破解太阳系
不论科学革命是否存在，它的开端是哥白尼。1473年，尼古拉·哥白尼出生在波兰的一个西里西亚移民家庭。哥白尼10岁丧父，所幸被舅舅抚养，他的舅舅因为在教堂供职而变得富裕，几年后成为伐米亚（也作埃尔默兰德，位于波兰东北部）主教。哥白尼曾就读于克拉科夫大学，或许学习过部分天文学课程。1496年，哥白尼在博洛尼亚大学主修教会法，并担任天文学家多梅尼科·玛丽亚·诺瓦拉（Domenico Maria Novara，曾师从约翰·米勒）的助手，开始进行天文观测。在博洛尼亚大学就读期间，哥白尼得知，在舅舅的帮助下，自己已经被内定为伐米亚大教堂弗龙堡（或弗劳恩堡）分堂的16名教士之一，这项肥缺不仅工作轻松，还能保其后半生衣食无忧。但哥白尼始终未成为一名神父。在帕多瓦大学短期学习医学后，他于1503年在费拉拉大学取得法学博士学位，不久便返回波兰。1510年，哥白尼来到弗龙堡，在那里建造了一个小型天文台，并在该地定居，直到1543年去世。
到弗龙堡后不久，哥白尼写了一篇匿名短文，后来题为“天体运动和构造假设短论”（De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus），通常称为“短论”（commentariolus）。1这篇文章直到作者死后很久才发表，因此其影响力不如他后期的著作，但却很好地概述了哥白尼研究的指导思想。
在《短论》中，哥白尼对早期行星理论做出了简短批评，随后陈述了他的新理论的7项原则。下面是对这些原则的意译，并添加了一些评注：1.天体轨道并非只有一个中心。（对于哥白尼是否认为这些天体被载于亚里士多德所假定的物质球壳2上，史学界存在分歧。）
2.地球的中心并非宇宙的中心，而只是月球轨道的中心以及地面物体所趋向的重心。
3.太阳是宇宙的中心，除月球以外的所有天体均绕其旋转。（后文将提到，哥白尼认为地球和其他行星轨道的中心并非太阳，而是靠近太阳的某一点。）
4.与地球和恒星之间的距离相比，日地距离微不足道。（哥白尼大概用这个假设来解释为什么我们看不到周年视差——因地球围绕太阳的运动而引起的恒星周年视运动。但视差问题在《短论》中并未提及。）
5.恒星围绕地球的周日视运动完全因地球的自转而产生。
6.太阳的周日视运动因地球绕地轴的自转和地球围绕太阳的公转（像其他行星的公转一样）两者共同作用而产生。
7.行星的视逆行因地球的运动而产生，发生在地球超越火星、木星或土星之时，或地球在其轨道上被水星或金星超越之时。
在《短论》中，哥白尼无法声称其方案比托勒密的方案更符合观测结果。一方面，前者并未优于后者。事实上，前者也不可能优于后者，因为哥白尼理论中绝大部分数据取自托勒密的《天文学大成》，而不是通过自己的观测得到的。3但哥白尼并未求助于新的观测数据，而是指出其理论在审美角度方面的一些优势。
一个优势是，地球的运动解释了太阳、恒星和其他行星各种各样的视运动。哥白尼得以借此消除托勒密理论中假设的“微调”，即水星和金星的本轮中心必须始终位于地球与太阳之间的连线上，以及火星、木星和土星与其各自本轮中心的连线必须始终平行于日地连线。其结果是，每颗内行星的本轮中心围绕地球的旋转以及每颗外行星在其本轮上转一整圈，都需要经过微调，以使其所耗时间恰为一年。哥白尼意识到，这些不自然的要求只是反映了以下事实：我们在一个围绕太阳旋转的平台上观测太阳系。
哥白尼理论的另一审美优势在于其对行星轨道的大小给出了更明确的界定。回想一下，在托勒密天文学中，行星的视运动不依赖于本轮和均轮的大小，只依赖于每颗行星的本轮和均轮的半径之比。如果你高兴的话，你甚至可以认为水星的均轮大于土星的均轮，只要对水星本轮的大小做相应调整即可。根据托勒密在《行星假说》中的范例，天文学家通常假设一颗行星到地球的最大距离等于其外部的下一颗行星到地球的最小距离，据此界定轨道的大小。这样，只要选定了行星距离地球由近到远的顺序，就界定了行星轨道的相对大小，但是这种选择仍然是很随意的。总之，《行星假说》中的假设，既没有以观测结果为根据，也没有通过观测进行确认。
