市场分割理论（market segmentation theory）认为投资者和筹资者对债券的期限有各自不同的偏好。因此债券市场不同期限的均衡收益就由债券的发行者与债券的购买者共同决定。机构投资者需要使得持有的债券的期限与其负债的期限相匹配。例如，人寿保险机构和养老基金需要持有长期限的债券，以匹配它们的长期负债；而商业银行的负债相对较短，因此更偏好期限较短的债券。除了自身资产组合的限制，有些机构还面临对期限的法律限制。
同样地，在市场分割理论下，收益率曲线也可以是任何形状。只是不同期限之间的收益率没有必然的联系，完全由债券的发行人和投资人所共同决定。
6.3.3 期限结构的交易意义
到期期限的信息能够帮助投资者通过简单地观察收益曲线的形状来形成收益率预期。如果收益率曲线急剧下滑，历史经验显示利率很可能会下降。预期学派理论家认为人们只需要考察当前的收益率曲线来预测未来的利率方向。
根据期限结构的几种理论，债券投资者可以使用当前的收益率曲线来预测未来收益率曲线的形状。通过这个预测和当前利率的信息，投资者可以根据期限区间来决定预期收益率的波动。反过来，经历最大收益率变动的期限区间也会给投资者带来最大的价格升值潜力。
6.4 利率风险与久期
我们已经发现债券价格与到期收益率之间存在着反向变动关系。因此利率风险就表现为利率升高时给债券投资者带来损失的不确定性。那么如何度量债券的利率风险呢？直观的想法就是给出随着利率起伏所引起的债券价格的波动。这就是债券的利率敏感性。
为什么债券价格会对利率波动做出反应？因为在一个竞争性的市场中，提供给投资者的所有证券的期望收益率应该是相当的。当其他竞争性的收益率为8%时，如果债券的息票利率也为8%，那么它将以面值出售。如果市场的利率上升到9%，这时债券的价格一定会下跌，直到它的期望收益率上升到具有竞争水平的9%时。反过来，当市场的利率下降到7%时，这种债券的8%息票利率相对于其他可供选择的投资收益更吸引人。于是，渴望得到这种收益的投资者将以高于债券面值的价格购买它，直到它最终的收益率下降到市场上的平均水平位置。
6.4.1 利率敏感性
大部分相关的投资者对债券价格对市场利率变化的敏感性是有市场体验的，但是我们需要更深入地了解利率风险的决定因素。图6-3显示了息票利率、初始到期收益率和到期时间互不相同的四种债券，当到期收益率变化时，它们的债券价格相应变化的百分比。所有这四种债券都表明，当收益率上升时，债券价格下降，同时价格曲线是向下凹的，这表明对于同样的利率变化幅度，利率上升时的影响要大于利率下降时的影响。我们将这些性质总结为如下两点：
1.债券价格与收益有反向关系：当收益率增加时，债券价格下降；当收益率下降时，债券价格上升。
2.债券到期收益率的增长会导致价格下降的幅度低于与收益率等规模减少相联系的价格上升的幅度。即收益率增加比收益率减少引起的成比例的价格变化要小。
现在对比一下债券A和债券B的利率敏感性，这两种债券除到期时间外，其他参数均相同。图6-3显示，到期时间较长的债券B对于利率的变化有更大的敏感性。由此推出另一条基本性质：
3.长期债券的价格比短期债券的价格对利率的敏感性更强。
这并不奇怪，如果利率上升，由于现金流以更高的利率水平贴现，则债券的价值会有所降低。越是远期的现金流，提高贴现率的影响会越大。
虽然债券B的到期时间比债券A长6倍，它的利率敏感性却比债券A大不了6倍。看起来利率敏感性确实是随着到期日的延长而增加，但却不是按到期日延长的比例增加。因此，我们有了第四条性质：
4.当到期收益率增长时，价格对收益变化的敏感性以下降的比率增加，也就是说，债券价格对收益增加变化的敏感性低于相应的债券期限的增加。
将债券B与债券C相比较，二者除息票利率外其他条件均相同，这带来另一性质。即较低利率的债券对利率的变化有着更大的敏感性。由此而产生的是债券价格的一般性特征：
5.利率风险与债券的息票利率有一反向关系，高息票利率的债券价格与低息票利率的债券价格相比，前者对利率变化的敏感性较低。
最后，债券C与债券D仅仅是在当前出售的到期收益率不同。债券C的到期收益率更高一些，它对收益变化的敏感性也更小一些。这就是我们的最后一个性质：
6.债券价格对收益率的敏感性与该债券当前销售的到期收益率呈负相关关系。
