研究方法之再思考
16世纪末，亚里士多德的科学研究模型受到了严峻的挑战。人们自然而然地希望寻找一种新方法，来搜集关于大自然的可靠知识。在科学新方法的发现之旅中，有两位最著名的人物，分别是弗朗西斯·培根和勒内·笛卡儿。在我看来，他们两位对科学革命的贡献最被世人高估。
弗朗西斯·培根出生于1561年，是英国皇室掌玺大臣尼古拉斯·培根（Nicholas Bacon）的儿子。在剑桥三一学院深造后，培根取得了律师资格，从此开始了他的法律、外交和政治生涯。1618年，他晋升为英国大法官，获封维鲁拉姆男爵，而后又受封为圣奥尔本斯子爵。但在1621年，培根被议会指控贪污，剥夺一切公职。
培根在科学史上的声誉，主要来自他于1620年出版的《新工具》（Novum Organum）一书[又名“解释自然的真正方向”（New Instrument， or True Directions Concerning the Interpretation of Nature）]。在这本书中，既非科学家也非数学家的培根，表达了对科学的极端经验主义观点，不仅否定亚里士多德，也拒不接纳托勒密和哥白尼。他认为，科学发现应直接来自对自然不偏不倚的细致观察，而不应从第一原理推导得出。同时，他还对一切没有直接实用目的的研究提出批评。在《新大西岛》（The New Altantis）中，他设想出一个合作研究所——“所罗门宫”（Solomon’s House），其成员致力于搜集关于自然的有用信息。这样，被逐出伊甸园的人类将重获对大自然的支配权。1626年，培根去世。关于其死因的一个说法是，由于忠于自己的实证原则，培根在实验研究肉的冷冻效果后死于肺炎。
培根和柏拉图分别立于两个相反的极端。当然，两个极端都是错误的。进步不仅依赖于可得出一般原则的观察或实验，也依赖于由这些原则推导得出的结论——这些结论可通过新的观察或实验进行验证。探求实用性知识，有助于将天马行空的思维引入正轨，但不论是否得出实用性的结果，解释世界本身就具有价值。对17世纪和18世纪的科学家们来说，培根是他们能拿来与柏拉图和亚里士多德抗衡的人物，就像美国政治家喜欢提到杰斐逊，即便他本人丝毫未受杰斐逊的话语或事迹影响。我不清楚有哪位科学家的科学工作真的因培根的书而得到改善。伽利略不需要培根告诉他去做实验，我想波义耳或牛顿也无此需要。在伽利略之前的一个世纪，另一位佛罗伦萨人，列奥纳多·达·芬奇，做了许多有关落体和流体的实验。1在他死后，后人编纂了他对绘画和对流体运动的论述，此后又不时发现他本人的笔记，从这些资料中我们才了解到达·芬奇的实验成果。但即便达·芬奇的实验对科学的进步并无影响，至少它们表明，早在培根之前，实验便已问世很久了。
总体而言，勒内·笛卡儿是一位比培根更值得关注的人物。1596年，笛卡儿出生于法国的一个司法贵族（穿袍贵族[1]）家庭，他曾就读于拉弗莱谢耶稣会学院，后进入普瓦捷大学主修法律。在荷兰独立战争期间，他加入了拿骚的毛里斯军队。1619年，笛卡儿决定投身于哲学和数学，1628年定居荷兰后，这方面的工作正式开始。
