内容提要
CAPM理论揭示了证券风险收益的本质，得到了十分漂亮的结果，但是对于投资者和市场要求太高了。于是，有了套利定价理论，允许异质性和私人信息的存在；据此，有了可以实战的方法论。本章我们将特别介绍Fama-French（1992）提出的三因素模型和算法交易的思路。
在第2~3章中，我们介绍了马科维茨投资组合理论和资本资产定价模型的核心内容，这是新古典金融学的基石，而下一个里程碑就是套利定价理论（arbitrage pricing theory，APT）。这个理论由斯蒂芬·罗斯（Stephen Ross）提出。一般的CAPM与APT之间形式上最主要的区别在于CAPM是单因素模型，而一般所指的APT是多因素的，因而APT对系统的投资风险有一个更广泛的定义。但是二者在金融学思想上的差异确是本质上的。CAPM是一般竞争均衡，其对于投资者的要求是一致的，而APT允许投资者的异质性，突出少数套利机会发现者的套利机理。
尽管套利定价理论有很多吸引人的优点，但当投资者企图利用这个理论的时候就会面临现实的挑战，模型中的风险因素就是挑战性的表现。在本章中我们还将讨论多因素模型，这个模型将APT转化为在证券分析领域中更容易被掌握的工具，即将理论变为实践。当前在投资实践中有各种因素模型被使用，这些模型的区别主要在于它们如何定义风险因素，并且根据风险因素可以把众多多因素模型分为两大类，使用宏观经济因素的模型和使用微观经济因素的模型，其中Fama-French（1992）提出的三因素模型是最为经典和具有指导意义的。本章最后还简单介绍了算法交易相关知识。
4.1 因素模型
单因素模型是第2章的CAPM的单指数模型的泛化。这样一种简洁的线性形式受到业者的认可与欢迎。我们要的就是风险因素和敏感度，由此得到投资方向与实施策略的指导。
4.1.1 单因素模型
在上一章讨论资本资产定价模型时，我们知道任何证券的收益率由代表系统风险的市场组合的超额收益率（风险补偿）这个唯一因素所决定。将这一结论推广，我们可以认为有风险证券的收益率是由经济中的某一因素来决定的，这个因素不一定是市场组合或者市场指数的超额收益率（风险补偿）。因素模型实质上反映了证券收益率是如何生成的，而单因素模型则认为收益形成过程只包含唯一的因子。它假设
式中，ri（i=1，2，3…，n）为风险资产i的收益率；F为影响证券ri的共同风险因素，是所有i都面临的共同风险因素；αi为截距项，表示共同风险因素F为零时的风险资产的预期收益率，βi表示风险资产i的收益率对共同风险因素F的敏感度；εi为误差项，一般认为其期望值为零，方差是常熟，相互之间不相关，与F也不相关。这里影响风险资产收益率的共同风险因素F可以是市场指数、经济增长率、基准利率，也可以是通货膨胀率等。
由于经济现象的复杂性，我们无法确切了解未来共同风险因素的具体数值，所以通常取它的期望值。因此上述单因素模型可以用期望值表示为
式中，E（ri）为风险资产i的期望收益率；E（F）为共同风险因素F的期望值；E（εi）=0。现在我们再来看风险资产i的方差。因为εi与F不相关，所以可以导出
即风险资产i的风险可以分为两项：一个是等式右边第一项β2iσ2F，它反映了F的系统风险，是由共同风险因素F产生的，第二项σ2εi，它反映了非系统风险。
我们再看协方差。假设有另一风险资产j，那么我们很容易可以推导出风险资产i和风险资产j收益率的协方为：
由马科维茨资产组合理论，我们可以知道，如果我们要分析一个由n项资产构成的投资组合，计算组合的方差—协方差矩阵需要进行次的方差—协方差的测算。但现在只需要测算n个βi和一个σ2F就可以了。如果n=50，前者需要1275次测算，后者只需101次，工作量减少很多，即使有计算机高速运算能力的支持，对于一般投资者来说，前者的测算仍然很不方便。
4.1.2 市场模型
在第2章讨论的CAPM演化的单指数统计模型是一种特殊的单因素模型。我们用有风险市场组合的超额收益率（风险补偿）作为共同风险因素。于是有
或者
式中，ri代表证券收益率；rf代表无风险利率；rM代表给定市场指数的收益率，例如，上证综合指数、深证综合指数、沪深300指数、恒生指数、标准普尔500指数等。在实际操作中，市场指数的标的是该指数的ETF基金。
