牛顿综合
正是因为有了牛顿，我们迎来了科学革命的高潮。但这位历史性伟人是何等的古怪！从伦敦到剑桥再到其出生地林肯郡，英格兰的这块狭长地带就是牛顿一生的活动范围，他甚至从未见过大海，尽管他对大海的潮汐极感兴趣。直到中年，他都从未与任何女性——包括他的母亲在内，有过密切关系。[1]他醉心于一些与科学毫不相干的东西，如《但以理书》的年表。1936年在苏富比拍卖的牛顿手稿目录中，包括650万字的炼金术著作与1 300万字的宗教著作。对待潜在的竞争对手，牛顿有狡猾可恶的一面。尽管如此，他却成功地实现了物理学、天文学和数学三者的结合，自柏拉图以来困扰所有哲学家的问题在他手上迎刃而解。
以牛顿为写作对象的作者们有时强调，牛顿不是一位现代的科学家。这方面最著名的说法来自约翰·梅纳德·凯恩斯（John Maynard Keynes，他于1936年在苏富比拍卖行购得牛顿的部分论文）：“牛顿并非理性时代的第一人。他是最后一个魔术师，最后一个巴比伦人和苏美尔人；他是最后一位思想家，用与不到一万年前开始建立今人知识遗产的先人相同的眼光，来审视可见的文明世界。”[2]然而，牛顿并不是神秘历史的天才延续。他既不是魔术师，也不是完全现代的科学家，他一只脚停留在过去的自然哲学中，另一只脚已跨入现代科学的雏形世界。倘若不考虑他的观点和个人行为，牛顿的成就对所有后续科学提供了走向现代化的范例。
1642年圣诞节，艾萨克·牛顿出生在林肯郡乌尔索普庄园的一个家庭农场。他的父亲是一名目不识丁的自耕农，在牛顿出生前不久就去世了。牛顿母亲的社会地位较高，属于上层阶级，有一个毕业于剑桥大学的牧师兄弟。牛顿3岁时，母亲改嫁，离开了乌尔索普，将他托付给外祖母抚养。10岁时，牛顿前往离家8英里的格兰瑟姆国王学校求学，该学校只有一间教室，牛顿求学期间寄宿在一名药剂师的家中。在格兰瑟姆，他学习了拉丁语和神学、算术与几何，以及少量希腊语和希伯来语。
17岁时，牛顿被召回家中务农，但人们发现他并不适合当农民。两年后，他以减费生的身份进入剑桥三一学院，这意味着，他需要服务于大学的研究员和那些支付得起学费的学生，依靠自己的劳动收入支付其学费和食宿费用。类似于伽利略在比萨的经历，牛顿起初学习亚里士多德学说，但很快转向他自己感兴趣的领域。在校第二年，他开始在以前用于记录亚里士多德学说的笔记本上，写下题为“哲学问题”（Questiones quandam philosophicae）的一系列笔记，幸运的是该笔记本留存至今。
1663年12月，剑桥大学获得议员亨利·卢卡斯（Henry Lucas）的捐款，设置了一个数学教职——卢卡斯教授席位，年俸100英镑。1664年，年长牛顿12岁的艾萨克·巴罗（Isaac Barrow）成为剑桥首任卢卡斯教授。与此同时，牛顿开始学习数学，部分师从巴罗，部分自学，并获得了文学学士学位。1665年，瘟疫蔓延到剑桥，大学基本关闭，牛顿回到乌尔索普的家中。1664年起，牛顿开始了他的科学研究，后文将对之作一介绍。
回到剑桥后，牛顿于1667年当选为三一学院研究员，每年有2英镑奖学金，并能免费使用大学图书馆资源。他曾与巴罗密切共事，协助其准备讲稿。1669年，巴罗辞去卢卡斯教授席位，以便全身心投入神学研究。在巴罗的建议下，牛顿被授予该席位。由于得到母亲的资助，牛顿手头宽松，添置了新衣和家具，还跑去赌场玩了两把1。
时间退回到1660年，斯图尔特王朝复辟，没过多久，包括波义耳、胡克以及天文学家和建筑师克里斯托弗·雷恩（Christopher Wren）在内的几名伦敦人，组建了一个协会，成员们定期聚会讨论自然哲学和观察实验等。成立之初，该协会的外国会员只有一位，即克里斯蒂安·惠更斯。1662年，协会被皇室正式批准为伦敦皇家学会，至今仍是英国的国家科学院。1672年，牛顿当选为皇家学会会员，后担任主席。
1675年，危机降临。任职剑桥研究员8年后，按照规定牛顿必须在英格兰教会担任圣职。而这意味着牛顿必须宣誓信仰三位一体的教义，但那对牛顿来说是不可能的，因为他不认可尼西亚理事会关于圣父和圣子一体的决定。幸运的是，卢卡斯教授席位的要求规定，担任该席位者不得同时在教会供职，据此国王查尔斯二世（Charles II）被劝服并颁布了法令，卢卡斯教授从此无须担任圣职。于是，牛顿得以继续留在剑桥。
下面我们来探讨牛顿于1664年在剑桥开始的伟大工作。他的主要研究领域是光学、数学以及后人所称的动力学，在其中任何一个领域的成就都足以使他成为一位历史上的伟大科学家。
