该模型与ATP模型相比，增加投资者一致预期的假设。他们采用了如下的函数形式
式中，Rit表示资产组合i的收益率，Rft表示t时的无风险收益率，Rmt表示市场指数收益率，εt为随机误差项，待估参数ai为阿尔法系数，bi、si、hi为三个因素的贝塔系数。
系统风险以外的两个风险因素是：
SMB=（小减去大）小股本股票组合的收益减去大股本股票组合的收益；
HML=（高减去低）账面价值/市值的比率高的股票组合的收益减去账面价值/市值的比率低的股票组合的收益。
构建不同的股票组合作为规模因素和账面市值比因素的代理变量是Fama和French的创造性贡献。因为发达市场的实证表明，账面市值比因素比公司规模因素对股票的收益率的解释力更强，他们先把上市公司的股票根据公司规模分成小、大两组（S，B），又分别对这两个集合按账面市值比分成高、中、低账面市值比的三组（H，M，L），通过两次分组共形成六个集合（S/L，S/M，S/H，B/L，B/M，B/H），其中，S/H表示小规模高账面市值比的公司集合，余次类推。据此，
变量SMB（small minus big）是公司规模因素的代理变量，通过将每月小规模公司的三个集合（S/L，S/M，S/H）与大规模公司的三个组合（B/L，B/M，B/H）的对数收益率的简单算术平均做差求得。这样，SMB就可以度量在控制了账面市值比因素以后，小规模公司和大规模公司收益率的差异。
变量HML（high minus low）是账面市值比因素的代理变量，通过将每月高账面市值比的两个集合（S/H，B/H）与低账面市值比的两个集合（S/L，B/L）的对数收益率的简单算术平均做差求得。这样，HML就可以度量在控制了规模因素以后，高账面市值比公司与低账面市值比公司股票收益率的差异。
各个变量的统计计算是综合加权的思想，具有一般化的参考价值。具体形成4个步骤：
第一步：规模与账面市值比的测量。以个股第t-1年12月31日的权益账面价值与市场价值的比值（book to market ratio，BM）和第t年4月30日的市场价值（SIZE）为依据，对第t年5月至第t+1年4月期间内的公司观测进行分组（每个月进行分组）。分组方法如下：①按SIZE大小平均分为两组（S组，B组）；②按BM从小到大分三组，即前30%（H组），中间40%（M组），后30%（L组），共形成六个组，即S/L组，S/M组，S/H组，B/L组，B/M组，B/H组。个股的市场价值是指月个股总市值，若BM和SIZE为缺失值或负值，则予以删除。
第二步：组内加权。以个股第t年4月30日的相对市场价值为权重（个股的市场价值与组内个股市场价值总和的比），对第t年5月至第t+1年4月期间内个股的月收益率进行加权平均，从而求得每个组的月收益率。个股的月收益是考虑现金红利再投资的月个股收益率。
第三步：SMB和HML的计算。
第四步：市场指数计算。市场指数的计算特点是个股的考虑现金红利再投资的综合月度收益率的加权平均。
综上，Fama-French三因素模型认为，投资组合（包括单个股票）的收益率波动可由市场资产组合因子Rmt-RRFR、市值因子（SMB）和账面市值比因子（HML）这三个因子来解释。他们在1992年和1993年的论文中指出在市场指数之外，公司规模对于股票预期收益具有负向的影响，而代表成长性的账面市值比具有正向的影响。
FF模型选择这两个刻画公司特征的经济变量是有长期经验背景的。SMB被用来捕捉公司大小所伴随的风险成分，学者研究和投资者实践都发现小股票可能对经济环境中的变化更为敏感，股市流动性或者对冲基金的冲击效果更大。而HML目的在于区别“成长型”（即账面价值/市值的比率低）的公司和“价值型”（即账面价值/市值的比率高）的公司。上市是实现资本公众化，而吸收大量社会资本的理由就是公司新业务的突出的成长性，因此风险回报要和成长性正相关。再者，如果不考虑SMB和HML因素，这个模型就简化为单指数市场模型的形式。市场指数的角色就是涵盖宏观经济因素的系统风险，这也就实现了微观因素和宏观因素的统一。当然市场指数的宏观信息功能只能在成熟市场中才能得到充分体现。
Fama和French（1996）试图进一步扩大三因素模型的解释范围，分别按照Fama和French（1993），Lakonishok、Shleifer和Vishny（1994），Debondt和Thaler（1985），Jegadeesh和Titman（1993）不同的投资组合的构造方法，包括账面市值比、溢价比、每股现金流量市价比、五年的销售额、公司规模以及股票的历史收益率等因素，构造投资组合进行检验。模型的实证检验都得到不错的结果。
