各种证券的收益率的协方差（协方差矩阵）一般是通过历史数据估算的。
现在资产组合管理人已经有n个E（R）的估计值和n×n协方差矩阵的估计值，其中对角线上是n个方差，σi2的估计，n2-n=n（n-1）个非对角线上的元素为任意两种证券收益的协方差的估计值。我们知道每个协方差会在协方差矩阵中出现两次，因此准确地说我们有n（n-1）/2个不同的协方差估计值。如果我们的资产组合管理人有50种证券，我们就需要50个期望收益率的估计值、50个方差的估计值和50×49/2=1255个不同的协方差的估计值。这是一个令人生畏的工作！一旦估算完成，对于每种证券权重为wi的风险资产组合的期望收益和方差就可通过协方差矩阵并利用以下公式计算得到
只要有足够大的计算能力，我们就会产生可投资的所有资产的所有可能组合方式中的一个有效投资组合的集合，即有效前沿。该投资组合被称为有效的，当没有其他组合在相同或更低风险下提供比它更高的预期收益，或者没有其他组合在相同或更高收益情况下提供更低的风险。
计算有效前沿有两种方法。其一可以通过确定必要的预期收益率，通过方差最小化的程序计算出最小的标准差。当我们针对不同水平的必要的预期收益率重复这一寻找工作，最小方差边界的形状就呈现出来了。我们丢弃底部（如图2-10所示的虚线）部分，因为它没有效率。另外一种方法是，我们确定标准差水平，然后考察在这个风险水平下所有的资产组合（有同样的标准差）能找到的最大的收益水平。依此画出不同的圆点，这些圆点轨迹的上部就是有效前沿。
图2-10 有效前沿组合
应用马科维茨投资组合理论来估计一个包含众多资产的投资组合的风险的输入量将非常巨大。这些估计量会带来潜在误差的来源，这被称为估计风险。降低相关系数的估计数量的一个可能方法是假设股票收益率可以通过单指数市场模型（这个模型我们在第4章中会介绍）来估计
式中，bi表示证券i的收益率与整个股票市场收益率关系的斜率系数，Rm表示整个股票市场的收益率。如果每个证券都可以近似表示为上述与市场的一个关系并得到一个系数bi，那么两个证券i与j之间的相关系数就可以表示为
式中，σ2m是整个股票市场收益率的方差。这样，估计的数量就可以从1255降低为50。
2.3.3 投资者在有效前沿上的最优风险资产组合
从图2-11可看到有效前沿曲线的斜率是递减的，这意味着沿着有效前沿向上移动时增加相同的风险获得的期望收益率减小。有效前沿的斜率可表示为。个人投资者的效用函数曲线可用来确定他（她）愿意在收益和风险之间获得的平衡。与有效前沿相交的效用函数曲线决定了在有效前沿上的哪个组合是适合个人投资者的。两个投资者在有效前沿上会选择相同的投资组合仅当他们的效用函数曲线是一致的。
图2-11给出了两组效用函数曲线。记为U1（U2U3）的曲线更陡，表明投资者是强烈风险厌恶的；记为U1'（U2'U3'）的曲线表明投资者的风险厌恶程度稍弱。一个投资者的最优风险组合（optimal risky portfolio）就是在有效前沿上具有最大效用的组合，它位于有效前沿和最高可能的效用曲线的切点上。如图2-11所示，保守的投资者的最高效用位于图中的X点，而风险厌恶程度低的投资者的最高效用产生于图中的Y点上。
图2-11 有效前沿上的最优风险组合
2.3.4 均值–方差前沿组合
我们进一步讨论参与者具有均值–方差偏好时的组合选择问题和有效前沿。假设证券的收益率向量为，其均值为，协方差矩阵为。并且假设R≠0。给定总投资额，可以把组合定义成投资于各个证券/资产上的相对权重，令w=[w1，…，wN]T为组合的权重向量。组合w的收益率为。那么选择投资组合就变成了选择组合的收益率。记组合w收益率的期望为，方差为，同时记单位向量为ι。给定财富W，如果参与者具有均值–方差偏好，那么他们只关心组合收益率的均值和方差。投资者偏好收益率均值高、方差小的组合。然而，给定证券组合特别是它们的收益率，组合收益率的均值和方差是相互关联的。因此，我们来考虑这样的组合，它达到给定的期望收益率而方差最小。也就是说，在所有期望收益相同的组合中，这个组合的收益率方差最小。我们将求得这类组合的问题表述如下
