8.5.1 看涨期权和看跌期权的下界
我们将组合A和组合B重新定义：
组合A：一个欧式看涨期权，以及金额为D+Ke-rT的现金
投资组合B：一股股票
经过与式（8-6）类似的推导，得出
c≥S0-D-Ke-rT （8-12）
将组合C和组合D重新定义：
组合C：一个欧式看跌期权，以及一股股票；
组合D：金额为D+Ke-rT的现金。
经过与式（8-7）类似的推导，得出
p≥D+Ke-rT-S0 （8-13）
8.5.2 提前执行
当预期有股利发放时，我们将不能再肯定美式看涨期权不应该提前执行。有时在除息日之前，立即执行美式看涨期权是明智的。这是因为发放股利将使股票价格跳跃性下降，使期权的吸引力下降。而在其他任何时刻，提前执行美式看涨期权都是不明智的。
8.5.3 看涨与看跌期权之间的平价关系
比较T时刻重新定义的组合A和组合C的价值，表明当存在股利时，看涨与看跌期权之间的平价关系变为
c+D+Ke-rT=p+S0 （8-14）
同样，股利的存在使式（8-11）修正为
S0-D-K≤C-P≤S0-Ke-rT （8-15）
8.6 风险中性与二叉树方法
在第8.3节我们已经看到二叉树的功效。为期权和其他衍生证券进行估值的一个有用和最为一般化的方法是二叉树（binomial tree）。这个树图表示了衍生证券的价格随着其标的资产价格在有效期内可能遵循的路径。
二叉树模型假定资产下一个时间段的价格只有两种可能：上升或者下降。在这个简单的框架下，我们可以推出与套利均衡等价著名的风险中性估值（risk-neutral valuation）。这是Cox、Ross和Rubinstein（1979）的贡献，也可以称之为CRR方法。尽管在期权定价理论的发展历史中，最先呈现的是布莱克–舒尔斯（Black-Scholes，1973）的针对连续时间连续状态的期权定价公式即布莱克–舒尔斯期权公式（Black-Scholes option model），但是而后提出的CRR二叉树方法却有更广泛的适用性，并且二叉树的极限就是B-S公式，达到了金融资产定价理论在逻辑上的和谐。
8.6.1 一步二叉树模型
考虑一个简单的例子，假设一只股票当前价格是20元，三个月后股票价格可能为22元或18元。假设股票不支付股利，我们打算对三个月后以21元的敲定价格买入股票的欧式看涨期权进行估值。若到时股票价格为22元，期权价值为1元；若股票价格为18元，期权的价值将是0。这种情形如图8-6所示。
图8-6 股票价格的运动
这个例子说明，可以用一个相当简单的方法为期权估值。我们需要做的唯一假设是对投资者而言没有套利机会。我们可以用某种方式构造一个股票和期权的组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的。于是我们可以说，由于该组合无风险，它的收益率一定等于无风险收益率。这使我们可以得出构造该组合所需成本，于是得出该期权的价格。由于只有两只证券，股票和股票期权，并只有两个可能的结果，总有可能构造出无风险证券组合。
我们假设一个不支付股利的股票当前价格为S0，基于该股票的一个期权的当前价格为f，假设当前时间为零时刻，期权的有效期为T，在这段时间内股票价格或者从S0向上运动到一个新的水平S0u，或者从S0向下运动到S0d。当股票价格向上运动时，股票价格增长的比率为u-1；当股票价格向下运动时，股票价格减少的比率为1-d。如果股票价格运动到S0u，假设期权的收益为fu；如果股票价格运动到S0d，假设期权的收益为fd。如图8-7所示。
图8-7 一阶段二叉树图的股票价格和期权价格
我们想象一个证券组合由△股股票多头和一个期权的空头组成。我们来计算使得该组合为无风险状态的△值。如果股票价格上升，在期权有效期末尾该组合的价值为
S0u△-fu
如果股票价格下降，该组合的价值为
S0d△-fd
当两个价值相等时
S0u△-fu=S0d△-fd （8-16）
即
在这种情况下，该组合是无风险的，无套利机会，所以组合的收益必定为无风险利率。式（8-17）说明，△是T时刻两个节点的期权价格变化与股票价格变化之比。无风险利率用r表示，该组合的现值一定是
（S0u△-fu）e-rT
而构造该组合的成本是
S0△-f
因此
S0△-f=（S0u△-fu）e-rT
将式（8-17）中的△代入上式并简化，得到：
其中
