内容提要
期权就是未来购买或者出售具体资产的权利。围绕这一最重要的金融创新，本章全方位解读了期权及其价值的内涵，剖析了期权的套期保值功能和信息价值。从套利均衡定价的理念出发，深入讲解了二叉树定价和布莱克-舒尔斯定价模型，从无套利机会、风险中性和精确复制三个方面给出了定价方法论。
期权恐怕是金融创新最为重要的产物。它不仅仅是一类金融衍生产品，更是一类基于动态信息更新的价值评估方法。因此，期权已经超越金融的范畴，在应用经济学、公共管理和工商管理领域得到广泛的重视。作为具有选择权的或有合同，期权的雏形在工业革命初期就出现在贸易领域。现代意义的期权开始于1973年4月26日芝加哥期权交易所（CBOE）的建立。股票期权成为场内交易的金融创新工具，1983年标准普尔500股指期权上市，随后是纽交所的股指期货期权。迄今，权益类证券期权仍然占据主导，在美国的主要交易所交易着2500多种单只股票期权和60多种股票指数期权。1973年布雷顿森林体系解体后，主要国际货币之间处于浮动汇率状态，国际贸易与国际投资的汇率风险上升，货币期权和利率期权应运而生，并且出现场内外并存的局面。亚洲地区在期权市场发展方面落后于美国，近十年来才逐渐发展起来。中国于2011年2月在银行间外汇市场组织开展人民币对外汇期权交易，外汇期权与外汇远期和掉期一起成为人民币汇率形成机制改革后的主要风险管理工具，也为人民币国际化提供了条件。2013年上海证券交易所和中国金融期货交易所分别推出个股期权和股指期权的仿真交易和投资者培训，证券类期权进入市场已经指日可待。
在本章的阅读中，一要理解期权的产品属性和信息属性，掌握其经济与金融功能；二要在套利均衡的位置上深入理解定价原理，并尽可能地泛化期权思想。
8.1 期权与套期保值
期权是直接金融的必然产物。一方面，人们在证券市场上承担着巨大风险，需要控制风险的工具，或者说在一定程度上为自己的投资上一份保险；另一方面，证券市场的信息很难做到完全，私有信息成为占有投资先机的法宝，也是市场不公平的根源，因此我们需要能发布或者传递各方投资者意见和私有信息的工具。期权这样一种可执行、可不执行的或有合同的形式就应运而生了。
8.1.1 期权合约
期权（option）是一种选择权，是指一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量的某种特定资产的权利。
期权赋予其持有者一种权利而不是义务。期权的持有者（多头）可以在该项期权规定的时间内执行其所拥有的买或不买、卖或不卖的权利，也可以放弃该权利。期权的卖方（空头）有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出或买入期权合约所规定的特定资产。因此，权利的获得者就要为此付出成本，这就是期权费。
最早的金融期权是单只股票期权，下面我们以最具代表性的股票期权为背景讲解期权相关概念和定价原理。
我们在第1章中介绍过期权的两种形式。看涨期权（call option）也称买方期权，它给予期权持有者在未来某个特定日期以特定价格购买一定数量资产的权利；看跌期权（put option）也称卖方期权，它给予期权持有者在未来某个特定日期以特定价格出售一定数量资产的权利。
期权合约的自然要件有四项：到期日、执行价、期权费和执行方式。
期权合约中事先确定的日期被称为到期日（expiration date或者maturity date），预先确定的特定价格被称为执行价（exercise price）或敲定价（strike price）。在期权交易中，期权的另外一个要素就是期权费（option premium），即期权的价格，是期权的买方为获取期权合约所赋予的权利而必须支付给卖方的费用，它通常由买卖双方在期权市场公开竞价而形成。对于期权的买方来说，期权费是其损失的最高限度。对于期权卖方来说，卖出期权即可得到一笔期权费收入，而不用立即交割。天下没有免费的午餐。这句古训支配着交易者的理念。因此期权的多方因获得权力而须支付期权费，而期权的空方则因要承担义务，就要向交易所支付保证金。
