。每一观察者的意识被看作“分裂”，这样现在他存在两次，每一次他的情形都有不同的经验（也就是，一次看到死猫，另一次看到活猫）。的确不仅是一个观察者，他所居住的整个宇宙都在他对宇宙所进行的每一“观察”中分裂成两个（或更多个）。这种分裂不断地发生――不仅仅是由于观察者进行的“观察”，而且还一般地由于量子事件的宏观的放大――这样使得这些宇宙“分枝”疯狂地蔓延。的确，每一种不同的可能性都会在某种巨大的叠加中共存。这肯定不是最经济的观点，但是我本人反对它的原因并不是这种不经济。特别是，我看不出为何意识只能知晓线性叠加的“一”个选择。是有关于意识的什么东西使人们无法“知晓”令人焦虑的死猫和活猫的线性叠加呢？我似乎觉得在多世界观点和人们实际观察到的之间相符合之前必须先有关于意识的理论。在宇宙的“真正”（客观）态矢量和我们要实际“观察”到的之间我看不到什么关系。有人断言，R 的“幻像”在某种意义上能在这图像中被等效地导出，但我认为这一断言不成立。要使这种方案可行，人们至少需要进一步的要素。依我看来，多世界观点并没有在实际上触动量子测量的真正的困惑，而自身却引进了许多问题。 （比较德?维特和格拉罕 （1973）的讨论。）何处出了差错？就量子力学的理论现状而言，任何解释上的困惑总是以这种或那种面目出现而挥之不尽。让我们简略地复习一下标准的量子理论在实际上告诉我们应如何描述世界，尤其是和这些令人困惑的问题之间的关系。然后我们向自己提出这样的问题：我们将往何处去？首先，我们知道只能把量子理论的描述有意义（有用）地应用到分子、原子或次原子粒子的所谓量子水平上去。但是，只要在不同的可能性之间的能量差保持非常小时，也能在大尺度下应用。在量子水平上，我们应该把这种“选择”当作可共存的东西来处理，以一种复数权重来叠加。我们用以加权的复数称为概率幅度。每一不同的复加权选择的总体定义一个不同的量子态，而任一个量子系统必须用这样的量子态来描述。以自旋的情况作例子最为清楚了。对于什么是构成量子态的“实际的”选择以及什么仅仅是选择的“组合”，我们无可奉告。无论如何，只要系统仍处于量子水平，量子态就以完全决定性的形式演化。由重要的薛定谔方程制约的过程U即是这种决定性的演化。当不同量子选择的效应被放大到经典水平，使得选择之间的差别足够大到我们可以直接感知，那这样的复权重叠加似乎不再维持。相反地，复幅度的平方模被形成（也即把它们在复平面上的位置离开原点的距离取平方），而现在这实数扮演问题中选择的实际概率的新角色。只有其中的一个选择依照过程R（称为态矢量的减缩或波函数的坍缩；完全和U 不同）
在物理经验的实在中存活。量子理论的非决定性正是在这里也仅在这里被引进来。人们也许可以有力地为量子态提供了一个客观的图像辩护，但是它是复杂的，甚至有些使人觉得似是而非。当有若干个粒子参与时，量子态 （通常）会变得非常复杂。单独粒子自身不再有它们自己的“态”，而是处于和其他粒子相缠结的复杂的相关状态中。当在一个区域“观察”一个粒子时，也就是它触发了某种效应使之放大到经典水平，那么必须祈求R――但是这显然同时地影响其他和该粒子相关的所有粒子。爱因斯坦、玻多尔斯基和罗逊(EPR)类型的实验 （譬如在阿斯匹克斯实验中，由一个量子的源向相反方向发射出一对光子，然后在相隔几米的距离下分别测量它们的偏振）对这些量子物理困惑的、却又是根本的事实给出了清楚的观察结果：
它是非定域的（使得阿斯匹克斯实验中的光子不能被当成分开的独立的本体来处理）！如果R 被认为是一种客观方式的作用（它似乎为量子态的客观性所隐含），那就相应地违背了狭义相对论的精神。看来不存在能和相对论要求相一致的（正在减缩的）态矢量的真正客观的空间――时间描述。然而，量子理论的观察效应不违反相对论。