17世纪30年代初，笛卡儿将他对力学的看法记录在《世界》（Le Monde）一书中，但直到1664年他过世后该书才出版。1637年，笛卡儿出版了一部哲学著作，《正确思维和发现科学真理的方法论》（Discourse on the Method of Rightly Conducting one’s Reason and of Seeking Truth in the Science）。1644年，他发表了自己篇幅最长的著作《哲学原理》（Principles of Philosophy），在书中进一步发展了他的思想，这部拉丁语著作于1647年被译为法语出版。在这些著作中，笛卡儿表达了他对权威结论和感官知识的怀疑。对笛卡儿而言，唯一可以肯定的事实是：我思故我在。他继而断定世界是存在的，因为他能够毫不费力地感知世界。对于亚里士多德的目的论，笛卡儿提出了否定，认为事物并非因其目的而存在。他主张上帝存在，并给出了几个理由（均无说服力），但不承认宗教组织的权威。他也反对远程超自然力，认为物体只能通过直接推拉而相互作用。
笛卡儿在将数学引入物理学方面首开先河，但像柏拉图一样，他对数学推理的确定性过于迷信。在《哲学原理》第一部分“人类知识原理”中，笛卡儿描述了如何用纯思维推导出确切的基本科学原理。我们可以信赖“上帝赐予我们的自然启示或认知能力”，因为“欺骗我们对上帝而言将是矛盾之举”。2奇怪的是，笛卡儿认为上帝允许地震和瘟疫，却不允许哲学家受骗。
笛卡儿承认，将基本物理原理应用于特定系统中时，可能存在不确定性，并表示如果不清楚该系统的所有细节，就需要进行实验。在《哲学原理》第三部分对天文学的论述中，他考虑了关于行星系统性质的各种假设，并引用了伽利略对金星相位的观察结论，作为判定哥白尼和第谷的假设优于托勒密假设的理由。
这一简短总结几乎没有提及笛卡儿的观点。他的哲学思想在过去和现在一直备受推崇，在法国和哲学家中均享有极高声誉。这令我很是费解。对于一个声称找到了寻求可靠知识的正确方法的人，笛卡儿在关于自然界许多方面的认知存在重大错误，这让人不能无视。他误以为地球呈长球形（即地球两极间的距离大于赤道直径）；他像亚里士多德一样，误以为不存在真空。他误以为光线是瞬间传播的。[2]他误以为宇宙空间中充满物质漩涡，并带动行星在其轨道上运行；他误认为松果体是灵魂所在，控制人类的意识；他所认定的碰撞中的守恒量是错误的；他误以为自由落体的速度与下落距离成正比。最后，通过观察几只可爱的宠物猫，我确信笛卡儿关于动物是没有真正意识的机器的观点也是错误的。伏尔泰对笛卡儿也持有类似的保留意见3：灵魂的性质、上帝存在的证据、物质、运动定律、光的本质，笛卡儿在这些方面的主张均有错误。他承认与生俱来的想法，他发明了新的元素，他创造了世界，并根据自己的方式创造了人——事实上，应该说笛卡儿笔下的人是“笛卡儿人”，与实际生活中的人相去甚远。
对著有道德或政治哲学乃至形而上学方面著作的人来说，科学上的判断失误并不影响对其著作的评价；但由于笛卡儿的著作是关于“正确思维和发现科学真理的方法”的，他一再犯错的事实必然将给他的哲学判断蒙上一层阴影。推导本身根本无法担负笛卡儿赋予的重任。
即便是最伟大的科学家，也一样会犯错误。我们已经看到伽利略关于潮汐和彗星的错误，随后也将看到牛顿关于衍射的错误。尽管笛卡儿犯了许多错误，但他与培根的区别在于：笛卡儿对科学做出了重要贡献。这些贡献作为附录发表于《正确思维和发现科学真理的方法论》中，分三个标题：几何、光学和气象学。4在我看来，能够真正代表笛卡儿对科学的积极贡献的，不是他的哲学著作，而是这些附录。