按期权的交割时间划分，可分为美式期权和欧式期权。美式期权（American options）可在直到到期日的任意时间（包括到期日）执行，而欧式期权（European options）只能在到期日执行。具有相同标的资产且敲定价格相同的美式期权和欧式期权在到期时是一样的，要么被执行，要么直至期权合约到期而结束。但是在到期日之前，这两种期权是不同的，并且具有不同的价值，所以必须区分二者。如果两个期权在所有方面（到期期限，标的股票，敲定价格，等等）均相同，只是一个是欧式期权，而另一个是美式期权，那么，美式期权的价值将等于或高于欧式期权的价值。这是因为，美式期权可以提前执行的特性使得它更灵活，因此美式期权的价值至少等于欧式期权，并且有可能更高。这一点，我们将在期权价格的影响因素中详细讨论。
百慕大期权，是指一种可以在到期日前所规定的一系列时间行权的期权。百慕大期权可以被视为美式期权与欧式期权之间的过渡。大多数在交易所交易的期权都是美式的。欧式期权比美式期权更容易分析，并且美式期权的一些性质经常通过分析其相应的欧式期权而推导得到。
值得提及的还有另外一种期权——亚式期权，它是欧式期权的变形，只能在到期日执行，但是其参考的标的价格不是当时的市场价格，而是所规定的一段时间内市场价格的平均值。可谓典型的儒家的“中庸之道”。
按期权合约上的标的工具来划分，期权有三种主要类别：金融期权、期货期权、商品期权。金融期权包括股票期权、股指期权、利率期权、外汇期权、债券期权等。金融期权的敲定价格可以依据债券的到期收益率、指数值、汇率等。例如基于LIBOR的利率期权的收益主要取决于到期日LIBOR与期权敲定利率的差异。指数期权通常都是现金结算，而不进行交割。指数看涨期权多头的收益是到期日指数值超过期权敲定的指数值的数额，乘以合约规定的乘子。同样，相等的数额将会从指数看涨期权的卖方账户中抵扣。期货期权是指给予期权持有者一种一个特定的期货价格即敲定价格，在指定日期或指定日期之前购买或出售特定的期货合约的权利。商品期权给予期权持有者以特定价格购买或出售一定数量的实物资产的权利。这些内容金融工程教材中会有更详细的介绍，这里我们不再详述。
期权是金融工程中使用花样最多的衍生金融工具。有的期权合约是标准化的，在交易所集中交易；还有许多期权品种是场外交易或者称为柜台交易（OTC），由金融工程师们根据客户的要求采取量体定做的方式设计出来。随着金融工程创新活动的深化，许多期权的变形品种也都被创造出来了，例如利率上限（interest rate cap）、利率下限（interest rate floor）、利率领（interest rate collar）等。
8.1.2 期权的收益
为简便计算，计算收益时先不考虑最初购买期权的成本。如果用K表示敲定价格，ST是标的资产在到期日T时的价格，那么持有者只有在期末价格大于敲定价格时才有利可图，也才执行期权。因而，欧式看涨期权多头的收益是
max（ST-K，0）
这反映了期权在ST＞K的时候会被执行，而在ST≤K的时候不会被执行的事实。相对应地，欧式看涨期权的空头方的收益（亏损）是
-max（ST-K，0）=min（K-ST，0）
欧式看跌期权多头方的收益是
max（K-ST，0）
欧式看跌期权空头方的收益是
-max（K-ST，0）=min（ST-K，0）
图8-1说明了这四种交易方式的期权头寸的收益情况，其中图8-1a展示了买入看涨期权的收益情况；图8-1b展示了卖出看涨期权的收益情况；图8-1c展示了买入看跌期权的收益情况；图8-1d展示了卖出看跌期权的收益情况。
图8-1 欧式期权各种头寸的收益
注：敲定价格为K，资产在到期日的价格为ST。
在交易市场上每种期权都有买卖双方，因此期权交易者可以选择买入期权或者卖出期权两种操作，期权有看涨期权和看跌期权两种主要类型，所以共有四种基本的期权交易位置：买入看涨期权（long call），卖出看涨期权（short call），买入看跌期权（long put），卖出看跌期权（short put）。买入看涨期权和卖出看跌期权均为看涨性质，卖出看涨期权和买入看跌期权均为看跌性质。但是，下面我们会看到买入与卖出的盈亏可能性却是大不一样的。
若交易者买进看涨期权，之后市场价格果然上涨，且升至执行价格之上，则交易者可执行期权从而获得市场价格减去执行价格与期权费的利润。从理论上说，价格可以无限上涨，所以买入看涨期权的盈利理论上是无限大。若到期一直未升到执行价格之上，则交易者可放弃期权，其最大损失为期权费。