因为上述关系对于证券组合也一样成立，如果i就代表指数基金本身，那么对比等式两边就可以知道，αM=0，βM=1。
εi为随机误差项，它包含了除市场指数以外所有其他因素的影响。同时还假设E（εi）=0，Cov（εi，ri）=0，Cov（εi，rj）=0。这些假设主要是对随机误差项的说明：即随机误差项数学期望为零；它与市场指数不相关；任意两只不同的证券的随机误差项不相关。因此，
式（4-6）表明证券i期望收益率由唯一因素——市场指数来确定的，而且它们之间是一元线性关系。式（4-7）表明证券i风险由两个部分组成：一个是等式右边第一项β2iσ2i，它反映了系统风险，是由市场产生的；另一个是第二项σ2εi，它反映了非系统风险，是该证券所对应的公司的商业风险。
4.1.3 多因素模型
如果单指数模型的残差达不到标准残差的要求，说明在市场风险之外还有别的影响证券风险收益的系统性因素，这就要建立多因素模型。首先要考虑的就是宏观经济因素，如经济增长率、通货膨胀率以及利率水平等。多因素模型公式为
式中，m为因素个数，Fi表示第i个风险因素的非正常状态。
模型假设
E（εi）=0，即系统性风险以外的预期收益率为零；
Cov（εi，Fi）=0，即个别收益率与共同风险不相关；
Cov（εi，εj）=0，即任意两只不同的证券的个别收益不相关；
Cov（Fi，Fj）=0，任意两个不同的风险因素不相关。
利用上述模型，我们可以求得单个证券的期望收益率与方差，即
式（4-9）表明证券收益率是m个共同风险因素期望值的线性组合。式（4-10）表明单个证券i风险由两个部分组成：一个是等式右边第一项，它反映了系统风险，是由共同风险因素产生的；另一个是第二项σ2εi，它反映了非系统风险，产生于商业竞争。
从式（4-10）可见，系统风险起到风险收益的支配作用的前提是消除非系统风险，根据第4章指数模型的讨论可知，充分分散化是主要手段。如此，不仅保证了式（4-9）的成立，而且使得残差的波动可以忽略不计。
4.2 套利均衡
最关键的是理解套利均衡的基本思想和分析思路。
4.2.1 套利理念
说起来，套利均衡是一个很朴素的商业观念。几千年的商品交换的实践形成了“一价率”（on price law）的商业理念：一种商品在两个市场除去交易成本之外应当具有相同的价格。这就是套利均衡（arbitrage equilibrium）状态。若不然，会怎样呢？只要市场是自由的，商人们就会在低处买进而在高处卖出，价格就趋于相同了。低买高卖就是“套利”（arbitrage）。引申一步的套利是可以先卖空再买进。
1978年年末，中国的市场交易悄然而复原。大批回城知识青年已经三十而立了，何以挤在父母家中，还要受弟弟妹妹的白眼。市场发展初期，短缺经济主宰，机会遍地都在。举两个典型例子。
倒时装。20世纪70年代末的广州已经有与香港的服装贸易通道，那是时下的中国巴黎。北京的时装流行要晚一个月，价格差上一倍。于是知青迫于生计而冒险倒时装，坐火车到广州买上大包时装，带回北京街头叫卖。两地价差两三周后趋于一致。随着倒服装的流行，两地价差显著缩小。
倒邮票。80年代初北京月坛和上海工人体育场是全国著名的邮票交易市场。月坛邮票供给充分，价格明显低于上海工体。于是，邮票买卖的弄潮儿在两地套利。早晨在月坛采购几十万元的邮票，乘飞机到上海工体出售，一天一个来回。在套利者的活动下，两地邮票价格趋于一致。
再看两个典型的现代金融套利案。
“9·11”股市波动。2011年的“9·11”事件震惊美国，这是美国本土第一次遭受攻击，举国愤慨。股市闭市一周。对冲基金却从中看到了股市的套利机会。“9·11”冲击改变了股市的原有平衡，复市以后一定要反应这个冲击。那么，哪些股票会跌，哪些会涨呢？分析表明，航运类、旅游类会跌，而医药类、军工类会涨。因此，对冲基金做好准备，一开市就做出了套利组合，一个月后大获收益。