前五条性质曾被马尔凯尔所论证，有些还被称为马尔凯尔的债券价格关系。最后一条性质是由霍默和利伯维茨提出的。
这六条性质证实了利率风险的主要因素是期限的长度。但是，这些关系也表明，期限单独并不足以测度利率的敏感性。例如，图6-3中的债券B和债券C有相同的期限，但是息票利率高的债券对利率变化的价格敏感性较低。显然，我们需要知道的比债券的期限可以确定利率风险量要更多一些。
图6-3 债券价格变化是到期收益率变化的函数
我们来看看为什么债券的特征，譬如息票利率或到期收益率会影响利率的敏感性？我们从一些简单的数字例子来开始我们的分析。表6-2列出了半年利息，息票利率为8%的债券在不同的到期收益率和不同的到期期限T时的价格。利率以年化百分率表示，这意味着两倍的实际半年息票利率就是年化收益率。最短期债券在利率从8%升到9%时价格下跌不到1%。10年期的债券价格下跌6.5%，而20年期的债券价格下跌则超过了9%。
表6-2 息票利率为8%的债券价格（半年支付一次息票利率）
①到期收益率为9%的等值债券除以收益（最初）为8%的债券，再减去1。
让我们现在来看看类似的例子，不过这次不是息票利率为8%的债券，而是零息票债券。其结果如表6-3所示。注意，对于每种期限，零息票债券价格的下跌比例比息票利率为8%的债券价格下跌的比例更大。因为我们知道长期债券比短期债券对利率的起伏更为敏感，这从某种意义上说明了零息票债券代表了长期债券，而不是到期日相同的息票债券。
表6-3 零息票债券的价格（半年计一次复利）
①到期收益率为9%的等值债券除以收益（最初）为8%的债券，再减去1。
实际上，这种对有效期限的洞察力对我们进行数学上精确的计算是十分有用的。注意在上述例子中，两种债券的到期时间并不能很好地测度出债券的长期或短期的性质。息票利率为8%的20年期债券有多次利息支付，其中绝大多数是在债券到期日前进行的。每次支付都可以认为有它自己的“到期日”。因此，债券有限期限应是由于债券支付的所有现金流的到期期限的一个平均。相比较，零息票债券仅在到期时有一次支付。所以，它的到期时间是个很容易定义的概念。
高息票利率债券价值的很大部分与利率紧密联系，而不是与最终支付的票面价值相联系。所以，“息票债券组合”倾向于在较早的、短期支付上赋予更大的权重，它导致息票债券的“有效期限”较短。这解释了马尔凯尔提出的第五个性质，即债券价格对利率变化敏感。
用类似的方法可以解释第六个性质，价格的敏感性随到期收益率下降。较高的收益降低了最终债券支付的现值，但更高的收益要求更多的远期支付。所以，在收益较高的情况下，债券价值的较大部分来自其较早的支付，因为早期支付有较低的有效期限和利率敏感性。债券价格随收益率变化的敏感性也就较小。
6.4.2 久期
债券的期限越长，利率变化的不确定性就越强，利率风险就越大。我们需要一个恰当的债券时间属性的指标来刻画利率风险。先看最简单的零息票债券，由于到期前没有利息派发，因此它的期限越长则利率风险越大。对于一只息票债券就有些复杂了。一个面值100元人民币的5年期国债，息票率为6%，前四年的息票现金流均为6元，这样你就不能说100元投资了5年。为了解决债券多次支付的“期限”含糊不清的问题，我们需要一种测度债券发生现金流的平均期限的方法，从而能够对债券的关于投资成本的有效期限进行有经济意义的度量，或者说据此刻画债券价格关于利率变化的敏感性，因为我们已经注意到价格敏感性会随着到期时间的增长而增加。
弗雷德里克·麦考利提出了久期的概念。具体定义是：一个期限为T、市场价格为P的债券的久期为
其中权重为
这里的y是该债券的到期收益率。等式右边的分子是时间t时发生的现金流依y的现值，分母是债券所有支付的总和。权重之和为1，因为按到期收益率折现的现金流之和等于债券价格。
麦考利久期根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算，他认为与每次支付时间相关的权重应当同那次支付对债券价值的“重要性”相联系，即该权重应该是这次支付在债券总价值中所占的比例。这个比例正好等于支付的现值除以债券价格。
