内容提要
本章在第1章证券投资基础知识的基础上，介绍马科维茨的最优风险资产组合选择理论。读者应特别注意体会通过证券分散化来降低投资风险的思想，并理解风险资产最优组合的构建方法。
证券的收益与风险如何度量？投资者在面对金融市场上不同收益与风险的证券时，怎样做出最优的投资选择？证券组合对于投资者的风险管理具有怎样的意义？这些与组合投资密切相关的问题将在本章中予以解答。第2.1节中，我们介绍分散化的机理，使读者了解通过证券分散化来降低投资风险的基本思想；第2.2节介绍均值–方差准则，为构建最优的风险资产组合提供依据；第2.3节介绍有效前沿，得到最优的风险资产组合；第2.4节介绍风险价值的概念，使读者了解当前主流的下方风险测量方法；第2.5节介绍两基金分离原理，探讨在引入无风险资产的情况下如何构建最优投资组合。
2.1 分散化机理
马科维茨（Markowitz）的最优风险资产组合选择理论奠定了现代金融学（或称微观金融学）的理论基础。“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”，是对这一理论的形象化表述。风险风散化原理是这一理论的核心内容，体现了收益与风险相权衡的投资决策思想，在论证的逻辑上反映了现代金融学的典型思维，是十分巧妙且具有广泛应用价值的。第二次世界大战结束之后，欧美股市全面复苏，以组合化投资为特点的共同基金成为大众的选择。在证券市场发展的高潮中，投资组合技术得到快速发展，由此拉动了相关学术研究。正是在这个大背景下，年轻的马科维茨于20世纪50年代初在《金融杂志》发表了奠基性的论文“组合选择”，他的突出贡献：一是给出了证券风险的数学表达，提出了资产投资组合的期望收益和期望风险的测度；二是提出通过证券多样化的投资来降低投资组合的总风险的思路，使通过分散化降低风险的理念有了逻辑基础和实施路径。
2.1.1 收益与风险的度量
证券投资的两个最重要的概念就是收益（return）和风险（risk），在金融学的表述中，收益是收益率的简称。投资的目的是通过节省当前消费使得储蓄能随时间增值并在未来获得更高水平的消费能力。因为投资者延迟了消费，必然要求用于投资的储蓄能获得一个满意的收益，这个收益率应该弥补预期通胀和收益的不确定性与时间成本。该收益率就是投资者的必要收益率（required rate of return），我们会在第3章给出这个概念的科学表述。
但是我们所追求的收益是不确定的，我们可能得不到预期的收益，甚至亏损，对此用风险来表达。风险的存在意味着任何决策的结果都不被事先确知，因此我们将整个不确定的收益表示为一个随机变量。收益用一系列的可能值来描述，而且每个可能值都具有发生的概率，即收益的概率分布。对于随机变量，刻画其性质的两类最重要的数字特征就是数学期望和方差。前者恰好是预期平均收益，后者刻画了随机收益相对于预期收益的在平方误差意义下的平均水平，用于表示风险。在研究中，为了和预期收益具有相同的量纲，我们通常使用方差的算术平方根——标准差来表示风险。在本节的最后我们将详细介绍这两个指标，并解释其统计含义；而在进行讨论之前，我们先简要介绍实际应用中收益率的计算和表示方法。
1.持有期收益率
持有期收益率（holding-period return，HPR）是对单一期间的投资收益进行衡量的一种简单而明确的度量方法。以股票为例，持有期收益取决于投资期内股票价格上涨（下跌）的幅度以及股票所能提供的现金股利。持有期收益率被定义为一单位的投资在投资期间内的总收益，即价格变化与股利收入所表现的收益，占期初投资额的百分比。价格变化所得到的收益称为资本收益（capital gain），股利形式表现的收益称为股利收益（dividend yield），那么持有期收益率就是股利收益率与资本收益率之和，即
这里的隐含假设是股利在期末支付。若没有这个假定，那么这个定义就忽略了从股利支付日到持有期期末这段时间的再投资收益。更一般的，对于一般资产，其持有期收益率定义为
2.历史平均收益率
我们在做投资分析时经常会注意到一项投资在若干年中可能某些年份收益率高，其他年份收益率低，因此投资者可能会更关心投资收益率的总体数值，例如评估共同基金过去五年的平均业绩。这时我们一般计算某段时期内一项投资的平均收益率。首先，需要确定计算收益率的周期，例如我们计算每种资产一年的持有期收益率。其次，历史平均收益率的计算通常有两种方法：计算收益率算术平均值或几何平均值。