量子理论在关于何时和为何 R 实际上（或显得？）发生的问题上保持缄默。并且，它本身并没有适当解释为何经典水平的世界“显得”经典。
要知道“大多数”量子态根本不像经典态！
何处出了差错？我相信，人们必须认真地考虑量子力学在应用于宏观物体时根本错了的可能性，或者定律U 和R 只不过是提供极为近似某种更完全的、但还未发现的理论。正是这两个定律结合在一起提供了现在理论而不光是U 所享有的和观察的美妙的符合。如果把U 的线性推广到宏观世界去，我们就必须接受板球等等不同位置（或不同自旋等等）的复线性叠加的物理实在。常识告诉我们，这不是世界真正行为的方式！经典物理的描述的确为板球提供了很好的近似。它们具有定义得相当好的位置，并没有出现量子力学线性定律所允许的同时处于两处的情况。如果过程U 和R为更广泛的定律所取代，则新定律不像薛定谔方程那样，它具有非线性的特征（因为R 自身非线性地起作用）。有些人持反对态度，他们完全正确地指出，标准量子理论深奥优美的数学性是来自于它的线性。但是我感到，如果量子理论在将来不遭受到一些根本的改变，那是不可思议的――它会变成线性只能是一种近似的某种东西。牛顿的优雅而有力的万有引力理论要大大地归功于这一个事实，理论中的力以线性的方式相加。然而，和爱因斯坦广义相对论相比，这种线性只是（虽然是极好的）近似――爱因斯坦理论的精巧甚至超过了牛顿理论！我毫不犹豫地相信，量子理论矛盾的解决在于我们找到一个改善的理论。虽然这也许不是传统的观点，但也不是毫无传统可言。（许多量子理论的创始者也有这种想法。我是指爱因斯坦的观点。薛定谔（1935）、德布罗依（1956）和狄拉克（1939）也认为此理论是临时的。）但是，甚至如果人们相信此理论是要进行某种修正，而应该如何进行修正的方式还要受到巨大的限制。也许某种“隐变量”观点最终会变成可接受的。但是，由EPR类型的实验展示的非定域性对任何在通常空间――时间中能安然发生的世界“现实的”描写都构成了严重的挑战――这正是依照相对论原始所提供给我们的特殊类型的空间――时间――所以我相信需要更多得多的激变。况且，从未发现量子理论和实验之间的任何种类的偏离――当然除了人们把板球线性叠加态的不存在当成反例之外。依我自己的观点看，不存在线性叠加的板球正是相反的证据！但是这对它本身并没有什么大帮助。我们知道，量子定律支配着次微观水平的东西，而经典物理支配着板球水平的东西。为了看到量子世界如何和经典世界合拢，在它们中间的某个地方我们必须对新的定律有所理解。我还相信，如果想理解思维的话我们必须理解这种新的定律。我相信，为了所有这一切，我们必须寻求新的线索。
在本章的量子理论描述中，我完全采用传统的办法，虽然也许比通常更加强调几何和“现实性”。我将在下一章寻找某些必须的线索――我相信它能为改善量子理论的提供某些暗示。我们从家乡开始旅行，但将被迫浪迹天涯。我们必须探索空间的极遥远处，并且要回溯到时间最初的起点！
注 释1．我理所当然地认为， “严肃的”哲学观点应该至少包含足够分量的现实主义。当我得知一些显然严肃的思想家，经常关心量子力学含义的物理学家采取强烈的主观观点，说在“那里”实际根本没有实在的世界时，总是十分吃惊！我尽量采用现实主义观点的事实，并不意味着我不了解某些人经常认真地坚持这种主观观点，只是因为我认为它们没有意义。参见伽得纳（1983）第一章对这种主观主义的强烈而风趣的攻击。
2． 尤其是J.J.巴尔末在1885年注意到， 氢光谱线的频率具有R(n-2-m-2)