相反，为使哥白尼方案与观测相符，每颗行星的轨道半径需与地球轨道半径有一个确定的比值。[1]值得一提的是，由于托勒密对内行星和外行星引入本轮方式的差异（不考虑与轨道的椭圆度相关的复杂机制），内行星的本轮和均轮半径之比必须等于行星和地球到太阳的距离之比，而外行星的相应比值等于上述距离之比的倒数（见技术札记13）。哥白尼并未以这种方式呈示其结果，而是给出一个复杂的“三角测量术”，这传达了一个错误信息，似乎他做出了已被观测确认的新预测。但事实上，他确实得出了正确的行星轨道半径。他发现行星按照距离太阳由近到远的顺序依次为：水星、金星、地球、火星、木星和土星。这与其公转周期由小到大的顺序正好一致，哥白尼的估测值分别为3个月、9个月、1年、2.5年、12年和30年。虽然当时尚无能够确定行星公转速度的理论，但在哥白尼看来，宇宙秩序的根据便是：行星的轨道越大，围绕太阳的运动就越慢。4
哥白尼理论提供了一个经典的例子：一种理论可以根据审美标准选择，而无须用实验证明它相对于其他理论的优越性。《短论》中的哥白尼理论可简单地描述为：通过指出地球有公转和自转，托勒密理论中的许多怪现象一下子就得到了解释，且在关于行星的顺序及其轨道的大小方面，哥白尼理论比托勒密理论更为明确。哥白尼承认，毕达哥拉斯学派早已提出了关于地球移动的想法，但他也（正确地）指出，他们“毫无根据地宣称”该想法，没有提供任何论据——甚至连类似哥白尼这样的论据都没有给出。
除了微调及关于行星轨道大小和顺序的不确定性，托勒密理论中还存在其他哥白尼不喜欢的东西。在处理匀速圆周运动的实际偏离时，托勒密采用了对位点等手段，对此哥白尼表示反对，他忠实于柏拉图的名言：行星在圆周上保持匀速运动。于是，哥白尼采取与伊本·沙提尔同样的办法，引入了更多的本轮：水星6个，月球三个，金星、火星、木星和土星各4个。在这一点上，他的做法并未超越《天文学大成》。
哥白尼的这一工作体现了物理科学史上另一个反复出现的话题：一个简洁美观并与观测结果吻合得不错的理论，往往比复杂丑陋却更符合观测结果的理论更接近真理。实现哥白尼总体想法的最简单思路本应是：本轮并不存在，包括地球在内的各大行星在以太阳为中心的圆形轨道上匀速运动。这种思路将与托勒密天文学的最简版本效果一致，其中每颗行星只有一个本轮，而太阳和月球没有本轮，而且没有偏心轮或对位点。哥白尼的这一思路不会精确地符合所有观测结果，因为行星的运行轨道不是圆周，而是近圆形的椭圆；它们的速度只是近似不变；太阳不在每个椭圆轨道的中心，而是稍稍偏离，位于被称为焦点的位置（见技术札记18）。哥白尼本可以做得更好，如果他遵循托勒密的做法，对包括地球在内的每个行星轨道都引入偏心轮和对位点，那么其理论与观测结果的差异将进一步缩小，当时的天文学家将难以察觉这一差异。
在量子力学的发展中有一个插曲，显示了适当忽略与观测结果的小冲突这一点的重要性。1925年，欧文·薛定谔发现了一种计算最简单状态原子（氢原子）能量的方法。其结果与这些能量的总体格局相当吻合，但考虑到狭义相对论力学对牛顿力学的偏离，理论结果与所测得的能量在细节方面不甚吻合。薛定谔将其研究成果搁置了一段时间，直到他明智地意识到，得出能量级总体格局的理论是一项值得发表的重大成就，相对论效应的校正可以等待以后进行。几年之后，保罗·狄拉克（Paul Dirac）对此进行了校正。
除了众多的本轮，哥白尼的理论还采用了一个复杂机制，类似于托勒密天文学理论中的偏心轮。哥白尼所取地球轨道的中心不是太阳，而是与太阳距离相对很小的一点。这些复杂机制近似地解释了许多现象，如欧克特蒙发现的季节不等长——该现象的原因确实是：太阳位于地球椭圆轨道的一个焦点，而非其中心，且地球在其轨道上的运行速度并非恒定。
哥白尼引入的另一个复杂机制则是出于误解。哥白尼似乎认为，地球绕太阳的公转会使地球的自转轴绕垂直于地球轨道平面的方向每年旋转360°，类似于做脚尖旋转的舞者伸展手臂，每旋转一周其手指将围绕竖直方向旋转360°。（他或许是受到了行星被载于固体透明球壳上的旧观念的影响。）当然，事实上地轴方向在一年内并未发生明显变化，因此哥白尼不得不在围绕太阳的公转和围绕地轴的自转之外，为地球加入第三种运动，使其几乎能够抵消地轴的转动。哥白尼假设这是一种不完全的抵消，所以地轴会在经年累月中缓慢转动，产生已被喜帕恰斯发现的缓慢的岁差运动。在牛顿的研究结果问世后，人们很清楚地了解到，除了太阳和月球的引力对地球赤道隆起带的微小影响，地球绕太阳的公转并不影响地轴的方向。因此，如开普勒所指出的，哥白尼安排的这种抵消作用实际上毫无必要。
即使有这些复杂机制，哥白尼理论仍然比托勒密理论更简单，但效果并不明显。只是哥白尼不知道，如果他没有费心地引入本轮，而把理论的微小误差留待以后处理，他的理论会更接近实际。