牛顿的主要实验成果在光学方面。[3]他大学时所做的笔记“哲学问题”，显示出他当时已开始关注光的性质。牛顿的结论与笛卡儿的相反，他认为光不是对眼睛的压力，因为如果那样的话，天空在我们奔跑时会显得更为明亮。1665年，牛顿在乌尔索普得出他在光学领域最伟大的研究成果——他的颜色理论。人们在古代就已知道，光线通过曲面玻璃片时会呈现彩色，但人们一般认为彩色是由玻璃产生的。牛顿却推测，白光由各种颜色的光组成，各色光线在玻璃或水中的折射角与颜色略微相关，红光比蓝光的弯折程度小，因此当光通过棱镜或雨滴时出现颜色分离。这或许能够解释笛卡儿未能理解的彩虹中出现的颜色。为了验证这一想法，牛顿做了两个关键性的实验。首先，用一个棱镜形成单一的蓝光和红光后，他将这些光线分别导向其他棱镜，发现光线并没有进一步分离为不同颜色的光。接着，牛顿用一组巧妙排列的棱镜，设法将所有由白光折射产生的彩色光重新组合，他发现这些彩色光经组合后产生白光。
折射角对颜色的依赖性会带来一个不利的后果：在伽利略、开普勒和惠更斯等人设计的望远镜中，玻璃镜片对白光中不同颜色光的聚焦有所不同，这会使遥远物体的图像变得模糊。为了避免这种色差，牛顿于1669年发明了一种望远镜，用一个曲面镜——而不是玻璃镜片——聚焦最初的光线。（光线继而由一个平面镜偏转到望远镜的玻璃目镜，因此仍存在部分色差。）牛顿用一个只有6英寸长的反射望远镜，就能够实现40倍的放大效果。现代所有的主要光学天文望远镜都是反射望远镜，是牛顿这一发明的后裔。当我第一次访问现位于卡尔顿联排房的英国皇家学会时，有幸被带到地下室参观牛顿制作的第二台小型望远镜。
1671年，英国皇家学会秘书和精神领袖亨利·奥尔登堡（Henry Oldenburg）邀请牛顿发表一篇对其望远镜的说明。于是牛顿在1672年年初向《英国皇家学会哲学杂志》（Philosophical Transactions of the Royal Society）提交了一封信，对其望远镜以及他对颜色的研究成果进行了描述。这引发了一场有关牛顿工作的创意性和重要性的争论，胡克的反应尤其激烈。胡克自1660年起担任皇家学会的实验馆馆长，并在1664年接受约翰·卡特勒爵士的任命，担任教职。无可否认的是，胡克在天文学、显微镜学、制表、力学和城市规划方面做出了突出贡献。胡克宣称他也做了与牛顿相同的光实验，但他不认为实验结果说明了什么——光只是通过棱镜被加到白光之中。
1675年，牛顿在伦敦讲授其光学理论。他推测，光像物质一样，由许多小粒子组成；几乎与此同时，胡克和惠更斯提出光是一种波的相反观点。这是牛顿在科学判断上的一个失误。即便是在牛顿所处的时代，也有很多观察数据显示出光的波动性。在现代量子力学中，光确实被描述为一种被称为“光子”的无质量粒子的集合，但由于我们在日常生活中遇到的光子数量十分巨大，因而光的行为更多地表现为一种波动。
惠更斯在其1678年发表的《光论》中，将光描述为在介质“以太”中的扰动，以太由大量十分接近的微小物质颗粒组成。就像深海中的波浪，沿海洋表面移动的不是海水，而是水的扰动；同理，在惠更斯的理论中，沿光束运动的是以太粒子的扰动传播，而不是粒子本身。每个被干扰的粒子成为一个新的扰动源，对波的总振幅做出贡献。当然，根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在19世纪的研究成果我们知道，（即便不考虑量子效应）惠更斯只对了一半：光是一种波，但它是电磁场中的干扰波，而不是物质粒子的干扰波。
利用光的波动理论，惠更斯得出结论，光在均匀介质（或无物的空间）中沿直线传播，因为只有沿直线传播，所有被干扰粒子产生的波才能有效叠加。根据反射角等于入射角的定律以及斯内尔折射定律，惠更斯给出了一种新的推导，无须依赖于费马提出的光线取最短时间路径的先验假设（见技术札记30）。在惠更斯的折射理论中，光线通过两种不同介质之间的边界时发生弯折且速度改变，一如部队的领头兵进入沼泽地时改变行军方向且行军速度减慢。
另外，惠更斯的波理论必然会得出光以有限速度传播的结论，而这恰与笛卡儿的观点相左。惠更斯认为，光速的有限性很难被观察到，原因很简单：光速实在太快。如果光从月球到达地球需要一个小时，月食时我们将看到月球不在太阳的正对面，而是偏离约33°。但实际上我们看不到这一滞后现象，惠更斯由此得出结论称，光速至少十万倍于音速。这的确没错——实际上光速约为音速的一百万倍。