上式所给出的组合叫作均值–方差前沿组合（mean-variance frontier portfolio，MVP），简称前沿组合。
由前沿组合的来源，我们可以得到如下的结论：任何一个有均值–方差偏好的参与者的最优组合是均值–方差有效前沿上的组合。这个结论很好得到，因为如果最优组合不在有效前沿上，那么则存在一个前沿组合，它与最优组合具有相同的预期收益率但有较小的方差，但这与最优组合的假设矛盾，因均值–方差效用函数对方差是递减的。
由图2-12我们可以看到在R-σ的平面上，MVF的上半部分在均值–方差意义上占优于前沿的下半部分。对于前沿下半部分的每一个组合，在前沿的上半部分都有一个收益率标准差相同但是期望收益率更高的组合与之对应。位于前沿的上半部分的组合（包括最小方差组合）叫做均值–方差有效组合（mean-variance efficient portfolios）。MVF的顶点代表最小方差组合（minimum variance portfolio），即所有MVF组合中方差最小的组合。
图2-12 均值–方差前沿组合
2.3.5 存在卖空限制时的有效前沿
这里我们需要考察一些实际情况，即投资者可能会要求增加限制条件。例如，许多机构禁止在任何资产上拥有空头；一些客户要求保证从最优资产组合中得到一个最低水平的期望股息收益；税收考虑；还有一类限制是来自于行业或国家在政治上、道德上的原因，等等。因此资产组合管理人需要根据不同客户的需求来计算不同的有效前沿。
这里以卖空限制为例进行说明。如果存在卖空限制，那么投资者的优化问题变为
重新求解这个优化问题会得到不同的有效前沿。这里需要指出的是，加入额外的限制条件所获得的收益与标准差的比率将低于限制条件少或者无限制条件的投资组合。
2.4 风险价值
用标准差衡量风险的传统方法实际上反映的是资产价格的双向波动，包含了收益和损失两个方向变动的可能。但是，由于投资人会更关注损失，所以度量低于收益率均值的偏差会更加有意义。本节首先通过半方差引出下方风险测量的问题，然后着重介绍目前主流的下方风险测量方法——风险价值（VaR），阐述其含义、测算方法、实际应用和存在的问题。
2.4.1 下方风险测度与半方差
半方差（semivariance）就是仅考虑低于均值的偏差的测度。半方差的一个扩展就是计算预期收益率低于零或某些特定值时的偏差，例如下半标准差（LPSD），即负偏差的标准差。这些风险的测度均暗含着投资者希望最小化低于某些目标的收益率的损失的假设。如果下半标准差和整体标准差强相关的话，它可以代替整体标准差来测度风险，因为投资者把风险认定为大的不利结果出现的可能性。
用半方差衡量下行风险具有合理性，并且一些投资组合理论也应用这些方法获得了发展。但是，当我们从单个资产转移到投资组合时，这些方法应用起来存在一定的困难。如果收益分布是对称的，均值–方差空间内的投资组合排序，与均值–半方差空间或其他已讨论的下行风险空间内的投资组合排序是一致的。对分散化的股票投资组合而言，对称性分布是合理的假定，因而方差是衡量下行风险的合理指标。进一步而言，实证研究表明，市场中多数资产的收益分布是对称的，因而我们无需使用半方差来度量风险。如果资产收益分布是对称的，则半方差与方差成固定比例关系。
2.4.2 风险价值的含义与测算
另一种更为主流的衡量下行风险的方法是风险价值（value-at-risk，VaR），即某种概率水平下的最小期望损失。风险价值VaR是分布函数的分位数。VaR已经被广泛地使用，尤其被投资组合管理人和监管者用来度量潜在的损失。美国银行业在20世纪80年代末到90年代初遭受商业风险的困扰，金融机构的坏账逐年增加，普遍认为是《巴塞尔协议》的信贷评估公式扭曲了贷款决策。在这种背景下，J.P.摩根公司所发明的风险价值方法能够定量地分析市场风险而获得重视。测算投资组合的VaR包括以下步骤：
1.界定影响资产组合价值的市场变量，例如：利率、汇率、商品价格；
2.确定这些变量的分布或随机过程，例如：正态分布、t分布等；
3.将资产组合的市场价值表达成这些变量及其相关系数的函数；