算术平均收益率（arithmetric average return）是计算各个持有期收益率的算术平均值，即每阶段持有期收益的总和除以期数
RA=ΣHPR/n （2-2）
该方法由于忽略了收益的复利性，所以不能准确反映总的时间段内单期的收益率；但是，算术平均法能更方便地利用历史数据预测未来的收益率。
几何平均收益率（geometric average return）是各阶段持有期收益率的几何平均值
式中，П表示连乘。几何平均收益率意味着在投资期中对总收益率贡献相同的平均单期收益率，因此几何平均收益率又称为时间加权平均收益率（time-weighted return）。它忽略了资金规模在各期的变化。如果我们希望不考虑资金规模对收益的影响，时间加权平均收益法就比较合适。例如，共同基金所公布的收益率的历史数据一般就是时间加权平均收益率，这是因为基金经理不能完全控制他所管理的全部资金。当评估一家基金历史业绩的数据时，我们不应当将某一时间段的数据看得比其他时间段更重要。
此外，对于多个时期投资收益率的度量，我们还可以用资金加权收益率（dollar-weighted return）。例如当我们考虑基金管理的资金规模变动时，我们实际上是把基金的现金流量看作公司财务中的资本预算问题。资金加权收益率就是投资项目的内部收益率（IRR），内部收益率是使得投资组合所实现的现金流量的现值与为建立投资组合所投入的资金相等的利率。
3.名义利率和实际利率
一个投资者在做出投资决策之前应当明白像储蓄存单这类金融工具上所给出的是名义利率（nominal interest rate），因而投资者应当从中减去预期通货膨胀率才能得到投资项目的实际利率（real interest rate）。由于未来有通货膨胀的风险，甚至当名义利率是无风险的，实际利率仍然是不确定的。名义利率指货币的增长率，而实际利率是指购买力的增长率。设名义利率为R，实际利率为r，通货膨胀率为i，那么名义利率和实际利率之间有如下关系
1+r=（1+R）/（1+i） （2-4）
上式可近似为
r≈R-i （2-5）
实际利率由资本的供给、需求以及政府的政策三个基本因素决定。投资者最为关心的是他们的实际收益率，所以当通货膨胀率增加时，投资者会对其投资提出更高的名义利率要求，从而保证投资项目所提供的实际利率不变。名义利率应当随着预期通胀率的增加而增加，若假设目前的预期通胀率将持续到下一期，记为E（i），那么名义利率与实际利率之间的关系可以表述为
R=r+E（i） （2-6）
上式表明如果真实利率是稳定的，名义利率的上涨意味着更高的通胀率。尽管实证研究结果对这一关系有争议，其中部分原因是“实证研究很难证实费雪对于名义利率的上涨意味着有一个更高的通胀率的假设，因为往往实际利率也在发生着无法预测的变化；但是人们仍然认为名义利率是预测通胀率的一个可供选择的方法。”名义利率可以被视为是名义上无风险资产的必要收益率加上通胀噪声的预测值。
4.税收与实际收益率
下面我们再加入对税收的考虑。税收是基于名义收入的支出，税率则是由投资者的税收累进等级决定的。假设给定税率为t，名义收益率为R，税后名义收益率为R（1-t），税后实际收益率近似等于税后名义收益率减去通胀率，即
R（1-t）-i=（r+i）（1-t）-i=r（1-t）-it （2-7）
因此，税后实际收益率随着通胀率的上升而下降，投资者承受了相当于税率乘以通胀率的通胀损失。
5.收益率的习惯表示方法
在现实生活中，表示投资收益率经常使用年度收益率。有两种表示方式，一种是用年百分比收益率（annual percentage rate，APR），例如月度支付的抵押类产品或半年支付一次的债券等有固定现金流的资产，它们的收益率一般是用年百分比利率来表示；另外一种是有效年收益率（effective annual rate，EAR）。年百分比收益率一般是通过将一段时间的持有期收益率转化为年度的收益率，如果持有期收益率的计算时间长度为t，一年可以分为n个长度为t的时间段，那么
APR=HPR×n （2-8）
年百分比收益率（APR）与有效年收益率（EAR）之间可以相互转化。如果将一年分为n个时间段，或者说每年计算复利的时期数为n，那么有效年收益率与年百分比收益率之间的关系如下
例如，假定你的资金可以获得每半年支付一次的复利，年名义利率为6%，考虑到复利，你的有效年利率是
