尾声：大一统
牛顿无疑成就显赫，但也留下了许多有待解释的问题。物质的本质、非引力性质的力对物质的作用以及生命的惊人能力，所有这些在当时依旧是谜团。在牛顿之后的许多年中，人们所取得的巨大进步不胜枚举1，难以在一本书中涵盖，更不用说区区一章。本章只意在说明，伴随着牛顿身后的科学进展，宏大图景雏形初显：原来世界为自然规律所支配，其简单统一程度远超牛顿时代人们的想象。
牛顿在《光学》第三卷中勾勒出物质理论的轮廓，其中至少可以包括光学和化学：物质的最小粒子可能受到最强的吸引力作用，结合并形成性质较弱的较大颗粒；许多较大颗粒又可以结合组成性质更弱的更大颗粒，以此类推，直到演化结束形成最大颗粒，这些颗粒是化学反应和自然物体颜色的基础，并将进一步结合形成大小可感知的物体。2
他还关注作用在这些颗粒上的力：
我们在探究吸引发生的原因之前，必须先从自然现象入手，了解什么样的物体会彼此吸引，以及吸引的规律和性质是什么。引力和电磁力的吸引，能够达到可感知的距离，因而一直为常人所观察到，但或许也存在其他一些力，由于其作用的距离太小而难以被察觉。3
上述文字表明，牛顿十分清楚，自然界中除了万有引力以外还存在着其他力。早在很久以前，静电就已为人所知。柏拉图在《蒂迈欧篇》中提到，琥珀（希腊语为electron）经摩擦可吸引轻小物体。磁性是人们从天然磁石中发现的性质，磁石被中国人用于看风水，伊丽莎白女王的医生威廉·吉尔伯特也曾对其做过深入研究。牛顿在这里也暗示，可能存在未知的短距离作用力，果不其然，20世纪的人们发现了弱相互作用核力和强相互作用核力。
19世纪早期，亚历山德罗·伏特（Alessandro Volta）发明了电池，人们从此能够进行电和磁方面的精细定量实验，并很快发现两者并非完全独立的现象。最初，汉斯·克里斯蒂安·奥斯特（Hans Christian Ørsted）于1820年在哥本哈根发现一块磁铁和一根载流导线之间有相互作用力。得知这一结果后，安德烈–马丽·安培（Andre-Marie Ampere）在巴黎发现载流导线之间也存在相互作用力。安培推测这些不同现象的起因其实相同：磁铁之所以产生和受到力，是因为铁块中存在着循环电流。
与引力一样，电流与磁铁之间相互作用力的概念也被场的概念所替换，此处称为磁场。磁铁和载流导线对其周围任意点的总磁场做出贡献，而磁场反过来对该点上的任何磁铁或电流施加作用力。迈克尔·法拉第（Micheal Farady）用围绕导线的磁力线来描述电流产生的磁力。他还把琥珀摩擦产生的电力归因于电场作用，并将电场分布描绘为以琥珀上的电荷为中心向外辐射的电力线。最重要的是，法拉第在19世纪30年代证明了电场和磁场之间的联系：变化的磁场，例如旋转线圈中电流所产生的磁场变动，会产生电场，它可以在另一导线中产生电流。这种现象正是现代发电厂的发电原理。
几十年后，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦最终实现了电磁学的统一。麦克斯韦将电场和磁场视为一种弥漫介质——以太——中的张力，并把已知的电磁性质用方程表达出来，描述了电场、磁场及其变化率。麦克斯韦的新发现是，不仅变化的磁场会产生电场，变化的电场也会产生磁场。正如在物理学中经常发生的那样，麦克斯韦方程的概念基础——以太——已被摈弃，但方程流传后世，甚至出现在物理学系学生穿着的T恤衫上。[1]
麦克斯韦的理论导致了一个惊人的推论。由于振荡的电场产生振荡的磁场，振荡的磁场又产生振荡的电场，在以太中，或者在我们如今所说的无物空间中，可能存在一个自激振荡的电磁场。1862年左右，麦克斯韦发现，这种电磁振荡将以一定速度传播，并且根据他的方程得出的该速度的数值与测得的光速几乎相同。麦克斯韦顺理成章地得出结论：光正是一个自激振荡的电磁场。但可见光的频率太高，不能通过普通电子回路中的电流产生。然而，19世纪80年代，海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）成功地根据麦克斯韦方程生成了无线电波，它与可见光的唯一区别仅在于其频率低得多。至此，光学与电磁学也得到了统一。