接下来，惠更斯描述了丹麦天文学家奥勒·勒默尔（Ole Romer）当时对木星卫星的观测结果。这些观测表明，木卫一的旋转周期随地球和木星间距离的减小而缩短，并随该距离的增加而延长。（人们将注意力集中于木卫一，是因为在伽利略发现的所有木星卫星中它的公转周期最短——只有1.77天。）惠更斯对其原因做了解释，这便是后人所称的多普勒效应：当木星靠近或离开地球时，其距离在木卫一完成每一次公转周期时分别减少或增加，如果光以有限速度传播，观测到的木卫一完成一次公转的时间应该分别长于或短于假定木星和地球静止的相应周期。具体说来，木卫一视周期的变动率，应等于木星和地球在连线方向的相对速度与光速之比，当两者远离时相对速度为正，反之为负。（见技术札记31）。通过测定木卫一周期的视变化，以及已知的地球和木星的相对速度，就可以计算光的速度。由于地球的运动比木星快得多，地球的速度主导了相对速度。当时的人们并不清楚太阳系的大小，所以也不知道地球与木星相对分离速度的数值，但惠更斯根据勒默尔的数据算出，光线通过相当于地球轨道半径的距离需要11分钟，得出这一结果不需要知道轨道的大小。换句话说，由于AU被定义为地球轨道的平均半径，惠更斯所得出的光速是每11分钟1 AU。现代值是每8.32分钟1 AU。
当时已有实验能够证明光的波动性质，牛顿和惠更斯本应有所了解：出生于博洛尼亚的耶稣会教士弗朗西斯科·玛丽亚·格里马尔迪（Francesco Maria Grimaldi，里乔利的学生）发现了衍射现象，1665年，这一实验结果在他过世后被发表。格里马尔迪发现不透明细杆在阳光下的影子并不十分清晰，边缘有条纹出现。这些条纹产生的原因是光的波长与杆的粗细相比不能被忽略，但牛顿认为这是发生在杆表面的某种折射的结果。19世纪初，托马斯·杨（Thomas Young）发现了光的干涉，即沿不同路径到达给定点的光波出现增强或抵消的现象，此后大多数物理学家对光是粒子还是波的问题有了定论。我们在前文已经提到，人们在20世纪时发现这两种观点并非互不相容。1905年，爱因斯坦意识到，尽管光的行为在大多数场合表现为波动，但光的能量储存在后来被称为光子的基本粒子中，每个光子携有与光的频率成正比的微小能量和动量。
17世纪90年代初，牛顿终于把他在光学方面的研究成果写成《光学》（Opticks）一书（英文版）。该书出版于1704年，此时牛顿已声名鹊起。
牛顿不仅是一位伟大的物理学家，也是一位伟大的数学家。他从1664年开始阅读数学著作，包括欧几里得的《几何原本》和笛卡儿的《几何》。他很快开始对各种各样的问题提出自己的解决方案，其中许多涉及无穷。例如，他考虑了诸如x–x2/2 ＋x3/3–x4/4＋ ……的无穷级数，证明其和等于1 ＋ x的对数[4]。
1665年，牛顿开始考虑无穷小。他提出的问题是：假定我们知道物体在任意时间t内经过的距离是D（t），如何得到任意时刻的速度？他指出对变速运动而言，任意时刻的瞬时速度是在该时刻的无穷小时间区间内经过的距离与时间区间的比值。引入符号o作为无穷小时间区间，牛顿定义时刻t的速度为在时刻t和时刻t＋o之间经过的距离与o的比值，即速度为[D（t＋o） –D（t）]/o。例如，如果D（t） =t3，那么D（t＋o）=t3＋3t2o＋3to2＋o3。由于o是无穷小，我们可以忽略正比于o2和o3的项，取D（t＋o）=t3＋3t2o， 于是D（t＋o） –D（t）=3t2o，由此得出速度是3t2。牛顿称之为D（t）的“流数”，但后人将其称为“导数”，它是现代微积分的基本工具。[5]
然后牛顿研究了曲线所围图形面积的问题。他的回答是微积分的基本定理：必须找到一个量，其流数是描述曲线的函数。例如，我们已经看到，3x2是x3的流数，因此抛物线y=3x2与x=0之间的面积就是x3。牛顿称之为“反流数术”，如今被称为“积分”。
牛顿发明了微积分，但在很长一段时间里，了解这项成果的人并不多。1671年年末，他决定将微积分与其光学研究成果一起出版，但显然没有一位伦敦书商愿意在没有大量补贴的情况下出版该书。2