图6-4可以帮助我们理解麦考利久期的概念。该图显示了一种面值为1000元、按年以9%为息票利率支付利息、10%为到期收益率的8年期债券所引发的现金流。前7年中，每年的现金流就只是90元的利息；最后一年中，现金流是利息与本金之和，即1090元。柱状图的高度表示了现金流的大小；深色部分表示用10%的折现率折现所得到的现金流现值。如果你将现金流量图视为一个跷跷板，并把现金的现值视为重量的话，那么债券的久期就是使这个跷跷板平衡的支点。图6-4的平衡支点在5.97年，其实就是以现金流现值占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间进行加权平均的结果。到期日之前的利息支付使债券的有效（即加权平均）期限小于实际到期时间。
图6-4 8年期、每年付息、息票利率为9%、到期收益率为10%的现金流
零息票债券的久期正好等于它的到期时间。这很好理解，由于只有一次支付，到支付的平均时间一定就是债券的期限。
久期之所以是固定收益资产组合管理中的一个关键概念至少有三个原因。首先，它是对资产组合实际平均期限的一个简单的概括统计；其次，它被视为使资产组合免疫于利率风险的一个重要工具；最后，久期是资产组合的利率敏感性的测度，我们现在来研究这个问题。
我们已经注意到长期债券比短期债券对利率波动更为敏感，久期作为尺度使我们能够量化这个关系。具体地说，当利率变化时，债券价格变化的比率与到期收益率的变化相关，根据以下法则
价格变化率等于（1+债券收益率y）的变化率乘以久期。
久期的深刻在于其考虑问题的角度，在于其所揭示的金融意义。其证明就是传统的微分近似。为此，先给出债券定价的一般表达，再对到期收益率y求导数
式（6-12）是式（6-11）的连续形式，这是一个弹性的关系式。
在实际运用时我们如何解读式（6-12）所表达的久期敏感度呢？我们会说如果利率增加1%，债券价格下降-D%。这很不方便，也不符合商业习惯。因此，我们在形式上做一些变化。它们将D*=D/（1+y）定义为修正久期。注意到Δ（1+y）=Δy，然后将式（6-11）重写为
这样所得到的是债券价格关于市场利率的半弹性的表达。其实际意思是：市场利率增加一个百分点引起债券价格下降百分之D*，反之，市场利率下降一个百分点引起债券价格上升百分之D*。或者说债券价格变化的百分比恰好等于修正久期与债券到期收益率的变化之积，而方向相反。因为债券价格变化的百分比同修正久期成比例，因此，修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险暴露程度。然而实际上，就像我们在下面将要看到的，式（6-12）和式（6-14）在债券收益变化很大时仅仅是大致有效，只有在收益变化是较小的或较局限时，“大致”才成为精确。
我们看一个具体算例。
例6-3 考虑一只3年期、半年支付一次、面值1000元、息票率为4%的国债，如果到期收益率为5%，计算其久期，并讨论利率风险。久期计算过程如表6-4所示：
表6-4 3年期国债的久期计算
注：计算结果对于计算过程小数点位数的选择是敏感的，在计算过程中要根据实际精度要求和统计计算的国标选择小数点后位数。
根据表6-4，该3年期国债的在5%的到期收益率的久期是2.8543。这就是说，利率敏感度是2.8543。如果市场利率上升一个百分点，则该债券价格会下跌2.8543%；反之，如果市场利率下跌一个百分点，则该债券价格会上涨2.8543%。
6.4.3 久期的性质
前述的马尔凯尔的债券价格关系，已给出了利率敏感性的决定因素。而久期的概念使我们得以将敏感性量化，这大大提高了我们投资决策的能力。例如，如果我们希望推算利率，从久期中我们可以知道我们要下的这个赌注有多大。相反，如果我们希望保持利率“中等水平”，并且仅与所选债券市场指数的利率敏感性相匹配，则通过久期我们可衡量这一敏感性，并在组合中进行模拟。为此，理解哪些因素决定久期至关重要。本小节我们总结出几项有关久期最重要特性的“规则”。
影响债券价格对市场利率变化的敏感性包括三要素：到期时间、息票利率和到期收益率。这些决定价格敏感性的因素对于固定收益资产组合管理十分重要。因此，我们在以下8个性质中归纳了有关的一些重要关系。图6-5显示出具有不同息票利率、到期收益率和到期时间的债券的久期情况，也表明了下面这些法则。例如，从图6-5中我们可以看出，随着到期时间的增长，两种到期收益率同为15%而息票率不同的债券的久期将收敛于有相同收益率的无限期限债券的久期，即7.67年。
