我们把证券的持有期收益率写成
的形式，从而简要地将宏观经济决定的共同因素和公司特有因素分开。这里E（Ri）是证券持有期期初的预期收益率，mi是在证券持有期间未预期到的宏观事件对证券收益的影响，ei是未预期的公司特有事件的影响。mi和ei都具有零期望值，因为它们都是未预期事件的影响，根据定义其平均值必然为零。
我们还可以得出进一步的结论，即不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度。因此，如果我们记宏观因素的非预期成分为F，即证券i对宏观经济市场的敏感度为βi，那么证券i的宏观成分为mi=βiF，则上式变成
上式被称为股票收益的单因素模型（single-factor model）。
单因素模型的应用要选择具体的统计变量。CAPM告诉我们，代表系统风险的市场组合的风险溢价是首屈一指的解释变量。在实际投资中，市场组合的代理变量是股票指数，最为理想的是最为全面的综合指数，如沪市综合指数。而经过实践检验的卓有成效的成分指数也是比较理想的选择，如，沪深300指数、标准普尔500指数。这就得到单指数模型（single-index model），这就是CAPM的统计模型。
根据指数模型，我们可以把实际的或者已实现的证券超额收益率分解为宏观（系统）的与微观（公司特有）的两部分，再加上由统计残差表示的不可识别的收益率成分。如下写成
如果我们把超过无风险收益的超额收益率记为ER，那么这个等式就可以写为
我们把指数模型写为超过无风险收益的超额收益的形式而不是总收益率的形式，这是因为股票市场的收益率水平只有在与国库券的无风险收益率相比时才能说明宏观经济的状态。
式（3-22）表明，每种证券有两种风险来源：市场风险或称之为系统风险，源于它们对宏观经济因素的敏感度，反映在市场超额收益率ERM上；公司特有风险，反应在ei上。如果市场超额收益率的方差记为σ2M，则我们可以把每只股票收益率的方差拆分成两部分：①源于一般宏观经济因素不确定性的方差β2iσ2M，②源于公司特有不确定性的方差σ2（ei）。根据线性模型的设定，市场超额收益率和ei的协方差为零，从经济学上理解ei被定义为公司特有的，即独立于市场的运动。因此证券i的收益率的方差等于两部分方差之和，即
那么两只股票收益率的协方差就可以由下式得到
因此，两种股票收益率之间的协方差的唯一来源是它们共同依赖的共同因素市场超额收益率，即股票之间的相关系数源于每只股票都在一定程度上赖于宏观经济这个性质。
如果在式（3-24）中取股票j为市场指数基金，那么我们有
式（3-25）中的敏感度系数βi代表指数模型中股票i关于指数基金的敏感度，即指数贝塔
可见，指数模型贝塔系数与资本资产定价模型贝塔系数具有相同的形式。
指数模型的构建确实不需要CAPM的严格的关于市场和投资者的8项假定，但是这只是形式的优势。我们仔细考虑一下，式（3-21）成立的含义包括指数对于每一只股票的完全解释能力，剩余的要全部归于标准残差，要求残差满足均值为零、方差同性、相互不相关、与指数不相关的基本性质。这个要求难道不高吗？然而，这个方法论却为向多因素模型扩展奠定了基础。如果残差不达标，就需要增加新的风险因素，直到达标为止。
指数模型在专业研究方面的成本优势更是突出的。CAPM建模的基础在于不同股票之间的协方差计算，这就需要行业分析和上市公司的主营业务的深入研究，这要花去很高的人力成本。例如汽车制造业和房地产行业之间的关系在不同的经济体的不同发展阶段是不同。目前，在中国消费升级正在从东部到西部顺序而持续展开，但是区分一、二、三线城市的房地产的巨大差距就阻碍了在新型消费结构中住房与私人汽车的关联。对此，需要深入的分地区的行业研究。再有，煤炭行业和发电行业受到产业升级和新能源发展的影响也发生着不可忽视的变化。而指数模型是基于历史数据库的统计分析，可以分别单只股票进行回归，简化了行业研究，工作量大幅度下降。
指数模型可以通过运用对超额收益率的回归分析来估计。回归线的斜率是资产的贝塔值，而截距是样本期间的资产的阿尔法值。回归线也被称为证券特征线。由回归方程进行估计得到的残差是股票非预期的公司特有成分的估计，因此可以通过对残差序列的样本方差估计来计算得到公司特有风险的方差σ2（ei）的估计；回归方程得到的贝塔等于资本资产定价模型的贝塔。
3.5.2 指数模型的风险分解与风险分散化
由夏普（Sharpe）首先建立的指数模型提供了投资组合风险分散化的另一个视角。假定我们选择有n个证券的等权重组合。每个证券的超额收益率由式（3-22）给出。那么，这个组合的超额收益率为
同时我们也可以把组合的超额收益率写为如式（3-22）的形式
比较上述两个式子，我们看到投资组合对市场的敏感度可由下式给出
同时，组合有一个非市场收益的常数项，它是单个阿尔法的平均值；加上零均值变量。因此，该组合的方差为
投资组合方差的系统风险部分β2pσ2M依赖于市场变动的部分，同时依赖于构成组合的单个证券的敏感度系数。组合的系统风险依赖于资产组合的贝塔和σ2M的关系，不管组合的分散化程度如何都不会改变。无论持有多少股票，它们在市场中暴露的风险将反映在投资组合的系统风险中。相比较，投资组合方差的非系统成分是σ2（eP），它来源于公司特有成分。因为这些成分是独立的，都具有零期望值，所以可以得出这样的结论：随着越来越多的股票加入投资组合中，公司特有风险将由于市场竞争中的此消彼长而被削弱，非市场风险变得越来越小，这些风险被认为是可分散的。为说明这一点，我们不妨考虑将组合权重平均分配给n只构成组合的股票，并以σ2作为所考虑股票方差的一个上界，那么