安然事件。2001年12月2日，曾经连续六年被《财富》杂志评选为“美国最具创新精神公司”的安然公司突然向法院申请破产保护，该案成为美国历史上最大的一宗破产案，股价迅疾大跌。随着事件的真相逐渐浮出水面，世界上最强大的会计师事务所安达信由于为安然长期造假而被法律终结。这是美国公司史和证券史上最大的地震。随后，《萨班斯法案》问世，上市公司的内控革命开始。问题在于，安然事件之处的对冲基金在想什么？他们面对资本市场所受的巨大冲击，冷静地思考套利机会。美国股市肯定要大幅度而且持续调整了，但是谁会暴跌呢？对冲基金的数据库开始运转，依照近两年业绩如安然一样超常增长和安达信的老客户这两条准则，筛选对象，像世界通信公司这样的涉嫌作假的股票就进入视角。经过进一步论证，做空资产池形成了。那么向谁做多呢？覆巢之下安有完卵，投资者恐慌中已经来不及选择良莠了，资金必然流向安全的国债。于是做多国债的思路形成了。这样一次套利更体现了优秀对冲基金套利机会捕捉的核心竞争力。
归纳这两个事件，我们可以看到，第一，突发事件破坏了原有的套利均衡，出现套利机会；第二，有着技术准备的投资者抓住稍纵即逝的机会，迅速出击，带动市场消除套利机会而恢复均衡。因此，我们要有完备的风险因素和均衡定价基准。
4.2.2 APT模型假设和主要内容
第2章我们讨论了CAPM在投资管理领域的许多用途，这个模型自从提出以来也确实是金融经济学理论中最有用并且被应用最频繁的模型之一。但是，实证研究没有对于CAPM提供支持证据，贝塔系数普遍不稳定。更为重要的是，统计回归的结果是不是达到竞争均衡的结果，无从判断。从理论上讲，信息的完全性就要求没有私有信息且信息无成本，这在实际中是无法满足的。因此，我们需要新的标准。
因此，金融经济学家开始寻找更合理的、只需要有限假设的、对投资风险有多维度量的其他资产定价理论，并且发展了套利定价理论（arbitrage pricing theory，APT）。该理论由Ross在20世纪70年代中期提出。这个理论有三个主要的假设：
1.资本市场是完全竞争的。
2.相对于确定的更少的财富而言，投资者总是更偏好更多的财富。
3.资产收益产生的随机过程可以被表示成K个风险因素（或指数）集合的一个线性函数。
其中的“完全竞争”要求虽然难以实现，但是可以无限接近。我们一直努力地完善证券市场监督机制就是为了这个目的。APT理论的最重要的突破就是放弃投资者的一致理性要求，预期可以是异质的。
在推导CAPM时同等重要的如下主要假设在套利定价理论中已经不再需要：①投资者一致拥有的风险厌恶的二次型效用函数。②证券收益正态分布。③市场组合包含所有风险资产，并且是均值–方差有效的。很明显，如果模型变得更简单并且可以解释不同证券的价格，它将会被认为是比CAPM更方便实用的理论。
APT假设资产收益产生的随机过程可以被K个因素的模型表示，即有如下的形式
式中，Ri代表在特定的时间段内资产i的真实收益，i=1，2，…，n；E（Ri）代表资产i的期望收益率；bij代表资产i的收益率对共同风险因素j的变动的反映程度，j=1，2，…，n；δj代表第j个共同因素或者股票指数，具有零均值，并且相互不相关；εi代表资产i的收益的特定影响（即随机误差项，对完全多样化的投资组合而言，它的均值是零，而且Cov（εi，εj）=0，i，j，i≠j）；n代表资产的数量。
方程中有两项需要更详细的讨论：δk和bij。
δj（j=1，2，…，k）代表了对所有资产有影响的多个风险指标。这些指标的例子可能包括股票指数、通货膨胀、GDP的增长率、政治剧变、利率的变化。与CAPM不同，套利定价理论认为有很多这样的影响收益率的指标，而不仅仅只有资产与市场组合的协方差（即资产的贝塔）这一个风险度量指标。不同风险因素之间是不相关的，风险因素与随机误差项也不相关，即Cov（δi，δj）=0，i，j，i≠j，Cov（δi，εi）=0，i。
