内容提要
债券是以固定收益为特征的基础证券。本章在分析投资债券风险特征的基础上，重点阐述承担利率风险的国债的均衡定价方法、利率期限结构和度量债券价格的利率敏感性的久期及其相关的风险免疫策略。
上一章我们讨论了股票即权益证券的定价，本章我们将讨论固定收益证券——债券的定价。债券具有相对稳定的现金流，因而被称之为固定收益证券。但债券价值仍受违约风险、利率风险等多种风险的影响，如何对债券定价和进行风险管理是投资者面临的基本问题。本章从讨论债券的风险价值开始，目的是让读者了解债券的风险收益特征，从而理解债券面临的多种风险及其对债券价值的影响。本章要点之一是债券定价。我们结合债券合约的特征和收益现值的资产评估原理讨论债券的套利均衡价格及其到期收益率的计算方式和特征，进而引入了利率期限结构，这是具有广泛应用的极其重要的债券信息结构。要点之二是风险度量。我们着重分析债券收、益水平的利率敏感性特征和期限的利率风险内涵，在此基础上，引入久期度量，深入挖掘其性质与信息内容，进而形成资产负债久期匹配的免疫策略。作为进一步扩展，我们将讨论久期和凸度的配合。
6.1 债券风险价值
固定收益资本市场是由比货币市场的交易工具的期限更长的一些借款工具构成的。固定收益证券包括国债、市政债券、公司债券、担保债券以及债券基金。这些证券之所以被冠以“固定收益”这一名称，是因为这类证券要么承诺提供一种固定的收入流，要么提供一种由相应的特定公式决定的收入流。这些证券的偿付由发行者进行管理或者由代表发行者利益的某一代理银行进行管理。除非发行者宣布破产，否则这些收益都是被固定的。
具体而言，债务合约是一项法律合同，它对债券发行者和持有者的权利和义务进行了规定。债务合约中包括与债券发行有关的一系列特殊条款。这些债券特殊条款规定了一些与债券发行者和持有者相关的规则和限制性条件。此类条款中包括了债券发行者所拥有的权利（比如可以提前赎回债券）以及所受到的限制（比如对其增加股息能力的限制）。
但债券发行者确实有破产的可能性，因此债券投资面临违约风险；而债券息票率一旦确定就不能改变。当市场利率升高时，原有债券的投资就产生利率损失，这就是利率风险；与此同时，债券还面临整个金融体系的流动性风险、突发事件风险和全局风险等，因而需要在认识债券面临的风险的基础上评估债券的风险价值。
6.1.1 债券的风险特征
典型的债务合约要明确列出在事先约定的期限内补偿购买者（投资者）的具体条款。一般来说，支付是契约性的。例如，息票利率为7.25%，2016年5月15日到期的不可赎回的美国国债。这个债务合约将提供票面利率为7.25%的补偿（半年支付1次，即每年5月15日和11月15日支付），直到到期日。在到期日，除了支付利息外，还要偿还票面金额。这个定期的补偿被称为息票（coupon），索取权的剩余日期被称为到期期限（time to maturity）。在到期日，除了支付利息外，还要偿还票面金额。到期时借款人偿还的金额被称为面值（par value）、到期价值（maturity）或票面价值（face value）。这是一个子弹式债务证券（bullet debt security）的例子。这个证券是无违约风险的，即投资者不会面临信用风险。但这不是说这个工具没有风险。事实上，持有一定头寸这种证券的投资者要承担利率风险。如果该国债的价格大幅波动，甚至达到一天内变化几个百分点，若以面值购买100万美元面值的这种国债，投资者将承受很大的价格风险。
短期国债是美国很活跃的品种，近年来中国的短期国债（半年期）和企业短期融资券也逐渐成为债券市场的主力品种。短期债券往往不附息，到期以面值结算，因此初始发行时往往折价或者贴现交易，因此被称作零息票债券（zero coupon bonds）或者折现债券。