1669年，巴罗将牛顿所著的《基于无穷级数的分析》（De analysiper aequationes numero terminorum infinitis）的一份手稿赠予数学家约翰·柯林斯（John Collins）。1676年，哲学家和数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）访问伦敦时，看到了柯林斯为该手稿所做的副本。莱布尼茨曾是惠更斯的学生，比牛顿小几岁，他于此前一年独立地发现了微积分的要点。1676年，牛顿在写给莱布尼茨的一些信件中透露了自己的部分研究结果。莱布尼茨在1684年和1685年发表的论文中叙述了自己在微积分方面的成果，但并未提到牛顿的工作。在这些出版的著作中，莱布尼茨提出了“微积分”一词，并提出了包括积分符号∫在内的现代符号。
为了表明自己才是微积分的发现者，牛顿在两篇论文中叙述了他的研究方法，发表在1704年出版的《光学》中。1705年1月，一篇对《光学》的匿名评论暗示，这些方法来自莱布尼茨。正如牛顿所猜测的，该评论出自莱布尼茨之手。1709年，《皇家学会哲学学报》发表了约翰·基尔（John Keill）所写的一篇捍卫牛顿优先发现权的文章，莱布尼茨于1711年以一纸申诉愤怒地回应皇家学会。1712年，英国皇家学会组织了一个匿名委员会调查该争议。两个世纪后该委员会的成员名单公布于世，原来委员会几乎完全由牛顿的支持者组成。1715年，该委员会的报告认定牛顿是微积分的发现者，但该报告其实是牛顿为委员会起草的。随后有一篇匿名评论公开支持该报告的结论，而这篇评论也是牛顿本人所写的。
当代学者3的判断是，莱布尼茨和牛顿分别独立地发现了微积分。牛顿早于莱布尼茨10年完成了这方面的工作，但莱布尼茨理应获得巨大荣誉，因为他率先公开发表了自己的研究成果。而牛顿在1671年为其微积分论文寻找出版商未果后，便一直对这项工作采取保密态度，直到他被迫与莱布尼茨进行公开争论。在科学发现的过程中，做出公开发表的决定通常是一个关键因素。4这表明作者认定这项成果是正确的，可以由其他科学家使用。因此，今人一般把科学发现的优先权归于首先发表的一方。但我们将看到，虽然莱布尼茨首先发表了微积分，但首先将微积分应用于科学问题的并非莱布尼茨，而是牛顿。与笛卡儿一样，莱布尼茨是一位伟大的数学家，其哲学成果也得到广泛认可，但他在自然科学领域并未做出任何重要贡献。
而在此领域具有最重大的历史影响的，是牛顿的运动理论和引力理论。人们不难猜测，使物体落向地球的重力随着物体到地心距离的减小而减小，虽然我不知道任何古人曾明确地提到过这一点。另一方面，这种力与行星运动之间是否有关系却远非显而易见。使行星保持在其轨道上运行的力与行星到太阳距离的平方成反比这一观点，最早可能由法国神父伊斯梅尔·比利亚尔度斯（Ismael Bullialdus）于1645年提出，他后来被选入英国皇家学会，其成果也为牛顿所引用。但正是牛顿让众人相信了这一观点，并把这种力与重力相联系。
50年后，牛顿描述了他开始研究引力的过程。尽管需要对他的叙述做出很多说明，我依然觉得有必要在此引用，因为这毕竟是牛顿亲自描述这一看似人类文明史转折点的事件。据牛顿所述，那是在1666年：（在发现了如何估算球面内旋转的一个球对内球面施加的压力之后）基于开普勒的行星公转周期与行星到轨道中心的距离成3/2次方比例的规则，我开始想到力会延伸到月球轨道。我推断使行星保持在其轨道上运行的力必须与行星到旋转中心距离的平方成反比。我进而对使月球保持在其轨道运行的力与地球表面的重力进行了比较，发现两者的结果很接近。这一切（包括我对无穷级数和微积分的工作）都发生在1665～1666年——瘟疫肆虐的两年。那段时间是我在发明方面的全盛时期，对数学和哲学的关注超过此后的任何时期。5
如我所述，这里需要一些说明。
首先，牛顿在括号里所说的“在发现了如何估算球面内旋转的一个球对内球面施加的压力之后”，是指离心力的计算，惠更斯已于1659年左右完成该计算（牛顿对此可能全然不知）。惠更斯和牛顿了解到（正如我们现在所了解的），加速度有一个比单位时间内速度变化的数值更广泛的定义；它是一个向量，既表明了经过时间内速度方向的变化，也表明了其大小的变化。即便在匀速圆周运动中，也存在加速度，即向心加速度，使速度不断调整方向而一直指向圆心。惠更斯和牛顿的结论是，当物体以匀速v在半径为r的圆周上运动时，它会以v2/r为加速度向着圆心加速，所以使物体保持在圆周上运动而不是直线飞向太空的力与v2/r成正比（见技术札记32）。对这一向心加速度的阻力是惠更斯所说的离心力。例如，在绳索末端系一重物并使其做圆周运动，对重物而言，离心力被线的张力所抵消。但行星并未通过绳索与太阳相连，是什么抵消了行星做近圆形绕日运动时的离心力呢？我们将看到，在解答这个问题的过程中，牛顿发现了引力平方反比定律。