给出共同的风险因素δj后，bij项就决定了每项资产对第j个因素的反应。扩展之前的表述，尽管所有资产可能都受诸如经济增长因素的影响，但是每个资产对这个因素的反应程度不同，这也就意味着每个资产的bij不同。这个在现实中是很自然的，例如周期性公司的股票将比非周期性公司的股票价格对经济增长更加敏感，因此具有更大的bij；再例如现实中所有股票会受到利率变化的影响，但是某些受到的影响会更大，即存在利率敏感性股票。对于共同风险因素——利率，它们相对于其他股票有着更大的bij。除了之前我们提到的一些共同的风险因素，其他的一些例子还包括失业率、汇率、收益曲线的移动等共同风险因素。这里需要指出的是，当你应用这个理论时，模型中的这些因素是未确定的。这意味着，在APT的实证研究中，研究者需要指明他们所发现的影响证券收益的共同因素的数量，是三个、四个还是五个，但是他们不一定会给出这些因素的具体说明。
与CAPM相似，APT假定了资产的特定影响εi是独立的并且在大型的投资组合中可以被多样化消除。套利定价理论要求了在均衡条件下，当资产特定影响可以被多样化消除时，零投资、零系统风险的投资组合的收益是零。也就是达到了“套利均衡”，也就是通过套利活动而达到的无套利机会的均衡。这就是说几乎所有资产（组合）i的期望收益可被表示为
式中，λ0代表零系统风险的资产的期望收益率；λj代表对第j个共同风险因素的风险溢价，j=1，2，…，k；bij代表资产i的风险溢价与共同风险因素j之间的定价关系。上式代表了套利定价理论的基本结果。
CAPM的本质是说在竞争均衡状态下任何一个投资组合的必要收益率是系统风险溢价的一个比例。同样的思想，在套利均衡的状态下投资组合的必要收益率也是若干个系统风险溢价的线性组合。
4.2.3 基于APT的必要收益率
我们之前提到过，在证券估值上应用套利定价理论的最大挑战就是风险因素的确定，这个问题我们稍后会继续讨论。这里我们通过一个例子来说明套利定价理论是如何工作的。在这个例子中我们的价格有两个风险因素：一个是未预期到的通货膨胀水平的变化，另一个是实际GDP的未预期到的变化。我们将该例子要用的变量标记如下，并考虑两只股票：
δ1=通货膨胀率的未预期变化。这个因素的风险溢价为：风险因素每1%的变化对应的风险溢价为2%，即λ1=0.02
δ2=实际GDP增长率的未预期变化。这个因素的平均风险溢价是：增长率每1%的变化对应的风险溢价为3%，即λ2=0.03
λ0=零系统风险（零贝塔）资产的收益率是4%，即λ0=0.04
假设两个资产（x和y）对这些风险因素的反应系数如下：
bx1=资产x对通货膨胀因素的反应系数，等于0.50，即bx1=0.50
bx2=资产x对GDP因素的反应系数，等于1.50，即bx2=1.50
by2=资产y对通货膨胀因素的反应系数，等于2.00，即by2=2.00
by2=资产y对GDP因素的反应系数，等于1.75，即by1=1.75
这些因素敏感性可以等同于CAPM中的贝塔系数加以解释，即bij的值越高，说明资产i对第j个风险因素的变化越敏感。正如上面给出的例子，如果资产y收益率受这两个因素的影响更大，那么资产y是一个风险更大的资产，它的期望收益率自然应该更高。我们知道APT给出的证券必要收益为
因此，资产x和y的期望收益率分别为
E（Rx）=0.04+0.02×0.05+0.03×1.50=0.0950=9.50%
E（Ry）=0.04+0.02×2.00+0.03×1.75=0.1325=13.25%
这两项资产的收益和风险因素的关系我们在图4-1中给出了。
图4-1 预期收益和两个风险因素之间的关系
注：λ0=4%，λ1=2%，λ2=3%。
4.2.4 套利交易和定价
如果上述讨论的两个资产的实际价格没有正确有效反映这些风险因素的影响，我们可预料到投资者会抓住这个套利机会，卖出被高估的资产，利用获得的收入来购买被低估的资产，直到套利机会已经微乎其微，原来错误定价已经被纠正。
我们用一个例子来解释套利的过程。假定有三只股票（A、B和C），两个共同的系统风险因素，这里为了简便，我们假设无风险收益为零，即λ0=0，股票期望收益有如下的关系
E（RA）=0.80λ1+0.90λ2
E（RB）=（-0.20）λ1+1.30λ2
E（RC）=1.80λ1+0.50λ2
如果λ1=4%、λ2=5%，那么这三只股票下一年的期望收益率就为
E（RA）=0.80×4%+0.90×5%=7.7%