我们将在后面说明在实际工作中用到的刻画利率和价格风险的数量方法。债券一般还有流动性风险。只有特定国债的发行数量约为100亿美元，如此大的规模，意味着这种证券具有很强的流动性。高流动性意味着投资者可以以比较小的买卖价差买卖大量的这种证券而没有逆向的价格效应。如果我们刚才举例的上述国债的平均买卖价格是1.1个基点（一个基点是0.01%），最大买卖价差是4.31个基点，那么这只国债的流动性风险非常低。这只债券不能被财政部提前赎回说明投资者对未来现金流的实际选择确定无疑，因此这只债券没有时机风险（timing risk）。如果这只证券可以被发行者提前赎回，投资者将面临时机风险。某些证券面临事件风险（event risk），如果发行者的信用等级突然恶化，或者资本结构出现了一个巨大的变化，例如杠杆式收购，这种风险就会出现，并反过来影响该债券的风险。上述例子中的国债没有事件风险。此外，债券投资中还面临通胀风险，国外投资者还面临外汇风险等。这里我们把再投资风险可以看作利率风险的一部分。
除了息票利率固定的固定利率债券外，还有浮息债券，即息票利率不固定的债券，例如息票利率盯住未来6个月期国债未来的收益率曲线。我们看一个例子，花旗集团1978年6月26日发行了面值2亿美元的浮动利率债券。其息票利率盯住6个月国债利率，也就是说，盯住在2月和8月的最后10天的中间14个日历日内美联储发布的6个月期美国国库券的市场周利率的算术平均值。在1979~1983年，实际的息票利率是该平均值加上120个基点，期间的最小值是7.5%；在1984~1988年，息票利率高于平均值100个基点，期间的最小值是7%；在1989~1998年，息票利率高于平均值75个基点，期间的最小值是6.5%。在发行时，花旗集团的信用等级是AAA/AA+。这只债券的到期期限也不必是固定的，它取决于发行者什么时候赎回或者宣布出现财务困难。该债券1998年9月1日到期，这只浮息债券不可转换，但是1988年9月1日后可以以递减的赎回价格赎回。
从这个例子中看出，该债券的信用风险的波动范围依赖于发行者的信用等级；其利率风险相对较低，因为息票盯住的是短期国债；基本上没有流动性，买卖价差相对较大；由于该债券允许1988年以后逐渐赎回，因此该债券具有时机风险。
债务证券的附加契约条款有重要的意义。例如，现金流优先权。这个条款对于政府债券而言没有任何意义，因为政府的税收保证了承诺的现金流的支付。但对于其他债务证券的发行者来说，债务契约在对财产的索取权上优先于其他剩余索取权。如果一个机构发行了多只债务，则发行者要在债务契约中明确说明它们的优先权和界别，这将导致债务契约的一些重要变化。担保和无担保债券。担保债券（secured bonds）在公司破产时有特定的担保品作为支持，如抵押债券（mortgage bonds），是以发行者的有形资产作为支持的。如果发生债务困难，可以变卖这些资产来保证债权人的债权。美国称无担保债券（unsecured debt）为信用债券（debenture），则没有这种有形资产的支持。
或由条款（contingency provisions），发行者发行存在正违约概率的债务证券时，通常包含两种重要的或有条款。首先，债务证券要指明导致破产的事件。在债务定价的文献中，这叫作重组下界（lower reorganization boundary）。一种可能是无法支付事先承诺的息票，另一种可能是到期不能偿付本金（期满后支付的本金通常称为期后支付）。这些事件的发生赋予了债权人接管债务公司的权利。如果债权人认为与管理层重新谈判更符合他们的利益，债权人可能并不真正行使接管债务公司的权利。重组下界也就是债权人决定是否进入重新谈判过程或者迫使公司进入正常清算过程的时机或事件。其次，债务契约也要指明在公司破产时债权人获得补偿以及控制权转移的规则。通常，时机支付与事先确定的支付会有差异。自然，债务的价值将会受到这些条款的深刻影响。一般来说，重新谈判会导致补偿结果偏离绝对优先规则，按照这种规则，高级别的索取权拥有者将比低级别的拥有者优先获得赔付的权利。
其他条款还包括：可赎回、可转换、可回售、偿债基金条款等。可赎回（callable）意味着赋予了发行者在未来的某一时间提前赎回债务的权利。绝大多数的公司债券都是可以按照事先约定的价格赎回的。绝大多数债券证券都包含偿债基金条款（sinking fund provisions），这要求定期收回并注销一定数量的债务证券。还有一些债务证券是可由购买者选择回售（puttable）的，即这个权利是赋予债券购买者的。可转换（convertible）债券，即购买者可以选择转换为发行公司特定数量的股份。大部分的可转换债券也是可赎回的。
6.1.2 债券的风险结构：债券评级