《短论》中没有给出太多技术细节。具体细节见于哥白尼1543年临终前完成的伟大著作《天体轨道运行论》5，俗称《天体运行论》。哥白尼在序言中写道，这是一本献给亚历山德罗·法尔内塞（Alessandro Farnese）——教皇保罗三世——的书，书中重提亚里士多德的同心球壳理论与托勒密的本轮—均轮理论之间的古老争论，指出前者不符合观测结果，后者“与运动规律性的基本原则相矛盾”。为了支持自己关于地球运动的大胆建议，哥白尼引用了普鲁塔克的一段话：有些人认为地球是静止的。但毕达哥拉斯学派的菲洛劳斯认为，类似于太阳和月球，地球围绕“中央火”在倾斜轨道上转圈。本都的赫拉克利德斯和毕达哥拉斯学派的艾克方杜斯（Ecphantus）认为地球在运动，但并非前进运动，而是像轮子一样自西向东绕自身的中心旋转。
（哥白尼在《天体运行论》的标准版中没有提及阿利斯塔克，他的名字原本是有的，后来被删去。）哥白尼接下来表示，既然其他人也考虑过地球运动的可能性，他也应该可以探索这种想法。以下是其结论：就这样，我假定地球进行本卷后文所述的运动，经过长期的努力研究，我终于发现，如果其他行星的运动与地球的轨道运动是相关联的，并按照每颗行星的运转来计算，不仅可以就此说明它们的视现象，也将得出所有行星和球体的顺序和大小。整个天空的联系如此紧密，移动任何部分都会破坏其余部分，扰乱整个宇宙。
如在《短论》中一样，哥白尼强调了他的理论比托勒密理论更富预测性；他的理论确定了托勒密无法确定的行星顺序及其轨道大小——而这对说明观测结果必不可少。当然，除非哥白尼先假定自己的理论是正确的，否则就无法证明他所提出的轨道半径是正确的；而与此相关的证据，则需等待伽利略对行星相位的观测结果问世。
《天体运行论》的大多数内容都极富技术性，是对《短论》中总体思路的充分扩展。其中尤其值得一提的一点是，哥白尼在第1卷中预先认同了由圆周运动组合而成的运动。于是第1卷第1章的卷首语如下：首先，我们必须注意到宇宙是球形的。其原因或许在于球体最完美，无须连接，本身就是一个完美的整体，不能增加也不能减少（此处哥白尼听起来很像柏拉图）；又或许是因为球形是最宽敞的形状，最适合包含和保留一切事物（即对于给定的表面积，球形具有最大的体积）；甚至于我们看到宇宙的所有独立部分——我是指太阳、月球、行星和恒星——都具有这种形状（他如何能知道恒星的形状）；也可能是因为所有整体都趋向于被这种边界所包裹，对水滴或追求自成一体的其他流体而言，情况明显如此（这是表面张力所致，与行星在尺度上毫不相干）。因此，没有人会质疑神圣的天体应该是这样的形状。
他接着在第四章中解释道，天体的运动因此是“均匀永恒的圆周运动或复合圆周运动”。
随后在第1卷中，哥白尼指出了其日心体系最优越的一点：对水星和金星始终出现在近日天空的现象做出了解释。例如，金星与太阳的角距之所以从未远离45°，是因为其绕日轨道的大小是地球轨道大小的70%左右（见技术札记19）。我们在第十一章中看到，在托勒密理论中必须微调水星和金星的运动，使它们的本轮中心总在日地连线上。对于外行星的运动，托勒密也做了微调，使每颗行星与其本轮中心之间的连线始终平行于日地连线。但在哥白尼的体系中，这一微调也已成为多余。
早在《天体运行论》出版之前，哥白尼体系就遭到了宗教领导人的反对。19世纪，康奈尔的首任校长安德鲁·迪克森·怀特（Andrew Dickson White）在其著作《基督教世界科学与神学论战史》（A History of the Warfare of Science With Technology in Christendom）6中夸大了这一冲突，其中从路德（Luther）、梅兰希通（Melanchthon）、加尔文（Calvin）和韦斯利（Wesley）那里引用了大量不可靠的内容。但矛盾确实是存在的。有一本记录马丁·路德（Martin Luther）与其学生在维滕贝格的谈话的书，被称为《马丁·路德桌边谈话录》（Tischreden，也称Table Talk）。7在其1539年6月4日的内容中，有这样一段话：有人提到一个新的占星家，他想要证明运动的是地球，而不是天空、太阳和月球……（路德说：）“所以事情就是这样。自作聪明的人总爱标新立异，冒天下之大不韪。这就是那个傻瓜的所作所为，他想要颠覆整个天文学。即便在这样的混乱状态中，我依然相信《圣经》，因为约书亚命令太阳停住，而不是让地球停住。”8