其次，牛顿所述的“开普勒的行星公转周期与行星到轨道中心的距离成3/2次方比例的规则”，就是我们现在所称的开普勒第三定律，即行星在其轨道上运行一周的时间的平方与其轨道平均半径的立方成正比，换句话说，周期正比于平均半径的3⁄2次方（“3/2次方比例”）。[6]一个以速度v在半径为r的圆周上运动的物体的运动周期是周长2πr除以速度v，所以对圆形轨道而言，由开普勒第三定律可知，r2/v2与r3成正比，因此其倒数也成正比，即v2/r2正比于1/r3。而由于使行星保持在轨道上运行的力正比于v2/r，可推断它必须与1/r2成正比。这就是引力平方反比定律。
该定律本身可能仅被视为对开普勒第三定律的重述。在牛顿对行星的思考中，并未将使行星保持在其轨道运行的力与地球表面重力有关的常见现象联系起来。只有在考虑月球时，他才指出了这种联系。牛顿说他“对使月球保持在其轨道运行的力与地球表面的重力进行了比较，发现两者的结果很接近”，这表明他曾计算月球的向心加速度，并发现它小于地球表面落体的加速度，而两者的差值与人们根据“加速度与到地心距离的平方成反比”的假设得出的值恰好吻合。
具体说来，牛顿将月球的轨道（由于对月球周日视差的观测而广为人知）半径取值为60个地球半径；而实际值约为60.2个地球半径。他用地球半径的粗略估算值[7]算出了月球轨道半径的粗略估算值，同时已知月球绕地球公转的恒星周期是27.3天，他由此估算出月球的速度及其向心加速度。这一加速度与地球表面落体加速度之比大约等于1 /602；而假设使月球保持在其轨道上运行的力与吸引地球表面物体的力相同，但根据平方反比定律减少，由此得出的值正是1 /602左右（见技术札记33）。这就是牛顿所说的他发现两种力的“结果很接近”的含义。
这是天空和大地在科学中得到统一的终极步骤。哥白尼将地球置于行星之列，第谷证明天空中也有变化，伽利略看到了月球表面如地球表面一样粗糙，但他们中没有任何人把行星的运动与在地球上能够观测到的力联系起来。笛卡儿曾试图把太阳系中的运动理解为以太中的旋涡，类似于地球上水池中的旋涡，但他的理论没有成功。现在牛顿认为，使月球保持在其轨道上绕地运行的力，以及使行星保持在其轨道上绕日运行的力，与使苹果落到林肯郡地面上的重力一样，都由相同的定量法则控制。从此之后，天空中与大地上物体之间的区别——这一区别曾限制亚里士多德以来的所有物理猜测——不复存在。但这与万有引力定律之间还有很大距离，该定律认为，宇宙中的每一个物体——不只是地球和太阳——都与其他任一物体相互吸引，引力大小反比于两者之间距离的平方。
然而，牛顿的理论中，依然存在四大漏洞：
1. 在对月球的向心加速度和地球表面的落体加速度进行比较后，牛顿认为产生这些加速度的力与距离的平方成反比，但这一距离是到哪里的距离呢？这在考虑月球运动时关系不大，因为地球距离月球十分遥远，此时几乎可以把地球作为一个质点。但对于落在林肯郡地面上的一个苹果，地球从树的底部——几英尺远的地方，可以一直延伸到8 000英里以外地球背面的那一点。牛顿假定，与靠近地表的任何落体有关的距离是落体到地球中心的距离，但这并非是显而易见的。
2. 牛顿对开普勒第三定律的解释忽略了行星之间的明显差异。不知何故，尽管木星比水星大得多，但两者的向心加速度却只与其到太阳的距离有关。更引人注目的是，牛顿在对月球的向心加速度和地球表面落体加速度进行比较时，忽略了月球和类似苹果的落体之间的明显差别。这些差别为何无关紧要呢？
3. 牛顿在他1665～1666年的工作中，曾将开普勒第三定律阐释为，诸行星的向心加速度与它们到太阳距离的平方的乘积相等。但该值完全不等于月球的向心加速度与地月距离平方的乘积，前者要大得多。原因何在？
4. 最后，在这项工作中牛顿认为行星和月球分别绕太阳和地球做匀速圆周运动，但开普勒早已证明这些轨道不是正圆形，而是椭圆形，且太阳和地球不在椭圆的中心，此外月球和行星的速度也只是大致恒定。
在1666年以后的数年中，牛顿努力寻找这些问题的答案。同时，其他人也逐渐得出与牛顿相同的结论。1679年，牛顿的老对手胡克出版了他在卡特勒的演讲集，其中从非数学的角度提出了一些关于运动和引力的设想：首先，所有天体都具有趋向自身中心的吸引力或重力，这种力使他它们不仅能够吸引其组成部分，防止其飞离——就像我们所观察到的地球的状态，同时也吸引着在其作用范围内的所有其他天体。第二个假设是，任何一个已处于直线和简单运动中的物体，将继续沿直线运动，直到该物体受到其他力的作用，路径发生偏离和弯曲，变为在圆、椭圆或其他一些复合曲线上的运动。第三个假设是，这些吸引力的大小，取决于物体靠近其中心的程度。6