债券违约风险通常被称为信用风险，它的测定由信用评级机构负责，国际主要的信用评级机构有：穆迪投资服务公司、标准普尔公司、惠誉国际公司等三巨头，1975年美国证券交易委员会（SEC）认可惠誉国际、标准普尔、穆迪为全国认定的评级组织。中国的有影响的民营评级机构有大公国际资信评估有限公司、中债资信评估公司等。以上这些机构都提供商业公司的财务信息并对大型企业债券和市政债券按质进行信用评级。它们用字母等级表示所发行债券的安全性。最好的信用等级是AAA或Aaa。穆迪公司为每种信用等级再另设定1、2或3作为后缀（如Aaa1、Aaa2、Aaa3），以便做出更精确的等级划分。其他评价机构使用+或-的符号来进行进一步的划分。
如表6-1所示，评级为BBB及更高（标准普尔公司、惠誉）或Baa及更高（穆迪公司）的债券被认为是投资级债券，反之，信用等级较低的则被称之为投机级债券或垃圾债券。通常垃圾债券也被称为高收益债券。
表6-1 国际债券信用等级的划分
注：信誉极高和信誉高的两组是可投资的，其还本付息有保障，违约概率很小；投机性的债券具有一定的还本付息能力，但是波动较大，违约概率受经济环境影响较大；而信誉极低的两档表明相应债券的还本付息能力低，经营绩效波动大，违约概率大，称为垃圾债券。
资料来源：三大评级机构网站。
1.债券评级的决定因素
债券评级机构主要根据发行公司财务状况的变动趋势与水平对其所发行债券的信用状况进行等级划分。评价信用等级所用的几个重要参数有：
（1）偿债能力比率（coverage ratio）
公司收入与固定成本之间的比率。例如，已获利额对支付利息的倍数比率（times-interest-earned ratio）是支付利息和税收之前的收入与应付利息的比率。固定费用偿付比率（fixed-charge coverage ratio），用扣除税金、利息和税金前的净收益总额除以利息、税金和调整税项后的偿债基金支付款项的总数。低水平或下降的偿债能力比率意味着可能会发生现金流动困难。
（2）杠杆比率（leverage ratio）
债务与资本总额的比率。过高的杠杆比率表明负债过多，标志着公司无力获取足够的收益以保证债券的安全性。
（3）流动性比率（liquidity ratio）
最常见的两种流动性比率是流动比率（current ratio），即流动资产与流动负债的比值；速动比率（quick ratio），即包含存货在内的流动资产与流动负债的比值。这些比率反映了公司用流动性最大的资产进行偿债的能力。
（4）盈利比率（profitability ratio）
有关资股或股权收益率等级的测度。盈利比率是一个公司整体财务状况的指示器。资产收益率（支付利息和税收之前的收入与总资产的比值）是最常见的比率。具有较高资产收益率的公司在资本市场上更有能力筹资，因为它们的投资有更好的收益。
（5）现金流对总负债比率（cash flow to debt ratio）
这是现金总流量与债务的比值。
有过大量研究来测算信用等级是否真能用来预测违约风险，最著名的检验之一是由奥尔特曼（Edward I.Altman）提出的Z评分法。他用差异分析法来预测破产，将公司按财务状况打分，分值超过临界点则被认为是可以信赖的，低于临界点则表明在不久的将来有重大破产风险。
2.降低信用风险的债券契约
（1）偿债基金
债券在到期时须按面值偿付。这一偿付使得发行者支付庞大的现金费用。为了确保这份承付款项不会带来流动现金短缺的危机，公司必须设立偿债基金以将债务负担分散至若干年内。这个基金可以以以下两种方式运作：
1）公司可以每年在公开市场上回购一小部分流通在外的债券。
2）公司可以以一个与债券基金条款有关的特别价购买部分债券。公司具有是以市场价还是以偿债基金价进行回购的选择权，不论孰高孰低。为了在债券持有者之间公平地分配偿债基金，被购债券的选择用数字序列的方式随机产生。
偿债基金赎回与一般的债券赎回在两个重要方面存在差别。首先，公司仅能以债券基金赎回价格回购有限的债券。在最好的情况下，某些信托契约允许公司使用加倍选择权，即公司可以以偿债基金赎回价格回购所需债券数量的两倍。其次，债券基金赎回价格通常比债券契约中其他赎回条款规定的赎回价格要低，它往往与债券票面价值相等。