《天体运行论》出版几年后，路德的同事菲利普·梅兰希通（Philipp Melanchthon，1497～1560年）加入了攻击哥白尼的行列，他所引用的是《传道书》中的内容：“日升，日落，急归所出之所。”
对于用《圣经》权威取代教皇权威的新教徒而言，与《圣经》文本的冲突自然会对新教造成困扰。除此之外，所有宗教都可能面临的问题是：地球这一人类的家园，竟沦为与其他5颗行星共存的第6颗行星。
就连《天体运行论》的印刷也出现问题。哥白尼将其手稿寄给纽伦堡的一家出版社，出版社指定了一位爱好天文的路德教会牧师——安德烈亚斯·奥西安德尔（Andreas Osiander）担任编辑。或许是为了表达自己的看法，奥西安德尔增加了一篇序言。当时的人们一直认为该序言是哥白尼所写，直到一个世纪之后开普勒发现执笔者另有其人。在这篇序言中，奥西安德尔以哥白尼的口吻，否认自己有任何揭示行星轨道真正本质的意图：9
天文学家的职责是通过精心的专业研究来编纂天体（视）运动的历史。然后，他需要构想和设计这些运动的原因或关于原因的假设。由于他无法通过任何方式获知真正的原因，他将采取种种假设，使其能够用几何原理正确地计算出天体未来及过去的运动。
奥西安德尔在其序言的结尾说道：
就假设而言，任何人都别指望从天文学中获得任何肯定的东西，天文学无法提供这些。否则，他会把出于其他目的的想法视为真理，以至于在结束这项研究后比开始时更加愚蠢。
这些话符合杰米努斯在公元前70年左右提出的观点（见第八章），但与哥白尼在《短论》和《天体运行论》中的明显意图——描述今人所称的“太阳系”的实际构成——完全相反。
对科学的发展而言，真正重要的是哥白尼的天文学同行们对他的接受程度。第一个被说服的是哥白尼唯一的学生雷蒂库斯（Rheticus），他于1540年发表了一篇描述哥白尼理论的著作，并于1543年帮助哥白尼把《天体运行论》递交给纽伦堡出版社。（雷蒂库斯本来应该为《天体运行论》撰写序言，但当他去莱比锡就职时，这一任务不幸落入奥西安德尔手中。）雷蒂库斯早先曾协助梅兰希通，将维滕贝格大学建设成为数学和天文学研究中心。
哥白尼的理论因伊拉斯谟·莱因霍尔德（Erasmus Reinhold）在1551年的应用而获得了声誉，莱因霍尔德在普鲁士公爵的赞助下，编制了一套新的天文表——普鲁士星表，人们能够参照该星表计算出任一日期行星在黄道带的位置。这些是对先前使用的阿方索星表的明显改进，阿方索星表于1275年在阿方索十世（Alfonso X）位于卡斯提尔的宫廷中问世。这一改进其实不是因为哥白尼理论的优越性，而是因为1275～1551年之间的几个世纪中涌现了大量新的观测资料，或许也因为日心理论使计算更加简单方便。当然，天动说的拥护者可能认为《天体运行论》所提供的只是一个方便的计算方案，而不是对世界的真实描绘。事实上，在1582年教皇格列高利十三世发起的历法改革（我们现行的公历由此产生）中，欧洲天文学家和数学家克里斯托夫·克拉维于斯（Christoph Clavius）就曾使用普鲁士星表，但他始终坚信地球是静止的。
一位数学家试图将天动说与哥白尼理论进行调和。1568年，梅兰希通的女婿，维滕贝格大学的数学教授卡斯帕·波伊策尔（Caspar Peucer），在《天体轨道假设》（Hypotyposes orbium coelestium）中主张，可以用数学方法将哥白尼理论改写为地球静止而非太阳静止的形式。这正是后来波伊策尔的学生第谷·布拉赫达成的结果。
在望远镜得到应用之前，第谷·布拉赫是历史上最优秀的天文观测家，他所提出的理论或许是除哥白尼理论之外最合理的天文学说。1546年，第谷出生在斯科讷省（该省现位于瑞典南部，但在1658年以前是丹麦领土），是一位丹麦贵族之子。他曾就读于哥本哈根大学，并于1560年在那里成功地预测了日偏食，并为此激动不已。此后，他前往德国和瑞士求学，先后就读于莱比锡、维滕贝格、罗斯托克、巴塞尔和奥格斯堡等地的大学。在那些年间，他研究了普鲁士星表，发现用该表预测的1563年土星和木星交会日期，误差只有几天，而用较老的阿方索星表所预测的时间误差则达到几个月，这一结果令他印象深刻。