随着n变大，会逐渐趋近于，因此上述关系表述为连续复利的形式为
如本例中e0.06=1.0618365，因此连续复利REAR=0.0618365，即每年6.18365%。
6.必要收益率及其构成
只有当投资机会能为投资者提供一定的收益时投资者才愿意将资金进行投资，通常称这个收益率为投资者的必要收益率（required rate of return）。一般投资者的必要收益率应包含三部分：实际无风险利率、预期通货膨胀溢价和风险溢价。这是投资者愿意接受一项投资以补偿延迟消费的最低预期收益。由于必要收益率对整个投资选择过程都至关重要，所以本书将对此做适当讨论。由于所有投资的要求收益率都将随时间变化，所以投资者应该对决定必要收益率的几部分有个清晰的认识。
实际无风险利率（real risk-free rate）是在假设无通货膨胀和对未来现金流无不确定性条件下的最基本的利率，是投资者因为延迟消费而要求的利率价格，它是纯粹的货币时间价值。它会受到主观和客观两部分因素影响，主观因素主要包括个体消费者对当前消费的偏好，即时间偏好，这种偏好在个体之间差异很大并且一般随时间变化。客观因素即在经济环境中可获得的投资机会集合，这是由长期的经济增长率决定。当经济增长率高时，提供资金的投资者就会要求更高的收益率，而借款人由于通过投资会获得更高的收益也愿意支付更高的利率。
通货膨胀溢价（inflation premium，IP）是对实际无风险利率的调整，以给投资者对由于通货膨胀预期变化带来的价格指数和货币市场条件的变化进行补偿。在没有特别说明的情况下，假设我们讨论的均是名义收益率。
式中，Rf表示名义无风险利率；rf表示实际无风险利率；IP表示通货膨胀溢价。该式可以近似写为
风险溢价（risk premium，RP）是投资者对投资伴随的不确定性所要求的补偿。风险的基本来源包括行业风险、财务风险、流动性风险、汇率风险、国家风险，等等。因此，预期收益率（expected return）可以表述为
7.收益率的期望和方差
由于资产价格存在不确定性，所以你很难确定最终能获得的总的持有期收益率。前面我们讨论的是已经实现了的历史收益率，而投资者对可能选择的投资进行评估时，则需要考察预期收益率。未来收益率存在着一种概率分布，我们可以用期望或称均值E（R）和标准差σ来描述收益的概率分布。数学期望（简称期望）也常被称为“均值”，即“随机变量取值的平均值”之意，当然这个平均，是指以概率为权重的加权平均。设收益率R为一个随机变量，各个状态的可能取值为Ri，每个状态出现的概率是Pi，各个状态的集合以S表示，那么预期收益率即收益率的期望（expected rate of return）为
数学期望之所以在理论和应用上都极为重要，除了它本身的含义（作为变量平均取值的刻画）外，还有一个原因就是它具有一些良好的性质。为了介绍投资组合预期收益率的计算，我们先在这里对期望的一些性质进行介绍，以提供一些预备知识。这些性质包括
第一，若干个随机变量之和的期望，等于各变量的期望之和，即
E（R1+R2+…+Rn）=E（R1）+E（R2）+…E（Rn） （2-18）
第二，若c为常数，则c倍收益率的期望等于收益率期望的c倍，即
E（cR）=cE（R） （2-19）
下面我们介绍随机变量或其分布的另一类数字特征，即刻画随机变量在其中心位置附近散布程度的数字特征，其中最重要的是方差。设随机变量R的均值为a，而随机变量的取值当然不一定恰好是a，会有所偏离。偏离的量R-a本身也是随机的。我们要取这个偏离R-a的某种有代表性的数字来刻画偏离即散布程度的大小。我们不能取R-a的均值，因为E（R-a）=E（R）-a=0——正负偏离抵消了。一种解决的办法是取R-a的绝对值|R-a|以消除符号，再取其均值E|R-a|，作为变量R取值的散布程度的数字特征。这个量E|R-a|叫作R（或其分布）的“平均绝对差”，是常用于刻画散布程度的数字特征之一。但是，由于绝对值在数学上处理很不方便，人们就考虑了另一种做法：先把（R-a）平方以消去符号，然后取其均值得E（R-a）2，把它作为R取值散布度的衡量，这个量叫作方差（variance）。收益率的方差，它是收益率围绕期望的散布程度的一个统计学测度。设R为随机变量，则R的方差表示为
我们将方差记为σ2，那么
其平方根（取正值）称为R（或分布F）的标准差（standard deviation），记为σ。方差或标准差越大，说明收益率的散布程度越大，即与均值的偏离越大，未来收益率的不确定性越大。因此，方差或标准差是很好的度量风险的指标。