运用一阶段二叉树方法，式（8-18）和（8-19）就可以为期权定价。
再考虑之前的数值例子（图8-7），u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25，fu=1，fd=0。从式（8-19）可得
从式（8-18）可得
这里需要提示的一点是，这种定价方法只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中了，它说明当根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上升和下降的概率。
作为风险中性定价的另一个核心成果就是“套期保值率”，它是股票与期权配合而实现价值稳定的比例。由式（8-17），我们有了△的定义式，△是期权价格变动关于股票变动的比例，用微积分的语言，就是期权价格关于股票价格的导数。由式（8-16），我们发现△份的股票与1份期权配合就可以实现组合价值不变，也就是风险中性。
8.6.2 精确复制
根据跨期一价率，在套利均衡状态下，如果两个资产组合在一个时间点的价格相等，那么它们在任何一个时间点的价格也就相等。因此，我们可以构造股票和债券的组合，让它在终止时刻的价格与期权相等，从而获得期权在期初的价格。
例8-2 假设IBM的股票现在是100美元，期末价格有两个状态，高至200美元，低至50美元；一个看涨期权价格为125美元；目前的贷款利率为8%。要通过精确复制的方法为该看涨期权定价。股票的价格变化、债券的价格变化和看涨期权的价格变化由如下3个二叉树表示：
我们用x份股票和用y份债券复制1份期权，即
解之，有x=0.5，y=-23.15。这就是说0.5份股票的多头加上23.15份债券的空头恰好复制1份看涨期权。或者说持有1份股票和46.30的贷款等于2份期权。于是在期初，就应该
2C=100-46.30=53.70
因此，C=26.86美元。
进一步，从看涨期权出售者的角度，卖出2份期权而获得53.70美元的现金流入，如果持有一份股票就需要支付100美元，这样还需要46.3美元的借贷，这个金额到期末恰好是以8%利率计算的50美元。也就是说，对于期权出售者，1份股票多头加上2份期权空头和1份债券空头，其组合价值等于零，或者说是零投资。如此，风险锁定了。到了期末，仍然是价值为零。如果股价高达200元，2份期权的债务为150元，而1份债券恰好是50元；如果股票跌至50元，期权债务为零，债券仍然是50元。
因此，1份股票的多头配合0.5份看涨期权的空头就是套期保值，0.5就是基于1份股票的期权的套保率。
8.6.3 风险中性估值
结合式（8-17）和式（8-18），很自然地将该式中的变量p解释为股票价格上升的概率，于是1-p就是股票价格下跌的概率。表达式
pfu+（1-p）fd
则是期权的预期收益。按照这种解释，式（8-17）可以表述为：期权今天的价格是其未来预期价值按照无风险利率贴现的现值。
当股票上升运动的概率假设为p时，我们考察一下股票的基于风险中性概率的预期收益。在T时刻预期的股票价格E（ST）由下式给出
E（ST）=pS0u+（1-p）S0d
或者
E（ST）=pS0（u-d）+S0d
将式（8-19）中的p代入上式，化简得
E（ST）=S0erT （8-20）
该式说明，在风险中性世界，平均来说，股票以无风险利率增长。因此，假定上升运动的概率等于p就是等于假设股票收益等于无风险利率。
在风险中性世界（risk-neutral world）中每一个人都是风险中性的。在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收益都是无风险利率。式（8-19）说明，当我们假定上升运动的概率为p时，我们就在假设一个风险中性世界。式（8-17）说明，期权价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。
比较期权定价和基础证券定价，我们看到了基本理念上的差异。前者是风险中性定价或者说在股票与期权构成的经济中，达到套利均衡时的定价。而股票和债券的套利均衡定价则是在基础证券的经济中没有套利机会的价格。而这种基础证券的均衡价格所反映的是系统风险的风险溢价。