图6-5 债券久期与债券期限
久期性质1 零息票债券的久期等于它的到期时间。
我们已经看到两年期的息票债券之所以比两年期零息票债券有更短的久期，因为最后支付前的一些息票利息支付都将减少债券的加权平均时间。这说明了久期的另一个一般性质。
久期性质2 市场利率和到期时间不变时，债券的久期随着息票利率的降低而延长。
这条性质与马尔凯尔的第五条关系相一致，原因是较早的息票利息支付对债券利息支付的平均期限的影响。这些息票的利率越高，越早支付的权重就越大，支付的加权平均期限就越短。比较图6-5中息票利率分别为3%和15%的息票债券久期的图形轨迹，两者的到期收益率都是15%。息票利率为15%的息票债券的久期曲线位于息票利率为3%的息票债券的久期曲线的下方。
久期性质3 当市场利率和息票利率不变时，债券的久期通常随债券到期时间的增长而增长。债券无论是以面值还是以面值的折价或溢价出售，久期总是随到期时间的增长而增长。
久期这条法则的性质与马尔凯尔的第三条关系相一致，非常直观。令人惊奇的是，久期并不总是随到期时间增长而增长。对于折现率很高的债券，久期可能会随着到期时间的增长而下降。然而，事实上所有可以交易的债券都可以安全地假定久期随到期时间的增长而增长。
注意，在图6-5中，零息票债券的到期时间和久期是相等的。但是，息票债券的到期时间增长一年时，它的久期增长却少于一年。在图中久期的斜率小于1。
虽然到期时间长的债券往往是有一很长久期的债券，但是，久期可以更好地说明债券长期的性质，因为它还考虑了债券的支付情况。只有当债券没有息票支付时，到期时间在统计上才是有充足意义的数字，因为这时到期时间与久期相等。
在图6-5中还可以看到，息票利率为15%的两种债券在以不同的到期收益率出售时会有不同的久期，低收益的债券有更长的久期。这是可以理解的，因为收益较低时，债券支付期越远的，其现值就越大，而且它在债券总值中占的比例也越大。因此，在加权平均计算久期的过程中，较远的支付有较大的权重，并有一较长的久期。因此我们有如下的法则：
久期性质4 在其他因素都不变，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。
正如我们前面已注意到的，从直觉上看，这个性质是说较高的收益率减少了债券所有支付的现值，减少了更远期支付的数额，因为远期支付所占的比例更大。因此，在较高收益率时债券总值的更多部分依赖于它的早期支付数额，依赖于减少有效到期时间。法则4就是上述债券定价关系中的第六条，适用于息票债券。当然对于零息票债券，久期等于到期时间，无须考虑到期收益率的大小。
最后，我们介绍久期计算常用的代数法则。这些法则是式（6-10）的久期公式的自然推论。这将帮助我们更深刻地理解久期的内涵，也能带来计算的便利。
久期性质5 息票债券的久期等于
式中，c为每个支付期的息票利率；T为支付次数；y为以支付期计算的债券到期收益率。
续例6-3的讨论，运用性质6，该债券的久期为
所以，按年计算D=2.8543（年）。
值得提醒的是，在运用性质5时，要以支付频率为准，按年支付时比较简单，直接带入参数，所得久期的单位就是年。如果是每半年支付一次利息，则按照半年调整到期收益率、息票率和期限，在上面的例子中，y=0.025，c=0.02，T=6，所得久期的单位是半年。
久期性质6 当息票债券是以面值出售时，到期收益率与息票率相等，计算久期的性质5可以简化为
续例6-3的讨论，如果到期收益率y=0.02，运用性质6，该债券的久期为
此时的久期为2.8567年，与例6-3相比，由于到期收益率下降了，所以久期也延长了。
久期性质7 稳定年金的久期由下式给出
式中，T为支付的次数；y是每个支付期年金的到期收益率。
稳定年金的主要商业形式就是银行对于借贷者的住房按揭贷款。一个30年期的每年利率为5%的等额还款的住房按揭贷款的久期为11.9691年。这当然是银行的资产久期，同时是借贷人的负债久期。
久期性质8 由性质7，T趋于无穷，则得到无限期限债券的久期
无限期限债券的久期=（1+y）/y （6-17）
例如，当收益率为10%时，每年支付100美元的无限期限债券的久期等于1.10/0.10=11（年）；类似地，当收益率为8%时，久期就等于1.08/0.08=13.5（年）了。