若交易者买进看跌期权，之后市场价格果然下跌，且跌至执行价格之下，则交易者可执行期权从而获利，由于价格不可能跌到负数，所以买入看跌期权的最大盈利为执行价格减去期权费之差。若到期一直涨到执行价格之上，则交易者可放弃期权，其最大损失为期权费。
若交易者卖出看涨期权，在到期日之前没能升至执行价格之上，则作为看涨期权的买方将会放弃期权，而看涨期权的卖方就会取得期权费的收入。反之，看涨期权的买方将会要求执行期权，期权的卖方将损失市场价格减去执行价格与期权费，这个数额可以很大。但是期权卖出方的最大盈利仅为期权费。
若交易者卖出看跌期权，在到期日之前没能跌至执行价格之下，则作为看跌期权的买方将会放弃期权，而看跌期权的卖方就会取得期权费的收入。反之，看跌期权的买方将会要求执行期权，期权的卖方将损失执行价格减去市场价格与期权费，最大值是执行价格减去期权费。
如果我们考虑最初购买期权所支付的成本即期权费（用p表示），那么我们可以将上述四种交易头寸的利润情况用图8-2说明。
图8-2 欧式期权各种头寸的利润
8.1.3 期权的套期保值作用
最初推出期权的目的是要控制股票投资的风险，或者减少损失。财产保险给了期权的创设以启发。如果我们为自己持有的100手（10000股）同仁堂股票上财产保险，就要按照股票价值的一定比例缴纳保险费。有了保险，在期末，当同仁堂股票价格跌至一定价位时，我们就可以得到赔偿。这就是购买看跌期权的套期保值功能。现在同仁堂股票的价格是19元，我们购买了一定数量的3个月期限的同仁堂股票的看跌期权，其执行价格为15元。那么，三个月后如果股价在15元以上，我们就放弃执行看跌期权；如果股价低于15元，我们就通过执行期权，获得收益，以此弥补股票上的损失。那么，我们要不要通过购买期权以弥补所有股票的可能损失呢？这就要考虑投资成本，要有细致的金融工程的计算，为此需要期权定价。
我们在前面看到，预期股价可能下跌，有两个类似的立场可以选择。一是购买看跌期权，二是卖出看涨期权。后者似乎更合算，因为在期初不仅没有成本还有收益。但是，不要忘了卖出看涨期权所承担的义务可能在股价不跌反涨时导致很高的损失。
很多案例告诉我们，出于套期保值目的而投资期权，一定要遵循两个原则：一是实需，二是风险控制。
8.1.4 期权的信息价值
在马科维茨最优投资组合理论和CAPM定价理论中我们看到信息的价值。CAPM直接应用于投资实践的最根本性障碍就是不能保证证券市场的信息完备性，或者说不能消除私人信息的作用。从Fama的有效市场假说的现实适应性来看，也只有美国等成熟市场才能接近随时将交易记录和财务信息反映在股票价格中的“半强式有效”。
因此，既然信息不足是证券市场乃至整个资本市场体系的与生俱来的本性，那么我们就只有尽可能不断地促进市场的信息挖掘机制。期权就是这样一种最为有效的信息促进机制。无论从套期保值还是套利投机的动机出发，投资者选择一种看涨或者看跌的立场，在选择一个恰当的期限和执行价格，就表明了投资者对未来的意见。这是付出了成本的意见，因此是经过深思熟虑的。这些意见综合或者凝练了他们所掌握的私人信息。因此，期权市场的交易信息补充了证券市场信息的不足，减少了股价的过度波动。作为新兴市场代表的中国香港证券市场和韩国证券市场的股指期权和股票权证的经验就是有力的证据。
8.2 期权价格的性质和界
8.2.1 期权的内在价值与时间价值
一个期权的价值状态通常分为实值期权或虚值期权。如果一个期权立即执行可产生正的收益，那么它就是处于实值状态（in the money）。如果立即执行将导致负的收益，那么它就是处于虚值状态（out of the money）。若目前资产价格等于执行价格，执行期权既没有盈利也没有亏损，那么期权被称为平值期权（at the money），这就是分水岭。
我们以看涨期权为例说明它处于实值状态、虚值状态或平值状态的条件。如果S-K＞0，则买方可以K买入标的资产同时将它在市场上立即以一个更高的价格S卖出，S-K就是买方从立即执行期权中可收获的收益，因此称看涨期权处于实值状态；如果S-K＜0，则看涨期权处于虚值状态；如果S=K，则看涨期权处于平值状态。