于是当组合的股票数量n增大时，非系统方差趋于零。简而言之，随着分散化程度的加强，投资组合的方差趋近于系统性的方差，β2pσ2M。图3-5给出了组合风险的分解和对于非系统风险（unsystematic risk）的分散作用。
图3-5 单指数模型中风险系数为β的投资组合的方差
总之，在指数模型的框架下，我们对于投资由股票和公司债券所构成的风险证券组合的风险有了系统认识。组合风险分为系统性风险（或者市场风险）和非系统性风险（或者个别风险）。前者是所有证券所面临的整个宏观经济运行所带来的风险，后者是具体股票商业经营中所形成的风险。非系统性风险是可以通过充分分散化而消除的，而系统性风险是不能通过分散化而消除的。但是，投资者在选择投资组合时可以选择所承担的系统性风险的程度。因为，在竞争均衡时，我们承担风险是完全由系统性风险来揭示的，即由贝塔系数的绝对值的大小决定了所承担的系统性风险的程度的高低。
那么在实际中，一个投资组合或者证券投资基金所包含的股票只数是多少可以以最小的管理成本而达到充分分散化呢？美国共同基金数十年的实践表明15~20只。
3.5.3 阿尔法系数：指数模型与CAPM的差异
我们知道，资本资产定价模型是关于预期收益的均衡状态或者基准的模型，据此我们可以评价当前市场交易所决定的股票收益率的合理性。然而在实际中估计预期值是个困难的事情，人们可以直接观察到的是已实现的收益。但是，相对于理论CAPM，指数模型基于已实现的收益可以给出所考虑的股票当前的相对于必要收益率的状态和程度，这就是阿尔法系数。
由于公司特有的或非系统的成分独立于整个市场的或系统的成分Cov（ERM，ei）=0，即，那么我们对式（3-22）两边取期望，得到
而资本资产定价模型所揭示的预期收益–贝塔关系为
指数模型关系与资本资产定价模型的预期收益–贝塔关系的比较表明，资本资产定价模型预言所有资产的αi将为零。一只股票的阿尔法值是它超过（或低于）由资本资产定价模型预测的必要收益的部分。如果股票公平定价，则其阿尔法值必定为零。一些证券将比预期的更好，也有可能比预期的坏。也就是说，它们在整个样本期内将显示出正的或负的阿尔法值。但这些较好或较差的表现不能被提前预知。在实际投资中，根据阿尔法值，我们可以选择被低估或者高估的证券，调整投资方案，获得套利收益。根据指数模型的阿尔法系数还可以评价证券投资基金的绩效。任何时刻，市场上具有不同状态的阿尔法值的股票总是同时存在的。对于这个问题的很有价值的证据是由Jensen（1968）最初整理的。他考察了1945~1964年间美国共同基金的已实现阿尔法值，发现这些阿尔法值的频率分布确实像是围绕着零而分布的，如图3-6所示。
那么中国市场的情形如何呢？我们选取2006年6月~2010年7月中国证券市场股票型开放式基金周收益率数据，计算其阿尔法系数的分布，如图3-7所示。可见，其均值和中位数在0.0005~0.0015。
图3-6 共同基金阿尔法值的频率分布
资料来源：Michael C Jensen.The Performance of Mutual Funds in the Period 1945–1964[J].Journal of Finance 23，（May 1968）.
图3-7 中国股票型基金阿尔法值的频率分布
关键术语
资本资产定价模型（capital asset pricing model，CAPM）
贝塔系数
证券市场线（security market line，SML）
证券特征线（security characteristic line）
必要收益率（required return）
单因素模型（single-factor model）
单指数模型（single-index model）；
系统风险（systematic risk）
非系统风险（unsystematic risk）
扩展阅读
·William F Sharpe.Capital Asset Prices：A Theory of Market Equilibrum Under Conditions of Risk[J].Journal of Finance，19（3），1964：425-442.
·John Lintner.Security Prices，Risk and Maxmal Gains from Deversification[J].Journal of Finance，20（4），1965：587-615.
·Jan Mossion.Equilibrium in a Capital Asset Market[J].Econometrica 34（4），1966：768–783.
·Ravi Jagannathan，Zhenyu Wang.The Conditional CAPM and the Cross Section of Expected Returns[J].Journal of Finance 51，no.1（March 1996）：3–53.
·Michael C Jensen.The Performance of Mutual Funds in the Period 1945–1964[J].Journal of Finance，23.（May 1968）.