通常投资者更担心的是损失，但收益率的标准差并未区别盈利与损失，只是简单地表现为是对二者中值的偏离。因此，只要概率分布或多或少与中值是对称的，标准差就可以精确测度风险。特别地，当假设概率分布为正态分布时，E（R）与σ就可以充分准确地表征概率分布的特点，这是由正态分布的特征所决定的。首先，它是对称的，并且由两个参数来完整地描述它：均值和标准差。正态分布的这个特征意味着，服从正态分布的投资收益的风险可以完全由它的标准差所描述。其次，服从正态分布的变量的加权平均值也服从正态分布。因此，如果单只股票的收益都服从正态分布时，包含任意一组股票的资产组合的收益也服从正态分布，它的标准差可以完全描述它的风险。
上面是对预期收益率和标准差两个指标的定义。在本章后面的内容中，我们经常会继续讨论投资组合的预期收益率和标准差的计算。下面我们来讨论一下在实际计算中遇到的一些问题。按照上述定义，如果我们利用未来收益的预测值来进行计算，那么我们需要估计每种可能情形下资产的收益率以及每种情形的概率。而如果我们利用历史数据而不是预测数据，那么我们可以对资产的收益分布进行估计。例如，可以用历史数据的平均值来估计期望，即
同样，可以用下式来估计方差
在统计上，上式的右边为样本二阶中心矩，而这个对方差的估计是有偏的。一般，我们也可以使用样本方差来估计，即用n/（n-1）来与上式相乘以消除预期变动的统计误差。方差的无偏估计为
2.1.2 投资组合的收益与风险
投资组合的收益率是构成组合的每个资产收益率的加权平均值，每种收益的权重就是该资产在投资组合中的比例。假设n项资产的投资组合，资产j的权重用wj表示，则
那么，投资组合的预期收益率是构成投资组合的每项资产收益率的期望的加权平均值，即
例如，两项资产的投资组合，期望收益率为
式中，wi，wj分别表示投资在资产i和j上占总投资组合价值的比例。
协方差（covariance）衡量的是两项风险资产收益之间相互影响的方向和程度。正的协方差意味着资产收益同向变动；负的协方差表明它们朝相反的方向变动。例如两项资产的协方差表示为
如果用历史数据计算，那么协方差为
相关系数（correlation coefficient）是协方差的标准化形式，即两个变量的相关系数是它们的协方差除以各自的标准差，这使相关系数的值介于-1~+1。用希腊字母ρ来代表相关系数，则
相关系数为+1说明Ri和Rj之间完全正相关，而相关系数为-1说明二者完全呈负相关。
下面我们来讨论投资组合收益率的标准差。如前所述，投资组合的预期收益率是投资组合中各项资产的预期收益率的加权平均值，而权重就是各资产价值在投资组合中的比例。马科维茨给出了投资组合收益率标准差的一般公式为
这个公式说明资产组合收益率的标准差是各项资产收益率方差的加权平均值以及所有资产收益的加权协方差的函数。
当我们在一项投资组合中加入一个新证券，投资组合的标准差会发生什么变化？正如上述公式所显示的，我们可看到两个效应。其一是新资产自身的方差，其二是新资产与投资组合中每一个已有资产收益率的协方差。众多的协方差的相对权重会比资产的自身方差要大，尤其投资组合中资产越多，越是如此。这说明在一个投资组合中增加一项投资需要考虑的重要因素不是该投资自己的方差而是它与投资组合中所有其他投资的平均协方差。
2.1.3 多样化与投资组合的风险分散
多样化或称为分散化（diversification）的思想由来已久，早在经济学理论出现之前，就有“不要把你的所有鸡蛋放在一个篮子里”的说法。但是直到1952年，才出现了解释如何有效发挥多样化的效用模型，马科维茨也因此获得了诺贝尔经济学奖。
两种资产的投资组合相对来说易于分析，它们体现的原则与思想可以适用于多种资产的投资组合。因此，这也是我们利用两种资产的组合来说明多样化的好处所在。假设我们投资两类资产，一个是专门投资于长期债券的债券基金D，一个是专门投资于股权证券的股票基金E，投资于债券基金的份额为wD，剩下部分投资于股票基金，即wE=1-wD。这一资产组合的投资收益为rp=wDrD+wErE，从前面的内容可知，资产组合的期望收益是资产组合中各种证券的期望收益的加权平均值，即
组合收益率的方差是
该式显示如果协方差为负，方差将减小。由
得