笛卡儿的最大贡献是发明了一种新的数学方法，现在被称为解析几何，即用方程式来表示曲线或曲面，曲线或曲面上所有点的坐标均满足该方程。一般说来，坐标可以是给出某一点位置的任何数字，例如经度、纬度和海拔高度，但有一种特殊的类型被称为“笛卡儿坐标系（直角坐标系）”，它们是从一个固定中心点在三个相互垂直的方向上到某一点的距离。例如，解析几何中半径为R的圆是其上各点满足方程x2 ＋ y2=R2的一条曲线，其中坐标x和y为圆心在两个相互垂直的方向上到该点的距离（椭圆的类似描述见技术札记18）。用字母表中的字母代表未知距离或其他数字是一项非常重要的应用，最早由16世纪的法国数学家弗朗索瓦·维埃特（Francois Viete，曾担任朝臣，在战争中破译敌军密码）提出。但维埃特表达方程的方式仍是文字，代数的现代形式及其在解析几何中的应用始于笛卡儿。
利用解析几何，我们可以通过求解定义一对曲线或一对曲面的方程，找到两条曲线相交点的坐标或两个曲面相交曲线的方程。如今大多数物理学家求解几何问题时，都使用解析几何这种方法，而不是欧几里得的经典方法。
笛卡儿对物理学的重大贡献是对光的研究。首先，在他的《光学》（Optics）中，笛卡儿提出了光线从介质A进入介质B（例如从空气到水）时入射角和折射角之间的关系：如果入射光线与法线之间的夹角为i，而折射光线与法线之间的夹角为r，那么角i的正弦[3]除以角r的正弦等于一个与角度无关的常数n：sin i/ sin r=n
在一般情况下，介质A是空气（严格说是无物的空间），n是被称为介质B的“折射指数”的常数。例如，如果A是空气而B是水，那么n就是水的折射指数，约等于1.33。在任何n大于1的情况下，折射角r均小于入射角i，光线进入光密介质后向法线方向弯折。
笛卡儿并不知道，这一关系早在1621年已经由达内·维勒布罗德·斯内尔（Dane Willebrord Snell）凭经验得到，而英国人托马斯·哈里奥特（Thomas Harriot）甚至在更早前就发现了这一点；从10世纪阿拉伯物理学家伊本·沙尔手稿中的一张图可知，他对此也有所了解。但笛卡儿是公开发表该结果的第一人。这个关系现今一般被称为斯内尔定律，但在法国，人们普遍将这条定律的提出归功于笛卡儿。
笛卡儿对折射定律的推导很难理解，部分原因在于无论是对推导过程的说明，还是对结果的陈述，他都没有利用正弦这个三角函数概念，而是用纯粹的几何术语写作。但我们此前已经看到，正弦在近7个世纪前已由巴塔尼从印度传入，而巴塔尼的工作在中世纪欧洲是众所周知的。笛卡儿的推导基于一个类比，即他所想象的当网球击过薄布时所发生的现象：球速将减慢，但球在与布面平行方向的速度分量不受影响。这一假设将得到上述结论（推导过程见技术札记27）：在击中薄布前后，网球与薄布法线夹角的正弦之比，是一个与角度无关的常数n。虽然很难在笛卡儿的讨论中看到这个结论，但他一定了解该结论，因为在下文所述的彩虹理论中，他通过一个合适的n值得到了基本正确的数值结果。
笛卡儿的推导有两个明显错误。首先，光显然不是一个网球，分离空气和水或玻璃的面也不是薄布，所以这是一个缺乏关联性的类比，对笛卡儿而言尤其如此，因为他认为光线不同于网球，前者总是以无限大的速度传播。5此外，笛卡儿的类比将导致一个错误的n值。在网球的例子（见技术札记27）中，他的假设意味着n等于球穿过薄布后在介质B中的速度vB与球击中布面前在介质A中的速度vA之比。球速当然会因穿过布面而放缓，因此vB将小于vA，比值n将小于1。如果将该值应用于光线，就意味着折射光线与法线之间的夹角将大于入射光线与法线之间的夹角。笛卡儿明白这一点，甚至画了一张网球运动路径偏离法线的示意图。笛卡儿也知道该结论对光线而言是错的，因为至少自托勒密时期以来，人们一直观察到光线由空气进入水中时向法线方向弯折，因此i的正弦大于r的正弦，n大于1。在一个我无法理解的莫名其妙的讨论中，笛卡儿以某种方式论证光在水中比在空气中容易传播，因此对于光来说，此时的n大于1。对笛卡儿来说，不能解释n的值并不重要，因为他可以根据实验结果（或许是根据托勒密《光学》中的数据）对n取值，他也确实这样做了—— n的实验值自然是大于1的。