回到丹麦后，第谷在他叔叔位于斯科讷省赫尔韦德的房子住了一阵子，并于1572年在该地观测到仙后座中他所谓的“新星”（现在公认为是先前存在的恒星所发生的热核爆炸，被称为Ia型超新星。1952年，射电天文学家发现了其爆炸残骸，距离地球约9 000光年，由于太遥远，若不借助于望远镜，爆炸前无法观测到该恒星）。第谷用他自制的六分仪观测这颗新星，时间长达数月之久，但并未发现任何周日视差——如果新星距离小于等于地月距离，由于地球的自转（或周围所有天体围绕地球的周日转动）现象，本应能够观察到该新星相对于恒星背景的周日移动（见技术札记20）。他总结道：“这颗新星并不位于月球轨道以内的上空，也不在任何接近地球的地方……而是在月球轨道以外的高空。”10这直接违背了亚里士多德提出的原则——高于月球轨道的天空中不存在任何变化，第谷因此声名鹊起。
1576年，丹麦国王腓特烈二世（Frederick II）将汶岛——位于斯科讷和丹麦最大海岛格陵兰岛之间的海峡中——赐予第谷，并出资支持在汶岛建设和维护住宅及研究机构。第谷在那里建了乌拉尼亚堡，包括天文台、图书馆、实验室和印刷厂。乌拉尼亚堡中挂有喜帕恰斯、托勒密、巴塔尼、哥白尼等天文学前辈的肖像，以及科学的赞助者——黑塞—卡塞尔伯爵威廉四世（William IV）的肖像。第谷在汶岛对助手进行培训，并在第一时间展开了观测活动。
早在1577年，第谷就已观测到一颗彗星，并发现无法观察到该彗星的周日视差。这又一次表明，与亚里士多德所说的相反，在月球轨道以外的天空中确实存在变化。此外，第谷还可以得出如下结论：彗星的路径会通过亚里士多德假定的同心球壳或托勒密理论中的球壳。（这当然只在球壳被设想为坚硬固体时才会有问题。我们在第八章中看到，固体球壳来自亚里士多德学说，并被希腊化时代的天文学家阿德拉斯托斯和西昂植入托勒密理论中。有关硬球壳的想法曾在现代早期复苏11，但不久便被第谷否定。）彗星比超新星更为常见，在接下来的几年中，第谷对其他彗星也进行了同样的观测。
1583年起，第谷开始构思一个新的行星理论，其理论基础是：地球是静止的，太阳和月球围绕地球转动，而已知的5颗行星都围绕太阳转动。1588年，第谷根据对1577年发现的彗星的观察，发表了一本著作，在第八章阐述了他的新理论。他认为地球既不移动也不转动，太阳、月球、行星和恒星除了进行较慢的运动外，都围绕地球自东向西每天运行一周。但一些天文学家采纳了“半第谷”理论，其中行星围绕太阳转动，太阳围绕地球转动，但地球做自转，而恒星则保持静止。[“半第谷”理论的第一个倡导者是尼古拉斯·赖默斯·巴尔（Nicolas Reymers Bar），但他不会称其为“半第谷”体系，因为他声称第谷从他那里窃取了他自己原创的第谷体系。]12
前面多次提到，第谷理论与托勒密理论的某一版本（托勒密本人从未考虑过）相同，该版本假定内行星的均轮与太阳绕地运行的轨道相同，外行星本轮的半径与太阳绕地运行轨道的半径相同。就天体的相对距离和速度而言，第谷理论也等价于哥白尼理论，只是两位天文学家的观点不同：哥白尼认为静止的是太阳，第谷认为静止且不转动的是地球。在观测结果方面，第谷理论的优势在于，无须假定恒星到地球的距离远远大于太阳或行星到地球的距离（当然我们现在知道这是事实），就能够得出并无恒星周年视差的必然结论。而奥雷姆对误导了托勒密和布里丹的经典问题（上抛物体似乎会因为地球的旋转或移动而落后于地球）的回答，在第谷理论中也变得毫无必要。
第谷对天文学的发展所做出的最重要贡献并非他的理论，而是其观测结果所达到的前所未有的精度。20世纪70年代，我曾前往汶岛，那时第谷的建筑物已无迹可寻，但第谷用来固定仪器的巨大石基仍掩埋在地下。（在我离开之后，汶岛已经建立起博物馆和正规庭园。）利用这些仪器，第谷能够对天体进行精确定位，误差仅为1/15°。在乌拉尼亚堡的遗址上矗立着一座1936年由伊瓦尔·约翰松（Ivar Johnsson）雕刻的花岗岩塑像，塑像中的第谷抬头仰望天空，展现出天文学家的经典姿态。13
1588年，第谷的资助人排特烈二世去世，随后克里斯蒂安四世（Christian IV）继位，今天的丹麦人认为他是丹麦最伟大的一位国王，但不幸的是这位伟大君主对支持天文学工作无甚兴趣。1597年，第谷在汶岛进行了最后一次天文观测，此后便游历各地，先后前往汉堡、德累斯顿、维滕贝格和布拉格。在布拉格，他成为神圣罗马帝国皇帝鲁道夫二世（Rudolph II）的宫廷数学家，开始制作一组新的天文表——鲁道夫星表。1601年，第谷去世后，这项工作由开普勒接手。