胡克写信给牛顿，谈到包括平方反比定律在内的这些猜想。牛顿未做理会，说他从来没有听说过胡克的工作，并说需要“不可分割数”7（即微积分）才能理解行星运动。
1684年8月，牛顿在剑桥接待了天文学家埃德蒙·哈雷（Edmund Halley），这是一次影响深远的访问。与牛顿、胡克和雷恩一样，哈雷已经意识到万有引力的平方反比定律和关于圆形轨道的开普勒第三定律之间的联系。哈雷问牛顿，物体受到与距离平方成反比的力的作用时，其运行轨道的实际形状是怎样的。牛顿回答说，轨道将呈椭圆形，并承诺提供一个证明。那一年的晚些时候，牛顿提交了一份长达10页的文件，《论天体的运动》（On the Motion of Bodies in Orbit），它说明了如何看待在指向一个中心物体的力的作用下物体的一般运动。
3年后，英国皇家学会出版了牛顿的著作《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica），这本书无疑是自然哲学史上的巨作。
现代物理学家在翻阅《自然哲学的数学原理》（后文简称《原理》）一书时，可能会惊讶地发现它与当今的任何物理论著作都不甚相像。其中有许多几何图形，但几乎没有出现过方程。这简直让人以为牛顿已经忘记了他自己发明的微积分，但事实并非全然如此。在许多图形中，人们能够看到无穷小或无穷大的特征。例如，在说明开普勒的等面积法则对任何指向固定中心的力均成立时，牛顿设想行星会接收到无限多的指向中心的脉冲，其相互间隔的时间区间无穷小。这种计算恰好可以利用微积分的一般公式，快速简便地得到令人满意的答案，但在《原理》中这些公式无迹可寻。牛顿在《原理》中应用的数学，与阿基米德用于计算圆的面积或开普勒用于计算酒桶体积的数学无甚区别。
《原理》的风格使人想起欧几里得的《几何原本》，两者都以一系列定义开始8：定义Ⅰ：物质的量是源于物质的密度和体积的综合度量。
牛顿的拉丁语原文中的“massa”，英语译名为“物质的量”（quantity of matter），即今人所称的“质量”（mass）。牛顿在这里将其定义为密度和体积的乘积。尽管牛顿未定义密度，他的质量定义仍然是有用的，因为读者会想当然地认为，由相同物质（如给定温度下的铁）构成的物体具有相同的密度。正如阿基米德所说明的，测得的比重可给出物体相对于水的密度值。牛顿注意到人们会根据物体的重量估量其质量，但他没有把质量和重量混为一谈。
定义Ⅱ：运动的量是源于速度和物质的量的综合量度。
牛顿所谓的“运动的量”，如今被称为“动量”。牛顿在此将其定义为速度和质量的乘积。
定义Ⅲ：物质的内在力（vis insita）是物体尽量保持其静止或匀速直线运动状态的抵抗能力。
牛顿继续解释说，这种力来自物体的质量，它“与物质的惯性在任何方面都毫无差别”。如今，我们有时把其作用是抵抗运动中变化的质量，有区别地称为“惯性质量”。
定义Ⅳ：外加力是施加在物体上以改变其静止或匀速直线运动状态的作用。
这是对力的一般概念的定义，但它并没有涉及如何定义特定力的大小。接下来，定义V～VIII解释了向心加速度及其性质。
在这些定义之后有一个注释，其中牛顿没有给出对空间和时间的定义，但提供了一个描述：Ⅰ。 绝对的、真实的数学时间，就其本身、本质及其本性而言，都与外界事物无关，均匀一致地流逝……
Ⅱ。 绝对的空间，就其本性而言，与任何外界事物无关，始终保持均匀，且固定不动。
莱布尼茨和乔治·伯克利（George Berkeley）主教都对这种时空观提出了批评，认为只有时空中的相对位置才具有意义。在这个评注中，牛顿认可我们通常只处理相对位置和速度，但现在他有了支持绝对空间的新论据：在牛顿力学中，加速度（与位置或速度不同）有着绝对的意义。这是不容置疑的。日常经验告诉我们，加速度自有其效应。我们没有必要问：“相对于什么的加速度？”当乘坐的汽车突然加速时，我们感觉到身体受压向后倾倒，此时无论我们是否从车窗向外看，都会知道车正在加速。在后文中我们将看到，20世纪出现的广义相对论，使牛顿和莱布尼茨的时空观得到了调和。
最后是牛顿著名的运动三定律：
定律Ⅰ：物体保持静止或匀速直线运动状态，除非因外力迫使而改变其状态。
这一点已为伽桑狄和惠更斯所知。不清楚牛顿为何将其作为一个单独的定律，因为第一定律是第二定律的一个显然（虽然很重要）的推论。
