牛顿在陈述完运动和引力理论后，在《原理》中探讨了这些理论的一些推论，其内容远远超出了开普勒三定律的范围。例如，在命题14中，牛顿解释了扎尔恰利测量出的行星（地球）轨道的进动，只是他并未尝试做定量计算。
在命题19中牛顿指出，行星必定均呈扁球形，因为行星自转所产生的离心力在赤道最大，而在两极消失。例如，地球因自转而在赤道产生的向心加速度为0.11英尺/秒2，而自由落体的加速度为32英尺/秒2，可见地球自转产生的离心力虽然比地球引力小得多，但不能忽略不计。因此，地球呈近球形，但稍微有点扁。18世纪40年代的观测显示，相同的钟摆在赤道附近比在高纬度地区走得慢一些点，这正好验证了在赤道的摆距地心较远，因为地球呈扁球形。
在命题39中，牛顿说明了重力对扁球形地球的影响是使其旋转轴进动，也就是喜帕恰斯首先注意到的“岁差”。[牛顿对进动有超乎寻常的兴趣，他利用相关数值以及古代的观星记录，试图确定传说中的历史事件的时间，例如耶逊（Jason）和阿尔戈英雄（Argonauts）的远征。]13在《原理》第一版中，牛顿计算出太阳引起的进动为6.82“（角秒）每年，而月球的影响更大，为前者的倍，总共是50”（角秒）每年，与每年进动50“的测量值完美相符，并接近每年50.375”的现代值。这一结果非常令人瞩目，但后来牛顿意识到他计算的太阳引起的岁差只是实际值的3/5，由此得出的总结果也只是实际值的3/5。在第二版中他改正了太阳引起的进动值，也纠正了太阳和月球作用的比例，使总值依然接近50“（角秒）/年，仍与观测值完美相符。14牛顿对分点岁差有正确的定性解释，对其作用的计算也达到了正确的数量级，但为了与观测结果精确相符，他做了许多人为的调整。
这只是牛顿改动其计算值以得到符合观测结果的实例之一。除了本例，R·S·韦斯特福尔（R.S.Westfall）15也给出了其他例子，包括牛顿对音速的计算，以及前文提到的他对月球的向心加速度和地球表面落体加速度的比较。也许在牛顿看来，其理论若不能与观测结果匹配到近乎完美，就不足以使对手信服——不管这对手是存在于现实中还是他的假想中。
在命题24中，牛顿提出了他的潮汐理论。相比较而言，月球对于正对它的海水的吸引力大于对地球固体部分的吸引力，同时对地球固体部分的吸引力又大于对地球另一侧远离月球的海水的吸引力。因此，在月球之下的两侧海洋都有潮汐，在正对月球的一侧，引力将海水拉离地球；而在背对月球的地球另一侧，月球的引力将地球拉离海水。这就解释了为什么某些地方的满潮间隔是大约12小时而不是24小时。但这一潮汐理论的效应过于复杂，在牛顿的时代难以得到验证。牛顿知道太阳和月球都对潮汐的出现起作用。发生在新月或满月时的“大潮”，海水升降幅度最大，此时太阳、月球和地球在同一条线上，加强了引力效应。但关于潮汐最棘手的复杂性在于，对海洋的任何引力效应都会受到大陆形状和海洋底部地形的影响，而这些是牛顿不可能考虑的因素。
这在物理学史上是一个常见的现象。牛顿的万有引力理论，能够成功预测诸如行星运动这样的简单现象，但它无法对类似潮汐这样更复杂的现象给出定量说明。我们如今在量子色动力学，即构成原子核中质子和中子的夸克之间的强作用力的理论方面，处于类似的境地。这一理论成功地说明了一些高能量过程——如高能电子及其反粒子在湮灭中产生强相互作用粒子，这使我们相信该理论是正确的。但对于我们想解释的其他事物，该理论无助于计算出相应的精确值，如质子和中子质量，因为计算过程过于复杂。就牛顿的潮汐理论而言，正确的态度是保持耐心。物理理论的验证标准是，通过该理论，我们能够用简单可靠的方式对许多事物进行计算，即便这些计算无法涵盖我们想要计算的所有事物。