从表面上看来，偿债基金主要以回报的方式保护了债券持有者的利益，但它实际上更有可能伤害投资者。如果利率下降而债券价格上涨，公司就可以按偿债基金的规定以低于市场价格的价格回购债券并从中受益。在这种情况下，公司的所得就是持有人的所失。
不要求有偿债基金条款而发行的债券被称为序列债券。序列债券的到期日按时间间隔排列。如此一来，公司的主要支付费用就像偿债基金一样在时间上被分散了。序列债券不包括赎回条款。它与偿债基金相比较，序列债券的优势是没有不确定性，而这种不确定性是由偿债基金是否赎回某一特定数额的债券而带来的。序列债券的劣势是每一到期日的债券都是不同的，这减少了债券的流动性。
（2）次级债务
决定债券安全性的因素之一是发行公司全部的未偿还债券的数额。次级条款的规定限制了发行者额外借款的数额。原始债务优先，额外债务要从属于原始债务。也就是说，如遇公司破产，直到有优先权的主要债务被付清，次级债务的债权人才可能被偿付。正因为如此，次级原则有时也称为“自我第一规则”，即原始的（较早期的）债券持有者在公司破产时被最先偿付。
（3）红利限制
契约条款也限制了公司支付红利的数额。这些限制也对债券持有人有保护作用，因为它们迫使公司保留其资产而不是将其都付给股东。一个典型的限制内容是，如果公司有史以来的红利支付超过了累积留存收益与股票销售收入之和，就不得继续向股东支付红利。
（4）担保品
某些债券的发行以特别物品的担保为基础。担保品有几种形式，但其意义都在于如果公司违约，债券持有者可得到公司的部分资产。如果担保品是公司财产，该债券成为抵押债券；如果担保品以公司其他有价证券的形式出现，该债券则被称为担保信托债券；如果是设备，则被称为设备契约债券。最后一种形式的担保品最常见于铁路之类的公司，它们的设备标准化程度高，如果公司违约，在持有者需要追回担保品时很容易将这些设备出售给其他公司。
由于有特殊担保品的支持，抵押债券通常被认为是最安全的公司债券。通常的信用债券并不提供特殊的担保品，它们是无担保债券。持有人仅以公司通常的获利能力判断债券的安全性。如果公司违约，信用债券持有者成为公司的普通债权人。由于具备了更大的安全性，担保债券通常比一般的信用债券提供的收益要低一些。
6.1.3 公司债券的风险溢价
为了补偿可能发生的违约，公司债券必须提供违约溢价。在实物中违约溢价是公司债券的承诺收益率与无违约风险的政府债券收益率之差。如果公司的偿还还是有保障的并且实际兑现了，投资者就会得到比政府债券更高的到期收益率。如果公司破产，公司债券的收益率就比政府债券更低。公司债券与无违约风险的中长期国债相比，存在两种潜在的可能性——更好或更坏的收益率。换句话说，它更具有风险性。风险性债券的违约溢价模式被称为利率的风险结构。违约风险越大，违约溢价越高。关于公司债券违约风险的定价是一个值得深入的研究领域，目前的成熟理论是莫顿（Robert Carhart Merton）的期权评价。而金融实物中通行的方法是风险结构与利率期限结构的结合，即在同期国债利息率的基础上，根据信用评级的级差增加适度的利率点数，得到一个涵盖利率风险与违约风险的到期收益率水平。
利率是宏观经济状态的最敏感的指标，债券随时间而变化的收益率就与经济周期的循环密切相关。经济衰退时，收益率差趋大。显然，经济不稳定时，即便所持债券利率固定，投资者仍感觉有破产的可能性，他们要求相应更高的违约溢价作为补偿。这有时被称为投资转移（flight to quality），意即投资者在低安全率时，除非能得到更大的溢价，否则将会把他们的资金投入更安全的债券。因此，对于公司债券违约风险的宏观环境与演化的研究也是直接服务于债券投资的基础性工作。
6.2 均衡价格与到期收益率
对于仅有利率风险的国债，如何理解和表示其风险定价呢？定价就是估计套利均衡状态的价格。我们看到的是债券市场上不断交易而报出的成交价格，那么哪个是均衡价格呢？设想一个流动性好的市场，投资者充分利用所获得的市场信息，卖出高估的资产，买进低估的资产，如此获得套利收益。当套利机会缩小到忽略不计时，所有债券价格就是均衡价格，而由这些价格所决定的内部收益率就是表示风险价格的到期收益率。因此，国债定价就是在套利均衡状态下计算其到期收益率。
6.2.1 债券定价基本原理