类似于电磁学，理解物质性质方面的进步始于定量测量，在这里是指测量参与化学反应的物质的重量。一位富裕的法国人，安托万·拉瓦锡（Antoine Lavoisier），在这场化学革命中起着关键性作用。18世纪后期，他确认了氢和氧这两种元素，并证明了水是氢和氧的化合物，空气是由许多种元素构成的混合物，而火则是由其他元素与氧结合产生的。正是在这一测量结果的基础上，约翰·道尔顿（John Dalton）不久后发现，各种元素发生化合反应时的相对重量，可以通过以下假设来理解：纯化合物如水和食盐是由大量粒子（后来被称为分子）构成的，而粒子本身又是由一定数量的纯元素原子构成。例如，水分子由两个氢原子和一个氧原子构成。在此后的几十年中，化学家又确认了许多种元素，其中有些为人所熟知，如碳、硫和许多常见的金属元素；另一些是新分离出来的，如氯、钙和钠元素。泥土、空气、火和水都不是元素。19世纪上半叶，人们发现了正确的分子化学式——如水和食盐，这使得人们可以通过测量参与化学反应的物质的重量，计算出不同元素原子质量的比例。
此后，麦克斯韦和路德维格·波尔茨曼（Ludwig Boltzmann）说明，热可以被理解为分布在大量原子或分子中的能量，此举使物质的原子理论获得了巨大成功。但这一理论的统一过程遭到了一些物理学家的抵制，其中包括皮埃尔·迪昂，他怀疑原子的存在，而且认为关于热的理论（即热力学）至少具有与牛顿力学和麦克斯韦电磁动力学相同的基础地位。但20世纪初的几项新实验几乎让所有人相信，原子是真实存在的。J·J·汤姆森（J. J. Thomson）、罗伯特·密立根（Robert Millikan）等人所做的一系列实验证明，原子得到的和失去的电荷只能是一个基本电荷的倍数：这一基本电荷即电子电荷，电子是汤姆森于1897年发现的粒子。1905年，爱因斯坦对液体表面小颗粒的随机布朗运动进行了解释，认为这种运动由颗粒与液体中的单个分子碰撞而产生，这一解释随后由让·佩兰（Jean Perrin）通过实验证实。作为对汤姆森和佩兰的实验的回应，1908年，曾经对原子持怀疑态度的化学家威廉·奥斯特瓦尔德（Wilhelm Ostwald）在一个声明中宣布了自己的态度转变，他在该声明中以一种含蓄的方式一直回溯到德谟克利特和留基伯时代：“我现在相信，我们近来掌握了物质的离散性或颗粒性的实验证据，结束了原子假说在过去几千年中的无果求索。”4
但原子究竟是什么呢？1911年，对这一问题的探索出现了重大进展，欧内斯特·卢瑟福（Ernest Rutherford）在曼彻斯特实验室发现，金原子的质量集中于一个小而重的带正电荷的核中，周围有轻且带负电荷的电子围绕它旋转。普通化学中的现象由电子引起，而放射现象中出现的巨大能量释放，则源于原子核中的变化。
这提出了一个新问题：为什么围绕原子核旋转的电子不会因为发射电磁波而失去能量，进而盘旋下降并坠向原子核呢？倘若这一假设属实，不仅会排除稳定原子的存在，而且从这些小小的原子突变中发出的辐射的频率，会形成一个连续频谱，与实际观察到的原子只能在一些离散频率下发出和吸收辐射（气体光谱中的亮线或暗线）相矛盾。是什么因素决定了这些特定的频率呢？
随着量子力学在20世纪前30年的发展，答案浮出水面。继牛顿的成就之后，量子力学是物理理论中最彻底的创新。正如其名称所提示的，量子力学需要将各种物理系统能量量子化（即离散化）。1913年，尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）提出，一个原子只能存在于某些特定的能量状态下，并给出了对最简单的原子计算这些能量的规则。1905年，爱因斯坦进一步发展了马克斯·普朗克先前的工作，提出光的能量来自后来被称为光子的粒子，每个光子的能量与光的频率成正比。正如玻尔所解释的，当原子因发射一个光子而失去能量时，这个光子的能量等于原子初始和最终状态的能量之差，这一要求确定了其频率。总是存在一个最低能量的原子状态，此时原子会因无法发出辐射而保持稳定。
20世纪20年代，人们在这些早期成就的基础上，发展出量子力学的一般规则，这些规则适用于任何物理系统。这项工作的参与者主要有路易斯·德布罗意、沃纳·海森堡（Werner Heisenberg）、沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli）、帕斯夸尔·约尔旦（Pascual Jordan）、欧文·薛定谔、保罗·狄拉克（Paul Dirac）和马克斯·玻恩（Max Born）。通过求解薛定谔方程——其一般数学形式人们早已在对声波和光波的研究中熟知——可以计算出诸原子态的能量。演奏弦乐器时，发出的声音的半波长的整数倍必定正好等于弦长。同理，薛定谔发现，原子具有的能量水平，正好可以使那些由薛定谔方程支配的波连续地充斥原子周围。但正如玻恩首先注意到的，这些波不是压力波，也不是电磁波，而是概率波——在波函数的最大值处附近，粒子最有可能出现。