自柏拉图以来，天体违背匀速圆周运动的现象困扰了无数代天文学家，而开普勒是理解其本质的第一人。1577年，第谷在汶岛的天文台研究了第一颗彗星，而正是这颗彗星唤起了5岁的开普勒对天文学的兴趣。开普勒曾求学于蒂宾根大学，该大学在梅兰希通的领导下，在神学和数学领域出类拔萃。开普勒在蒂宾根学习了这两门学科，但对数学更感兴趣。在蒂宾根数学教授迈克尔·马斯特林（Michael Mastlin）的引领下，他了解了哥白尼理论，并深以为然。
1594年，开普勒被格拉茨（奥地利南部）的一所路德教会学校聘用教授数学，并出版了他的第一部原创著作《宇宙的奥秘》（Mysterium Cosmographicum）。正如我们所看到的，哥白尼理论的一个优势在于，人们能够通过天文观测，得到行星距离太阳的顺序以及其轨道大小的唯一结果。根据当时的惯例，开普勒在著作中设想这些轨道是圆形的，行星在透明的球面上沿着这些轨道运动，按照哥白尼理论围绕太阳公转。这些球面不是严格的二维平面，而是薄壁球壳，其内半径和外半径分别为行星到太阳的最小和最大距离。开普勒对这些球壳半径的推测受到一个先验条件的约束，即每个球壳（除了最外面土星的球壳）正好内切于5个正多面体之一，每个球壳（除了最里面水星的球壳）也正好外接于一个正多面体。具体说来，根据距离太阳由近及远的次序，开普勒认为分别有（1）水星球壳、（2）正八面体、（3）金星球壳、（4）正二十面体、（5）地球球壳、（6）正十二面体、（7）火星球壳、（8）正四面体、（9）木星球壳、（10）立方体以及最后的（11）土星球壳，所有这些都彼此紧密贴合。
这个方案规定了所有行星轨道的相对大小，除了选择5种正多面体嵌入行星之间空间的顺序，没有可用于调节其结果的其他自由度。但可能的顺序有30种[2]，因此开普勒能找到一种与哥白尼结果大致相符的顺序，也就不足为怪了。
事实上，这一原始方案与水星的运行现象严重不符——这使开普勒不得不做出一些改动，对于其他行星的描述也只是差强人意。[3]但同文艺复兴时期的许多人一样，开普勒深受柏拉图哲学的影响，并像柏拉图一样对只存在5种正多面体的定理很感兴趣，如此一来，包括地球在内只能有6个行星。他骄傲地宣称：“现在你知道行星为什么是这么多了！”
今天，没有人会认真对待一个类似于开普勒那样的方案，即便其效果有所改进，但这并不是因为我们已经克服了柏拉图式的古老执念——通过数学方法寻求可能事物（如正多面体）的候选名单。现今依然存在其他类似的候选名单，令物理学家兴致盎然。例如，目前已知能够进行包括除法在内的四则运算的“数”只有4种：实数、复数（涉及–1的平方根）以及被称为四元数和八元数的更奇特的数。一些物理学家做了大量工作，试图将四元数、八元数以及实数和复数纳入物理学的基本定律中。开普勒方案在今人看来如此陌生，并不是因为他试图找到正多面体的基本物理意义，而是因为他试图在行星轨道——这一纯粹的历史性偶然——中寻找其意义。我们目前可以肯定的是，无论自然界的基本规律是什么，它绝对与行星轨道的半径无关。
这并不只是开普勒个人的愚蠢之举。在他所处的时代，没有人知道（开普勒自己也不相信），恒星是带有各自行星系统的“太阳”，而不仅仅是土星球壳之外的某个球壳上的光亮。人们普遍认为，太阳系基本上就是整个宇宙，在时间之初即被创造。假设太阳系的细微结构如同自然界的任何其他东西一样具有根本性，是一种再自然不过的想法。
我们今天在理论物理中或许也处于相似的境地。人们普遍认为，我们所谓的膨胀的宇宙——即我们观测到的在各个方向均匀向外分离的巨大星云——便是整个宇宙。我们认为我们测量的自然界常数，如各种粒子的质量，最终将用至今未知的自然界的基本法则推导得出。但也许我们所谓的膨胀的宇宙只是一个更大的“多元宇宙”中的一小部分，那个宇宙中包含许多类似于我们所观察到的膨胀部分，而自然常数在多元宇宙的不同部分会取不同的值。在这种情况下，这些常数是环境参数，再也不可能由基本原理导出，就像我们无法通过基本原理导出行星到太阳的距离一样。我们能期待的最好结果只是一个人为估计。在我们银河系的数十亿行星中，只有极其少数具有适合生命存在的温度和化学成分，但很明显，当生命开始出现，并最终演变成为天文学家后，他们会发现自己所处的行星恰好是这些少数行星中的一个。我们生活的地球恰好处于它所在的位置，不是距离太阳两倍远，也不是距离太阳两倍近，这一点毫不奇怪。同理，在多元宇宙中似乎只有极少数的次宇宙中具有适合生命进化的物理常数，当然，任何科学家都会发现自己处于这一少数的子宇宙之中。在暗能量被发现之前，这被作为暗能量数量级（见第八章）的一种解释。14所有这一切在很大程度上都只是猜想，但它也在提醒我们，在试图了解自然界常数的过程中，我们可能会面临失望——就像开普勒试图解释太阳系大小时所面临的失望一样。