根据收益现值法，任何一项资产的内在价值等于其预期现金流的现值之和。我们在上一章中看到一只股票的内在价值等于其预期红利的现值之和。作为固定收益证券，债券的现金流是定期支付给债券持有者的利息以及到期时返还的本金。那么
债券价值=息票利息值的现值+票面值的现值
考虑期限为T、面值为F、息票率为c的债券，选择市场利率r为贴现率，则债券价值P为
对于式（6-1）的理解有两个角度：计算均衡价格和计算到期收益率。
第一，均衡价格。给定均衡市场利率r，代入式（6-1），就得到债券的均衡价格。这里所说的均衡利率是指债券市场上没有套利机会，也就是达到套利均衡时零息票债券的到期收益率。这要结合第6.3.2节的期限结构理论加以理解。
第二，到期收益率。在套利均衡的市场状态，将式（6-1）的左边取作债券价格，求解方程（6-1），得到利率y，称之为到期收益率（yield to maturity，YTM）。
从财务的角度看，到期收益率就是投资给定债券的内部收益率（IRR）；从项目投资的角度看，到期收益率就是整个项目现金流的盈亏平衡点。
债券价格与市场利率或者到期收益率呈现反向关联。这是债券价格最重要的性质。
对于到期收益率的一个直观理解就是连续投资的按复利计算的名义利率。考虑一个3年期债券，其价格为
式（6-2）告诉我们期初的投资成本P以到期收益率y按复利增长恰好等于各期的现金收入继续按y为收益率投资的期末收入总和。
式（6-1）给出了债券投资现金流的现值求和。作为固定收益证券，其现金流分为每期相等的利息和最后一期的本金，因此等式右边的第一项被称为年金现值，第二项被称为本金现值。当利率为r时，持续T时期的1美元的年金为（1+r）{1-[1/（1+r）T]}，我们称之为利率r的T期年金因素。同样，我们称1/（1+r）T为现值因素，它是在T期收到的1美元的支付所对应的现值。因此，在实务中我们把债券的定价公式（6-1）重写为
例6-1 比较5个从长期、中期到短期的2014年交易国债的到期收益率。
1.“14附息国债05”，面值100元，发行期10年，息票率4.41%，半年付息，交易价格103.5646元。其现金流的初始值为-103.5646元，第1~19期的现金流为2.21元，第20期为102.21元。运用内部收益率IRR的计算程序，立得到期收益率为半年1.9922%，复利年化为4.0240%。
2.“14附息国债16”，面值100元，发行期30年，息票率4.76%，半年付息，交易价格100.2688元。其现金流的初始值为-100.2688元，第1~29期的现金流为2.38元，第30期为102.38元。运用内部收益率IRR的计算程序，立得到期收益率为半年2.3674%，复利年化为4.7908%。
3.“13附息国债08”，面值100元，发行期7年，息票率3.29%，一年付息，发行初交易价格96.2012元。其现金流的初始值为-96.2012元，第1~6期的现金流为3.29元，第7期为103.29元。运用内部收益率IRR的计算程序，立得到期收益率为年化3.9211%。一年后，剩余期限为6，交易价格为96.16元，到期收益率提高至年化4.0231%。
4.“14附息国债04”，面值100元，发行期3年，息票率3.66%，一年付息，交易价格100.9497元。到期收益率年化为3.3222%。
5.“14贴现国债03”，面值100元，发行期0.5年，零息票，到期支付100元，交易价格98.3109元。半年到期收益率为1.7181%，到期收益率年化为3.4658%。
纵观这5个长、中、短期国债，可以掌握到期收益率的计算，全面理解其含义。对于到期收益率而言，债券价格、期限、息票率是决定因素。当将不同期限的债券收益率加以比较，可以获得投资者对于未来一段时间利率趋势的预期。从例6-1来看，2014年上半年，投资者对于长期利率的看法比较平和，其与中期利率的差距不大。但是，半年期短期利率高于3年期中短期利率，说明了货币市场的银根紧张。相关内容的深入挖掘是第6.3节的内容。
由债券的定价公式可知，市场利率越高，则债券持有人所得的现值支付就越低。因此，债券价格在市场利率上升时会下跌，在市场利率下降时会上升。这说明了债券价格的一个最重要的性质，即债券价格与市场利率的反向关系。