类似地，对于看跌期权而言，如果K-S＞0，那么看跌期权处于实值状态。K-S是看跌期权的买方从立即执行上可获得的收益，即以S买入一单位标的资产同时将它在市场上以更高的价格K卖出。如果K-S＜0，则看跌期权处于虚值状态。如果S=K，则看跌期权处于平值状态。
一项期权的内在价值（intrinsic value）是执行或者放弃期权的权利所得到的最大价值。当期权处于实值状态时，也是执行期权所得到的全部收益；而当期权处于平值或虚值状态，无论是看涨期权还是看跌期权，期权的内在价值都为零。因此，若看涨期权的内在价值是S-X和0中的较大者，即
max（S-K，0）
类似地，看跌期权的内在价值是X-S和0中的较大者，即
max（S-K，0）
图8-1说明了期权的收益情况，也解释了期权的内在价值。
但是，在期权到期日之前，如果期权的市场交易价格低于其内在价值，就会有人立即购买该期权，同时执行该期权，就可以获得无风险收益，或者说进行套利。那么该期权的交易价格就会超过其内在价值。因此，在期权到期之前，期权的交易价格总会超过其内在价值，这个超额部分就是期权的时间价值（time value），这部分有时也被称为期权的投机价值（speculative value）。因此，有下面的关系式
期权交易价格=内在价值+时间价值
对美式期权以及大多数欧式期权而言，在其他条件不变的情况下，离到期时间越长，期权的时间价值越大，期权费或称期权价格越大。
表8-1给出了北电股票期权某日的交易数据。以斜体标识的六月看涨期权为例。执行价格为8美元，当时股票交易价格是9.35美元，该期权的内在价值为9.35-8=1.35（美元）；但是，交易商的出价1.95美元，要价为2.10美元。因此如果投资者现买现卖，就要以2.10美元买入期权，因此交易成本高于期权内在价值。此时，北电六月看涨期权的时间价值为2.10-1.35=0.75（美元）。
表8-1 北电期权示例 （单位：美元）
8.2.2 期权价格的影响因素
对于股票期权而言，有六个主要因素影响期权价格：股票的现价、期权的执行价、到期期限、股票价格的波动率、无风险利率、期权有效期内预计发放的红利。表8-2总结了当这些因素之一发生变化而其他因素保持不变时股票期权价格的变化。接下来我们将详细讨论各个因素的影响效果。注意我们的理论分析总是在没有套利机会情况下展开的。
表8-2 股票期权价格的影响因素及其影响效果
注：+表示随着影响因素的增加，期权价格将增加；
-表示随着影响因素的增加，期权价格将减小；
？表示这种关系不确定。
1.股票期初价格
看涨期权在将来某一时间执行，则其收益为股票价格与执行价格的差额。随着股票期初价格的上升，期权收益增大，看涨期权的价值也就越大。对于看跌期权来说，其收益为执行价格与股票价格的差额，因此当股票期初价格上升时，期权收益下降，看跌期权的价格下降。
2.执行价格
对于看涨期权来说，当执行价格上升，股票价格与执行价格的差额变小，即期权收益降低，所以期权价格减小。而对于看跌期权来说，当执行价格上升，执行价格与股票价格的超额变大，即期权收益增大，所以期权价格增大。
3.到期期限
当期权的有效期限增加时，美式看跌期权和美式看涨期权的价值都会增加；然而，欧式看跌期权和欧式看涨期权的价值不一定必然增加。这是因为，对美式期权而言，考虑其他条件相同但只有到期日不同的两个期权，则有效期长的期权其执行的机会不仅包含了有效期短的那个期权的所有执行机会，而且它的获利机会将更多，因此有效期长的期权的价值总是大于或等于有效期短的期权价值。然而对欧式期权而言，由于期权只能在到期日执行，有效期长的期权的执行机会并不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。例如，如果股票在未来有大量股利支付，而这会使股票价格下降，这种情况下，在股利支付后到期的到期期限长的期权的价格就低于在股利支付之前到期的到期期限短的期权的价值。
4.股票价格的波动率