久期的性质和算例表明久期和到期时间的差别可以非常显著。无限期限债券的到期时间是无限的，而当收益率为10%时，它的久期仅为11年。但是，就是这个经过收入现金流调整了的生命期限却深刻揭示了债券的利率风险的敏感度，更为利率风险管理的免疫策略提供了依据。
作为小结，表6-5给出了随年限和息票率变化的几只债券的久期，假设每只债券都是半年付息一次，半年期到期收益为4%。注意久期随着息票利率增加而变短，并一般随着到期时间增长而增大。根据表6-5和式（6-12），如果利率由8%增长到8.1%，息票利率为6%的20年期债券其价值将下跌约1.01%（10.922×0.1%/1.08），但是息票利率为10%的1年期债券价格仅会下跌0.090%。从表6-5中还可以看到仅当债券为无限期限债券时，久期才与息票利率无关。
表6-5 债券的久期（初期债券收益率=8%APR）
最后，我们还要强调修正久期在揭示债券价格波动与利率波动关系上的作用。由关于修正久期的式（6-12）
式（6-18）告诉我们债券价格收益率的波动率是利率波动率的修正久期的倍数，或者说修正久期是债券价格波动率关于利率波动的敏感度。
6.5 凸性
久期确实是一个简洁有效的利率敏感度的度量，但是如式（6-13）所示，作为微分近似，其有效的条件在于利率变化不大。如果利率变化陡峭，从其图形上表现出突出的凹凸，就需要二次导数的补充了，这就是泰勒级数逼近的思想。这个二次导数项就是“凸性”或者“凸度”（convexity）。
凸性是对债券价格关于到期收益率变化函数弯曲程度的一种度量。
6.5.1 久期与凸性
作为度量利率敏感性的工具，久期显然是一个关键的工具，关于利率对债券价格的效应的久期法则仅是一种近似表达。式（6-12）或与其等价的式（6-13）说明债券价格变化的百分比约等于债券收益变化的久期修正值：
ΔP/P=-D*Δy
这个公式表示债券价格变化的百分比直接与预期利率变化成比率。但是，这是微分表达的关系式，只是每一个点的局部关系，不是一条债券价格变化率关于利率变化的直线关系。关键在于，形式上作为比例系数的修正久期不是一个常数，而是依赖利率的函数。这就是一条曲线的各点的切线。我们从图6-3中也看到，债券价格变化率与到期收益率之间的关系不是线性的，对此，马尔凯尔五法则有更一般的说明（尤其是久期性质2）。久期法则虽然是对于当前债券投资的到期收益率或者由此预期的市场利率较小变化的良好近似表达，但是，它并不能对较大程度的变化做出精确的说明。
图6-6表明了这一点。像图6-3一样，该图说明债券价格变化的百分比是对债券到期收益率变化的反应。曲线是30年期限，8%息票利率，最初以8%的到期收益率出售的债券价格变化的百分比；直线是久期法则预期的债券价格变化的百分比。债券初始收益修正久期是11.26年，所以直线是等式-D*Δy=-11.26×Δy的图形。因此，对于债券到期收益率的小变化，久期法则是准确的。但是，对于到期收益率的大变化，在两条线之间有不断扩大的“间隙”，这表明久期法则越来越不准确。
图6-6 债券价格的凸性
注：30年期，8%的息票利率，初始到期收益率为8%。
从图6-6中还可以看到，近似久期（直线）总是低于债券的价值。当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度；当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。因此，要进一步描述真实价格关系，我们需要刻画曲线弯曲程度的曲率指标。债券价格–到期收益率关系的曲线形状是凸的，这种价格–收益率曲线的曲率就称为债券的凸性（凸度）。
我们可以将凸性量化为债券价格–到期收益率曲线斜率（久期）的变化率，并表示为债券价格变化率的一部分。作为一条实用规则，大家可以将刻画价格变化率大小的债券价格所具有的较大凸性视为价格–收益率关系的曲率较大的表现，此时凸性的指标就不可被忽略。严格地讲，不可赎回的一般债券的凸性有正值，如图6-6所示：表示市场利率的到期收益率增加时斜率变大（即这个负数的绝对值变小）。
凸性使我们能够在市场利率变化较大时改进单纯使用久期对于债券价格变化率的刻画。其实就是在预期利率变化较大时，使用二阶泰勒级数刻画债券价格变化率。