《原理》第三卷介绍了对已测量事物的分析计算以及对尚未测量事物的新预测，但即使在《原理》最后的第三版中，牛顿也未能指出，在第一版以来的40年中是否有任何预测得到了验证。尽管如此，总体而言，牛顿在运动和引力理论方面提供了压倒性的证据。牛顿不需要效法亚里士多德，解释重力为何存在，他也并未做此尝试。在他的“总附注”中，牛顿这样总结道：迄今为止，我已经用引力解释了天空中和海洋里的现象，但尚未指出引力产生的原因。事实上，这种力量的起因深至太阳和行星的中心，其作用丝毫未减。这种作用并不与受力物体的表面积成比例（如机械运动那样），而是与固体物质的量成比例，且其作用范围广袤无限，无处不在，始终随距离的平方而减少……我还未能根据现象推断引力具有这些性质的原因，而且我也不想“捏造”假说。
牛顿的书中附有哈雷创作的一首恰如其分的颂诗。以下是最后一节：享用着天庭甘露美食的众神，
快来与我一起，向亲爱的缪斯
颂扬牛顿的名字；因为
他开启了隐藏着的真理的宝库
他的思想充满神性光辉，
那是太阳神的慷慨赠予，
如此靠近神祇，无人能及。
《原理》确立了运动定律和万有引力原理——但如此表达对其重要性过于轻描淡写。牛顿向未来展示了物理理论的范例：一系列可精确解释大量不同现象的简单数学原理。虽然牛顿很清楚，引力并不是唯一的物理力，但它在牛顿提出的理论体系中是普适的——宇宙中任意两个质点相互吸引，引力与两者的质量成正比，与其间距的平方成反比。《原理》对开普勒行星运动定律进行了演绎，使其变成对一个简化问题的精确解答，即质点在一个巨大球体的引力下的运动；同时，该书还进一步解释了（即使在某些情况下只是定性地说明）其他各种各样的现象：分点岁差、近日点进动、彗星的路径、卫星的运动、潮汐的涨落以及苹果的下落。16相比之下，所有过去的物理理论的成就都倍显狭隘。
《原理》于1686～1687年出版，牛顿因此名声大噪。1689年，他被选为剑桥大学的议会成员，而后在1701年再次当选。1694年，他被任命为皇家铸币厂的监管，主持了英国货币改铸，同时仍保留卢卡斯教授职位。1698年，沙皇彼得大帝（Peter the Great）访问英国时，特意参观了铸币厂，并希望与牛顿谈话，但我找不到关于他们会面的任何记录。1699牛顿被任命为铸币厂主管，这是一个高薪职位。他放弃了教授职位，成为富翁。1703年，他的老对手胡克死后，牛顿成为英国皇家学会会长。1705年，他受封为爵士。1727年，牛顿死于肾结石，威斯敏斯特教堂为他举行了国葬，尽管他曾拒绝英国教会的神职工作。伏尔泰评论说，牛顿“像一个国王，被感恩戴德的臣民安葬”。17
牛顿的理论在当时并未受到一致认可。18尽管牛顿是一位笃信一神论的基督徒，英格兰的某些人，如神学家约翰·哈钦森（John Hutchinson）和伯克利主教，仍对牛顿理论的客观自然主义感到震惊。这对虔诚的牛顿而言是不公平的。牛顿甚至认为，某些现象只有依靠神的介入才能够得到解释，例如，为何行星之间的引力并未使太阳系不稳定[9]，以及为何太阳和恒星光芒闪耀，而行星及其卫星本身却暗黑无光？当然，今天我们以自然方式理解了太阳和恒星的光芒，它们发光是因为其内部的热核反应。
虽然对牛顿的评价不公，但哈钦森和伯克利关于牛顿主义的看法并非完全错误。在牛顿成果的示范作用下，即使并非他的本意，到18世纪时，物理科学已经与宗教彻底分离。
阻碍大众接受牛顿成果的另一障碍，是数学和物理之间古老而错误的对抗，本书第八章中曾引用罗得岛的杰米努斯的评论来描述这一现象。牛顿没有从亚里士多德的角度谈论物质和特性，也并未试图解释引力的起因。牧师尼古拉斯·德·马勒伯朗士（Nicolas de Malebranche，1638～1715年）看完《原理》后说，这不是物理学家的工作，而是几何学家的工作。马勒伯朗士脑中的物理，显然是亚里士多德模式的物理。他没有意识到，牛顿的范例重新定义了物理。