E（RB）=（-0.20）×4%+1.30×5%=5.7%
E（RC）=1.80×4%+0.50×5%=9.7%
假设这三只股票当前的价格均是35元，并且下一年没有股息，这意味着从套利均衡定价出发，这三只股票一年以后的价格应该分别为
E（PA）=35×1.077=37.70
E（PB）=35×1.057=37.00
E（PC）=35×1.097=38.40
现在假设你判断一年后三只股票的实际价格分别是37.2元、37.8元和38.5元，那么你将会如何利用你认为市场错误定价这个优势呢？按照你对未来价格的预测，股票A在一年之后没有达到与投资者期望收益一致的价格水平，那么它的当前的价格就是被高估的；同样，股票B和C都被低估了。
如果以收益率来判别，就将当前交易价格转换为收益率
于是，与套利定价公式所得必要收益率相比，A的当前价格过高，使得收益率低于必要收益率，也就是说A被高估了；同理，B和C被低估了。
那么，任何希望利用这些差异构建投资策略的投资者都需要考虑买入股票B和C，同时卖出股票A，此时就出现了一个无风险的套利机会。
“无风险套利”的想法是构造一个组合：①不需要最初净财富的投资；②不需要承担系统的或者非系统的风险；③但是却能赚到一定的利润。即当前不付出成本，不冒风险，却能在未来获得正的收益。但是，却要求套利者有知识有胆识。令wi代表投资于证券i上的份额，上述条件可以被表述成如下的式子
1.Σiwi=0（即没有净财富的投入）
2.对所有K个风险因素，Σiwibij=0（即无系统风险），并且对所有i而言wi都很小（非系统风险被完全分散掉了）
3.ΣiwiRij>0（即组合的实际收益是正的）
假如我们构建这样的一个组合：卖空股票A并利用这些收入买入两个被低估的股票B和C，更具体地，令wA=-1.0，wB=+0.5，wC=+0.5。为了计算方便，我们卖空2股股票A，并且买入1股股票B和1股股票C。我们注意到这个组合是满足套利交易的要求的
最初的净投资地=卖空2股股票A+购买1股股票B+购买1股股票C
=+2×35-35-35=0
对风险因素的净风险暴露：
假定一年后的股票价格真的达到我们最初预测的价格水平，那么这个投资组合的净利润将是
净利润=（2×35-2×37.2）+（37.80-35）+（38.50-35）=1.90
因此这个投资组合不需要任何财富的投资并且不承担任何净风险，但是却可以获得正的利润。这就是套利投资的本质，并且也是对冲基金经常采用的“多空”策略的例子。
最后，如果现在市场上的所有投资者都将开始相信你对于这三只股票价格的判断，但是不改变他们对于期望收益率和单只股票对风险因素的敏感系数的判断，那么这三只股票现在的价格就会通过大量的套利交易而被调整为
PA=37.20÷1.077=34.54（元）
PB=37.80÷1.057=35.76（元）
PC=38.50÷1.097=35.10（元）
显然，股票A因为大量被卖出价格将会降低，而股票B和C因为大量被买入价格都会被抬高，直到套利交易在当前的市场上不再有利可图。
前面的讨论突出了套利机会的发现与实施过程。但是套利均衡还有另一面——风险中性，即无论系统风险如何变化，无风险组合的收益保持不变。我们将讨论这个性质。
套利均衡的风险中性条件：
我们看一个单因素模型。假设投资者构造这样的资产组合：
1.无风险利率借入1元钱；
2.将1元钱投资在两种风险资产，这样构造一个自融资组合。
式中，ri表示第i只证券的预期收益率。
无风险意味着风险因素f前面的系数为零，于是
w（bi-bj）+bj=0 （4-14）
由此解出达到无风险套利状态的最优配置w*
将w*带入式（4-15），在无风险条件下，投入为零，总收益也为零，得到
展开式（4-15），得到
进而，我们得到无套利机会的条件
该式的含义是任何一个组合的系统风险的单位风险溢价均相等。进而，
零投资意味着没有投入，如果没有套利机会，就不可能通过什么组合而获得正的收益。但是，在有套利机会时，空手套白狼就有可能。
对于所有风险资产，如果我们有n个证券，其风险—收益特征为（bi，ri），（i=1，2，…，n），那么我们有