为了更清晰地给出凸性V的数学表达，我们对债券价格P进行二阶泰勒级数展开。
式（6-19）是d1nP=dP/P的二阶泰勒展开，表达式省略了最后的二阶无穷小项，直接写成了等式。第一项的系数就是修正久期的相反数，而第二项的系数就被定义为凸性
凸性是各期现金流的现值关于期初价格的权重对于时间t（t+1）进行加权平均后再用（1+y）2进行调整的指标。
考虑凸性时，式（6-13）可以修正为
式（6-21）也是式（6-19）的离散表达。于是，利率变化所引起的债券价格的变化率首先与修正久期负向相关，其次再进行凸性的正向调整，但是凸性的正向调整的幅度是微小的。例如，如果利率变动的点数仅仅是一个百分点，那么（Δy）2=0.0001，乘上凸性后仍然可以忽略不计。因此，凸性在利率有一很大的潜在变化时才会作为一个更重要的实际因素。
值得特别注意的是，由于债券价格所具有的正的凸性，不管市场利率是上升还是下降，第二项的调整作用总是正的。这一性质与前面提及的久期性质有关，久期性质表明当收益率变动时总是低估债券的新价值。把凸性考虑进来的式（6-21）更精确了，它预测的债券价值比式（6-12）的预测值总是高些。
从债券价格变化率的角度，久期和凸性是刻画利率敏感度的一次项和二次项。而二者的关系也很有意思。从式（6-19）可以看出，凸性是修正久期的导数
表6-6给出了5个交易中的国债以剩余期限为准的久期和凸性的估计。据此我们可以得到债券价格的利率敏感度。例如2005记账式附息12期国债，修正久期为5.3607，凸性为36.0846，在长期市场利率为4.2495%的情形下，还有6.26年到期的该国债价格随利率变化的变化率为
如果仅仅考虑久期，当市场利率增加1个百分点时，该国债价格下跌5.3607%；如果加上凸性，则债券价格下跌5.1799%，少下跌18.08个基点。
表6-6 国债的久期和凸性
资料来源：万得数据的中证估值，数据截止日：2014.08.12。
对于AAA或者AA的优质公司债，其违约风险极低，也可以使用国债的久期和凸性指标分析债券价格的利率敏感度。如表6-7所示。
表6-7 公司债的久期和凸性
资料来源：万得数据的中证估值，数据截止日：2014.08.12。
6.5.2 投资者为什么喜欢凸性
凸性一般被认为是一个备受欢迎的特性。具有较大曲率的债券在收益率下降时，其价格的增加量大于收益率上升时价格的减少量。图6-7列举了在初始收益率下久期相同的两种债券A和B。令价格变化率为利率变化的函数，则这两个函数的曲线是相切的，这表示他们对收益率变化的敏感性在该切点处相同。但是，债券A的曲线比债券B更凸出。当利率有较大波动时，债券A的价格或者比B涨得多，或者比B跌得少。如果利率不稳定，那么这个富有吸引力的不对称现象将增大债券的期望收益率，因为债券A在利率上升时收益较大，在利率下降时损失较小。当然，既然凸性那么受欢迎，它就不是免费的了：投资者要想购买凸性较大的债券，必须付出更多的钱并接受更低的收益率。
图6-7 两只债券的凸性
6.5.3 债券的久期与凸性
在图6-8中，描绘了一只可赎回债券的价格–收益率曲线。当利率较高时，曲线向下凸，就像普通债券一样。如利率为10%时，价格–收益率曲线位于它的切线上方。但是利率较低时，债券价格存在一个可能的极限：债券的价格不可能高于其赎回价格。所以利率降低时，我们有时说，债券受制于价格限制——它的价格被“压”低到赎回价格。在这个区域中，如利率为5%时，价格–收益率曲线位于它的切线上方，此时称曲线具有负凸性。
图6-8 可赎回债券的价格收益率曲线
注意，在负凸性区域，价格–收益率曲线表现出不具吸引力的不对称性。对于同样的变化幅度，利率上升时引起的价格下跌大于利率下降时引起的价格上涨。这种不对称的产生是由于债券发行人保留有赎回债券的权利。如果利率上升，债券持有人受损失，这同普通债券一样。但是如果利率下降，投资者不但没有获取资本利得，还会被赎回拥有的股票。这样一来，投资者就好像处于抛硬币时“正面输，背面也没有赢”的境地。当然，投资者在购买这种债券时已经为这种局面得到了补偿。可赎回债券在出售时的初始价格低于其他相似的普通债券（也就是初始收益率较高）。