当资产收益的标准差给定时，相关系数越大，资产组合的方差就越大。我们注意到，组合的预期收益率受到wD和wE的影响，而组合收益率的方差除受资产配置比例的影响外，还受到资产收益间的相关系数ρDE的影响。
由于-1≤ρDE≤1，则
当完全正相关时，ρDE=1，上式简化为
当ρDE＜1时，则σp<wDσD+wEσE，即资产组合收益的标准差小于资产组合中各证券收益标准差的加权平均值。在资产组合中一项资产与其他资产负相关，那么这样的资产对于降低整体风险有特殊的作用。当ρDE=-1，上式简化为
相关系数越低，多样化就越有效，投资组合的风险就越低。而期望收益不受各资产收益相关性的影响，因此，在其他条件不变的情况下，我们总是更愿意在资产组合中增加与现有资产相关系数低或者负相关的资产。非完全相关资产组成的资产组合的风险收益机会总是优于资产组合中各证券单独的风险收益机会。
当ρDE=-1时，一个完全对冲头寸可以通过选择投资组合解以下方程得出
这些权重将使资产组合的标准差趋向于零。
我们总结一下上面的分析，当给定wD和wE，投资组合收益的标准差σP随资产之间的相关系数ρDE的下降而下降。给定相关系数ρDE，σP随wD的增加会先下降再上升，因为方差σ2p是wD的二次函数，因此存在一组合个方差或标准差的最小点，该点的组合称为最小方差组合。最小方差组合的方差随相关系数的下降而下降。
下面我们将通过一个两项资产投资组合的简单例子[1]，来说明不同资产间的协方差对投资组合总风险的影响。首先我们从最简单的开始讨论，考虑两个资产有相同的收益和风险：
并假定两项资产以相等的权重构成投资组合，即w1=0.5，w2=0.5。在该例子中唯一变化的值就是两项资产的相关系数，因为
根据如下不同的相关系数，可以计算得到不同情形下的协方差。
a.ρ1，2=1；Cov1，2=1×0.1×0.1=0.01
b.ρ1，2=0.5；Cov1，2=0.5×0.1×0.1=0.005
c.ρ1，2=0；Cov1，2=0×0.1×0.1=0
d.ρ1，2=-0.5；Cov1，2=（-0.5）×0.1×0.1=-0.005
e.ρ1，2=-1；Cov1，2=（-1）×0.1×0.1=-0.01
由投资组合收益标准差的公式，可知两项资产的投资组合收益率的标准差为
在该例中，分别计算得到
a.σP（a）=0.1；b.σP（b）=0.0868；c.σP（c）=0.0707；d.σP（d）=0.05；e.σP（e）=0
情形e，两项资产的相关系数为-1时，这里负的协方差完全抵消了各自的方差，使得投资组合的总标准差为零，说明该组合是无风险的。图2-1给出了上述例子中五种情况的收益–风险关系。从图中可以看到，相关系数的变化只对这两项资产投资组合的标准差有影响。这说明将不是完全相关的资产组合在一起不会影响组合的预期收益率，但却会降低组合的风险（以标准差衡量）。
图2-1 期望收益和标准差均相同的两项资产在不同相关系数下投资组合的风险–收益关系
接下来，我们来讨论将不同收益和风险的风险资产组合的例子，如表2-1所示。
表2-1 两项资产的期望收益和方差
我们仍然假定组合中各资产权重为0.5-0.5，因此投资组合的预期收益率为
E（RP）=0.5×0.1+0.5×0.2=0.15
对于上例中5种不同的情形，投资组合收益的标准差分别为：
a.σP（a）=0.085；b.σP（b）=0.07399；c.σP（c）=0.061；d.σP（d）=0.0444；e.σP（e）=0.015
如图2-2所示，在该例中所有组合的预期收益率均是0.15，因此在图中仍是水平线。
图2-2 期望收益和方差不同的两项资产在不同相关系数情况下投资组合的风险–收益关系
如果保持两项资产的相关系数不变，我们改变两项资产的权重，那么我们将得到如图2-3所示的从资产2到资产1的曲线。以c情形为例，两项资产的权重如表2-2所示，计算得到组合的期望收益和标准差。按此方式，我们可以计算出在各种相关系数情形下，各种不同的权重所形成的投资组合的收益率的期望和标准差。图2-3给出了各种不同情形的投资组合的风险–收益关系。
表2-2 不同权重构成的投资组合收益率的期望和标准差（两项资产相关系数为零）
图2-3 不同相关系数不同权重情况下的两项资产投资组合的风险–收益图
[1] Frank K Reily，Keith C Brown.Investment Analysis and Portfolio Management[M].7th ed.South-Western，2003.