由此可见，APT方程的斜率λ1实际上是因子1的风险价格。
式（4-18）就是套利均衡定价公式。其含义就是：没有套利机会时，一个证券或者组合的必要收益率等于无风险利率加上风险因素的风险溢价。在一个完全竞争的市场，套利者进入市场是没有障碍的，而套利机会总可以被某个套利者发现，所以每一个系统性风险因素总有一个投资基金作为其特征基金，也就是该基金的收益率就是因素收益率。
结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，则证券之间不存在套利。
同理于单因素模型，假设多因素模型设定为式（4-8）
那么，多因素套利定价模型的套利均衡条件是：对于证券或者组合i，
式中，rFj表示第j个系统风险因素基金的预期收益，j=1，2，…，m。式（4-20）说明，在套利均衡时，每个证券或者组合的风险溢价是各个系统风险溢价依照其敏感度的线性组合，也就是由系统风险因素基金的风险溢价所决定。
例4-1 考虑由市场指数M、理性预期Q和国际利率R所决定的三因素模型：
如果无风险利率为4%，市场指数M、理性预期Q和国际利率R的特征基金相应的风险溢价依次为4%、6%和3%，某基金K的关于上述因素的贝塔系数依次为1.2，0.8，0.5。则K的套利均衡定价是：
基金K的必要收益率是15.1%，而目前价格所决定的收益率只有12%，故被高估。
4.2.5 套利定价理论APT的评价
将套利定价理论APT的期望收益与风险关系、资本资产定价模型进行比较是具有启发性的。套利定价理论起着许多与资本资产定价模型相同的作用。它提供了一个可应用于资本预算、证券评估或投资业绩评估的收益率的基准点。此外，套利定价理论强调了以风险溢价形式取得收益的不可分散化风险（系统风险）与可分散化风险之间的重大区别。
两个理论的主要差异在于对于均衡和系统风险的定义不同。CAPM基于市场竞争均衡采用单变量的市场风险指标，而APT基于套利均衡采用多个风险指标。
套利与风险–收益的CAPM观点之间在恢复均衡价格关系上存在着重要的区别。CAPM认为，当均衡价格关系被打破时，许多投资者将改变他们的资产组合，虽然每一个投资者将根据其风险厌恶的程度只进行有限的改变。这许多有限的资产组合改变的集合将引起大规模的交易以使竞争均衡价格得到恢复。这要求全体投资者具有同一理性。相比之下，当套利机会存在时，投资者总想尽可能地拥有较多套利组合头寸，因此，无须很多的投资者参与就可以带来足够的价格压力使其恢复平衡。正是由于如此，对由无套利论点得出的均衡价格意义要比由经典的竞争均衡观点得到的更有解释力。或者说，套利定价的理论较之资本资产定价理论的要求更宽，更贴近现实。套利定价理论的吸引力在于达到均衡的过程是少数掌握信息的投资者套利，而多数投资者跟随，这就为其后的行为金融学的研究提供了基础。APT建立在资本市场的理性均衡会排除套利机会的假设之上。违反APT的定价关系将会引起迅疾的价格调整压力和套利活动，即使是当只有有限的投资者意识到这种不均衡，也可以通过快速套利来形成调整杠杆。并且，套利定价理论建立的期望收益和风险敏感度系数之间的关系是采用了一个广泛多样化的投资组合，在完全竞争的条件下，每个系统风险因素在现实中可以通过建立相应的证券投资基金来实现，而CAPM的推导基于一个固有的难以实现的市场组合。一项无风险套利资产组合的实际价值在于，任何投资者，不考虑风险厌恶或财富状况，都愿意尽可能多地拥有该资产组合的头寸，因为只要拥有这些头寸，无论将来价格如何变化，就可以用零成本获得正收益。而这些大量头寸的存在将会导致偏离均衡的价格上涨或下跌直至套利机会完全消除，而恢复套利均衡状态。这个理论描述的学术意义在于深刻揭示了套利均衡的本质，为人们理解期权定价提供了帮助。其实践意义就更为突出了，作为资本市场尖兵和突击部队的对冲基金获得了理论武器，无数套利组合不断涌现，做多与做空起着同样的提高市场效率的作用，金融创新涌动不息。