股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率的增加，股票上升很高或下降很低的机会也随着增加。看涨期权的持有者从股价上升中获利，但当股价下跌时，损失有效，最大损失就是期权费；与此类似，看跌期权的持有者从股价下跌中获利，但当股价上升时，仅有有限的损失。因此，随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。
5.无风险利率
无风险利率对期权价格的影响不是很直接。当整个经济中的利率增长时，股票价格的预期增长率也倾向于增加。然而，期权持有者收到的未来现金流的现值将减少。这两种影响都将减少看跌期权的价值。因此随着无风险利率的增加，看跌期权的价格将减少。而对于看涨期权来说，前者将增加看涨期权的价格，而后者将倾向于减少看涨期权的价格。可以证明对看涨期权来说，前者的影响将起主导作用，即随着无风险利率的增加，看涨期权的价格总是随之增加。
需要强调的是，所有这些结果都是建立在其他变量保持不变的基础上。尤其是，当利率上升（或下降）时，股票价格也将下降（或上升）。若考虑利率变化和随之而来的股价变化的净效应，则可能会得出与上面相反的结论。
6.股利
在除息日后，股利将会降低股票的价格。对于看涨期权的价值来说这是一个坏消息，而对于看跌期权的价值来说则是一个好消息。因此，看涨期权的价值与预期股利的大小成反向变动，而看跌期权的价值与预期股利的大小成正向变动。
8.2.3 期权价格的上下界
对于期权上下界的推导，并不同于上一节中对影响因素做出限制和假定，本节中我们不需要这种特别的假定，只需要假定无风险利率大于零（r>0）。接下来的分析我们将基于以下的假设。假设市场中有一些诸如投资银行、对冲基金之类的套利投资者，对于他们而言如下的情形成立：
1.没有交易成本；
2.所有交易利润都适用于相同的税率；
3.借款和贷款都可以无风险利率进行。
市场一旦出现套利机会，假设这些市场参与者都会充分利用这些套利机会。这意味着任何可能的套利机会都会转瞬即逝，因此我们假设无套利机会是合理的。
我们用S表示股票价格，K表示期权执行价格，T表示期权的到期时间，t表示现在的时间，ST表示在T时刻股票的价格，r表示在T时刻到期的投资的无风险利率（按连续复利计算），Ca表示购买一股股票的美式看涨期权的价值，Pa表示出售一股股票的美式看跌期权的价值，C表示购买一股股票的欧式看涨期权的价值，P表示出售一股股票的欧式看跌期权的价值，σ表示股票价格的波动率。需要提示的是这里的r是名义利率，而不是实际利率。我们可以假设r＞0，否则一个无风险的投资将不能提供优于现金的任何好处。实际上，如果r＜0，现金将比无风险投资更好。
（1）期权价格上界
对看涨期权而言，美式期权或欧式看涨期权在任何时刻t的最大价值是t时刻标的股票的每股价格，因为没有人愿意以超过标的资产价值的价格去购买一项买入该资产的权利，如果这样直接从市场上购买标的资产将会更便宜。美式和欧式看涨期权的上界条件可以表示为
Ca≤S0和C≤S0 （8-1）
如果不存在这一关系，则套利者购买股票并卖出看涨期权，可轻易地获得无风险利润。
美式或欧式看跌期权给予期权持有者以每股K的价格卖出股票的权利。无论股票价格多低，期权价值都不会超过K，因为这是当股票价格趋向于零时的期权价值，所以有
Pa≤K和P≤K （8-2）
但是，由于欧式看跌期权不能在到期日之前执行，所以欧式看跌期权的最大价值是敲定价格以无风险利率进行折现的现值。即使股价趋向于零并且保持在零的价位上，内在价值K也不能在到期日之前被获得，只能到到期时才可以获取。因此，欧式看跌期权的价格不会高于K在今天的折现值，即
P≤Ke-rT （8-3）
如果这个关系不成立，套利者可以通过卖出期权，并且将收入以无风险利率进行投资，就可以获得一笔无风险的利润。
（2）期权价格下界
期权价格不会低于它的内在价值并且期权不会有负的价值，这意味着期权的下界为零。下界为零不仅适应于欧式期权也适用于美式期权，即
C≥0，Ca≥0
P≥0，Pa≥0
由于美式期权可以提前执行，所以美式期权的最小价格应该是期权的内在价值。平值期权和虚值期权的最小价值是零，因为期权价值不会为负。对于实值美式期权，看涨期权的最小价格是S-K，看跌期权的最小价格是K-S。如果最小价格不是这种情况，那么你可以以低于内在价值的价格买入期权并且立即执行，这样就获得了一定数量的确定利润。因此，对美式期权而言，我们可以将到期之前任意时间t的期权价格的下界表示为