2.2 均值–方差准则
面对金融市场上林林总总的产品时，要做出最优的投资决策，必须要有一个评价决策的准则。这就是本节介绍的均值–方差准则，这一准则对证券的收益与风险特征做出了综合性评价。而准则的建立是投资者的主观行为，因此必须对投资者的行为特征进行限定。经济学是研究理性行为人的经济活动的，金融投资学也不例外。至于实际投资中人们常常表现出来非理性或者情绪也是相对于理性而言的，因此，我们必须从理性假定出发。那么投资人的理性是什么呢？就是风险厌恶。投资是为了收益，承担风险是迫不得已的。可是收益与风险是永远相伴相守的。因此，人们就形成了为了收益而承担风险的理性，具体而言，就是所担风险要配得上预期收益，这就是风险厌恶。
2.2.1 效用函数
效用（utility）是经济学中最常用的概念之一。一般而言，效用是指对消费者通过消费或者享受闲暇等使自己的需求、欲望等得到满足的一个度量。在经济学理论中，假设对于给定的偏好关系（所谓偏好就是参与者对所有可能消费计划的一个排序），我们可以给每一个消费计划赋予一个实数，叫作它的效用，使得任意消费a和b，a优于b意味着a的效用值不小于b的效用值。这种从消费计划到实数的映射叫作效用函数（utility function）。同样我们可以建立财富的效用函数。
1964年，冯·诺依曼（Von Neumann）与摩根斯坦（Morgenstern）以完全公理的体系将此方法应用于投资理论。主要包括两条原理：
1.边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，即效用函数二阶导数小于零。
2.最大效用原则：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大的期望效用值而非最大的期望金额值。
2.2.2 风险厌恶的表达
风险厌恶（risk aversion）是指投资者偏好更低风险的情况。风险厌恶的投资者在既定的预期收益水平下偏好更低的风险；接受一项风险更高的投资是仅当他们能获得更高的预期收益作为补偿时。图2-4的无差异曲线解释了风险厌恶的概念。图中曲线I1，I2，I3代表无差异曲线（indifference curve），即每条曲线上的所有投资（综合收益和风险考虑）都是相等偏好的。越喜欢或者偏好程度高的无差异曲线位于图的左上方，即预期收益越高风险越小。注意这里的无差异曲线有正的斜率，即随着风险的增加，风险厌恶的投资者需要更高的收益率作为补偿。实际上存在着无数条的无差异曲线，而这些无差异曲线是不相交的。
图2-4 风险厌恶与无差异曲线
风险厌恶的经济含义十分清楚：一个参与者如果在期望相同的确定支付和不确定支付之间总是选择前者，则称他是风险厌恶的。金融分析家们通常假定投资者是风险厌恶的。投资者投资于股票指数基金的程度取决于风险厌恶程度。如果像股票这类风险资产的风险溢价为零，人们是不愿意投资于股票的；股票必须有正的风险溢价存在，才能使风险厌恶型的投资者继续持有现有股票而不是将资金全部投资于无风险资产。
我们可以把上面的讨论表述为：如果E（rA）≥E（rB）和σA≤σB至少有一项不相等，则A比B有优势。这就是均值–标准差准则，或者称为均值–方差准则（mean-variance criterion）。
2.2.3 最大效用原则
衡量偏好经常会使用效用函数，正如我们在讨论效用函数时所提到的，在风险和不确定条件下，个人的决策行为应遵从最大效用原则，即为了获得最大的效用值。每个投资者的风险厌恶特征可根据投资者对各种矩分布的偏好来判断，即可以从概率分布中推导出效用值
式中，Mn代表n阶中心矩。我们注意到这里不同阶矩之前系数的符号不同，即“对投资者而言是‘好的’矩有正系数，而‘坏的’矩有负系数”。
在这个表述下，我们把偏好表示成了定义在R的所有矩上的偏好。但如果偏好只依赖于财富分布的有限几个矩，则其性质和相应的组合选择就会大大简化。一阶原点矩是期望（均值），二阶中心矩是方差。在统计学上，高于四阶的矩极少使用，三、四阶矩有些应用，但也不是很多。例如，三阶中心矩可以衡量分布是否有偏，而四阶中心矩可用来衡量分布在均值附近的陡峭程度如何。我们特别注意到，前两阶矩即均值和方差是财富分布的重要特征变量。均值表示对未来财富或消费水平的预期，而方差则提供了相应的不确定性的一个度量。因此，我们可考虑这样一种将偏好简化成定义在前两阶矩上的偏好。