量子力学不仅解答了原子稳定性问题和线状光谱的本质，也把化学带入到物理学的框架中。利用已知的电子和原子核之间的力，薛定谔方程可以应用于分子和原子中，并对其各能量状态进行计算。这样，原则上人们可以确定哪些分子是稳定的，以及哪些化学反应从能量上考虑是能够发生的。1929年，狄拉克得意地宣布：“为大部分物理学和全部化学的数学理论所必需的基本物理定律，至此已完全知晓。”5
这并不意味着化学家们会把他们的问题交给物理学家，然后就此退休。狄拉克很清楚，薛定谔方程太复杂，只适用于最小的分子，因此化学的特殊工具和洞察力依然不可或缺。但从20世纪20年代开始，人们认识到，化学中的任何一般原则，例如金属与卤素元素（如氯）形成稳定化合物的规则，都可以用量子力学中原子核与电子通过电磁力起作用来说明。
尽管量子力学解释了很多现象，但它远不能实现圆满的统一。理论中有构成原子核的粒子——电子、质子和中子；还有各种场——电磁场和当时未知的某些短程场，人们认为这些短程场形成了使原子核保持稳定的强相互作用力以及在放射现象中将中子转化成质子或将质子转化成中子的弱相互作用力。20世纪30年代，随着量子场理论的出现，粒子与场之间的区别逐渐消失。正如在电磁场中，光子是传递场中能量和动量的基本粒子；在电子场中，能量和动量由电子传递，这种关系也适用于其他类型的基本粒子。
但这远非显而易见。我们之所以能够直接感受到引力场和电磁场的影响，是因为这些场的量子具有零质量，它们所属的粒子类型（玻色子），允许大量粒子占据相同的状态。这些属性使得大量光子聚集并形成了我们所观察到的电磁场状态——看似遵守经典（即非量子）物理学。与之相反，电子具有质量，是另一种类型的粒子（费米子），两个电子不能占据相同的状态，所以电子场在宏观观察中不能被发现。
20世纪40年代末，量子电动力学、光子的量子场理论、电子和反电子等理论，取得了惊人的成功，由之计算的数值如电子磁场的强度，与实验值吻合到小数点后很多位。[2]被这一成就所鼓舞，自然有人要尝试创建一个量子场理论，其中不仅包括光子、电子和反电子，也包括在宇宙射线和加速器中发现的其他粒子，以及作用于它们的弱相互作用力和强相互作用力。
我们现在有这样一个量子场论，名为标准模型。标准模型是量子电动力学的一个扩展版本。与电子场并存的还有中微子场，其量子是类似于电子的费米子，特点是零电荷和近似零质量。还有一对夸克场，其量子是组成原子核的质子和中子。由于某种未知的原因，上述两场叠加，结果是出现了重得多的夸克、重得多的类似于电子的粒子以及中微子的反粒子。电磁场以统一的“弱电”形式出现，连同其他造成弱相互作用的场，使质子和中子在放射性衰变中相互转换。这些场的量子是重玻色子：带电荷的W＋和W–以及电中性的Z0。此外，还有8个数学上相似的“胶子”场，引起强相互作用，将夸克束缚在质子和中子之中。2012年，人们发现了标准模型的最后一个组成部分：标准模型的弱电部分预测的电中性重玻色子。
标准模型并非尽善尽美。它没有包括引力；它也不能解释天文学家所说的占整个宇宙5/6的“暗物质”；它涉及太多未经说明的数值，如不同的夸克和类似于电子的粒子的质量比。尽管如此，标准模型用只需一张纸上就能写下的一组方程，涵盖了我们在实验室里遇到的所有类型的物质和力（引力除外），提供了一个高度统一的综合视野。我们可以肯定，标准模型将至少是未来任何更成功理论的一个近似特例。
对从泰勒斯到牛顿的许多自然哲学家而言，标准模型并不令人满意。它不具备任何人格特征，其中没有一丝如爱或正义的人性考量。没有人会因研究标准模型而成为更好的人，实现如柏拉图所期望的从事天文学研究可能达到的效果。同时，标准模型中没有目的成分，这与亚里士多德所期望的物理理论背道而驰。当然，我们生活在一个由标准模型支配的宇宙中，可以想象电子和两种轻夸克与我们的存在息息相关，但它们对应的较重粒子与我们的生活毫无关联，对之我们应如何看待呢？