当然，FF三因素模型也遭到很多行为金融学者的批评，并且在实证方面也饱受争议。学术界针对FF三因素模型的指责多认为，虽然模型建立在单因素CAPM模型之上，但与CAPM模型相比，三因素模型缺乏一种类似CAPM的解释机理，更多的是一种实证发现，甚至是“数据加工”（Data Mining）的结果。另外，三因素模型并不是解释股票收益率屡试不爽的法宝。除了要应对“数据加工”的指责之外，模型对于股票市场上的所谓“趋势效应”（Momentum Effect）或称“动能效应”缺乏解释效力。Jedadeesh和Timnan（1993）提出，在过去3~12个月内具有高收益的股票在未来几个月里倾向于继续有突出的表现，而过去表现很差的股票在未来的几个月里继续表现得很差。不幸的是，CAPM和三因素模型都不能对此现象作出合理解释。Frankel和Lee（1998）以及其他一些研究指出，在以账面市值比率BE/ME划分的投资组合内，更高的预期现金流量的股票有着更高的平均收益。这个平均收益同样不能被三因素模型和CAPM所解释。
FF三因素模型的学术贡献主要体现在两个方面：第一，通过大量严谨的实证发现了上市公司规模和账面市值比影响股票的超额收益率，其实际意义在于定性地为投资者提供了策略指导，并且规模因素的发现为行为金融方法提供了准备。第二，提供了多因素模型的方法论，该方法结合了不同频率的市场数据和财务数据。三因素模型对于新古典金融学从CAPM到APT的发展起到承上启下的作用，也是行为金融学派和技术分析学派的方法论推动者。
4.3.3 中国经验证据
除了对美国和日本证券市场的大量研究之外，Chui和Wei（1998）对中国香港、韩国、马来西亚、泰国和中国台湾五个亚太新兴市场1977~1993年的数据进行了实证研究，结果同样表明Fama-French三因素模型对股票横截面收益率具有显著的解释力。同时他们还发现，一国股票平均收益率与账面市值比之间的相关程度与该国的平均账面市值比率的大小相一致。
中国的情形如何呢？作为弱式有效很不稳定的新兴市场，流动性因素和政策因素尤为突出，能如成熟市场一样对于规模和成长性给予稳定的回应吗？在2005年股改之前，陈信元、张田余和陈冬华（2001）对预期股票收益的决定因素进行了横截面分析，发现股票贝塔值在单因素模型和多因素模型都缺乏对股票收益的解释能力；股票收益率与公司规模、账面–市值比率体现出显著相关性；在控制规模以后，流通股比例表现出对预期股票收益显著的解释能力。Drew，Naughton和Veeraraghavan（2002）以沪市A股市场为考察对象，验证Fama-French三因子模型的适用性，发现B/M效应在上海A股市场不成立，但市场β因子组合和规模组合却可以产生正的超额收益。而且从风险角度对低B/M股票组合超额收益率的解释并不成立，而从投资者的非理性行为角度解释更可靠。邓长荣、马永开（2005）采用深市的股票数据（1996.01~2003.12）对FF三因素模型在我国证券市场的适用性进行了检验，证明三因素模型在我国证券市场是成立的，认为三因素模型比传统的SLB模型更能够描述股票收益率的横截面数据的变动。但是，宿成建等（2006）认为包含内在价值、技术因素、流动性在内的多因素模型对于股票收益的解释好于FF三因素方法。也就是说，中国股市具有不可忽视的流动性因素和技术因素效应。
股权分置改革以后如何呢？最近五年中国学者做了大量论证，学术争论十分踊跃。许多人使用2006~2013年数据建模，认为FF三因素模型已经具有解释力。但是，2014年田利辉等人的最新论证认为：对比检验中美两国股票组合同期收益率，中国股市系统风险突出，存在着市值规模效应（size effect），但账面市值比效应并不显著。“中国股票组合的收益率是能够被市场风险溢价和市值规模效应的二因素模型较好诠释的”。值得注意的是，中国市场的股票收益对政策信息仍然敏感，而投资者“对于上市公司的成长性关注尚且不足”。
4.4 算法交易
在多因素模型的框架下，业界提出了大量算法交易策略。
4.4.1 算法交易简介