体现债券必要收益率即体现利率和其价格的关系呈反向变动，并且价格–收益率关系不是直线，而是凸函数。这点我们在后面会进一步讨论。而且，当贴现利率低于息票利率时，债券价格高于其面值，即溢价；当贴现利率高于息票利率时，债券价格低于其面值，即折价。
公司债券一般以面值发行。这意味着债券发行的承销商（即在市场上为发行公司向公众销售债券的公司）必须选择与市场收益率极为接近的息票利率。在债券发行的初级市场上，承销商试图把新发行的债券直接售予客户。如果息票利率不合适，投资者将不按债券面值购买。
债券发行以后，债券持有者可以在二级市场上买卖债券。譬如，大多数的债券在纽约证券交易所或其他场外市场进行交易。在这些二级市场上，债券价格受市场力量的影响而发生变化，它与市场利率呈反向变动。价格和收益率的反向关系是固定收益债券的最主要特征。利率的波动是固定收益市场风险的主要根源。评估债券价格风险的一般规律是，保持其他因素不变，债券期限越长，价格相对于利率波动的敏感性就越大。
上面给出的债券定价的公式都假设下一次支付息票正好在同一个支付期内，年付息债券是在一年内付息或半年付息债券在六个月内付息。但是投资者可能希望一年365天里都能对债券定价，而不仅是在付息的一两天里才知债券价格。即需要对息票之间的债券定价，这时在每次支付前都会残留些零碎的天数，这会在某种程度上影响计算。但债券定价的基本原则不变，只计算尚未支付金额的现值。我们前面说过债券的价格计算依据是应计利息的净额，这样的价格在金融报刊上被称为净价。购买者实际支付的是发票价格，它包括了应计利息，即
发票价格=债券净价+应计利息
债券付息时，由于应计利息为零，净价等于发票价格，但这只是个特例而并非一般规则。
6.2.2 到期收益率
债券价格依赖于期限、息票率和市场利率，因此，对现金流量不同、期限也不同的债券的投资价值进行比较，就需要使用到期收益率指标。
到期收益率（Ym）也叫承诺到期收益率，是使用最广的债券收益率指标，因为如果满足两个假设，它表示的是承诺付给按当前市价购买债券的投资者的以完全复利计算的年化名义收益率。第一个假设是投资者持有债券至到期日。这一假设给该收益率一个简称，叫到期收益率。第二个假设已经暗含在现值模型的计算中，即所有债券的现金流在到期之前都会以计算的到期收益率进行再投资。
回顾债券定价的一般公式
为得到Ym，我们要解出Y使得当期价格等于债券到期前的所有现金流。这与投资项目的内部收益率的计算很相似。由于这是按现值计算，所以它暗含了再投资的假定。即公式假定，所有的期间现金流都要以算得的Ym为收益率进行再投资。这就是为何它被称为承诺到期收益率。
由于公司债券有违约风险，所以我们必须区分清债券承诺的到期收益率与它的期望收益率。承诺的到期收益率或拟定收益率只在公司完全履行债券发行契约时才可能兑现。因此，承诺收益率是债券到期收益率的最大可能值，而期望到期收益率要考虑违约的可能性。
由于半年付息债券在债券市场上占较大比重，考察半年付息债券的到期收益率十分重要。我们有两种方法来表示半年付息债券的到期收益率：名义利率和有效利率。用名义利率表示的到期收益率等于债券半年的收益率乘2，即
名义Ym=半年收益率×2 （6-5）
在实际应用时该收益率更为正式的叫法是债券约当收益。换言之，当一个人使用将半年收益率乘2的方法时，我们说他是在债券约当的基础上计算。
第二种方法，有效到期收益率，考虑到了每一期的半年复利计算对年收益率的影响：每6个月的利息收入在后续期进行再投资获得的利息收入。即半年收益率为4.545%的债券的有效Ym为
（1+0.04545）2-1=0.0930，即9.30%
而约当收益率为9.09%。同样，有效到期收益率为9.30%的债券，其半年收益率为
表达为一般公式，我们有
年化有效到期收益率=（半年到期收益率+1）2-1 （6-6）
由于债券收益率既可以表示成债券约当收益率，也可以表示成有效收益率，所以了解报告的利率是如何计算的非常重要。
6.2.3 其他收益率指标
债券投资者出于不同的目的，需要比较不同的收益率。除息票利率、到期收益率外，为了衡量债券当前的利润率，可以计算当期收益率；为了衡量持有债券至第一次赎回日的预期收益率，可以计算承诺赎回收益率；为了衡量在到期日之前卖出债券的预期收益率，可以计算实现（期限）收益率。
下面将具体介绍这些收益率的计算方法。