在对牛顿引力理论的批评中，最难应付者来自克里斯蒂安·惠更斯。19他非常赞赏《原理》一书，且毫不怀疑行星的运动受到与距离平方成反比的力的支配，令惠更斯对其正确性持保留意见的一点是：任意两个质点都相互吸引，引力大小与其质量成正比。在这方面，惠更斯似乎受到在不同纬度测定钟摆周期时测量值不精确性的误导，那些数据似乎表明，钟摆在赤道附近之所以会放缓，完全可以用地球自转引起的离心力的作用来说明。如果该推测属实，将意味着地球不是扁球形——而这无疑与牛顿的理论矛盾，因为如果地球上的质点按牛顿所述相互吸引，地球就应该呈扁球形。
早在牛顿在世时，他的万有引力理论已经在法国和德国遭到反对，反对者是笛卡儿的追随者们和牛顿的老对手莱布尼茨。他们认为，在几百万英里的无物空间中起作用的吸引力，是自然哲学中的一个神秘元素。他们进而坚持，对引力的作用应给予理性解释，而不仅限于假设。
在这方面，欧洲大陆的自然哲学家有一个关于科学的古老心结，该心结可以追溯到希腊古典时期，其要点是科学理论最终只能建立在理性的基础上。如今，我们已学着放弃这个心结。我们在电子和光学方面的成功理论能够根据现代粒子物理的标准模型推导得到，后者或许（我们也希望）能够从更深的理论推导得到，但无论这一推导过程推进多远，其终点都不可能是一个基于纯粹理性的基础。像我一样，如今大多数物理学家都接受了以下事实：我们会不停地发问，为什么我们最深刻的理论不是与现状不同的其他理论。
1715～1716年，在莱布尼茨和牛顿的追随者——牧师塞缪尔·克拉克（Samuel Clarke）之间有一场著名的书信论战。后者曾将牛顿的《光学》翻译成拉丁语。这场论战充分体现了与牛顿主义对立的观点。两人争论的焦点在于神的本性：神是像牛顿所认为的那样介入世界的运作，还是神从一开始就将世界设置为能够自行运行？20这种争议在我看来毫无意义，因为即便该主题有实际意义，克拉克和莱布尼茨也不可能对之有任何了解。
最终，对牛顿理论的反对意见并未掀起多大波澜，牛顿物理学一路凯旋。哈雷发现于1531年、1607年和1682年观测到的彗星的轨道均为同一条接近抛物线的椭圆轨迹，证明这是同一颗彗星的3次回归。法国数学家亚历克西斯–克劳德·克莱罗及其合作者利用牛顿理论考虑了由于木星和土星质量引发的引力摄动[10]，并于1758年11月做出预测：这颗彗星将于1759年4月回归近日点。1758年，在哈雷去世后的第15年，该彗星于圣诞节期间出现，并于1759年3月13日到达近日点。18世纪中期，克莱罗和埃米莉·迪沙特莱（Émilie du Châtelet）将《原理》译为法语，在迪沙特莱的情人伏尔泰的推动下，牛顿理论的影响力进一步扩大。1749年，另一位法国人让·达朗贝尔（Jean d'Alembert）在牛顿思想的基础上，发表了关于岁差的第一个正确而精准的计算。牛顿主义最终所向披靡。
究其原因，并不在于牛顿的理论满足了科学理论中由来已久的形而上学准则。与之相反，它没有回答目的论的问题，而这是亚里士多德物理的中心议题。但牛顿理论提供了通用的原理，使得大量曾经看起来很神秘的计算得以成功进行。通过这种方式，它提供了一个关于物理理论应有和可能达到的目标的极佳范例。
这是达尔文自然选择在科学史上的一个例子。当某些事物成功地得到解释，例如当牛顿对开普勒行星运动定律等许多现象做出解释时，我们会得到极大的满足。那些得以存世的科学理论和方法的特点便是，它们无一例外地给人们带来这样的满足感，不管它们是否符合此前的任何科学标准。