一些杰出的物理学家强烈反对多元宇宙的观念，因为他们不能接受自然界存在无法计算的常数的可能性。确实，多元宇宙的想法有可能是完全错误的，放弃计算所有已知物理常数的努力当然为时过早。尽管无法做这些计算会使我们不悦，但这无法成为我们反对多元宇宙的理由。不管大自然的终极法则是什么，没有理由认为其目的是取悦物理学家。
在格拉茨，开普勒开始与读过《宇宙的奥秘》一书的第谷通信。第谷邀请开普勒前往乌拉尼亚堡，但开普勒认为该地太远。1600年2月，开普勒接受第谷的邀请，前往布拉格——1583年开始成为神圣罗马帝国的首都——看望他。开普勒开始研究第谷的数据，尤其是火星的运动数据，他发现这些数据与托勒密理论之间存在0.13°的差异。[4]
由于未能与第谷融洽相处，开普勒返回格拉茨。那时的格拉茨正在驱逐新教徒，1600年8月，开普勒和他的家人被迫离开。回到布拉格后，开普勒开始与第谷共同制作鲁道夫星表，用以取代莱因霍尔德的普鲁士星表。1601年，第谷去世，开普勒被任命为第谷的继任者，成为皇帝鲁道夫二世的宫廷数学家，这暂时解决了他的职业问题。
皇帝热衷于占星术，所以开普勒作为宫廷数学家的职责之一是占星预测。尽管开普勒本人对占星预测的真实性有所怀疑，但这是他从蒂宾根大学学生时代起就开始从事的工作。幸运的是，他也拥有追求真正科学的时间。1604年，他观测到蛇夫座中的一颗新星——这是1987年以前人们在所处银河系中或附近发现的最后一颗超新星。同年，他出版了《天文学中的光学》（Astronomiae Pars Optica），书中介绍了光学理论及其在天文学中的应用，包括大气中的折射率对行星观测的影响。
开普勒继续研究行星的运动，通过添加偏心轮、本轮和对位点，用试错法把第谷的精确数据与哥白尼学说相匹配。1605年，开普勒完成了这项工作，但因为与第谷继承人的纠纷而未能立即发表。1609年，开普勒终于将研究结果发表于其著作《新天文学》（Astronomia Nova）[全称为“建立在原因上的新天文学，或通过评论火星运动阐述的天体物理学”（New Astronomy Founded on Causes， or Celestial Physics Expounded in a commentary on the Movements of Mars）]中。
《新天文学》的第三部分对哥白尼理论做出了重大改进，开普勒在地球模型中引入对位点和偏心轮，对位点是太阳相对于地球轨道中心的对称点，该点与地球的连线围绕该点匀速旋转。这消除了自托勒密时代以来困扰行星理论的大部分差异，但第谷的数据还不够好，开普勒仍然可以看到理论与观测之间存在一些冲突。
在某个时间点，开普勒开始确信这是一项不可能完成的任务，他必须放弃由柏拉图、亚里士多德、托勒密、哥白尼和第谷等人共同认定的假设——行星在由圆周复合而成的轨道上运行。于是，他得出结论称：行星的轨道呈椭圆形。最终，在《新天文学》的第58章（共70章）中，开普勒精准地表达了这一观点。在后人所称的开普勒第一定律中，他推断行星（包括地球）在椭圆形轨道上运动，太阳不在轨道中心，而是位于椭圆的一个焦点。就像一个圆的信息（除了其位置）可以用半径这一个数字完全描述，任何一个椭圆的信息（除了其位置和方向）可以用其长轴和短轴的长度这两个数字完全描述，除此之外，也可以用长轴和“离心率”——该数字告诉我们长短轴之间的差异——来描述（见技术札记18）。椭圆的两个焦点位于长轴上，等距地位于中心的两侧，两焦点的间隔等于椭圆长轴与离心率的乘积。若离心率为零，则椭圆的两轴相等，两焦点合并为唯一的中心点，椭圆变为正圆。
事实上，在开普勒所知的所有行星中，其轨道离心率均较小，表11–1列出了相关的现代数值（倒推至1900年）：表11–1 六大行星轨道的离心率
行星 轨道离心率
水星 0.205 615
金星 0.006 820
地球 0.016 750
火星 0.093 312
木星 0.048 332
土星 0.055 890
这就是为什么哥白尼和托勒密的简化版理论（哥白尼学说中没有本轮，托勒密理论中5颗行星各有一个本轮）都能达到不错的效果。