尽管APT有许多优点，套利定价理论仍不能完全优于资本资产定价模型。CAPM对所有证券的期望收益和贝塔之间的关系提供了一个清晰的表述，但APT只是暗示了这种关系对所有或者只是小部分的证券成立。我们能获得关于APT与CAPM之间的对比的结果不多，这主要是因为CAPM不是可以很容易检验的模型。更容易比较的是APT和指数模型。指数模型是基于CAPM的假设，并增加了额外的假设，包括①特定的市场指数与理论上（难以观测）的市场组合实质上是完全相关；②股票收益的概率分布是稳定的，因此样本期的收益率可以提供对于预期收益和方差的有效估计。指数模型认为市场指数组合是有效的并且预期收益和贝塔关系对所有资产成立。由上述假设得到的这些含义都依赖于均值–方差有效分析框架，即任何证券违反了期望收益–贝塔关系，就会有许多投资者将会调整他们的组合以至于所有投资者对于价格造成的压力会调整均衡状态使其满足这个关系。相对而言，APT使用了证券市场因素和无套利的讨论以获得期望收益和风险敏感度之间的关系，由于这个模型更关注在无套利的条件上，没有进一步对市场和指数模型的假设，所以套利定价理论不能排除掉任何个别资产对期望收益–贝塔关系的违反。因此，我们需要资本资产定价模型的假设和它的支配性论点。
但是套利毕竟是少数人的“专利”，而不能成为普通投资者的武器。因为，在现实中，我们没有无风险套利，只有有限套利或者风险套利（risk arbitrage）。再者，套利机会的发现需要突出的专业能力和信息挖掘与分析技术；需要强大的信用能力，无论融资融券还是使用股指期货，都要有保证金。
4.2.6 因素的选择
APT最主要的实际应用问题就是理论没有指明风险因素是什么以及风险因素的数量是多少，因此在实践中必须特别指出和确定。换言之，应用APT进行证券估值和度量投资绩效之前，投资者必须获得风险收益基本关系中大量的缺失信息。许多研究者指出不能识别风险因素是APT应用当中的主要限制。之前我们提到过，应用套利定价理论的形式的首个尝试是基于多变量的统计分析，即许多证券的多个时间段的已实现收益被分析，以获得可识别的模式关系。这些研究得到一个共同的发现，似乎存在3或4个定价因素（统计上显著的），尽管研究者由于选用的研究样本不同而得到的因素不一样。另外一种能捕捉APT本质的建立实证模型的方法是直接确定风险因素的形式，这就是多因素模型，投资者选择风险因素的具体数量并确定这些因素，从而利用下式进行估计
式中，Fjt（j=1，2，…，K）是t时间段内对第j个指明的风险因素的收益，Rit可以是证券i的收益率或者是超额收益率。这种方法的好处是投资者能准确地知道多少变量以及什么变量需要通过回归方程来估计，而多因素模型的主要缺点就是它的发展缺少理论的指导。因此，建立一个有用的因素模型更像是一种艺术而不是理论的训练。
实践中大量的因素被指出和应用，两种通常的因素识别过程分别是宏观经济的风险因素和微观经济的风险因素。我们先给出两个宏观因素的代表性例子。微观因素放到第4.3节。
一个有影响力的宏观因素模型是由Chen、Roll和Ross（1986）提出的，他们假定证券收益由宏观经济的影响因素所支配。他们提出的模型有如下的形式
式中，Rmt代表NYSE（纽约证券交易所）市场股票的市值加权指数的收益率；MP代表美国工业生产力的月度增长率；DEI代表通货膨胀的变化，通过美国消费价格指数度量；UI代表通货膨胀率实际值和预期值的差异；UPR代表债券信用利差（Baa等级债券收益率减去无风险利率）的未预期变化；UTS代表利率期限结构的未预期移动（无风险利率的长期减短期）。
该模型的研究者利用了从CRSP数据库获得的1958~1984年的大量的证券的月度收益率的序列来估计这个模型。表4-1给出了模型的估计结果和研究者得到的风险敏感系数。从结果上我们可以得出一些结论。首先，这些设计出来的风险因素的经济显著性随时间有很大差异。其次，股票市场代理变量的参数一直都不显著，这说明它不能提供任何超出其他宏观经济的风险因素所包含的信息。
表4-1 模型的估计结果和风险敏感系数
资料来源：Nai-fu Chen，Richard Roll，Stephen A Ross.Economic Forces and the Stock Market[J].Journal of Business 59，no.3（April 1986）.