在折射定律方面，更具说服力的推导由数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，1601～1665年）给出，他沿用了亚历山大的希罗关于反射角等于入射角的推导，但假设光线取最短时间路径，而不是最短距离路径。由这个假设（见技术札记28）推导出了正确的公式，即n是光在介质A中的速度与光在介质B中的速度之比，因此当A是空气而B是玻璃或水时，n值大于1。笛卡儿永远不可能导出这一公式，因为他认为光速是无限的。（我们将在第十四章中看到，还有一种得出正确结果的推导由克里斯蒂安·惠更斯给出，该推导的基础是惠更斯的扰动传播原理，不依赖于费马提出的光线沿最短时间路径传播的先验假设。）
笛卡儿给出了一个有关折射定律的出色应用：在《气象学》（Meteorology）中，他用入射角和折射角之间的关系解释彩虹。这是笛卡儿最卓越的科学成就之一。亚里士多德声称彩虹的颜色是光线被悬浮在空中的微小水滴反射而产生的结果。6正如我们在第九章和第十章中所看到的，在中世纪，法拉西和弗莱堡的迪特里希已经意识到，彩虹是光线进入和离开悬浮在空气中的雨滴时发生的折射现象。但在笛卡儿之前，没有人对该原理做过详细的定量描述。
笛卡儿先用一个装满水的薄壁玻璃球作为雨滴模型做了一个实验。他观察到，当阳光从不同方向进入球中时，与入射方向约成42°角处“完全是红光，比其余光线要亮丽得多”。笛卡儿的结论是：彩虹（或至少它的红色边缘）在空中的位置到观察者眼睛的方向与其到太阳的方向之间的夹角约为42°。笛卡儿假定光线进入水滴时因折射而发生弯折，然后在水滴背面反射，最后离开水滴回到空气时再次因折射而弯折。但是如何解释雨滴在与入射光线约成42°角的方向优先反射光线这一性质呢？
为了回答这个问题，笛卡儿设想光线沿10条不同的平行线进入球形水滴。设笔直地穿过水滴而未被折射的一条射线与水滴中心的最近距离为b，笛卡儿用该距离b（如今被称为射线的影响参数）对其进行标识。第一根射线与水滴中心的最近距离被设定为等于水滴半径R的10%（即b=0.1R），而第10根射线正好触及水滴表面（因此b=R），其余诸射线在以上两者之间等距分布。笛卡儿运用欧几里得和希罗提出的反射角等于入射角的法则以及他自己提出的折射定律，取水的折射率n为4/3，计算了每条射线的路径——光线进入水滴后发生第一次折射，然后在水滴背面反射，最后离开水滴时发生第二次折射。下表给出了笛卡儿得到的每条出射光线与其射入方向之间的角度ϕ值，以及我自己使用同样的折射率计算得出的结果：表13–1 有关角度ϕ计算值的对比
b/R ϕ（笛卡儿） ϕ（作者重算）
0.1 5°40' 5°44'
0.2 11°19' 11°20'
0.3 17°56' 17°6'
0.4 22°30' 22°41'
0.5 27°52' 28°6'
0.6 32°56' 33°14'
0.7 37°26' 37°49'
0.8 40°44' 41°13'