用椭圆替代圆还有一个深远的影响。圆可以通过球的旋转产生，但椭圆不能通过任何一个固体的旋转产生。这一点连同第谷从1577年彗星得出的结论，使行星被载于旋转球壳这一旧观念（开普勒本人也曾在《宇宙的奥秘》中采纳过）变得不足为信。开普勒及其继承者们提出的全新主张是，行星的运行轨道上空空如也，别无他物。
《新天文学》中的计算应用了后人所称的开普勒第二定律，虽然该定律在1621年的《哥白尼天文学概要》（Epitoma of Copernican Astronomy）中才得到清晰表述。第二定律说明了行星沿轨道运行时的速度变化情况，指出当行星移动时，太阳和行星之间的连线在相同的时间内扫过相同的面积。与远离太阳时相比，行星在靠近太阳时需要沿轨道移动更远距离，以扫过相同的给定面积。因此由开普勒第二定律得到的结论是，行星在靠近太阳时运行速度更快。除了正比于离心率平方的细微修正，开普勒第二定律等同于以下说法：从另一焦点（非太阳所在的焦点）到行星的连线以恒定速率转动，即每一秒转过相同的角度（见技术札记21）。这样，开普勒第二定律给出的行星速度与应用对位点这一旧概念所得到的结果几乎相同——对位点是太阳（或托勒密理论中的地球）相对于圆心的对称点，该点到行星的连线围绕该点匀速转动。后来人们发现，对位点其实正是椭圆轨道中未被太阳占据的焦点。第谷关于火星的精确数据让开普勒得出结论：仅仅有偏心轮和对位点还不够，必须用椭圆形轨道取代圆形轨道。15
第二定律还有着更深远的意义，至少对开普勒是如此。在《宇宙的奥秘》中，开普勒曾设想行星由一个“动机灵魂”驱动。但现在，由于每颗行星的速度随着与太阳距离的增加而减慢，开普勒认为行星在其轨道上被某种来自太阳的力所推动：如果你把“力”（force，〈拉〉vis）这个词用“灵魂”（soul，〈拉〉anima）代替，就能得到《新天文学》中天体物理所依据的原理。受J·C·斯卡利杰尔（J. C. Scaliger）[5]动机智能学说的启发，我以前完全相信，引起行星运动的是灵魂。但当我注意到这一动因随着与太阳距离的增加而减弱，与太阳光的衰减类似，我推断这种力必须是物质的。16
当然，行星保持运动，并不是因为一个来自太阳的力，而是因为其动量未被消耗。但它们之所以在各自的轨道上保持运动而没有飞入星际空间，是因为受到来自太阳的引力牵引，因此开普勒的说法并不全错。远程力的概念在当时日益为人们所接受，部分原因在于皇家外科学院主席、伊丽莎白一世（Elizabeth I）的宫廷医生威廉·吉尔伯特（William Gilbert）在磁场方面的研究成果，开普勒也曾引用过他的说法。如果开普勒的“灵魂”具有其通常含义，那么从基于“灵魂”过渡到基于力的“物理”，是结束古代宗教与自然科学之间混淆的一个实质性步骤。
开普勒写出《新天文学》一书，并不是为了逃避争议。他在该书的全名中使用“物理”一词，正是向亚里士多德追随者所追捧的旧观念发起挑战，这种观念认为，天文学只应用数学方法描述现象，而若想获得真正的理解则必须借助物理，即亚里士多德的物理。开普勒其实是在声明，像他这样的天文学家所研究的才是真正的物理。事实上，开普勒的许多思想来源于一个错误的物理概念，即太阳通过类似于磁力的力驱动行星沿其轨道运行。
同时，开普勒也对所有哥白尼的反对者提出了质疑。《新天文学》的引言中有这样一段：对白痴的建议。但若有人太过愚蠢，无法理解天文科学，或者太过软弱，不能在不影响其信念的前提下相信哥白尼，我会奉劝他，放弃天文学研究，随心所欲地诅咒哲学研究，然后管好自己的事情，回家抠掉自己身上的污渍。17
开普勒的前两条定律中并未提及对不同行星轨道的比较。1619年，开普勒在《宇宙谐和论》（Harmonices mundi）中，用后人所称的“开普勒第三定律”18填补了这一空白：“任意两颗行星的时间周期之比正好是其平均距离的1.5次方之比。”[6]也就是说，每颗行星的恒星周期（在其轨道上完整运行一周的时间）的平方，与椭圆长轴的立方成正比。因此，如果T是以年为单位的恒星周期，a是以AU（天文单位，其定义为地球轨道半长轴的长度）量度的椭圆半长轴的长度，则可根据开普勒第三定律得出，所有行星的T2/a3都相同。按照定义，地球的T等于1年，a等于1 AU，据此即可得出T2/a3等于1，因此根据开普勒第三定律，每颗行星都应该有T2/a3=1。现代数据与该定律匹配的准确性如表11–2所示：表11–2 现代数据与开普勒第三定律匹配的准确性行星 a （AU） T（年） T2/a3