期权定价中的所谓风险中性估值（risk-neutral valuation）原理是一个重要的一般原理，而以上的结果只是这个原理的一个例子。风险中性估值原理说明当为期权和其他衍生证券估值时，我们可以完全放心地假设世界是风险中性的。当然，相对于风险厌恶的世界而言，风险中性世界是一个参照标准。
8.6.4 两步二叉树模型
两步二叉树可以看成在每个一步二叉树中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或者下降到初始值的d倍。例如，在两次上升运动后，期权价格的价值为fuu。假设无风险利率是r，每个一步二叉树的时间长度是△t年（见图8-8）。
图8-8 两步二叉树中的股票价格和期权价格
重复式（8-18）的计算给出
将式（8-21）和式（8-22）代入式（8-23）中，得到
这与前面提到的风险中性估值的原理一致。其中，p2、2p（1-p）和（1-p）2是达到最后上、中、下三个节点的概率。期权的价格等于它在风险中性世界的预期收益按照无风险利率贴现的值。
如果在树图中加入更多步以推广应用二叉树方法，我们发现风险中性估值的原理一直都是成立的。期权的价格总是等于它在风险中性的预期收益按无风险利率贴现的值。
例8-3 看跌期权的例子
考虑一个两年期欧式看跌期权，期权的敲定价格为52元。我们假定价格为两步二叉树，每个步长为一年，在每个一步二叉树中股票价格或者按比率上升20%，或者按比率下跌20%。同时，我们假设无风险利率是5%。二叉树模型的树图如图8-9所示。
由公式计算风险中性概率p的值为
图8-9 利用两步二叉树方法为欧式看跌期权估值
注：在每个节点上，上面的数字是股票价格，下面的数字是期权价格。
最后股票的可能价格为72、48和32元，在这种情况下，fuu=0、fud=4、fdd=20，△t=1，利用式（8-23）有
看跌期权的价值是4.1923元。利用式（8-17）并从每个一步二叉树向前倒推，也可以得到这个结果。图8-9表示了所计算的期权价格。
8.6.5 美式期权
我们前面的讨论都是欧式期权，现在我们考虑如何利用诸如图8-8或图8-9所示的二叉树方法为美式期权进行估值。方法是从树图的最后的末端开始向开始的起点倒推计算，在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价格与欧式期权在最后节点的期权价值计算相同。在较早的一些节点，期权的价值是取如下两者之中的较大者：由式（8-17）计算出的值、提前执行所得的收益。
作为一个说明，我们通过继续上面看跌的例子来说明如果考虑的是美式期权，二叉树图会发生什么变化。当然，股票价格和它们的概率不会发生变化。在最后节点的期权价值也没有变化。在结点B，式（8-17）给出的期权价值为1.4147元，而提前执行期权损益为负值（-8元）。很清楚，在结点B提前执行是不明智的，在这个结点的期权价值为1.4147元。在结点C，由式（8-17）给出的期权价值为9.4636元，而提前执行期权的损益为12元。在这种情况下，提前执行是最佳的，因此期权价值为12元。在初始结点A，由式（8-17）给出的期权价值为
此时，提前执行期权的价值为2元，所以提前执行是不明智的。因此期权的价值是5.0894元。图8-10展示了新二叉树模型的各结点的价值。
图8-10 利用两步二叉树方法为欧式看跌期权估值
注：在每个节点上，上面的数字是股票价格，下面的数字是期权价格。
8.6.6 二叉树方法的逼近
上面所讨论的二叉树模型都是非现实的例子。很显然，假设在期权有效期内股票价格的运动只是由一步或两步构成，我们只能得到期权价格的一个非常粗略的近似值。在实际中，如果股票价格有n个状态，则将中间过程设计为n-2步，或者说有n-1层二叉树。
在实际应用二叉树方法时，通常将期权有效期分成30或更多的时间步长。在每一个时间步，就有一个二叉树股票价格运动。30个时间步长意味着最后有31个终端股票价格，并且有230即大约10亿个可能的股票价格路径。这里我们只介绍了二叉树定价方法的基本思路，二叉树模型的数值计算方法还有很深刻有价值的内容，可以去读金融工程和金融计算方面的书籍。
从股票价格波动率σ可以确定u和d的值。可以有许多种不同的方式做到这一点。如果我们定义△t为一步步长的时间，一种可能设定是