定律Ⅱ：运动的变化与受到的作用力成正比，并沿着该力作用线发生。
牛顿在这里所谓的“运动的变化”是指动量的变化，他在定义Ⅱ中称动量为“运动的量”。运动的变化实际上正比于力的动量变化率。我们通常对力的度量单位的定义方式，使得动量的变化率实际上就等于力。因为动量是质量乘以速度，其变化率是质量乘以加速度。牛顿第二定律实际上是说，质量乘以加速度等于产生加速度的力。但是著名的方程F=ma没有出现在《原理》中，欧洲大陆的数学家在18世纪才用该公式重新表述了牛顿第二定律。
定律Ⅲ：对任何作用都有一个大小相等、方向相反的反作用；换句话说，两个物体的相互作用都是大小相等，方向相反的。
牛顿以真正的几何风格，从这些定律导出一系列推论。其中尤其值得注意的是推论III，即动量守恒定律（见技术札记34）。
在陈述完定义、定律和推论后，牛顿开始在《原理》第一卷中演绎其推论。他证明了有且只有有心力（指向一个中心点的力）会使物体在相同时间内扫过相同面积，而且有心力与距离的平方成反比。此外，只有有心力能使物体的运动路径呈现圆锥曲线的形状，即圆形、椭圆形、抛物线或双曲线；对路径为椭圆的运动，有心力作用下的物体的运行周期正比于椭圆长轴（第十一章中提到，这是行星到太阳的平均距离）的3⁄2次方。因此，与距离平方成反比的有心力能够解释所有开普勒定律。同时，牛顿还就此前对月球的向心加速度与自由落体加速度的比较中的不足进行了补充，他在《原理》第一卷第十二节中指出，组成球体的每个粒子都产生与距离平方成反比的力，其总和反比于到球体中心距离的平方。
《原理》第一卷第一节的末尾有一个引人注目的评注：牛顿表示他不再依赖无穷小这个概念。他解释说，“流数”（如速度）并不是他曾经描述过的两个无穷小量的比值，他的新说法是：“数量趋于消失时的最终比值，实际上并不是两个最终数量的比值，而是无限减少的两个量的比值不断接近的极限，这一比值能够非常接近相应的极限，其差异可小于任何给定的量。”这实质上是作为微积分基础的极限的现代概念。《原理》一书中不尽现代之处在于，牛顿认为极限必须用几何方法进行研究。
《原理》第二卷用大量篇幅研究了物体在流体中的运动，主要目的是推导出这种物体所受阻力遵循的定律。9在该卷中牛顿否定了笛卡儿的涡旋理论。接下来，牛顿开始计算声波的速度。在命题49中他所得到的结果（速度是压力和密度之比的平方根）只在量级上正确，因为当时没有人知道如何考虑膨胀和压缩过程中的温度变化。但这（与他对海浪波速的计算一样）是一项令人瞩目的成就：第一次有人用物理原理对任意形式的波速给出了接近现实的计算结果。
最后，牛顿在《原理》第三卷“世界体系”中探讨了来自天文学的证据。在《原理》第一版发表的时期，人们普遍认同今人所称的开普勒第一定律，即行星在椭圆轨道上运动；但对第二和第三定律——从太阳到诸行星的连线在相同时间内扫过相同的面积，以及诸行星运动周期的平方与各自轨道长轴的立方成正比——仍存有较大异议。牛顿把注意力集中于开普勒定律，似乎并不是因为它们得到了公认，而是因为它们与牛顿本人提出的理论的契合度很高。在《原理》第三卷中牛顿指出，木星和土星的卫星都遵循开普勒第二和第三定律；而且人们所观测到的5颗行星（除了地球）的相位都表明它们围绕太阳旋转，所有6颗行星都遵循开普勒三定律；同时月球的运动满足开普勒第二定律。[8]牛顿自己对1680年彗星的细致观测表明，该彗星的运动轨迹也是圆锥曲线——椭圆或双曲线，无论哪种都非常接近抛物线。基于所有这些（以及他早期对向心加速度和地球表面落体加速度的比较），牛顿得出的结论是：这是一种遵循平方反比规律的有心力，因为这种力，木星、土星和地球的卫星被它们的行星吸引，所有行星和彗星被太阳吸引。此前已知，由重力产生的加速度与被加速物体的性质无关，不管该物体是行星、卫星还是苹果，加速度只取决于产生力的物体的性质和两者之间的距离。根据这一事实再加上力产生的加速度反比于物体质量的事实，牛顿得出结论：任何物体受到的引力必定与该物体的质量成正比。于是当我们计算加速度时，所有对物体质量的依赖性都被抵消。这使引力明显地区别于磁力，后者对不同成分物体的作用非常不同，即使这些物体的质量相同。