4.选择某种方法来预测这些市场因素的变化，通过函数得到资产组合的市场价值的改变量——即“风险价值”（VaR）。
2.4.3 风险价值的应用与存在的问题
2012年已有超过1000家银行、保险公司、投资基金、养老金基金及非金融公司采用VaR方法作为金融衍生工具风险管理的手段。利用VaR方法进行风险控制，可以使每个投资者都能确切地明了他们在进行有多大风险的金融交易，并可以为每个交易员或交易单位设置VaR限额，以防止过度投机行为的出现。在金融投资中，高收益总是伴随着高风险，交易人员可能不惜冒巨大的风险去追逐巨额利润。出于稳健经营的需要，必须对交易中可能产生的过度投机行为进行限制。所以，引入VaR作为业绩评价指标十分必要。
相比于以标准差为代表的传统风险测度，VaR着重于考虑更重要的资产下行风险，特别是极端情况下的损失规模，但是VaR也存在一些局限。例如，VaR值表明的是一定置信度内的最大损失，但并不能绝对排除高于VaR值的损失发生的可能性。例如假设一天的99%置信度下的VaR=1000万元人民币，仍会有1%的可能性会使损失超过1000万元人民币。这种情况一旦发生，给经营单位带来的后果就是灾难性的。
2.5 两基金原理
均值–方差准则和有效前沿共同给出了最优风险资产组合的构建方法。进一步我们要考虑融资因素，或者说投资的杠杆因素，为此本节引入无风险资产，讨论当投资者同时面临无风险资产和多种风险资产时，怎样作出最优的投资决策。两基金分离定理将投资决策分成了两个独立的阶段：一是构建最优的风险资产组合，二是对无风险资产与最优风险资产组合进行再组合。
2.5.1 资本配置线
无风险资产与任意风险资产构造资产组合，将形成一条资本配置线（capital allocation line，CAL），如图2-13所示。我们设y为投资组合的风险资产配置率，于是（1-y）就是分配给无风险资产的份额，该组合的收益率就是
图2-13 资本配置线
Rp=yRA+（1-y）Rf （2-49）
对于式（2-49）求数学期望，就有
E（Rp）=yE（RA）+（1-y）Rf （2-50）
或者
再对式（2-49）求标准差
σp=yσA （2-52）
或者
y=σp/σA （2-53）
观察式（2-51）和式（2-53），我们看到y既配置了风险溢价也配置了风险。y＞1，则扩大了风险溢价和风险；此时1-y＜0，这就是买空无风险资产，或者是融资。杠杆就产生了。
有CAL的表达式
CAL反映的是将一定量的资本在某一特定的风险资产组合与无风险资产之间分配，从而得到所有可能的新组合的预期收益与风险之间的关系。它是在期望收益–标准差平面坐标中标出投资组合的特征。由于无风险资产的标准差为0，故CAL应该与纵轴相交，截距为无风险收益率。当期望收益E（r）在0~1之间变动的时候，就出现了风险资产和无风险资产组合的问题。
应当特别强调的是，无风险资产的引入，通过CAL与有效前沿的结合将不含无风险资产的有效前沿向上提升了。这就是“杠杆效应”。
2.5.2 资本市场线
在引入无风险资产后，市场组合M与无风险资产构成的全部资产组合的集合，即资本市场线（capital market line，CML），它构成了风险资产与无风险资产组合的有效边界，如图2-14所示。
图2-14 资本市场线
根据
E（Rp）=yRf+（1-y）E（RM）
σp=（1-y）σM
得到CML的计算式
CML的经济学含义是一个由无风险资产和市场组合组成的资产组合的期望收益率，是由无风险收益率Rf与风险溢价两部分组成，其中风险溢价表示为单位市场的超额收益与整个资产组合风险的乘积。
通常CML是向上倾斜的，CML的斜率反映有效组合的单位风险的风险溢价，表示一个资产组合的风险每增加一个百分点，需要增加的风险报酬，其计算公式为
CML给出风险水平不同的各个有效证券组合的预期收益。不同投资者可根据自己的无差异曲线在资本市场线上选择自己的资产组合。
对于风险承受能力弱、偏爱低风险的投资者可在CML上的左下方选择自己的资产组合，一般可将全部资产分为两部分，一部分投资于无风险资产，一部分投资于风险资产，越是追求低风险，在无风险资产上投资越大，所选择的资产组合点越接近于纵轴上的Rf。