0.9 40°57' 41°30'
1.0 13°40' 14°22'
笛卡儿结果中的不精确之处可以归咎于当时精确度有限的数学计算工具。我不清楚他是否有正弦表可用，但是他显然不可能拥有类似于现代的袖珍计算器这样的工具。尽管如此，倘若笛卡儿给出的结果精确到1度[4]，而不是精确到1分，他的判断将显得更准确。
笛卡儿注意到，影响参数b在一个相当大范围内，对应的角度ϕ均接近40°。他又重复计算了另外18条紧密排列的射线，其b值介于雨滴半径的80%～100%，ϕ值约为40°。他发现，18条射线中有14条的对应ϕ值介于40°和最大值41°30’之间。这一理论计算解释了笛卡儿前面所提到的实验观察结果——优先角度约为42°。
技术札记29给出了笛卡儿计算的现代版本。我们没有像笛卡儿一样计算一束光线中每一条入射与出射光线之间的夹角ϕ，而是推导了一个简单的公式，根据影响参数b以及光在空气中与在水中的速度之比n来计算任意光线的ϕ值。
接下来，就可以用这个公式找到使出射光线会聚的相应ϕ值。[5]当n等于4/3时，出射光线比较集中，此时相应的ϕ值恰好是笛卡儿所提出的42°。笛卡儿甚至计算出了光线射出前在雨滴中反射两次所产生的副虹对应的角度。
笛卡儿看到了彩虹的七色光与白光经过棱镜折射后产生的彩色光之间有关联，但他对两者都无法进行定量处理，原因是他并不知道白色的阳光是由各种颜色的光组成的，并且光的折射率随其颜色的不同而稍有变化。笛卡儿将水的折射率取值为4/3=1.333…，实际上，典型红光波长的折射率接近1.330，而蓝光则接近1.343。人们（通过运用技术札记29中推导的一般公式）发现：红光的入射与出射光线之间的最大夹角ϕ为42.8°，蓝光为40.7°。这就是为什么当笛卡儿在与阳光的方向成42°角处观察水珠时，看到了明亮的红光。该角度值超过了蓝光可从水珠射出的最大值40.7°，因此笛卡儿不可能看到光谱蓝色端的光线。但笛卡儿的观察角度正好略小于红光ϕ的最大值42.8°，因此红光显得特别明亮（见本页脚注）。
笛卡儿在光学领域的研究方式与现代物理学的研究方式相当契合。笛卡儿大胆地猜想，光通过两种介质之间的边界就像网球穿透薄薄的幕布，并（用一个合适的折射率n）由此推导出入射角和折射角之间与观测相符的一个关系。接下来，他利用一个充满水的玻璃球作为雨滴模型，进行了或能揭示彩虹成因的观察，然后用数学方法证明这些观察符合他的折射理论。笛卡儿并不理解彩虹颜色的成因，于是他回避了这个问题，只发表了他所理解的东西。这几乎恰恰是当今物理学家的做法，但除了数学在物理学中的应用，这一切与笛卡儿的方法论有什么关系呢？我没有看到任何迹象能够表明笛卡儿遵循了自己关于“正确思维和发现科学真理”的方法。
此外需要补充的一点是，笛卡儿在其著作《哲学原理》中，对布里丹的动力概念作了一个实质性的重要改进。7他认为，“所有不受外力作用的运动都沿直线进行”，因此，行星在其弯曲轨道上保持运动需依靠外力作用（与亚里士多德和伽利略两者的观点相反）。但笛卡儿并未尝试计算这个力，该任务有待他人完成：在第十四章中我们将看到，惠更斯计算了使物体以给定速度在给定半径的圆周上保持运动的力，而牛顿将这种力解释为万有引力。
1649年，笛卡儿前往斯德哥尔摩，担任当时瑞典女王克里斯蒂娜（Christina）的老师。或许是因为瑞典天气寒冷，而笛卡儿又必须早早起床去见克里斯蒂娜，他在第二年便像培根一样死于肺炎。14年后，笛卡儿的著作遭遇了与哥白尼和伽利略的著作同样的命运，被列入罗马天主教徒的禁书目录。