接下来，牛顿在命题7中，利用他提出的运动第三定律弄清楚了产生力的物体的性质如何决定重力的大小。假设两个物体，物体1和物体2，其质量分别为m1和m2。牛顿发现物体1施加于物体2的引力正比于m2，而物体2施加于物体1的引力正比于m1。但根据第三定律，这两个力大小相等，所以它们必定同时与m1和m2成正比。牛顿确认了第三定律适用于碰撞现象，却未能确认该定律对相互作用的引力也同样适用。正如乔治·史密斯所强调的，引力与产生吸引力的物体及被吸引的物体的惯性质量均成正比，这一规律多年后才得以确认。尽管如此，牛顿依然得出结论称，“引力普遍存在于所有物体中，且与每个物体的物质的量成正比”。这就是为什么诸行星的向心加速度与它们到太阳距离平方的乘积，比月球的向心加速度与地月距离平方的乘积大得多：其原因是对行星产生引力的太阳，其质量远大于地球。
牛顿的这些结果通常用以下公式概括，质量分别为m1和m2、距离为r的两个物体之间产生的引力F为：F=G ×m1×m2/r2
其中G是一个通用常数，如今称为牛顿常数。但在《原理》中既没有出现这个公式，也没有出现常数G。即使牛顿引入了这个常数，他也不可能得出其数值，因为他不知道太阳或地球的质量。在计算月球或行星的运动时，G似乎只作为分别与地球或太阳的质量相乘的一个因子。
即使不知道G值，牛顿仍然可以用他的引力理论计算太阳系中不同物体的质量之比（见技术札记35）。例如，已知木星和土星到其卫星与到太阳的距离之比，以及木星和土星及其卫星的轨道周期之比，他可以计算出木星和土星的卫星绕行星旋转的向心加速度与这两颗行星绕太阳旋转的向心加速度之比，并由此进一步计算出木星、土星和太阳的质量之比。由于地球也有一颗卫星（月球），原则上可以用同样的技巧计算地球和太阳的质量之比。只可惜，尽管地月距离可由月球的周日视差得知，但太阳的周日视差太小而难以测量，因此地月距离与日地距离之比是未知的。（正如我们在第七章中看到的，阿利斯塔克使用的数据和他从这些数据推测出的地月距离非常不准确。）尽管如此，牛顿还是计算了地球和太阳的质量之比，但他所采用的日地距离比地球近日点的距离还要小，实际上只是真实值的一半左右。牛顿在《原理》第三卷对定理Ⅷ的推论中给出了质量比，以下是他的结果与相应现代值的对比10：表14–1 有关太阳与行星质量比的对比
质量比值 牛顿的比值 现代比值
m（太阳）/ m（木星） 1 067 1 048
m（太阳）/ m（土星） 3 021 3 497
m（太阳）/ m（地球） 169 282 332 950
从这张表可以看出，在牛顿的结果中，木星的数据相当准确，土星的数据也还不错，但地球的数据却与真实值相差甚远，原因在于日地距离未知。牛顿很清楚观测不确定性所带来的问题，但像20世纪前的大多数科学家一样，他无意给出其计算结果的不确定性范围。像我们在前文看到的阿利斯塔克和比鲁尼一样，他给出的计算结果的精确度远高于作为这些计算所基于的数据的精确度。
顺便指出，对太阳系大小的第一次认真估计，是让·里歇尔（Jean Richer）和乔瓦尼·多梅尼科·卡西尼（Giovanni Domenico Cassini）于1672年做出的。他们利用在巴黎和卡宴两地观测的火星视差，测定了地球到火星的距离；又根据哥白尼理论中已知的行星到太阳的距离之比得出日地距离。用现代的单位表述，他们所测得的距离为1.4亿公里，相当接近于现代值——日地平均距离为1.495 985亿公里。1761和1769年，天文学家通过比较在地球不同位置对金星凌日的观测，得到日地距离的更精确测量值：1.53亿公里。11
1797～1798年，亨利·卡文迪什（Henry Cavendish）终于成功地在实验室中测量了物体间的引力，并由此推断出G值。但卡文迪什并未使用这一结果，而是利用已知的地球表面引力场加速度（32英尺/秒2）与已知的地球体积，计算出地球的平均密度为水的5.48倍。
这一做法符合物理学中的一个长期实践：报告的结果是比值，而不是绝对大小。例如，我们在前文中看到，伽利略说明了地表的物体下落的距离与时间的平方成正比，但他从未说与时间的平方相乘而得到下落距离的常数是32英尺/秒2的一半。部分原因在于当时缺乏国际公认的长度单位。伽利略可以用布拉乔奥/秒2作为单位给出重力加速度的数值，但这对英国人——甚至对托斯卡纳以外的意大利人——而言，并不具备明确意义。国际标准化长度和质量单位12始于1742年，当时英国皇家学会将两把标有标准英寸的尺子送到法国科学院，法国人用他们自己的度量单位对这两把尺子进行标记后，将其中一把送回伦敦。1799年，国际上开始逐渐采用公制单位，直到此时科学家们才有了一个普遍认可的单位系统。如今我们取G值为66.724×10–12米3/千克·秒2，即1千克的物体在1米远处造成的引力加速度为66.724×10–12米/秒2。