1.当期收益率
债券的当期收益率就好比股票的股息收益率，计算如下
CY=C/P （6-7）
式中，CY为债券的当期收益率；C为债券的年息票收入；P为债券的当前市场价格。
由于这个收益率衡量的是以价格的百分比表示的当前债券收入，所以这对于那些想要从他们的投资组合中获得当期现金流的收入导向型投资者来说很重要。此类投资者的一个例子就是那些靠投资收入维生的退休者。当期收益率对于那些对总收益感兴趣的人来说没有什么用处，因为它不包括资本利得或损失这个重要组成部分。
2.承诺赎回收益率
尽管投资者使用承诺到期收益率Ym来为大多数债券定价，但是遇到发行者赎回的时候，原计划的现金流就中断了，他们就不能再使用到期收益率而必须使用可赎回债券的收益率——承诺赎回收益率（Yc）。当具有赎回性质的债券以等于或高于其面值加1年的利息的价格售出时，债券投资者应当用Yc而不是Ym来给债券定价。原因是市场用较低的、更加保守的收益率来衡量债券的价格。当债券以约等于面值加1年利息的交叉点或高于交叉点的价位进行交易时，赎回收益率通常是最低的收益率。交叉点的价格之所以重要是因为当债券价格超过其面值时，计算出来的Ym就变得足够低，致使债券发行者以现行市场利率发行新债以赎回债券的行为有利可图。因此，Yc衡量的是投资者持有债券，知道第一个有效赎回日，即赎回延展期末，被赎回后所能得到的承诺收益率。当大量发行高收益率、高息票的债券后，投资者就应该考虑计算Yc。因为在这段时期之后，利率会下降，债券价格会上升，导致高息票债券很有可能被赎回。
计算半年计息债券的承诺赎回收益率的公式如下
式中，P为债券的市场价格；Ct为年息票收入；nc为距第一次赎回日的年数；Pc为债券的赎回价格。
与Ym一样，Yc的计算取决于两个假设：第一，距第一次赎回日的年数；第二，所有的现金流都以Yc的收益率再投资。
3.实现收益率
最后一种衡量债券收益率的方法是实现收益率（YR）（或期限收益率）。它衡量的是投资者在到期日之前卖出债券的预期收益率。在公式中，投资者的持有期比债券期限小。实现（期限）收益率可以用于估计各种交易决策可以获得的收益率。它是一种有用的衡量方法，但需要一些其他收益率衡量方法所不要求的附加估计值。具体来说，投资者需要估计：①在持有期结束时的债券预期售价；②债券出售之前的息票收入的再投资收益率。该方法也可用于计算投资者卖出债券之后的实际收益率。
半年计息债券的实现收益率的计算公式如下
式中，Ct为每年的息票收入；Pf为估计的未来债券售价；hp为债券持有期年数。
注意：息票现金流是以计算得到的实现（期限）收益率贴现的。在许多情况下，这一假设是不成立的，因为实际市场利率可能与计算得到的实现（期限）收益率差别很大。因此，要想估计一个现实的实现（期限）收益率，我们还需要估计出投资期内的再投资收益率。
6.3 利率期限结构
债券价格在债券存续期内随市场利率的变动而波动，而反过来，市场交易价格又决定所投资债券的到期收益率。对于仅有利率风险的国债而言，价格的波动反映了投资者对于债券期限的选择。
债券价格的波动性与其到期期限紧密关联，具体而言，其他因素保持不变，债券的期限越长，市场收益率变动导致的价格波动性越大。到期期限因而会对债券的价值产生影响。通常可以用收益率曲线反映到期期限和债券收益率的关系，为投资决策提供参考。
6.3.1 收益率曲线
以债券到期时间为函数的到期收益率曲线称为收益率曲线（yield curve）。在一般情况下，长期债券收益率高于短期债券收益率，即收益率曲线形状如图6-1所示。
图6-1 收益率曲线
长期债券收益率较高的原因有二：一是长期债券利率风险较大，需要较高的收益率来补偿利率风险；二是投资者预期利率会上升，因此较高的平均收益率反映了对债券后续寿命期的高利率预期。
但在实际中，收益率曲线的形状并不是在任何情况下都是一条上升的曲线，可以呈现出任何形状。总的来讲，收益率曲线一般会呈现以下四种形态，如图6-2所示：其中图6-2a中是一条下降或反向的曲线；图6-2b中是一条上升的曲线；图6-2c中是驼峰型的曲线，先升后降；图6-2d中基本是平的曲线。
图6-2 国债收益率曲线
资料来源：Various edition of The Wall Street Journal.