Ca，t=max（0，St-K） （8-4）
Pa，t=max（0，K-St） （8-5）
但是对于欧式期权，期权价格的下界不是如此显而易见，因为期权不能立即执行。为了确定欧式期权的下界，我们先从最简单的不支付股利的股票期权开始讨论。
（3）不支付股利的欧式看涨期权的下界
考虑如下的投资组合的价值：
投资组合A：一个欧式看涨期权，以及金额为Ke-rT的现金；
投资组合B：一股股票
在组合A中，如果现金以无风险利率投资，它将在时刻T时增长到K。如果ST＞K，看涨期权在到期日将会被执行，则组合A的价值为ST。如果ST＜K，期权到期价值为零，则组合A的价值K。因此，在时刻T，组合A的价值为
max（ST，K）
在T时刻组合B的价值为ST。因此，在T时刻组合A的价值总是不低于T时刻组合B的价值，并且有时组合A的价值会高于组合B的价值。因此，在不存在套利机会的情况下，下列等式是成立的
C+Ke-rT≥S0
或C≥S0-Ke-rT
加上我们前面分析的，由于看涨期权的最坏情况就是到期时价值为零，并不会出现价值为负，所以C≥0，因此
C≥max（S0-Ke-rT，0） （8-6）
（4）不支付股利的欧式看跌期权的下界
类似地，不支付股利股票的欧式看跌期权的价格下限为
Ke-rT-S0
为了给出正式的证明，考虑下面的两个组合
组合C：一个欧式看跌期权，以及一股股票；
组合D：金额为Ke-rT的现金。
如果ST＜K，组合C中的期权在到期时将被执行，该组合的价值为K。如果ST＞K，在时刻T看跌期权的价值为零，该组合的价值ST。因此，组合C在T时刻的价值为
max（ST，K）
假定现金按照无风险利率进行投资，则在T时刻组合D的价值为K。因而，在T时刻组合C的价值总是不低于组合D的价值，并且有时组合C的价值会高于组合D的价值。在不存在套利机会时，组合C的现在价值一定高于组合D的现在价值。因此
P+S0≥Ke-rT
或P≥Ke-rT-S0
由于对于一个看跌期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零，所以期权价值必须为正值，即
P≥max（Ke-rT-S0，0） （8-7）
8.3 套利均衡与平价关系
金融资产的核心是其公允价格。何谓公允，要依据一个基准。金融资产的这个基准就是没有套利机会，人称“套利均衡”。在这个“均衡”状态我们认知期权的公允价格，我们还有起到关键作用的欧式看涨期权与欧式看跌期权的“平价定理”。
8.3.1 套利定理
概率论的一个历史背景是“公平赌博”的设计，由此我们有了著名的“套利定理”（arbitrage theorem）。
套利定理：
在所考虑的经济从当前时刻0变动到时刻1，在时刻1有m种不同的自然状态，交易n种证券，第i种证券在第j种自然状态的收益（额）为Ri（j）。投资者的一个投资策略表示为一个向量x=（x1，x2，…xn），其中，xi表示投资者在第i个证券的投资额；xi可以是正的、负的或者零。在这样一个经济模型中，有且仅有如下两种状态之一出现：
1.实现公平交易制度：存在一个关于自然状态的概率测度p=（p1，p2，…pm），使得对于每一个证券，其（在时刻0的）期望收益恒为零（公平交易或者公平赌博），即
2.存在套利机会：存在一个交易策略x=（x1，x2，…xn）实现稳赢（无风险套利），即
套利定理揭示了证券投资所依据的均衡的本质：在一个公平的概率分布之下，所有证券都是平等的，也就是说，每一个证券的期望收益均为零，这就是不存在套利机会，也就是“套利均衡”。在这个意义下，所有证券都是“公平交易”的。如果偏离了这个均衡，就会有套利机会，就有人来套利，于是套利机会就消失了，经济就恢复了均衡。这就是所谓“套利而达均衡”。这样一个概率分布就是“风险中性概率分布”。
我们可以使用一个矩阵更简洁地显示套利均衡定理，如表8-3所示。
表8-3 套利定理的状态与策略
矩阵中Ri（j）的行表示证券i在各种自然状态下的收益，而Ri（j）的列表示出现自然状态j时，各个证券的收益。这个矩阵就是我们所考虑的经济。