负凸性的影响表现在式（6-18）中，当凸性为负时，等式右侧第二项一定为负，这说明债券价格的实际表现不及久期近似值的预测。但是，对于可赎回债券，或者说凡是具有“内含期权”的债券，要想根据麦考利的定义来分析它们的久期是比较困难的。由于有这些期权的存在，债券引发的未来现金流变得不可测知。例如，要是债券被赎回，它的现金流就终止了，它的本金偿还也比初始预期的时间要早。因为现金流是随机的，我们无法对未来现金流支付的时间做加权平均，也就无法计算麦考利久期。
华尔街的惯例是计算内含期权债券的有效久期。计算有效久期的公式不像求解久期的式（6-11）那么简单。事实上，在考虑内含期权时要使用更为复杂的债券定价公式，有效久期定义为债券价格变化率与市场利率变化量之比
该公式看似仅仅是修正久期式（6-13）的变形，但是，它们之间存在重要差别。第一，请注意我们计算有效久期时没有考虑债券自身的到期收益率变化。（分母是Δr，而不是Δy。）这是因为债券有内含期权，可能被提前赎回，到期收益率通常是无关量。事实上，我们计算了利率期限结构的变化引起的价格变化。第二，有限久期公式依靠一种解决内含期权的定价公式。相反，麦考利久期和修正久期都可根据确定的现金流和到期收益率直接求出。
6.6 债券投资策略
债券投资组合策略包括消极的投资组合策略和积极的投资组合策略两种。不同的策略适用于不同需求和风险特征的投资者。20世纪60年代之前，只有消极的策略可用，并且大部分的债券投资组合根据买入并持有策略进行管理。20世纪60年代和70年代初期，积极债券投资组合管理策略开始兴起。从20世纪70年代后期开始，有的时候通货膨胀和利率上升到前所未有的水平，有的时候通货紧缩和利率下降，这便导致债券市场收益率极度波动。由于收益率波动增大，出现了许多新的金融工具，并且发展起来一些新的融资技术和投资组合管理方法。由于20世纪70年代早期“久期”概念的重现，一些投资组合管理技术才变成可能。
6.6.1 消极的债券管理策略
在固定收益市场中，经常使用两种消极管理的策略。第一种策略是指数策略，试图让管理的资产组合重复一个已有指数的业绩。第二种策略是免疫策略，这是一种为长期投资机构譬如保险公司或养老基金广泛运用着的技术。这些策略是被设计用来保护整个金融体系的，以免其遭受利率波动的风险。
虽然指数策略和免疫策略均认为市场价格是公平价格，但是，它们处理利率暴露风险的方式很不相同。一个债券指数资产组合的风险–回报将与之相联系的债券市场指数的风险–回报状况相当；相比较，免疫策略则试图建立几乎是零风险的资产组合。在这个组合中，利率的变动将对公司价值毫无影响。这一节中，我们将讨论这两种策略。
6.6.2 债券指数基金
原则上说，债券市场指数和股票市场指数应该是相似的，这种想法将产生一个反映一种指数成分的资产组合，而这种指数测度了大市。例如，在美国的股票市场，标准普尔500指数是被各股票指数基金运用最多的一个指数，这些基金完全按标准普尔500指数的成分股名单来选择购买股票，而且每种股票购买的数量与这些公司的当前市值在指数中的比重成比例。债券指数基金也使用一种类似的策略，但是，正如我们马上将看到的，由于债券市场及其指数的一些特殊困难，我们需要做一些修正。
在债券市场中有三个重要的指数，它们是：所罗门兄弟大市投资分级指数[Salomon Brothers Broad Investment Grade（BIG）Index]、雷曼兄弟总指数（Lehman Brothers Aggregate Index）和美林国内标准指数（Merrill Lynch Domestic Master Index）。全部这三个指数都是每日计算的总收益的市值加权平均指数。这三种指数均包括政府债券、公司债券、抵押支撑债券和扬基债券（外国发行者经证券与交易委员会注册，在美国发行的以美元标价的债券）。这三种指数均只包括一年期以上的债券。随着时间的推移，每一种债券到期年限低于一年时，它便会从指数中消失。表6-8列出了与每种指数相关的一些概要统计数字。
表6-8 债券指数的资产组合
资料来源：Frank K Reilly，G Wenchi Kao，David J Wright.Alternative Bond Market Indexes[J].Financial Analysts Journal（May-June 1992），pp.44-58.