的形式，其中n和m为正整数（R为常数）。
3．也许我们不应该太轻易地抛弃这种“全潮图像。爱因斯坦本人（正如我们将要看到的）彻底了解量子粒子呈现的分离性，耗费了最后的三十年去寻求对这一般经典类型的完全广泛的理论。但是，正和其他人一样，爱因斯坦的企图没有成功。除了经典场以外需要某些东西用以解释粒子的分离性。
4．杰出的匈牙利/美国数学家约翰?冯?诺依曼（1955）在他的经典著作中描述了这两种演化的过程。我把他的“过程1”叫做R――“态矢量的减缩”――他的“过程 2”叫做U――“么正演化”（这实际上表明概率幅度在演化中守恒）。实际上，还有量子态演化U的其他（虽然是等效）的描述，人们在这种描述中可以不使用“薛定谔方程”。例如，在“海森堡图像”中，态被描写成根本不演化，而动力学演化被归结为位置/动量座标意义的连续移动。这些差异在这里对我们不重要，过程U的不同描述是完全等效的。5．为了完整起见，我们必须列举出所有需要的代数定律。按照在正文中使用的（狄拉克）记号，它们可写成：│ψ＞+│x＞=│x＞+│ψ＞，(z+w)│ψ＞=z│ψ＞+w│ψ＞，z(w│ψ＞)=(zw)│ψ＞，│ψ＞+0=│ψ＞，│ψ＞+(│x＞+│ψ＞)=(│ψ＞+│x＞)+│ψ＞，z(│ψ＞+│x＞)=z│ψ＞+z│x＞，1│ψ＞=│ψ＞，0│ψ＞=o，以及zo=o。6．存在一种称为两个矢量的标量积（或内积）的重要运算。它可非常简单地用于表达“单位矢量”、“正交性”和“概率幅度”概念。（在通常的矢量代数中，标量积为abcosθ，这里a和b为矢量长度，而θ为它们方向之间的夹角。）希尔伯特空间矢量的标量积给出复数。我们把两个态矢量│ψ＞和│x＞的标量积写作＜ψ│x＞。存在如下代数规则＜ψ(│x＞+│ψ＞)=＜ψ│x＞+＜j│j＞，＜ψ(q│xl＞)=q＜ψ│x＞ 以及＜ψ│ ＞ ＜ ψ＞，在这里横道表明复共轭。（ 的复 x x = x| z = x + iy共轭为 － ， 和 为实数；注意│ │ ）。态│ψ＞和│ ＞ z z = x iy x y z = z x 2的正交性表为＜ψ│x＞=0。态│ψ＞的长度平方为│ψ│2=＜ψ│ψ＞，这样│ψ＞归一化成单位矢量的条件为＜ψ│ψ＞=1。如果一个“测量的行为”使│ψ＞跃迁到│x＞或某种和│x＞正交的态，则它跃迁到│x＞的幅度为＜x│ψ＞，此处已假定│ψ＞和│x＞都是归一化的。若还没有归一化的话，从│ψ＞│到x＞的跃迁概率写作＜x│ψ＞＜ψ│x＞/＜x│x＞＜ψ│ψ＞。（见狄拉克1947。）
7．熟悉量子力学算符形式的读者，这一测量（按狄拉克符号）用有界限的厄米算符│x＞＜x│来定义。本征值1（对于归一化的│x＞）为是，而本征值0表示非。（矢量＜x│，＜ψ│等等属于原先希尔伯特空间的对偶空间。）见冯?诺依曼（1955），狄拉克（1947）。8．在我早先对包含单独粒子的量子系统的描述中，有点过于简略。那时候我不管自旋，而假定只按照它的位置来描述态。实际上存在某些称作标量子的粒子，譬如叫做π子（π介子，参阅252页）的核子或某些原子――其自旋值为零。对于这些粒子（也只有这些粒子）上述只按照位置的描述在实际上是足够的。