尽管标准模型以支配不同的场的方程表示，却不能仅从数学推导而来。而且，它也不能直接通过对大自然的观察得到。事实上，由于夸克和胶子的相互吸引力随距离的增加而增加，这些粒子永远不能被单独观察到。最后，标准模型也不能由哲学中的先入之见推导得出。相反，标准模型是一种猜测的结果，它以审美标准为引导，并被许多成功的预测验证。虽然标准模型尚有许多不清楚的方面，但我们预计，当它将来被某种更深刻的后继理论取代时，至少其中有一些将得到解释。
物理学和天文学一如既往地保持着紧密联系。如今，我们充分理解了核反应，不仅能计算太阳和恒星的发光和演变，也能理解在宇宙开始膨胀的最初几分钟，最轻的元素是如何产生的。和过去一样，天文学给物理学带来巨大的挑战：宇宙正在加速膨胀，人们推测是暗能量所致，暗能量不包含在粒子的质量和运动中，而是存在于空间本身。
有时，人们根据某一方面的经验，会第一时间拒绝任何建立在非目的性的物理理论——如标准模型——基础上的认知。在谈论生命体时，我们无法规避目的论。我们描述心脏、肺、根和鲜花时，会说明它们在生命体中的作用，这一趋势在牛顿之后有所增强，因为自然学家卡尔·林奈（Carl Linnaeus）和乔治斯·居维叶（Georges Cuvier）的工作极大地丰富了有关植物和动物的信息。不仅是神学家，包括波义耳和牛顿在内的许多科学家，都将植物和动物的神奇能力视为仁慈的造物主真实存在的证据。即便我们能避免对植物和动物能力的超自然解释，但长久以来，人们都无法避免将对生命的理解建立在与物理理论（如牛顿的理论）大不相同的目的论的基础上。
19世纪中叶，查尔斯·达尔文和阿尔弗雷德·拉塞尔·华莱士（Alfred Russel Wallace）分别独立地提出了自然选择进化理论，使得生物学与其他科学的统一首次成为可能。根据化石记录的提示，人们早已熟知进化的思想。许多接受进化论的人，将进化的起因解释为生物学的一个基本原则——生命体自我完善的内在倾向，这一原则将使生物学独立于物理科学。而达尔文和华莱士提出不同的主张，认为进化通过遗传变异起作用，有利变异的发生概率并不比不利变异高，但提高存活和繁殖机会的变异更有可能得到发展传播。[3]
经过很长时间，自然选择才被接受为进化机制。在达尔文时代，遗传机制和遗传变异的发生机制尚不为人所知，因此生物学家们仍对更具目的性的理论抱有希望。试想，人类竟是数百万年来大自然对随机遗传变异的选择结果，这一点多么令人不快。20世纪，人们发现了遗传学规律及突变发生的规律，由此引发了“现代达尔文主义”，自然选择进化理论的地位更加稳固。最终，人们认识到遗传信息由DNA（脱氧核糖核酸）的双螺旋分子携带，于是化学成为该理论的基础，因而归根结底，物理学是自然选择进化理论的基础。
因此，生物学与化学一样，都被纳入基于物理学的统一自然观中。但我们必须承认这种统一的局限性。没有人会放弃生物学语言和方法，转而在分子层面上对生命体进行描述，更不用说在夸克和电子层面。生命体太复杂，若要对其进行这种描述，难度会超过对有机化学大分子的描述。更重要的是，即便我们能够跟踪植物或动物的每一个原子，海量的数据会使我们错失自己感兴趣的事物，诸如狮子猎食羚羊，花朵吸引蜜蜂。
生物学与化学不同，前者更类似于地质学。因而对于生物学而言，还存在另一个问题。生命体之所以发展为今天的状态，物理学原理只是部分原因，我们还必须考虑大量的偶发性历史事件，例如，6 500万年前一颗彗星或流星撞击地球，造成了令恐龙灭绝的巨大影响；甚至可以追溯到地球形成时与太阳之间的距离以及初始化学成分。这其中的一些事件，我们能够从统计学角度理解，但无法理解个体事件本身。开普勒是错误的，没有人能够仅凭物理学原理计算出日地距离。我们所说的将生物学与其他科学统一，仅仅是指不存在独立的生物学原理，就像不存在独立的地质学原理一样。任何一条生物学一般原理都是基于物理学根本原理以及偶发性历史事件——后者顾名思义，是无法解释的。
上述观点（常常带有贬义地）被称为还原论。对还原论的反对甚至出现在物理学内部。研究液体或固体的物理学家经常引用“突现”的例子，这是在描述宏观现象如热或相变时出现的概念，在基本粒子物理学中没有对应物，也不依赖于基本粒子的细节。例如热力学——关于热的科学，适用于大量不同系统：除了那些麦克斯韦和波尔兹曼研究过的包含大量分子的系统，也适用于巨大黑洞的表面。但它并不适用于所有系统，当我们探究它是否适用于一个给定系统以及为什么适用时，必须借鉴更深层、更基本的物理学原理。在这个意义上，还原论并不是科学实践的改革方案，而是解释世界的一种观点。