由表6-8可以明显看出债券指数构成的第一个问题。表中每个指数都包括了5000种以上的证券，这使得按它们的市值比重购买十分困难。此外，表中的许多债券在市场中很少交易，这意味着很难找到它们的持有者，也很难以一个公平的市场价格购买它们。
在再平衡方面，债券指数基金比股票指数基金要困难得多。当债券的到期年限低于一年时，它们就会从指数中消失，而新发行的债券则不断补充进来。因此，同股票指数相比，用以计算指数的证券往往不断地变化。就如管理人所做的，他们必须调整或重新平衡他们的资产组合，以使他们持有的资产组合的证券结构与指数中包括的债券结构尽可能匹配。实际上，债券带来的大量利息收入必须要再投资，这使指数基金的管理工作更为复杂。
在实践中，债券指数基金完全精确地重复债券指数是不切实际的。作为代替，经常采取的是分层抽样法或分格方式。表6-9说明了隐藏在分格方式背后的思想。首先，债券市场被划分为若干个类别，表6-9显示了一种简单的、按到期年限与发行者划分的方法。但是，实际上，别的划分标准譬如债券息票利率或发行者信用风险等也可用于划分。于是落在同一单元内的债券被认为是同质的；其次，计算并报告每一单元债券的市值占全部债券（指包括在有关指数内的全部债券）市值的百分比，就像我们已在表6-9中所做的那样；最后，资产组合管理人将建立一个债券资产组合，该资产组合中每一个债券所占的比例与该单元在各单元的全部债券中所占的比例相匹配。通过这种方法，这个资产组合按照到期年限、息票利率、信用风险、行业代表性等方面的特征与指数的相应特征相匹配，因而这一资产组合的业绩也同样会与有关指数的业绩相匹配。
表6-9 债券单元划分
6.6.3 免疫策略
与指数策略不同，许多机构试图将它们持有的资产组合与这些资产组合所面临的利率风险隔离开。一般根据投资者所处的环境，有两种方法来考虑这种风险。一些机构，譬如银行，致力于保护现有资产净值或公司净市值免受利率波动的风险；其他投资者，譬如养老基金，在一定的期限后可能会面临支付的义务。所有这些投资者均更关注保护其资产组合的未来价值。
银行与养老基金面对的共同问题是利率风险，公司的资产净值和未来支付能力都将随着利率的变化而变化。这些机构都可能对控制利率风险的方法感兴趣。我们将看到，这些机构通过适当调整其资产组合的期限结构可以摆脱所面临的利率风险。我们称这些投资者用来保护其全部金融资产免受暴露的利率波动影响的策略为免疫技术。
许多银行和储蓄机构的资产与负债在期限结构方面自然存在着不匹配的情况。银行的负债主要是客户存款，显然，大部分期限都很短，因此久期短。相反，银行的资产大多是商业贷款、消费贷款和抵押贷款，这些资产的久期比存款的久期要长。因而，资产的价值对利率的波动更敏感。在利率意外增长的时期，银行的资产净值可能会大幅度减少，因为这时它们的资产要比它们的负债减少得更多。
同样，一项养老金可能也发生资产与负债的期限错误匹配，如基金所持有的利率敏感性资产和与其债务——对养老退休人员的支付之间，是错误的匹配。
养老基金并不是关注这一问题的唯一机构。任何有未来固定负债的机构都有必要考虑免疫问题，即合理的利率风险管理政策，例如保险公司也要采用利率免疫策略。实际上，免疫的概念是一个叫雷丁顿的人寿保险公司保险统计员提出的。免疫的含义是无论利率如何变动，资产与负债的久期匹配就可以确保资产组合有偿还公司债务的能力。
我们通过一个具体例子理解基于资产负债久期匹配的免疫策略。
例6-4 保险公司5年后要支付一项久期为5年的期初价值为10000元到期收益率为8%的负债，那么该负债的到期价值为1000×（1+0.08）5=14693.28元。那么管理者如何安排其资产呢？如果有一项5年期到期收益率恰为8%的到期价值为14693.28元的现值为10000元的零息票债是最好的。如果我们只有附息债券可选，是选期限为5年的还是久期为5年的？我们做一个比较，详见表6-10和表6-11。据表6-10，资产选择为5年期8%息票率的债券，当市场利率保持8%时，资产的最终价值恰好是负债。当市场利率升至9%时，再投资收益增加，实际收益率高达8.14%。问题是如果市场利率下跌至7%，前4年获得的800元现金流的后续再投资收益均有显著下降，最后的资产价值低于负债92.69元，投资实际收益率只有7.86%。据表6-11，资产选择为6年期8%息票率债券，其久期为5年。结果无论市场利率上升1个百分点还是下跌1个百分点，最后资产价值都超过了负债价值，实际收益率均为8%。实际上，当市场利率下跌时，资产出售的较高收益弥补了再投资收益的损失。因此，只有实现资产与负债的久期匹配，才能实现免疫策略。但是如果利率下跌超过3个百分点，免疫就失效了。
表6-10 5年期附息债券的现金流和收益率
表6-11 6年期附息债券的现金流和收益率
固定收益债券的投资者面临着两种有相互抵消作用的利率风险：价格风险和再投资利率风险。利率提高会导致资本损失，但同时，再投资收入会增加。如果资产组合的久期选择得当，这两种影响可以恰好相互抵消。当这一资产组合的久期恰好与投资者的持有期相等时，到期时投资基金的累计价值将不受利率波动的影响。即持有期与资产组合久期相等时，价格风险与再投资风险将完全抵消。