这种简化是有其道理的。萨缪尔森（Samuelson）的基本近似理论证明在许多重要情况下：①高于方差的所有阶矩的重要性远远小于期望与方差。也就是说，忽略大于方差的矩不会影响投资组合的选择。②方差与均值对投资者的福利同等重要。萨缪尔森的证明是均值–方差分析的主要理论根据。在该证明的条件下，均值和方差同等重要，并且我们可以忽略所有其他高阶矩，这对我们的分析没有什么影响。投资组合理论在很大程度上是建立在均值–方差（或均值–标准差）分析的条件得到满足的假设上的。[1]
下面介绍金融理论者广泛使用的一个函数，设投资组合收益率的期望为E（R），方差为σ2，那么该投资组合的期望效用可写为
式中，U为效用值，A为投资者的风险厌恶程度或风险厌恶系数，系数0.005表示一个按比例计算的方法，所用百分比而不是小数来表示期望收益与标准差。对于风险厌恶程度的度量我们会在稍后讨论。该式所表达的与高收益率会提高效用，而高风险会降低效用的概念是一致的。从上式我们很容易注意到对无风险资产而言
在某种程度上，方差减少效用的程度取决于A，即投资者对风险的厌恶程度。投资者对风险的厌恶程度越高（A值越大），对风险投资的妨碍也就越大。在竞争性资产的组合中进行选择的投资者将挑选效用最大的资产组合。
当比较风险资产组合与无风险资产组合的效用时，我们可以将风险资产组合的效用值解释为“确定等价收益率（certainty equivalent rate）”，即为使无风险投资与风险投资具有相同吸引力而需要的确定的无风险投资的收益率。只有当一个资产组合的确定等价收益率大于无风险投资收益率时，这个投资才值得。
与风险厌恶投资者相比，风险中性（risk neutral）的投资者只是按期望收益率来判断风险投资，风险的高低与风险中性投资者无关。对这样的投资者来说，资产组合的确定等价收益率就是期望收益率。而风险喜好者（risk lover）愿意参加公平赌博，这种投资者把风险的“乐趣”考虑在内，从而上调期望收益，上调的期望效用使得公平游戏的确定等价收益率将高于无风险投资，因此风险喜好者总是加入公平赌博。
为了充分解释风险厌恶的概念，我们通过一个例子来说明。[2]考虑如下一个简单的情形，可以投资于一项可以获得固定收益10万元的投资，或者投资于另外一项投资，情况好时可以获得15万元的收益，而情况差时则只获得5万元，两种情况的概率分别为1/2，如图2-5所示。
图2-5 一个公平赌博的例子
这是一个期望利润为零的公平赌博。假定投资者的财富效用为对数效用函数（见图2-6），其边际效用递减。图2-7表明损失5万元造成的效用的减少超过了盈利5万元带来的效用的增加。先考虑效用增加的情况，有p=0.5的概率财富从10万元增加到15万元，而效用将从u（100000）=11.51增加到u（150000）=11.92，即图上的距离G，增加的部分G=0.41。按期望效用计算，增加值p×G=0.5×0.41=0.21。考虑另一种情况，财富从10万元降到5万元，图中的距离L是效用的损失，L=u（100000）-u（50000）=11.51-10.82=0.69，因而期望效用的损失为（1-p）×G=0.5×0.69=0.35，它大于期望效用的增加。同样，我们可以从以下的角度来分析，计算风险投资的期望效用
如果拒绝该投资，那么10万元的效用值U（100000）=11.51比公平赌博的期望效用11.37还大，因此，风险厌恶型投资者将拒绝参加该公平赌博。
使用特定的投资者效用函数（如对数效用函数）使我们能够计算特定投资者的风险投资的确定等价值。风险投资的期望效用为11.37，这个效用值对应的财富水平是如图2-7显示的，即
WCE=e11.37=86681.87
因此，WCE是投资的确定等价值。具有该效用函数的投资者会认为确定的86681.87元与有风险的100000元的效用值相等，因此这两者之间有相同的吸引力。
图2-6 对数效用函数的财富效用
图2-7 公平赌博与期望效用
[1] Zvi Bodie，Alex Kane，Alan J Marcus.Investments[M].5th ed.McGraw-Hill/Irwin，2001：p183.