我们不知道科学将继续在还原论的道路上取得怎样的进步。也许有一天，我们在现有的资源条件下，将无法再取得进一步的发展。现在看来，对约为氢原子质量1018倍的大粒子，重力和其他尚未发现的力可以与标准模型中的诸力相统一。（这个质量被称为普朗克质量，具有这一质量的粒子间的引力与两个电子在同样分离状态下的电排斥力相同。）即便全人类的经济资源任由物理学家支配，我们目前也无法在实验室里制造出质量如此巨大的粒子。
在耗尽财力之前，我们或许已耗尽脑力——人类可能不够聪明而难以理解真正根本的物理定律。又或者，我们可能会遇到某种现象，在原则上不能被纳入所有科学的统一框架。例如，尽管我们很可能将逐渐理解大脑支配意识的过程，但很难想象我们能够用物理术语来描述意识感觉本身。
无论如何，我们已经在这条道路上走了很远，且尚未抵达终点。6一路走来，硕果累累：牛顿使天空和大地在物理学中得到统一，电磁学成为统一理论并对光做出了解释，电磁量子理论进一步发展并涵盖了弱相互作用力和强相互作用力，化学乃至生物学被归入基于物理学的初步统一自然观。在创建更根本的物理理论以简化已发现的大量科学原理方面，我们从未止步——以往如此，现今亦然。
[1] 麦克斯韦本人并没有给出今人所称的“麦克斯韦方程”形式的电磁场支配方程。他的方程涉及被称为“势”的另一类场，势对位置和时间的变化梯度就是电磁场（势对位置的变化梯度是场，对时间的变化梯度是变化率——译者注）。较为熟知的麦克斯韦方程的现代形式，于1881年左右由奥利弗·亥维赛（Oliver Heaviside）给出。
[2] 在此处及后文中，我不再提及物理学家的名字。一方面牵涉的人名众多，将会占用太多篇幅；另一方面，由于许多人还在世，若有所遗漏，或有不妥。
[3] 在这里，我分别把性选择与自然选择、间断平衡和稳定进化结合在一起；并且不区分作为可遗传变异来源的突变和遗传漂移。这些区分对生物学家来说至关重要，但并不影响我在这里的观点：不存在能够决定可遗传变异利弊的独立生物学规律。
致谢
我很幸运地得到了几位专家学者的帮助：古典学家吉姆·汉金森（Jim Hankinson）、历史学家布鲁斯·亨特（Bruce Hunt）和乔治·史密斯。他们阅读了本书的大部分内容，我根据他们的建议做了许多修正，并对此深表感谢。我还要感谢路易丝·温伯格（Louise Weinberg），她提出了宝贵的批评意见，现列于本书扉页的约翰·多恩的诗句正是出自她的建议。接下来，我要感谢彼得·迪尔、欧文·金格里奇（Owen Gingerich）、阿尔贝托·马丁内斯（Alberto Martinez）、山姆·施韦伯（Sam Schweber）和保罗·伍德拉夫（Paul Woodruff），他们对某些专题提出了建设性的意见。最后，非常感谢我睿智的代理人莫顿·詹克洛（Morton Janklow），以及我在哈珀柯林斯出版社的优秀编辑蒂姆·达根（Tim Duggan）和埃米丽·坎宁安（Emily Cunningham），他们在本书的写作过程中给了我许多鼓励和好的建议。
技术札记
以下各篇札记对本书所述的许多历史性发展提供了科学和数学背景。读者若在高中学习过一些代数和几何知识，并且还没有完全忘记，应该能轻松理解札记中用到的数学。但在组织本书时，我试图使那些对技术细节不感兴趣的读者可以无须阅读这些札记便能理解正文。
事先说明：这些札记中的推理不一定与历史上所做的推理完全相同。从泰勒斯到牛顿，人们运用数学解决物理问题的风格是重几何而轻代数，这与当今的普遍风格全然不同。即便我勉为其难地用几何风格来分析这些问题，读者也会感觉冗长乏味。在这些札记中，我将说明过去的自然哲学家所取得的结果如何遵循（或在某些情况下，不遵循）观察结果和他们所依赖的假设，但并不试图忠实地再现其推导过程中的细节。
1. 泰勒斯定理 19. 内行星的距角与轨道2. 柏拉图固体 20. 周日视差
3. 和声 21. 等面积法则及对位点
4. 勾股定理 22. 焦距
5. 无理数 23. 望远镜
6. 终极速度 24. 月球上的山
7. 下落的水滴 25. 重力加速度
8. 反射 26. 抛物线轨道