对于风险承受能力强、偏爱高风险的投资者可在CML上的右上方选择自己的资产组合，一般将全部资金投资于风险资产组合后，还按无风险利率借入资金投资于风险资产。风险偏好越强，借入资金越多，所选择的资产组合点沿着CML线向上走，如图2-15所示。
图2-15 沿着CML的风险差异
2.5.3 两基金分离定理
投资者选择资本市场线上的哪一点取决于他的风险厌恶程度。但是，由于在无风险利率既定情况下的最佳风险组合是唯一的，因此所有投资者都有相同的资本市场线。由此可得出两基金分离定理（two-fund separation theorem），该定理认为投资者的投资决策可以分为以下两步进行：
第一步：选择最优风险资产的组合，或称为市场组合。最优风险资产组合满足在相同的风险下没有其他资产组合收益率的期望更高；或者在相同的期望收益下没有其他资产组合风险更低；即满足均值–方差准则下有效前沿的条件。
第二步：构建最优风险资产组合与无风险资产的再组合。投资者根据自身的风险偏好，在资本市场线上选择一个由无风险资产与市场组合构造的资产组合，该资产组合要求使投资者的效用满足程度最高，即无差异曲线与资本市场线的切点。
以上两个步骤将整个投资决策分成了彼此独立的两个阶段，将无风险资产的配比与风险资产组合的构建分离开来，故称为两基金分离。由两基金分离理论可以发现：第一，最优风险资产组合的确定与个别投资者的风险偏好无关；第二，最优风险资产组合的确定仅取决于各种可能的风险资产组合的预期收益和标准差。
关键术语
收益（return）
持有期收益率（holding-period return，HPR）
必要收益率（required rate of return）
预期收益率（expected rate of return）
风险（risk）
方差（variance）
标准差（standard deviation）
半方差（semivariance）
风险价值（VaR）
风险溢价（risk premium）
效用（utility）
无差异曲线（indifference curve）
均值–方差准则（mean-variance criterion）
确定等价收益率（certainty equivalent rate）
风险厌恶（risk averse）
风险中性（risk neutral）
风险喜好者（risk lover）
投资组合（portfolio）
多样化/分散化（diversification）
组合预期收益率
组合收益率的方差
协方差（covariance）
相关系数（correlation coefficient）
有效前沿（efficient frontier）
最优风险组合（optimal risky portfolio）
均值–方差前沿组合（MVP）
资本配置线（CAL）
资本市场线（CML）
两基金分离定理（two-fund separation theorem）
扩展阅读
1.Harry Markowitz.Portfolio Selection[J].Journal of Finance，1952，7（1）：77-91.
2.Harry Markowitz.Portfolio Selection：Efficient Diversification of Investment[M].New York：John Weily & Sons，1959.
3.Samuelson P A.The Fundamental Approximation Theorem of Portfolio Analysis in Terms of Means，Variances and Higher Moments[J].The Review of Economic Studies，1970：37（4）：537-542.
4.滋维·博迪，亚历克斯·凯恩，艾伦J.马库斯.投资学[M].汪昌云，张永冀，译.9版.北京：机械工业出版社，2012.
5.王江.金融经济学[M].北京：中国人民大学出版社，2006.