笛卡儿的追随者和莱布尼茨对牛顿理论的排斥，表明了科学实践中的一个准则：简单地否定一个像牛顿理论这样成功地说明了诸多观测现象的理论，永远不是妥当之举。成功的理论起作用的原因或许连其创立者也难以理解，也许它们在本质上只是更成功理论的近似理论，但绝对不会简单地只是一个失误。
这一准则在20世纪一再重现。20世纪20年代，出现了量子力学这一全新物理理论框架。根据该学说，人们不再计算行星或粒子的运动轨迹，而是计算概率波的演变，波在任意时间和任意位置的强度将告诉我们在该时该地发现行星或粒子的概率。得知要放弃决定论，量子力学的一些创始人——包括马克斯·普朗克（Max Planck）、欧文·薛定谔、路易斯·德布罗意（Louis de Broglie）和阿尔伯特·爱因斯坦——甚感恐慌，他们没有再对量子力学理论做进一步的工作，只是指出了该理论带来的令人无法接受的后果。薛定谔和爱因斯坦对量子力学的一些批评令人十分困扰，这种困扰一直延续至今。但在20世纪20年代末，量子力学已经非常成功地解释了原子、分子和光子的性质，理应得到重视。这些物理学家对量子力学理论的排斥，使得他们无法参与20世纪三四十年代固体物理、原子核和基本粒子等方面的重大进展。
像量子力学一样，牛顿的太阳系理论提供了后来所谓的标准模型。我于1971年21引入了这个术语，用以描述到那时为止宇宙膨胀的结构和进化理论，并做出如下说明：当然，标准模型可能存在部分错误，甚至可能完全错误。然而，它的重要性不在于它的正确程度，而在于它提供了可容纳丰富多样的宇宙学数据的公共集聚点。通过在标准宇宙学模式中讨论这种数据，我们可以评价它们的宇宙学相关性，无论哪一种模型最终被证明是正确的。
没过多久，在基本粒子及其各种相互作用的新兴理论方面，我和其他物理学家也开始使用标准模型这个术语。当然，牛顿的后继者在提到牛顿的太阳系理论时并未使用这个词，但他们完全可以这样做。对于试图解释开普勒定律之外的观测结果的天文学家们来说，牛顿理论无疑提供了一个公共集聚点。
18世纪末到19世纪初的许多著作，都介绍了将牛顿理论应用于二体以上问题的方法。其中尤其值得一提的是皮埃尔–西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace），他于19世纪早期探索出一项对未来有重大意义的创新成果。根据他的方法，人们不需要叠加一个集合（如太阳系）中所有物体产生的引力，而只需计算“场”，场指的是空间中每一个点的分布状态，这种状态最终决定了由集合中所有质量产生的加速度的大小和方向。若想计算这个场，需要解出支配它的一些微分方程。（这些方程描述了场中某一点在相互垂直的三个方向中任何一个方向上移动时场的变化情况。）这种方法使得对牛顿定理——球体表面的引力与到球心的距离平方成反比——的证明变得几乎平凡无奇。更重要的是，我们将在第十五章中看到，场的概念对理解电、磁和光起着至关重要的作用。
这些数学工具最引人注目的应用，由约翰·库奇·亚当斯（John Couch Adams）和让–约瑟夫·勒韦里耶（Jean-Joseph Leverrier）于1846年分别独立完成：两人都根据天王星轨道的不规则性，预测了海王星的存在及其所在位置。不久之后，海王星在预期的位置被发现。
理论和观测之间的小差异依然存在于许多场合，例如月球的运动、哈雷彗星和恩克彗星的运动，以及水星轨道在近日点的进动——根据其他行星产生的引力数值所得出的计算值小于实际观测值，差值为43'‘（角秒）每世纪。月球和彗星运动的偏差最终追溯到引力以外的力，但水星进动的偏差长期得不到解释，直到1915年爱因斯坦广义相对论的出现。