9. 浮体与浸没物体 27. 由网球运动类比推理得出的折射定律10. 圆的面积 28. 用最短时间原理推导折射定律11. 太阳和月球的大小与距离 29. 彩虹理论12. 地球的大小 30.用波动理论推导折射定律13. 内行星和外行星的本轮 31. 测定光速14. 月球的视差 32. 向心加速度
15. 正弦及弦 33.月球与落体的比较16. 地平线 34. 动量守恒
17. 平均速度定理的几何证明 35. 行星质量18. 椭圆
1. 泰勒斯定理
泰勒斯定理采用简单的几何方法，推导出关于圆和三角形的一个并非显而易见的结果。不管泰勒斯是否证明了这一结果，了解这个定理有助于了解希腊在欧几里得之前的几何知识范围。
考虑直径为任意值的任意圆，设A和B是直径与圆相交的两点。由点A和点B向圆周上任意点P连线，直径、A到P的连线和B到P的连线构成三角形ABP（我们用三角形的3个顶点标识一个三角形）。泰勒斯定理告诉我们，这是一个直角三角形：三角形ABP以P为顶点的角是直角，即90°角。
证明这个定理的关键在于由圆心C向P 点引线，这条线把三角形ABP 分成两个三角形，ACP 和 BCP（见图1）。二者都是等腰三角形，即有两边相等的三角形。在三角形 ACP 中，边CA 和边CP（我们用三角形的两个顶点来标识连接两点的边）都是圆的半径， 根据圆的定义，二者长度相等。同理，在三角形BCP中，边CB 与边CP 相等。在等腰三角形中，两条相等边与底边的夹角相等，因此，边AP 与边AC的夹角α等于边AP 与边CP的夹角，而边BP 与边BC的夹角β等于边BP 与边CP的夹角。而任意三角形的内角和等于两个直角[1]，或用熟悉的术语表述，等于180°。如果我们将三角形ACP的第三个角——边AC和边CP的夹角——标识为α‘，并将边BC 和边CP的夹角标识为β’，那么2α ＋ α‘=180° 2β ＋ β’=180°将这两个方程相加并整理，得到
2 （α ＋ β） ＋ （α‘ ＋ β’ ）=360°现在，α‘ ＋ β’是同一条直线上的AC和 BC之间的夹角，因而是平角，即180°，于是2（α ＋ β）=360°–180°=180°所以α ＋ β=90°。由图1–1可知，α ＋ β即是我们一开始所做三角形ABP中边AP 与边BP的夹角，由此我们证明了三角形ABP确实是一个直角三角形。
图1–1 泰勒斯定理的证明
该定理指出，无论点P位于圆周上的哪个位置，从P到直径两端的连线之间的夹角均为直角2. 柏拉图固体
在柏拉图关于物质性质的推测中，一类被称为正多面体的三维体（也叫作柏拉图固体），起着重要的作用。正多面体可以被视为平面几何中正多边形的三维推广，并在某种意义上是由正多边形构成的。正多边形是由n条等长直线段构成的一个平面图形，这些线段在n 个顶点以相同的角度两两相交。等边三角形和正方形就是正多边形。正多面体是由多个相同的正多边形围成的一个立体，其中每个顶点都有相同数目的N 个正多边形以相同的角度交会。
最为人熟知的正多面体是立方体。立方体由6个全等的正方形围成，其8个顶点中的每一个都有三个正方形交会。另一个更简单的正多面体是正四面体，它是由4个全等的等边三角形围成的金字塔形结构，其4个顶点中的每一个都有三个三角形交会。（我们在这里只关注每个顶点都朝外的凸多面体，如立方体和四面体。）阅读《蒂迈欧篇》，你会发现柏拉图知道这些正多面体只有5种可能的形状，并将其视作组成所有物质的原子的形状。这5种正多面体是正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体，分别有4、6、8、12和20个面。
在存世的史料中，对有且只有5种正多面体的最早证明，来自欧几里得《几何原本》的最后一篇。在第13篇命题13～17中，欧几里得给出了正四面体、正八面体、立方体、正十二面体和正二十面体的几何结构，然后陈述道[2]：“下面我要说明，除了上面所说的5种形状，没有其他形状可以由相同的等边和等角形状构建而成。”然而，欧几里得接下来实际给出的是一个没有那么绝对的结果，即对于正多面体，每个正多边形的边数 n和交会于每个顶点的多边形数目 N之间的组合只可能有5种。下面给出的证明基本上与欧几里得的相同，但采用现代方式进行叙述。
第一步是计算n边形在 n个顶点的每一个内角θ。由多边形中心向每个顶点连线。多边形内部被划分成n个三角形。由于任意三角形内角之和为180°，且每个三角形中有两个顶点的角度为θ/2，于是每个三角形中第三个顶点的角度（即位于多边形中心的内角）为180°– θ。但这n个角的总和是360°，所以n（180°– θ）= 360°。由此解出例如，对等边三角形，n=3，θ=180°– 120°= 60°；而对正方形，n=4，θ =180°– 90°=90°。