另外一个宏观经济的因素模型由Burmeister、Roll和Ross（1994）建立。他们定义了五个风险：①自信风险，基于投资者愿意承担投资风险的意愿的未预期变化；②时间段风险，即投资者期望收到支付的时间的未预期到的变化；③通胀风险，由短期和长期通货膨胀率的未预期到的成分组成；④行业周期风险，即全部商业活动未预期到的变化；⑤市场择时风险，定义为标准普尔500的总收益率没有被其他四个宏观因素所解释的部分。利用1992年第一季度的月度数据，研究者估计了对这些因素的风险溢价，如表4-2所示。他们同时也比较了几个不同的股票和股票组合的风险敏感系数，具体内容可详见该文献。
表4-2 Burmeister、Roll和Ross（1994）的多因素模型各个因素的风险溢价
4.3 Fama-French三因素模型
因素模型在方法论上打开了一扇门，有力地促进了资产定价理论的发展。此间法玛–弗伦奇（Fama-French）的三因素模型最具代表性，也最具影响力。从定价因素的角度，大量实证不支持CAPM及其指数模型对于证券均衡价格的解释效果，或者说，在证券市场以外还有影响因素。20世纪80年代关于这个主题出现了大量学术文献，在这个大讨论的基础上，法玛–弗伦奇（Fama & French，1992）的三因素模型诞生了。顺着CAPM的新古典思路前行，自然是继续从微观经济的角度寻找证券均衡价格的市场指数以外的其他风险因素。
4.3.1 规模与成长因素的讨论
对CAPM的批评伴随着其诞生、传播。但是，人们还是沿着CAPM的道路继续探索，也就是在股票市场指数之外寻找进一步的风险因素以弥补其不足。相关讨论集中在上市公司规模和账面市值比（book to market ratio）这两个方面。
小规模股票由于其承担经营风险较高而获得更大的超额回报是投资者的经验总结。Banz（1981）发现，当与β一同检验时，公司的规模（用其市场价值表示）也能解释该公司证券的预期收益率，公司规模越小，其超额收益率越高。他通过分组计量发现，小规模组的年平均收益率高出大规模组20%。
Ball（1978）认为，E/P（收益与价格之比）是预期收益中系统风险以外风险的总代表，风险越高，其价格就越低（因而E/P较高），与此同时，投资者对其要求的收益率也越高。随后，人们就转向权益的实体经济评价与股市评价的差异和杠杆作用。Sttatman（1980）和Rosenberg，Reid，and Lanstein（1985）对美国股市的分析发现，预期收益率和账面价值（book equity）与市场价值（market equity）之比（BE/ME）之间存在正相关关系。Bhandari（1988）将规模与账面市值比结合在一起，实证发现，证券的预期收益率与公司的杠杆率之间存在着相关关系。在CAPM模型中，杠杆率应该包含在贝塔系数中，然而，Bhandari在同时使用市场指数、公司规模和杠杆率对证券的预期收益率进行回归时发现，杠杆率对预期收益率具有显著性影响。
Keim（1988）做了更进一步的论证，认为收益价格比率（E/P）、规模（ME）、杠杆率、账面市值比（BE/ME）都对股票收益具有显著影响，它们从不同角度反映着有关风险和收益的联系。他们及众多学者的经验论证都指向了规模因素、包含杠杆效应的成长性因素。
Fama和French在此基础上对市场因素、规模、杠杆率、账面市值比和E/P五个因素进行了全面检验，认为规模、杠杆率和账面市值比与平均收益具有最为突出的相关关系，其中尤以规模与平均收益之间的负相关关系最强。而以前得到的期望收益和E/P的关系可以由账面市值比和公司规模代替。这就有了我们现在看到的Fama-French三因素模型。
4.3.2 三因素模型
Fama和French在1992年对美国股票市场1929~1963年的数据研究影响不同股票回报率差异的因素，实证发现，股票市场的贝塔系数不能充分解释股票收益率的差异，而上市公司的市值、账面市值比和市盈率的联合有更好的解释。所以Fama和French认为，传统系统风险以外的股票超额收益恰恰是对这些在市场风险系数中不能被反映的风险因素的度量。因此Fama-French（1993）通过在CAPM中引入两个新的解释变量——规模因素和账面市值比因素，建立起有名的Fama-French三因素资本资产定价模型（FF模型）。表4-3给出了Fama和French当时的一些实证的结果。他们使用1963~1990年在美国纽约股票交易所、美国股票交易所和纳斯达克交易所的所有非金融行业公司的股票数据，并且将样本期间的股票按市值规模分为10组，然后再在每一组内按账面价值/市值比分为10组，他们以此获得一个市值规模–账面价值/市值同回报之间的二维矩阵，得到基本的描述性统计特征。
表4-3 股票回报与市值规模、账面价值/市值比之间的关系
资料来源：Eugene Fama，Kenneth French，1992b.
FF模型基本假设：
1.所有的投资者是价格接受者，市场中存在着大量投资者。
2.所有投资者都在同一证券持有期计划自己的投资资产组合。
3.投资者投资范围仅限于公开金融市场上交易的资产。
4.不存在证券交易费用（佣金和服务费用等）及税赋。
5.所有投资者对证券的评价和经济局势的看法都一致。
6.投资者们对于证券回报率的均值、方差及协方差具有相同的期望值。