在牛顿的引力理论中，给定时间给定点的引力取决于所有质量在同一时间的位置，所以这些位置的任何突然变化（如太阳表面的耀斑），都将使各处的引力产生瞬时变化。这与1905年爱因斯坦的狭义相对论原理（任何效应的传播都不可能比光快）相冲突。因此，显然需要对引力理论做出修正。在爱因斯坦的广义相对论中，某处质量的突然变化会引起邻近引力场的变化，然后这一变化将以光速传播更远的距离。
广义相对论否定了牛顿的绝对时空概念。作为其基础的方程适用于所有参考框架，不论是加速运动还是旋转运动。讲到这里，莱布尼茨会感到高兴，但事实上，广义相对论证实了牛顿力学。它的数学表达基于与牛顿理论共享的一个性质：所有物体在给定点经受相同的引力加速度。这意味着你可以用一个被称为惯性框架的参考框架来消除引力的影响，该框架的加速度与引力加速度相同。例如，在自由下落的电梯中的人，不会感到地球重力的影响。牛顿定律正是在这些惯性参考框架中成立——至少适用于那些速度未达到光速的物体。
牛顿对行星和彗星运动的成功处理表明，在太阳系近旁的惯性框架中，保持静止（或匀速运动）的是太阳而不是地球。根据广义相对论，这是因为在这一参考框架中，遥远星系的物质并不围绕太阳系旋转。在这个意义上，牛顿理论有力地证明了哥白尼理论优于第谷理论。但在广义相对论中，我们可以根据自己的喜好，选用包括惯性框架在内的任何一个参考框架。如果我们采用第谷的参考框架——其中地球是静止的，那么遥远的星系看起来就在做每年一次的循环，而在广义相对论中，这一巨大的运动会产生类似于引力的力量，并作用于太阳和行星，使其产生第谷理论中的运动。牛顿似乎也意识到了这一点。在未在《原理》中发表的“命题43”中，牛顿承认，如果有普通万有引力以外的其他力作用于太阳和行星，第谷理论有可能成立。22
1919年，人们观测到爱因斯坦所预言的太阳引力场引起的光线弯折，爱因斯坦理论由此得到证实。伦敦时报宣告，这证明牛顿错了。这一说法其实是不对的。牛顿理论可以看作爱因斯坦理论的一种近似理论，对于运动速度远低于光速的物体，牛顿理论相当正确。爱因斯坦理论不仅没有否定牛顿理论，还解释了牛顿理论的工作原理及其成立的条件。广义相对论本身无疑也是一个近似理论，将会被更令人满意的理论所取代。
在广义相对论中，引力场可以通过在时空的每一点指定惯性框架（其中无引力作用）得到完整的描述。这在数学上类似于以下事实，我们可以在曲面上取任意点——在这一点曲面看起来是平的，在其附近做一个类似于地球表面上的城市地图的小区域地图，整个表面的曲率可以通过编制一份有很多页局部地图的地图册来体现。事实上，这一数学相似性使我们能够将任意引力场描述为时空的曲率。
如上所述，广义相对论的概念基础与牛顿理论截然不同。引力概念在很大程度上被广义相对论中的弯曲时空概念所取代，这令有些人难以接受。1730年，亚历山大·蒲柏（Alexander Pope）为牛顿写了一段令人难忘的墓志铭：自然和自然法则，黑暗之中隐藏；
上帝让牛顿降生，一切豁然开朗。
英国讽刺诗人J·C·斯夸尔（J. C. Squire）23于20世纪续写了两句：好景不长，恶魔唤出爱因斯坦，
万象复然，世界重新归于黑暗。
但事实绝非如此。广义相对论与牛顿的运动和引力理论的风格非常相似：它根据可以表述为数学方程的一般原理，用数学方式从涵盖范围广泛的各种现象中得出推论，再通过与观测结果进行比较使理论得到验证。爱因斯坦和牛顿理论之间的差异，远远小于牛顿理论与以往任何其他理论之间的差异。