9 = z w z w ．取│＞ │↑＞－ │↓＞，这儿 和 是 和 的复共轭。（ z w见注释6。）10．有一种标准的实验仪器，称作斯特恩――盖拉赫仪的可以用来测量适当的原子的自旋。原子束被射入并通过一个高度非均匀性的磁场，而场的非均匀性的方向为测量自旋提供了方向。原子束被分裂成两束（对于半自旋的原子而言，若是原子具有更高的自旋，则会分裂成多束）。一束给出原子的自旋答案为是，另一束的答案为非。可惜的是，由于一种和我们目的无关的技术上的原因，使得该仪器不能用于测量电子的自旋。测量电子必须用一种更间接的方法。（见莫特和马赛1965。）由于种种原因，我宁愿不去特别提及在实际上如何测量电子自旋。11．富有进取心的读者会介意去检验正文中的几何。最容易的办法是把我们的黎曼球面方向调整得使α方向为“向上”而β方向在由“向上”和“向右”展开的平面上，也就是β方向由在黎曼球面上的q=tan（θ/2）
表出， 然后用＜x│ψ＞＜ψ│x＞/＜x│x＞＜ψ│ψ＞来计算从│ψ＞到│x＞的跃迁概率。参见注释6。12．在数学上我们说，两个粒子的态矢量是第一个粒子的态矢量空间和第二个粒子的态空间的张量积。所以态│x＞│ψ＞是态│x＞和态│ψ＞的张量积。
13．沃尔夫冈?泡利是一位优秀的奥地利物理学家和发展量子力学的杰出人物。1925年，他以假设的形式提出了不相容原理。而对我们现在称作 “费米子”的完整的量子力学处理是1926年由极具影响的富有创见的意大利 （美国）科学家恩里科?费米和我们已碰到过好几回的伟大的保罗?狄拉克发展的。费米子的统计行为按照所谓的“费米――狄拉克统计”，以与可区别粒子的经典统计“玻尔兹曼统计”相分别。玻色子的“玻色――爱因斯坦统计”是由著名的印度物理学家S.N.玻色和阿尔伯特?爱因斯坦于1924年在处理光子时发展的。
14．这是一个如此杰出和重要的结果，值得再给出另一种表述。假定在E测量仪中刚好有两个刻度，向上[↑]和向右[→]，而P测量仪中有两个刻度，向右上方45°[‰]和向右下方45°[ê]。E测量仪和P测量仪实际上分别使用刻度 → 和 来测量。那么两个测量仪相一致的概率为 [ ] []12(1+cos135°)=0.146……，比百分之十五稍小一些。用这些刻度进行长系列的试验，譬如得到：E：是非非是非是是是非是是非非是非非非非是是非…
P：非是是非非非是非是非非是是非是是非是非非是…
“√”“√”“√”
给出刚好低于百分之十五的一致性。我们现在假定P测量不受E刻度的影响――使得如果 E的刻度为[↑]而不是[→]的话，P结果也刚好完全一样――并且由于[↑]和[‰]之间的角度和[→]和[‰]之间的一样，这样在P测量和新的E测量，譬如叫E的测量之间的一致性就又应该刚好比百分之十五低一点。另一方面，如果E刻度和以前一样为[→]，但是P刻度为[ê]
而不再是[‰]，则E的结果和以前一样，但是在新的P，譬如称作P′的结果和原先E结果之间的一致性只能刚好比百分之十五低一点。由此推出，如果实际使用这些刻度的话，则在P’测量[ê]和E测量[↑]之间的一致性不会超过百分之四十五（等于百分之十五加百分之十五加百分之十五）。但是在[ê]和[↑]之间的角度为135°而非45°，因此一致性概率应刚好比百分之八十五多一些，而不是百分之四十五。这是一个矛盾，它表明E测量的选择不能影响P的结果 （或反之）的假定是错误的！我感谢大卫?墨明提供的这一个例子。正文中给出的例子引自于他的文章 （见墨明1985）。15．更早的结果是弗里德曼和克劳塞（1969）在基于克劳塞、霍尼、希莫尼和霍尔特（1969）提出的思想上得到的。还有一点在这些实验中要提到的是，由于所用的光子探测器的效率比百分之百要低得多，所以在发射出的光子中只有相对少的部分在实际上被观测到。然而，即使用这些相对不有效的探测器，测量结果和量子理论的一致性仍是如此完美，很难想象，何以使用更好的检测器会忽然产生比理论更坏的一致性！16．量子场论似乎为不可计算性提供某种新的视界 （参见柯马1964）。