6.3.2 期限结构理论
为了解释收益率曲线形成的原因，很多学者进行了深入的研究，相关理论被称为利率期限结构理论。有三种理论应当引起关注：纯预期理论、流动性选择理论和市场分割理论。
最简单的期限结构理论是纯预期理论（pure expectations theory）。这一理论认为，远期利率等于市场整体对未来短期利率的预期。换句话说，f2=E（r2），流动溢价为0。因为f2=E（r2），我们就可以将长期债券收益率与远期利率的预期相联系。如果预期短期利率在未来会上升，那么长期收益率会高于短期收益率，形成向上的收益率曲线。
从投资的角度看，利率具有基准价值。在理论上我们可以有“点利率”或者是“瞬时利率”；在实务中，我们只有期间利率，具体表现为日利率、周利率、月利率、季度利率、半年利率和年利率等。因此，我们对于未来利率的关心就是对于未来一个期间利率的预测，为方便计，我们以年度为单位。未来一个年度利率，我们称为远期利率。我们现在如何科学地估计呢？从经济学理性预期理论出发，投资者会利用他们所掌握的信息做出判断。如何获得他们的判断呢？开会？问卷调查？都不可靠。只有靠投资，只有付出了成本的才是可靠的。因此，当债券市场达到套利均衡时，投资者在国债的长短期价格之间达成了平衡，形成一种稳态。这时候的各类到期收益率就是均衡利率，我们称套利均衡时的市场平均的到期收益率为相应年度的“即期利率”。或者说，给定年度期间的即期利率是这个期间的几何平均的年化利率。
更为简洁而准确地讲，我们使用套利均衡状态的各个零息票债券的到期收益率为相应年度期间的即期利率。例如，一年期零息票债券的到期收益率是一年期即期利率，二年期零息票债券的到期收益率是二年期即期利率，以此类推。这就是我们前面所说的“收益率曲线”，但是我们要套利均衡状态下的收益率曲线，这就是套利均衡的利率期限结构。这有什么用呢？有了它就有了未来远期利率的合理预期。
设第t年的即期利率为yt，第t年的远期利率为ft（即从第t年初到年末的期间利率）。那么，在套利均衡时，我们用一个单位的货币投资t年期零息票国债的方案一和先投资t-1年期零息票国债后再投资一年期国债的方案二就没有收益率区别。用公式表示
（1+yt）t=（1+yt-1）t-1（1+ft）
这里的t可以取值1，2，3，…
例6-2 接续5年的零息票国债的到期收益率如下表（单位：%）
那么，第2~5年的远期利率依次为
根据零息票国债交易所得到的即期利率，我们获得未来四年的远期利率。投资者用投资所表达的预期是前三年利率略微抬升，第2年增加24个基点，第3年增加6个基点，第4年增加16个基点，达到近年高位，而第5年则减少41个基点。
在前述的收益率曲线的计算中只用到零息票国债的交易价格，那么附息债券呢？没有预期发言权吗？市场信息是不容浪费的，每一个投资者的意见都要重视。
我们使用金融工程拆分的方法将附息债券拆分为多个零息票债券，再用统计回归的方法估计到期收益率。例如，一个3年期面值100元、息票率为3.6%的附息国债的3年现金流为3.6元、3.6元、103.6元，我们就可以将其拆分成3个，分别为1、2、3年期面值依次为3.6元、3.6元、103.6元的3个零息票国债。
假设市场交易n个m年期限的附息国债，第i个债券在第t期的现金流为ait（i=1，2，…，n；t=1，2，…，m），于是我们有回归方程组
回归即得每一期的零息票债券的折现因子
由；进而y3=d2/d3-1，以至ym=dm-1/dm-1。这是很有意义的方法，集合所有市场交易价格推演出利率预期，其中可以充分利用计量经济学的方法改进回归效果。
在纯预期理论下，债券收益率曲线可以是任何形状。当预期未来短期利率上升，收益率曲线将向上倾斜；当预期未来短期利率下降，收益率曲线将向下倾斜；当预期未来短期收益率先上升后下降，收益率曲线呈现驼峰型；当预期收益率一直不变化时，收益率曲线将是平缓型。
流动性选择理论（liquidity preference theory）认为长期收益率除了包含了投资者对于未来的短期收益率的预期，同时还包含了投资者对持有更长期限债券的风险溢价。具体地，对于短期投资者，除非远期利率超过短期利率的预期（即f2＞E（r2）），否则他们不愿持有长期债券；而对长期投资者来说，除非E（r2）＞f2，否则他们不愿持有短期债券。两类投资者都要求有个溢价。主张期限结构的流动偏好理论者认为，市场由短期投资者控制，所以，一般来说，远期利率超过短期利率的预期，f2超过E（r2），即流动溢价预期为一正值。
在流动性选择理论下，收益率曲线仍然可以呈现任何形状。增加风险溢价并不会改变向下倾斜或者驼峰形的曲线形状。当预期未来短期收益率下降，但下降的幅度恰好与风险溢价相同时，收益率曲线将是一条平缓的直线。