这里仍然存在一个问题：科学革命为什么发生在16世纪和17世纪，而且发生在欧洲？有很多种可能的答案。15世纪的欧洲发生了许多变化，帮助奠定了科学革命的基础。查尔斯七世和路易十一世治下的法国以及亨利七世治下的英国政权稳固。1453年君士坦丁堡陷落后，希腊学者向西流亡到意大利及更远的地方。文艺复兴时期，人们对自然世界的兴趣倍增，同时对古文典籍及其翻译的准确性设定了更高的标准。活字印刷的发明使学术交流更加便捷且成本更低。美洲的发现与探索使人深信，有很多事情古人并不知道。此外，根据默顿命题，16世纪初的新教改革为17世纪英国的伟大科学突破创造了条件。社会学家罗伯特·默顿（Robert Merton）认为，新教营造了社会对科学的友好态度，使得人们在接受理性主义和经验主义之余，也相信自然规律是可以被理解的——这是他在新教科学家的实际行为中发现的态度和信念。24
很难判断这些不同的外部影响对科学革命的重要程度。虽然我难以解释为什么是艾萨克·牛顿于17世纪末在英国发现了运动和引力的经典定律，但我想我知道为什么这些定律以那种形式出现。原因很简单，在很大程度上，世界确实遵从牛顿定律。
综述了从泰勒斯到牛顿的物理科学的发展历程，现在我想就科学的现代概念——以牛顿及其后继者的成就为代表——的由来，表达一些我个人的初步的想法。在古代或中世纪，人们从未设想过任何类似于现代科学的目标。事实上，即使我们的前辈能够想象出当今科学的形式，他们也未必会多喜欢它。现代科学是客观的，不容超自然干预或人类价值观（行为科学除外）的存在。现代科学没有目的性，也不能提供确定性。那么，科学是如何发展成当今这样的呢？
面对一个令人困惑的世界，每一种文化背景中的人都在寻求解释。有些地方的人放弃了用神话解释世界，但即便如此，他们的大多数尝试依然没有带来任何令人满意的结果。泰勒斯试图通过猜测万物均由水构成来理解物质，但这样的想法给了他什么帮助吗？他由此得到了什么新的信息吗？在米利都或其他任何地方，没有人在万物皆为水的概念上发展出任何成果。
但是偶尔会有人找到一种方式，能够清楚地解释一些现象，而且这种解释十分完美清晰，会给发现者带来强烈的满足感——尤其当新发现是定量的数据，并且可通过观测得到逐一确认时。试想，当托勒密意识到，通过对阿波罗尼奥斯和喜帕恰斯的本轮和偏心轮添加对位点，他发现了一个能够相当精确地预测任何时刻任何行星在天空中的位置的行星运动理论时，他会有何感受？那种快乐，从此前他被引用过的语句中可见一斑：“但当我探寻出群星旋转的轨迹，便仿佛脱离凡尘，比肩宙斯，饱享仙馐，与神共食。”
然而快乐总有美中不足之处。即便你不是亚里士多德的追随者，你也不会喜欢托勒密提出的行星在本轮上奇怪地转圈的理论。其中的微调现象也令人讨厌：水星和金星本轮的中心围绕地球旋转一周的时间必须是一年整，而火星、木星和土星在其本轮上旋转一周的时间也必须是一年整。一千多年来，哲学家争论着像托勒密这样的天文学家的恰当角色——他们是真的在试图理解天文现象，还是仅仅为了拟合数据？
随后，哥白尼解释说，托勒密方案中的微调现象和环圈轨道，不过是我们在运动的地球上观察太阳系的结果，他在做出这一发现时该有多么高兴啊！但哥白尼理论仍然存在缺陷，即必须融入缺乏美感的复杂机制，才能与观测数据相符。而当数学天才开普勒解决了哥白尼的麻烦，提出行星在椭圆轨道上运动并符合他所提出的三大定律时，他想必也十分满意。
对于我们而言，世界就像是一台教学机，不时用满足感来激发我们想出更好的主意。经过许多世纪，我们学会了如何分辨和寻找可能正确的认识。我们学会了不去担心目的，因为担心永远无法带来我们所寻求的那种喜悦。我们学会了放弃对确定性的追求，因为使我们感到快乐的解释从来不是一定之论。我们学会了做实验，不用再特意做出人为的安排。我们培养了一种审美意识，能暗示我们什么样的理论将会见效，而当它见效时，我们的满足感会倍增。我们对世界的认识不断积累。这一切都未经筹划且不可预知，但在此过程中我们获得了可靠的知识，并享受到了真正的乐趣。