接下来想像只保留正多面体的一个顶点，切除所有其他边和顶点，并将正多面体沿仅剩的顶点压平。交会于该顶点的N个多边形将会在一个平面上，但其间必有间隙，否则这N个多边形会构成一个面。所以必定有Nθ＜360°。利用上述对θ的公式，并把不等式的两边除以360°得到或者（两边均除以N），整理可得
于是我们必定有n ≥ 3，否则在诸多边形的边之间会没有空隙；也必定有N ≥ 3，否则在交会于顶点的诸面之间会没有空隙。（例如，对立方体而言因为其侧面是正方形，所以n=4，而N=3。）因此，上述不等式不允许1 / n或1 / N小于1/2–1/3=1/6，所以，n和N都必定小于6。我们可以很容易地查看满足3 ≤ N ≤ 5且3 ≤ n ≤ 5的每对整数，确定它们是否满足以上不等式。我们发现只有5对满足要求：（a） N=3， n=3
（b） N=4， n=3
（c） N=5， n=3
（d） N=3， n=4
（e） N=3， n=5
（在n=3，n=4和n=5的情况下，正多面体的面分别是等边三角形、正方形和正五边形。）这些是我们在正四面体、正八面体、正二十面体、立方体和正十二面体中得到的N和n值。
以上是欧几里得给出的证明，但他没有证明对应于每一对N和n只有一个正多面体。下文将在欧几里得的基础上，进一步证明对应于每一对N和n，我们可以对多面体的其他性质——面数F、边数E和顶点数V，得到唯一的一组结果。这里有3个未知数，所以需要3个方程来求解。为了导出第一个方程，需要说明的是多面体表面的诸个多边形边的总数为nF，但E条边中的每一条都是两个多边形的共有边，所以2E=nF
同时，V个顶点中的每一个都有N条边，E条边的每一条都连接两个顶点，所以2E=NV
最后，在F、E和V之间有一个更微妙的关系。为了推导这个关系，我们必须做一个额外的假设：多面体是单连通的，也就是说，在其表面上两点之间的任何路径都可以连续变形为这些点之间的任何其他路径。该假设适用于立方体和四面体，但对一个由画在面包圈上的边和面构成的多面体（无论是否为正多面体）而言，假设就不成立。一个更深入的定理指出，任何单连通的多面体都可以通过在一个四面体上添加边、面和（或）顶点得到，然后可按需要连续变化所形成的多面体以得到想要的形状。基于这一事实，我们现在需要证明，对于任何单连通的多面体（无论是否正多面体）：F - E ＋ V=2
很容易验证四面体满足本公式，对于四面体我们有F=4，E=6，V=4，所以方程左边是4 – 6 ＋ 4=2。现在，如果我们在任意多面体的一个面上，从一边到另一边加入一条边，我们将得到一个新面和两个新顶点，所以F和V分别增加1和2。但这条新边会把每一条旧边在新边的端点处一分为二，所以E增加1 ＋ 2=3，因而F – E ＋ V的值不变。同样，如果我们从一个顶点到一条旧边添加一条边，我们将得到一个新面、一个新顶点，以及两条新边，即F和V各增加1，E增加2，所以F – E ＋ V的值仍然不变。最后，如果我们从一个顶点到另一个顶点添加一条边，那么我们便会得到一个新面和一条新边，即F和E各增加1而V不改变，所以F – E ＋ V的值还是不变。因为任何单连通的多面体都可以这样构成，我们始终都能得出F – E ＋ V=2。（这是被称为拓扑学的数学分支中的一个简单例子；F – E ＋ V的值在拓扑学中被称为多面体的“欧拉示性数”。）
我们现在可以通过求解这三个方程得出E、F和V。最简单的方法是利用头两个方程把第三个方程中的F和V用2E/n和2E/N分别替代，于是第三个方程变为2E/n – E ＋ 2E/N=2，整理后可得然后将E代入另外两个方程，我们可以得出
这样，对于上面所列的5种情况，面、顶点和边的数目分别是F V E
N=3， n=3 4 4 6 四面体
N=4， n=3 8 6 12 八面体
N=5， n=3 20 12 30 二十面体N=3， n=4 6 8 12 立方体
N=3， n=5 12 20 30 十二面体这些就是柏拉图固体。
3.和声