[2] Zvi Bodie，Alex Kane，Alan J Marcus.Investments[M].5th ed.McGraw-Hill/Irwin，2001：p188.
2.2.4 风险厌恶程度的度量
给出了风险厌恶的定义之后，我们很自然地考虑到如何量化它。也就是能否有一个风险厌恶的度量，使我们可以比较不同投资者所持有的不同风险厌恶程度。下面我们给出两个风险厌恶的度量指标。第一个是绝对风险厌恶度量，又称为Arrow-Pratt度量，由下式表示
它不仅依赖于效用函数的形式，也依赖于财富水平。该度量的分母是财富的边际效用，而分子是边际效用的下降率，因此二者的比值就是在拥有财富W的情形下单位边际效用的损失值，也就是在这个水平下在增加财富所感到满意程度的下降幅度。绝对风险厌恶度量越大意味着投资人越在乎满意程度的下降。其倒数称为风险容忍系数。
Arrow-Pratt绝对风险厌恶度量是对于给定绝对大小的风险而定义的。它并不考虑具有不同财富水平的投资者的风险厌恶程度的比较。因此，我们还需要相对风险厌恶度量，即
二次效用是仅仅考虑收益的期望和方差的最简单的效用函数，表示为
其绝对风险厌恶度量和相对风险厌恶度量依次为
负指数效用是刻画风险厌恶的代表性效用函数，其一般表达式为
于是其绝对风险厌恶系数是A（W）=b。这就是说，无论投资者具有多大的财富水平，其风险厌恶程度都是不变的，那么，在任何情况下他只重视收益率。所以，该投资者的投资效用也可以针对收益率。在收益率为正态分布的假设之下，即有
这样，当投资者追求期望效用最大化时，我们就有下面的等价条件：
由此，我们就解释了为什么在第2.2.3小节将效用函数定义为均值–方差意义下的二次函数形式。
2.3 风险资产组合的有效前沿
均值–方差准则从投资者风险厌恶的假设出发，给出了评判金融资产优劣的标准。当投资者面临收益与风险各不相同的多种金融产品时，怎样具体运用均值–方差准则构建最优的风险资产投资组合？本节通过介绍有效前沿的含义和计算方法来回答这一问题，并且探讨存在卖空限制对有效前沿的影响。
2.3.1 有效前沿的含义
继续上述两种风险资产的例子，如果我们考察各种不同的两项资产的组合并且推导出各种可能权重下的收益–风险曲线，那么我们将得到如图2-8所示的图形。能包含所有可能组合中的最好组合的曲线被称为有效前沿（或者有效边界，efficient frontier）。有效前沿代表了那些对特定风险水平具有最大收益率，而对给定收益率水平具有最小方差（或标准差）的投资组合的集合。有效前沿可如图2-8和图2-9所示。由于有效前沿的性质，那么图2-9中投资组合A优于投资组合C，因为A具有同C相等的收益率但却更小的风险；同样投资组合B优于投资组合C，因为组合B具有同C相等的风险却有更高的预期收益率。应该注意的是，所有单项资产都位于边界内右侧，至少当我们允许通过卖空来构造风险资产组合时是这样的。
图2-8 可获得资产的无数种投资组合
图2-9 风险资产的最小方差边界
在给定一组预期收益率、方差和协方差数据时，我们可以计算出任何特定预期收益的资产组合的最小方差。所有落在最小方差边界上，从全局最小方差组合往上的都是可能的最优风险–收益组合，因为是最优的资产组合，落在全局最小方差以上的边界被称为风险资产有效前沿（见图2-9）。
2.3.2 有效前沿的估计与计算
为了进行如上的风险–收益分析，资产组合管理人需要投资组合中每一个证券的预期收益的一组估计值和协方差矩阵的一组估计值。（在后面的章节中我们将讨论证券估值和定价的方法，现在假设我们已经获得了这些数据。）假设资产组合计划是1年期的，因此所有的估计与1年期相匹配。假设我们分析的证券有n种，以现在为起点，时间为零，我们观察这些证券的价格为：P10，…，Pn0。分析师估计出每一种证券1年后（时间1）的预期价格：E（P11），…，E（Pn1）和这一时期的预期股利E（D1），…，E（Dn）。证券预期收益率可以通过以下公式计算得到，即计算证券的持有期收益率