[1] 五十多岁时，牛顿聘请了他同母异父妹妹的美丽女儿凯瑟琳·巴顿（Catherine Barton）做他的管家，他们虽然是亲密的朋友，但却似乎从来没有过浪漫关系。牛顿去世时伏尔泰正在英国，他记录道，牛顿死在“其外科医生的怀抱中”，这位医生肯定地告诉伏尔泰，牛顿从未与女人有过亲密关系（见Voltaire， Philosophical Letters， Bobbs-Merrill Educational Publishing， Indianapolis， Ind.， 1961， p. 63）。至于外科医生如何得知这一点，伏尔泰未作说明。
[2] 摘自凯恩斯拟在皇家学会1946年会议上演讲的文章，《牛顿其人》（Newton， the Man）。凯恩斯于会议的3个月前去世，他的兄弟代其发表讲演。
[3] 牛顿在炼金术的试验上倾注了相当精力。炼金术也可以称为化学，因为两者在当时并无有意义的区别。我们在第九章中讨论贾比尔·伊本·哈扬时提到，直到18世纪后期，尚无任何明确的化学理论将炼金术的目标（例如变贱金属为黄金）排除在化学之外。虽然牛顿在炼金术方面的工作并不表示他放弃了科学，但他并未得到任何有意义的结果。
[4] 这是1＋x的自然对数，需计算常数e（2.71828…）的自然对数次幂得到1＋x。[用代数表达式表达，级数的和y=loge （1＋x），这里的loge为以e为底的对数，即自然对数，于是1＋x=ey。——译者注。]采用这个看起来有点奇怪的定义的理由是，自然对数有一些性质比用10代替e的常用对数要简单得多。例如，根据牛顿的公式可知，2的自然对数由1–1⁄2 ＋ 1⁄3–1⁄4 ＋ 。 。 。给出，而2的常用对数的公式较为复杂。
[5] 忽略3to2和o3可能会令人觉得该计算结果只是近似值，但事实并非如此。在19世纪，数学家学会了摒弃无穷小的o值这一相当模糊的概念，取而代之以精确定义的极限：通过取o足够小，[D （t＋o） –D（t）]/o可以无限接近速度值。我们将在后文看到，牛顿后来摈弃了无穷小，转向极限的现代概念。
[6] 在牛顿之前，开普勒行星运动三定律的受众面并不大，只有第一定律——行星轨道呈椭圆形且太阳位于椭圆的一个焦点——已被广泛接受。牛顿在《原理》中的推导，使这三个定律都被普遍接受。
[7] 1669年左右，让·费利克斯·皮卡尔（Jean-Felix Picard，1620～1682）首次对地球周长做出了相当精确的测量，牛顿于1684年应用该测量值来改进对月球轨道半径的计算。
[8] 牛顿未能解决地球、太阳和月球的三体问题，未能精确计算月球运动的异常现象，这些异常现象曾使托勒密、伊本·沙提尔和哥白尼伤透脑筋。1752年，该问题终于由亚历克西斯–克劳德·克莱罗（Alexis-Claude Clairaut）用牛顿的运动和引力理论解决。
[9] 在《光学》第三卷中，牛顿认为太阳系是不稳定的，有时需要重新调整。在太阳系稳定性的问题上，争论持续了几个世纪。20世纪80年代后期，雅克·拉斯卡尔（Jacques Laskar）说明了太阳系是无序的；人们不可能预测500万年后水星、金星、地球和火星的运动。某些初始条件将导致几十亿年后一些行星相互碰撞或被逐出太阳系，而另一些与之几乎毫无差别的行星却不会面临相同命运。详情参见：J. Laskar， “Is the Solar System Stable?”，www.arxiv.org/1209.5996 （2012）。
[10] 摄动指一个天体围绕另一天体运动时，因受别的天体的吸引或其他因素的影响，在轨道上产生的偏差。——编者注