例8-1 我们考虑IBM股票的欧式看涨期权的套利均衡定价，价格的单位为美元。当前的股价为S0=100，而期权到期日的股价只有两种可能：S1=50或者200；同期的无风险利率为5%。所交易的看涨期权的执行价格为120美元，那么到期日期权的内在价值就是股价的函数。对应S1=50，期权价值C1=0；对应S1=200，期权价值C1=80。使用图形语言表示期权价值随股票价格变动的关系，可以写成：
在这个经济里，我们有两个证券：股票和看涨期权；有两个自然状态：S1=50或者200。我们可以应用“套利定理”计算看涨期权的均衡价值。股票上涨的概率记为p，无风险利率记为r，我们首先得到两个证券期望收益为零的等式。
股票的期望收益为零
期权的期望收益为零
联立以上两个方程并求解，得到
C0=80p/（1+r）=27.94（美元）
8.3.2 一价率
我们已经看到“套利均衡”是期权定价的境界，然而这种境界所体现的“理性”具有等深刻的经济学依据，这就是“一价率”（one price law）。一价率是商品经济的一般原理，是人们在数千年的商品流通过程中形成的“行为准则”或者“理念”。
一价率：如果不计交易成本的话，一种商品在同一个时间段在不同的市场上只能有一种价格。
如果不满足一价率，会发生什么呢？逐利的动机会驱使人们去套利。我们在第4章套利均衡部分已经看到有说服力的实例。
从一价率出发，我们可以推导在金融资产定价中广泛使用的“跨期一价率”。
跨期一价率：考虑两个投资，第一个投资的成本是C1，第二个投资的成本为C2。如果在其后某个时点第一个投资的回报和第二个投资的回报相等，则要么C1=C2，要么存在套利。
我们使用反证法加以论证。用C1（1）和C2（1）表示两个投资在时点1的价值。若C2＞C1，则可以在0时卖空C2，用所得买入C1；所余金额C2-C1可以存入银行而获得无风险收益；此时融资为零；到了1时，卖出C1（1），归还C2（1）；由于C1（1）=C2（1），因此，获得无风险收益（1+r）[C1（1）-C2（1）]>0，其中r是银行利率。这就是一个套利。
我们很快就会发现跨期一价率是一个强大的武器。
命题：在套利均衡状态下，美式看涨期权不会提前执行，于是Ca=C。
通俗地讲，在均衡条件下，股票价格的有一个稳定的预期增长率再加上一个随机干扰，因此看涨期权随着时间推移其价值是提升的。下面是一个逻辑证明。
证明：在到期日T之前，选择一个时点t，0＜t＜T。我们比较两个投资方案：
方案A：执行美式看涨期权，并投资无风险资产至时点T；
方案B：保有美式看涨期权，做空股票并投资无风险资产至时点T。
A的从t到T的现金流为：
B的从t到T的现金流为：
B在t时，借入St形成负债，而将变现的现金St买入无风险资产。
下面比较A和B在T时的现金流CHA，CHB
因此根据一价率，在处处没有套利机会的情形下，美式期权的提前执行是不利的。
8.3.3 欧式期权平价关系
下面我们推导欧式看跌期权价格P与欧式看涨期权价格C之间的均衡关系，为此考虑下面两个组合：
抛补性看涨组合A：做多一个欧式看涨期权，做空现值为Ke-rT的零息票债券；
保护性看跌组合C：做多一个欧式看跌期权，买进一股股票。
上述两个期权的执行价格均为K，期间的无风险利率为r。在套利均衡时，我们有欧式期权平价关系（European option parity）
C+Ke-rT=P+S0 （8-8）
它表明：在套利均衡时，具有同一执行价格和到期日的欧式看涨期权的价格可根据相同执行价格和到期日的欧式看跌期权的价格推导出来，反之亦然。如果上式不成立，则存在套利机会。
运用跨期一价率，我们通过表8-4的形式，可以简洁地给出证明。
表8-4 期权平价关系
由于在两个状态下，两个组合的价格在时点1都相等，因此根据跨期一价率，它们在时点0也相等。
即使考虑了派发股利的情形，欧式股票期权的平价关系依然成立。
8.3.4 美式期权的情形
看涨期权和看跌期权的平价关系只适用于欧式期权。尽管如此，还是可以推导一个适用于美式期权的不等式。对于具有同一到期日的欧式期权价格仍使用原来的记号，而美式看涨与看跌期权分别记为Ca，Pa。由于Pa≥P，因此根据上面的平价关系，则
Pa≥C+Ke-rT-S0
同时，对于不支付股利的股票而言，由Ca=C，所以
Pa≥Ca+Ke-rT-S0
或者，
Ca-Pa≤S0-Ke-rT （8-9）