2010年5月6日下午，道琼斯30种工业股票平均价格指数盘中暴跌近1000点，导致Excelon、BostonBeer和Centerpoint等公司股价瞬间最大跌幅高达99%，举世震惊，总统下令彻查。根据美国证券交易委员会和商品期货交易委员会2010年10月1日发布的调查报告称，“闪电暴跌”源于一家交易公司交易电脑在市场饱受压力时自动执行卖出指令，造成市场巨大的连锁反应。此外，类似的情况还曾在伦敦证券交易所、东京证券交易所和马来西亚证券交易所等发生过。于是算法交易被推上了风口浪尖，成为理论界与实业界关注的焦点。
随着国际证券市场的发展，在大资金的管理中如何面对交易下单成为一个重要的课题。机构投资者们往往每天需要买卖大量的证券，交易的金额通常又比较大，同时随着现代指数基金的出现，还需要进行指数化下单，这些复杂的次数频繁的交易操作很难仅仅通过传统的人工交易方式来完成。一方面传统的人工手动下单的方式很难在较短时间内执行次数繁多的下单指令；另一方面传统的人工下单方式在执行时间不够充裕的情况下，不容易争取到较好的交易价格和容易造成较大的冲击成本。因此人们逐渐尝试设计计算机程序来帮助完成繁杂的下单指令。于是算法交易开始在证券市场上得到推广，并逐渐流行。
算法交易是指把一个指定交易量的买入或者卖出指令放入模型，该模型包含交易员确定的某些目标。根据这些特殊的算法目标，该模型会产生执行指令的时机和交易额。20世纪80年代后期及90年代，美国证券市场的全面电子化成交和电子撮合市场（electronic communication networks，ECN）的发展为算法交易提供了发展的前提。区别于程序化交易模型只关注收益和风险的特点，算法交易使用数量化模型，在用户指定基准和约束条件下，通过在冲击成本与等待风险之间的平衡，来算出最佳的交易时机和交易额，并由系统自动执行交易指令。因此，算法交易又称自动交易（automated trading）、黑盒交易（black-box trading）、无人值守交易（robo trading）。更为严谨地说，算法交易是指遵循数量规则、用户指定基准和约束条件的自动电子交易，包括组合交易（对一篮子股票进行一系列交易）和智能路由（smart routing）。（智能路由是指使用算法来智能地将订单发送至流动性最好的交易通道。）
4.4.2 算法交易的发展现状
借助于电脑的高速计算能力，算法交易正在风靡全球金融市场，其交易的证券基本涵盖了市场上包括股票、期货、期权、债券、交易所交易基金（EFT）和外汇等大部分品种。在欧美成熟市场上，算法交易已经成为股票交易的主流模式，大部分的股票交易都是通过算法交易来完成的。目前算法交易被广泛应用于对冲基金、企业年金、共同基金以及其他一些大型的机构投资者；算法交易的用户主要是经纪商、对冲基金、养老基金、共同基金、企业年金，以及公司中有自己算法交易系统的自营交易部门。他们使用算法交易对大额订单进行分拆，寻找最佳的路由和最有利的执行价格，以降低市场的冲击成本、提高执行效率和订单执行的隐蔽性。任何投资策略都可以使用算法交易进行订单的执行，包括做市、场内价差交易、套利、或者纯粹的投机（包括趋势跟随交易）。据Elkins/McSherry统计，在美国算法交易已成为基金业界的主流，在2010年，全美90%的投资经理在建立投资组合时，至少使用一次算法交易（见图4-2）。算法交易在欧洲投资界也被大量使用，英国是欧洲地区使用算法交易比例最高的国家，2007年LSE的所有交易中有60%的交易采用了算法交易，有50%的基金经理使用算法交易进行投资管理。
图4-2 算法交易在各国（地区）证券交易中所占比例
在诸如东京证券交易所、香港交易所和新加坡交易所等亚洲部分成熟市场中，算法交易的发展也很迅速。例如，在日本和中国香港有超过80%的机构投资者在股票交易时采用算法交易，在2010年中国香港、日本和新加坡证券市场的算法交易使用率已经超过了30%，并且预测未来增速同样可观。一些亚洲新兴市场的算法交易也有一定的发展，2010年8月4日，雷曼兄弟公司通过印度全国证券交易所提供的直接下单功能（DMA）执行了印度市场的第一笔算法交易委托。算法交易发展如此迅速，归功于其自身优势，包括：匿名性、减少市场冲击、提高交易执行效率、降低交易成本、减少人力成本、增加投资回报、确保复杂的交易及投资策略得以执行。根据TABB Group的统计，选择算法交易的投资者中，有18%是因为可以匿名交易，其次是可以降低交易成本，占了16%，减少市场冲击和获得最佳成交价量这两者分别占14%和9%。尽管算法交易存在诸多优点，但其对证券交易所和经纪商交易系统的订单处理能力具有较高的要求，会对交易所系统的安全性产生一定的影响。