如此，对于n个状态的每一个状态都是经过若干次上升和下降后得到的，因此我们有股票的对数收益率服从参数为（n，p）的二项分布。具有概率论基础知识的读者应该知道二项分布的极限是正态分布。这就可以导出著名的B-S（Black-Scholes）公式。当然完成这个证明还要有许多步严格的数学过程，在金融工程和数理金融学的书籍中都有详细的介绍。
8.7 布莱克–斯科尔斯公式
Black和Scholes于1973年在经济学领域最好的国际杂志——政治经济学杂志（Journal of Political Economy）发表了划时代的力作《期权和公司债务的定价》（The Pricing of Options and Corporate Liabilities），提出了股票期权定价的套利均衡公式。其思想之深刻和方法论之深远都是金融领域里前所未有的。该文假设股票价格的对数收益率服从布朗运动，由固定增长率的漂移项和固定波动率的扩散项构成，前者是确定随时间增长的因素，后者是空间随机扰动因素。基于这个基本假设，该文设计了期权和股票的对冲组合，进而应用著名的伊藤引理导出了具有解析解的偏微分方程，最后得到了简洁而富有经济学含义的期权定价公式。如此开启了金融学衍生产品研究的新时代。1979年Cox、Ross和Rubinstein运用他们提出的二叉树方法，重新证明了B-S公式，而将方法论提升到一个新的高度。
B-S公式尽管基于理想环境假设，但是既刻画了作为基准的正常状态，又为后续一些列更接近现实的技术开发提供了指导。目前B-S公式仍是实际应用中的基本方法。
假定股票价格t时刻的股票价格的对数收益率lnSt服从正态分布N（μt，σ2t），其中μ表示股票收益的增长率，σ表示股票对数收益率的波动率。针对这只股票设计一个执行价格为K的期限为T年的看涨期权，同期的市场利率为r，那么看涨期权在初始时的套利均衡价格为
式中，Φ（x）是标准正态分布函数，并且
从看涨期权的内在价值出发很容易理解式（8-25），股票价格从0时增长到t时减去执行价格现值的调整值。式（8-26）的分子的是市场达到套利均衡时股票对数收益率的预期增长率。
根据式（8-25）所得到的期权对于股票的套期保值率为
例8-4 股票的现价为25元，其收益率波动率为0.20，三个月看涨期权的执行价格为28元，市场利率（年化）为4%。该看涨期权的均衡价格是多少？
注意到T=0.25，那么
该股票的套期保值率为
从风险管理的角度讲，期权用于对冲股票的波动，因此，股票价格的对数收益率的波动越大则期权越有价值。在例8-4中我们让股票价格波动加剧，所得到的期权均衡价格则单调上升。表8-5给出了变化过程。我们看到期权价格随着波动率σ的增加是非线性的。
表8-5 股价对数收益率波动率对于期权价格的影响
期权定价是金融学中最为丰富的知识点，其经济学思想的贡献在经济学史具有方法论意义的里程碑地位。作为本章的结束，我们要再次强调B-S公式、二叉树方法的重要性，强调套利均衡定理、风险中性和精确复制等三套拳方法的启发性。
关键术语
看涨期权（call options）
看跌期权（put options）
欧式期权（European options）
美式期权（American options）
欧式期权平价关系（European option parity）
二叉树（binomial tree）
布莱克–斯科尔斯期权公式（Black-Scholes option model）
套期保值率（hedge ratio）
风险中性（risk neutrality）
期权的时间价值（time value of options）
扩展阅读
·约翰·赫尔.期权、期货及其他衍生产品[M].王勇，索吾林，译.8版.北京：机械工业出版社，2012.
·罗素·罗兹.期权价差交易：战略和策略综合指南[M].陈学彬，译.上海：上海财经大学出版社，2013.
·Black F，Scholes M.The Pricing of Options and Corporation Liablities[J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-654.
·Cox J C，Ross S A，Rubinstein M.Option Pricing：A Simplifed Approach[J].Journal of Finanical Economics，1979，7：229-263.