为了进一步推导出Ca-Pa下界，考虑以下两个组合：
组合E：做多一个欧式看涨期权，加上现值为K的零息票债券，其无风险利率为r；
组合F：做多一个美式看跌期权，加上一股股票。
在这两个组合中，期权的敲定价格和到期日相同。如果看跌期权没有提前执行，在T时刻，组合F的价值为
max（ST，K）
此时，组合E的价值为
max（ST，K）+Ke-rT-K
因此，组合E的价值高于组合F的价值。如果组合F的看跌期权提前执行，比如说在t时刻执行，这意味着在时刻t组合F的价值为K。然而，就算看涨期权的价值为零，组合E在t时刻的价值应该是Ke-rT。即在任何情况下，组合E的价值都高于组合F的价值。因此
C+K≥Pa+S0
由于Ca=C，
Ca+K≥Pa+S0
即
Ca-Pa≥S0-K （8-10）
结合式（8-9），我们得到
S0-K≤Ca-Pa≤S0-Ke-rT （8-11）
8.4 美式期权以及提前执行的影响
8.4.1 美式看涨期权
在本节中，我们将先说明提前执行不支付股利的美式看涨期权是不明智的。为了给出一个较为正式的分析，我们可以利用式（8-6）
c≥S0-Ke-rT
由于美式看涨期权的所有者拥有相应的欧式看涨期权所有者开放的所有可执行期权的机会，所以有
C≥c
因此，
C≥S0-Ke-rT
由r＞0，可见C≥S0-K。如果提前执行是最优的，C将等于S0-K。我们的结论是：提前执行是不明智的。
图8-3说明了看涨期权的价格随股价变化的一般情形。该图表明看涨期权的价格总是高于其内在价值，即高于max（S0-K，0）。随着r、T、σ的增加，看涨期权的价格按箭头所示方向变动，即更远离内在价值。
图8-3 股价为S0的不支付股利股票的美式或欧式看涨期权的价格变化图
总之，基于不支付股利股票的美式期权不应该被提前执行有两个理由。原因之一是由于期权提供的保险。当持有看涨期权而不是持有股票时，看涨期权保证持有者在股票价格下降到敲定价格之下时不受损失。一旦该期权被执行，这种保险就消失了。另一个原因与货币的时间价值有关，支付敲定价格越晚越好。
8.4.2 美式看跌期权
接下来，我们讨论不支付股利股票的看跌期权。提前执行这种看跌期权可能是明智的。事实上，在期权有效期内的任一给定时刻，如果看跌期权的实值额很大，则应该提前执行它。
类似看涨期权，看跌期权可被认为也能提供保险。当同时持有股票和看跌期权时，看跌期权保证期权持有者在股票价格跌破某一特定的水平时不受损失。但是，看跌期权与看涨期权不同，投资者可以放弃这一保险并提前执行看跌期权立即实现敲定价格，这样做可能是明智的。一般而言，随着S0的降低，r增加和σ减小，提前执行看跌期权是更有利的。
回忆一下式（8-7），有
p≥Ke-rT-S0
对价格为P的美式看跌期权来说，由于有可能提前执行，更严格的条件是
P≥K-S0
图8-4表明一般情况下美式看跌期权的价格是怎样随股价的变化而变化的。在r＞0的条件下，当股票价格足够低时，立即执行美式看跌期权是非常明智的。如果提前执行的话，该期权的价值为K-S0。因此当S0很小时，代表看跌期权价值的曲线与看跌期权的内在价值K-S0重合在一起。在图8-4中，这个很小的股票价值S0如A点所示。当r降低，σ增大，T增加时，看跌期权的价值按箭头所示的方向变化。
由于在一些情况下，投资者迫切地希望提前执行美式看跌期权，因此，美式看跌期权的价值通常高于相应的欧式看跌期权的价值。由于美式期权的价值有时等于其内在价值，因此欧式看跌期权的价值有时低于其内在价值。图8-5显示了欧式看跌期权的价格随股票价格的变化。注意图8-5中的B点，在B点上期权的价格等于其内在价值，B点所代表的股票价格必定大于图8-4中的A点所代表的股票价格。图8-5中的E点为当S0=0时欧式看跌期权的价格Ke-rT。
图8-4 股价为S0的美式看跌期权的价格变化图
图8-5 股价为S0的欧式看跌期权的价格变化图
8.5 股利的影响
在假定期权的标的资产为不支付股利的股票时，我们到了第8.2~8.4节的有关结论。在这一部分中，我们将讨论股票股利的影响。美国市场上大多数场内交易的股票期权的到期期限小于8个月。在期权有效期内，通常可以合理正确地预计应付股利。用字母D表示在期权有效期内股利的现值。为此，假定股票在除息日发放股利。