4.4.3 算法交易的种类
算法交易就是由计算机程序自动生成买卖信号并执行交易下单的交易策略。它由人设计，借助计算机程序实施，根据交易策略目标的不同可以分为三类：阿尔法交易策略、交易执行策略和做市策略。
1.阿尔法交易策略
该类策略的目标是要通过对市场数据和财经资讯的挖掘，发现市场效率低洼之处赚取超额收益。例如ETF套利股指期货期现套利市场中性策略，趋势跟随等。该类策略大多被买方对冲基金和卖方券商的自营部门所采用。随着证券电子化交易的普及和市场参与者的增多，传统的利用低频数据（日线、小时线）的阿尔法交易策略的获利空间越来越小。该市场的领导者，如复兴科技（Renaissance Tech）、城堡集团（Citadel Group）、高盛（Goldman Sachs），将交易速度的竞争提升到了毫秒（1毫秒=0.000001秒）甚至微秒（1微秒=0.001毫秒）级别，而数据分析对象也由原来的分时线价格数据转为每笔成交数据（（tick-by-tick data）、挂单数据和即时财经资讯数据。高频数据的分析需要极高的数据存储与运算能力，采用算法交易的机构每年都花费巨资更新维护IT设备。据Aite Group对欧美市场算法交易机构的调查，2008年他们在订单管理系统路由数据库（order mgmt systems routing database）上的平均IT花费超过3亿美元，2004~2008年的IT费用复合增长率高达11%。在欧美成熟市场上利用该类策略获利的门槛越来越高。
2.交易执行策略
该类策略的目的是通过交易数据的分析辅助交易员下单，降低交易成本，隐藏交易痕迹，算法交易机构通过收取相应的服务费用而获利。在有些资料中，算法交易专指此类交易而不包括前面的阿尔法交易策略。常见的该类算法交易策略包括：
（1）VWAP策略
VWAP（volume weighted average price）顾名思义，是以成交量加权平均成交价为比较基准的交易策略，策略执行效果的好坏通过某只证券的实际成交均价与交易时间段内整个市场的成交均价的差值来衡量。VWAP策略的原理，简单说就是把大单拆散成小单，在市场交易活跃时多成交，而在交易平淡时少成交策略的设计者须对市场未来不同时间段内的成交量做出预测并根据实际成交情况调整原有的订单执行计划。VWAP策略是出现最早也是使用频率最高的一种算法交易策略，适合追求市场平均价格的被动交易者。
当前欧美主流算法交易机构大多提供带担保的VWAP算法交易策略，承诺投资者可以从低于市场VWAP一定数量基点的价格成交，实际成交价格高出的部分由机构赔付，投资者须为此类承诺支付额外的费用。
（2）TWAP策略
TWAP（time weighted average price）不需要预测成交量，而是把交易的时间段划分为若干个区间。根据区间段的长短分配下单数量，适合那些流动性不好、成交量不易预测的证券品种，同时那些要求买入或者卖出量较大的交易人员也可以通过TWAP策略分散交易，降低市场冲击。
（3）IS策略
对于规模较大的证券交易，如果一次性全部按市价下单则该交易会造成巨大的市场冲击（market impact）；如果分成几笔，在不同时间段内成交，投资者又面临市场价格和流动性发生不利变动的时间风险（time risk）。IS（implementation shortfall）策略，即是要按投资者的个人偏好权衡优化一笔交易的市场冲击与事件风险，尽量减小最终实际成交价格与目标价之间的差距。这里目标价可以是开盘价，收盘价或者是到达价格（Arrival Price）即交易指令下达时的市场价格。一般来说该类策略都允许交易人员设置买入（出）时的最高（低）容忍价格并按照交易速度的要求选择激进、中性和保守的策略风格。
（4）SOR策略
SOR（smart order routing）下单路径优选策略，该策略跟欧美市场的证券交易制度的多样化有关，投资者除了可以从做市商处买卖证券外，也可以通过DMA（direct market access）在交易所交易，部分投资者也可以参与到交易所外的暗池交易（dark pool）。不同交易途径获得的报价和交易量都有所不同。SOR即是要通过对不同渠道实时交易数据的分析，在保证成交量的前提下寻求最优价格。