笛卡儿有关科学方法的著作备受哲学家关注，但我不认为它们对科学研究实践（或对上文所述的笛卡儿本人最出色的科学工作）产生过积极的影响。他的著作倒是有一个负面影响：使得牛顿物理学在法国没有被立即接受。在《正确思维和发现科学真理的方法论》中制定的程序，即通过纯粹推理获取科学原理，从来没有起过作用，也永远不可能起作用。惠更斯年轻时曾自认为是笛卡儿的追随者，但他后来逐渐意识到：科学原理只是假设，需要通过将其推论与观察对比来进行检验。8
另一方面，笛卡儿的光学著作表明，他也明白这种科学假设有时是必不可少的。劳伦斯·劳丹（Laurens Laudan）发现证据表明，笛卡儿在《哲学原理》中讨论化学时有同样的认知。9这就提出了一个问题：是否有科学家，确实是从笛卡儿那里学会了先做假设再进行实验验证的方法？劳丹认为波义耳是一例。我个人的观点是，这种做假设的方法，在笛卡儿之前就已广为人知。伽利略不就是根据落体匀加速的假设推断抛掷物沿抛物线路径运动，再通过实验进行验证的吗？
理查德·沃森（Richard Watson）在他所著的笛卡儿传记中写道10：“没有笛卡儿提出的将物质分解为基本元素进行分析的方法，我们就不会看到原子弹的问世。17世纪现代科学的兴起、18世纪的启蒙运动、19世纪的工业革命、20世纪的个人电脑以及20世纪对大脑的全盘解密——这一切都是笛卡儿的功劳。”笛卡儿在数学上的确做出了巨大贡献，但认为以上任何一项令人欣慰的进步是笛卡儿关于科学方法的著作带来的结果，实在是有些荒谬。
几个世纪以来，笛卡儿和培根是仅有的两位试图为科学研究制定规则的哲学家。但其做法无济于事。科研规则无法教会我们如何做科研，亲身实践才是最好的老师。而当我们用自己的方法成功对事物做出解释时，油然而生的成就感将成为我们继续实践的无穷动力。
[1] 穿袍贵族是用钱买到的贵族头衔，主要担任各级法院的法官，通过包揽诉讼聚敛财富。——译者注[2] 笛卡儿把光线与刚性杆类比，当人为推动杆的一端时，另一端瞬间移动。他关于杆的这种想法其实也是错误的，尽管他当时不可能知道错在何处。推动杆的一端时，另一端不会发生什么，直到压缩波（实质上是声波）从杆的一端传播到另一端。这种波的速度随杆的刚度的增加而增加，但根据爱因斯坦的狭义相对论，没有任何东西是完全刚性的；而且波速不能超过光速。彼得·格里森（Peter Galison）曾讨论过笛卡儿的这种类比，详见“Descartes comparisons： From the Invisible to the Visible，”Isis 75， 311 （1984）。
[3] 回顾一下，一个角度的正弦等于直角三角形中该角的对边除以斜边。角度从零增加到90°时，正弦也随之增加。角度较小时，正弦几乎与角度成正比；但角度较大时正弦的增长较慢。
[4] 经作者认可，将原文的10分改为1度。——译者注[5] 对于该ϕ值，b的无穷小变化不会引起它的改变，即ϕ相对于b/R的曲线在该ϕ值处有水平的切线。该值是ϕ相对于b/R达到的极大值。（任何类似ϕ相对于b/R图像的光滑曲线，上升到一个极大值然后下降，必定在极大值处有水平切线。在切线非水平的点处不可能取极大值，因为若曲线在某一点向右方或左方上升，在右方或左方一定有更高的点。）在ϕ相对于b/R的曲线有水平切线的点附近，b/R改变时ϕ改变很少，所以有较多的光线集中在这个ϕ值范围内。