上面是算法交易上使用最为频繁的四种策略，此外还有一些机构为客户量身定制的策略，如隐身（stealth）、游击队（guerriIIa）、狙击手（sniper）和嗅探器（sniffer）等。随着算法交易服务商队伍的扩张，规模较大的投资银行、经纪商每年都会投入不菲的研究经费用于开发，更为迅速满足客户个性化需求的算法，拉开与同业竞争对手的差距。而那些小机构则很难承担巨额的研发费用转而向大机构购买算法。当前市场领先的算法交易服务提供商包括瑞士信贷（credit suisse）的AES（advanced execution services）、TMG（transmxket group）和盈透证券（interactive & brokers）等。
3.做市策略
做市商（market maker）是市场上一批规模大、信誉好的证券交易商，他们向投资者提供连续的买入和卖出报价，并在该价位上接受投资者的买卖要求，以自有资金和证券同投资者完成交易。一般情况下卖出报价会高于买入报价，做市商从中赚取买卖价差（bid-offer spread）。因此做市商盈利的关键在于如何确定合理的报价，使得交易指令能够迅速成交，同时又能够保证一定的价差收益。算法交易服务商提供的做市策略即是要通过对做市商接收到的交易指令的实时分析以及未来股市变化的模拟，确定最优的买卖报价实时更新。该类算法交易服务提供商，如Automated Trading Desk（2007年被花旗集团收购），2007年的日均交易量已经占到纽约交易所和纳斯达克的6%以上。
4.4.4 算法交易应用：交易成本分析
与程序化交易模型通常只关注收益与风险不同，算法交易关注的是被机构投资者忽视的“内生成本”（隐性成本）。而利用算法交易可大大降低内生成本对投资收益的腐蚀。交易成本分析正是算法交易的应用，是考察投资者的算法交易是否有效的工具之一。所谓交易成本分析是指从算法交易的角度出发，考察投资者证券投资活动中需要付出的隐性成本。交易成本包括外生成本和内生成本。其中，外生成本包括佣金、印花税等，由交易所和监管部门制定收费比率，一般在股票实际交易之前就可以确定大小；内生成本是指股票成交过程中受到市场条件、执行情况等因素影响而产生的成本，也称为交易执行成本，包括机会成本和冲击成本两部分。前者指从投资者下达订单开始到订单执行完毕（或者最终没有执行而撤单）这段时间内的价格风险；后者指订单交易行为对市场价格的影响程度，一般用订单执行前后市场价格的差值来衡量。一般而言，交易成本分析所指的成本为内生成本分析。Plexus（2007）的研究刻画了美国市场的交易成本的“冰山”模型，指出直接成本（佣金、税费等）约为9BPS（万分之一），执行差额（价格冲击成本）约为15BPS，交易前成本（机会成本、为交易成本）约为40BPS。这表明内生成本在交易总成本中占有较大比重。
关键术语
套利（arbitrage）
套利定价理论（arbitrage pricing theory，APT）
多因素模型（multifactor model）
法玛–弗伦奇三因素模型（Fama-French three factor model）
规模效应（size effect）
账面市值比（book to market ratio）
算法交易（algorithmic trading）
扩展阅读
·Stephen A Ross.The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing[J].Journal of Economic Theory，1976，13（3）：341-360.
·Eugene F Fama，Kenneth R French.The Cross-Section of Expected Stock Returns[J].Journal of Finance，1992，47（2）：427-465.
·Eugene F Fama，Kenneth R French.Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds[J].Journal of Financial Economics，1993，33：3-56.
·Eugene F Fama，Kenneth R French.Size and Book-to-Market Factors in Earnings and Returns[J].Journal of Finance，1995，50（1）：131-155.