毕达哥拉斯发现，在演奏乐器时，同时拨动松紧一致、粗细均等、材质相同的两根弦，若其弦长比例恰为两个小整数之比，如1/2、2/3、1/4、3/4等，则乐声和谐动听。要理解其中的原因，我们首先需要知道任何形式的波的频率、波长和速度之间的一般关系。
任何波都可以用某种振幅标识。声波的振幅是空气中载波的压力；海浪的振幅是海水的高度；偏振方向一定的光波的振幅是在这个方向的电场；而对乐器来说，沿弦运动的波的幅度是弦在垂直方向偏离正常位置的位移。
有一种特别简单的波叫作正弦波。如果我们在任何时刻拍摄正弦波的快照，我们将看到，在沿行进方向的一些点的波幅消失。取其中一个点，沿行进方向继续向前看，我们会发现振幅先上升，然后下降到零，随后进一步降为负值，之后又上升到零，如此循环往复。任一完整周期的起点和终点之间的距离就是波的特征长度，即波长，通常用符号λ标识。重要的是，由于波的振幅不仅在起点和终点，也在周期的中点消失，所以相继消失点之间的距离为半个波长，即λ/2。因此，振幅消失的任意两点之间的距离，必定是半波长的整数倍。
直到19世纪初才有一条基本数学定理明确指出，几乎任何波形（也就是说，任何随波的距离变长而逐渐平滑的波形），都可以表达为多条不同波长的正弦波的叠加（被称为傅里叶分析）。
每个正弦波都具有在时间上以及在沿着波的运动方向的距离上的振荡特性。如果波以速度v移动，那么它在时间段t内移动的距离为vt。在时间段t内通过一个固定点的波数是vt/λ，在给定点振幅和变化率都返回相同值的每秒内的周期数目是v/λ。这被称为频率，用符号ʋ表示，所以ʋ=v/λ。弦的振动波速度接近于常数，取决于弦的张力和质量，但与波长和振幅几乎无关，所以对于这些波（就像光那样）而言，频率只与波长成反比。
现在考虑某乐器中长度为L的弦，振幅在弦的两个固定端必须为零。这一条件限制了可以对弦振动的总振幅做出贡献的正弦波的个数。我们注意到，任意正弦波振幅消失的两点之间的距离，可以是半波长的任意整数倍。因此，一根两端固定的弦的波必定包含满足L=N λ / 2的N个半波长，其中N是整数。也就是说，波长只可能是λ＝2L / N，N=1，2，3…，而频率只可能是[3]
ʋ=vN/2L
当N=1时，最低频率是v/2L；而当N=2，N=3等的较高频率被称为泛音。例如，任何乐器的中央C弦的最低频率都是每秒261.63周，但它也能够以每秒523.26周、每秒784.89周等频率振动。不同的泛音强度造成了不同乐器音质的差别。
现在，假定振动在两根弦上发生，它们的长度不同，分别为L1 和L2，但其他条件均相同，特别是波速均为v。在时间t内，第一根弦和第二根弦的最低振动模式将分别经历n1=ʋ1t=vt/2L1和n2=ʋ2t=vt/2L2整周或带分数周。两者的比值是，n1/n2=L2/L1
因此，为使两根弦的最低振动在同一时间内都经历整数次循环，数值L2/L1必须是两个整数之比，也就是一个有理数。（在这种情况下，同一时间内每根弦的每个泛音也将经历整数次循环。）由这两根弦发出的声音会相互重叠，就像一根弦被拨动，这样的声音听起来似乎更为悦耳。
例如，如果 L2/L1=1/2，那么在最低振动频率下，当弦1完成一个振动周期时，弦2将完成两个周期。在这种情况下，我们说两根弦产生的音相隔一个八度。钢琴键盘中所有不同的C键产生的频率都相隔八度。如果L2/L1=2/3，则两弦产生的和弦称为五度。例如，如果一根弦的音高为中央C，即261.63赫兹，那么另一根与其弦长比值为2/3的弦，产生的音就应该是中央G，频率为3/2×261.63=392.45赫兹。[4]如果L2/L1=3/4，产生的和弦称为四度。
另外一个使得和弦声音悦耳的原因是泛音。为使弦1的泛音与弦2的泛音的频率相同，我们必须使vN1/2L1=vN2/2L2，由此可得，L2/L1=N2/N1
这样我们再次看到，尽管原因不同，但为使声音悦耳，弦长的比值仍需为有理数。如果这个比值是一个无理数，如π或2的平方根，那么虽然高泛音的频率可以任意接近，但这两根弦的泛音却永远无法匹配。这种声音显然不好听。
4. 勾股定理
“勾股定理”[5]是平面几何中最著名的结果。人们认为它出自一位毕达哥拉斯学派成员（可能是阿契塔），但其起源的细节仍不为人知。以下是对该定理最简单的证明，利用了希腊数学中常用的比例概念。
考虑一个顶点为A、B和P的三角形，在P处为直角。该定理指出，以AB（三角形的斜边）为边的正方形的面积，等于分别以三角形的两直角边（AP和BP）为边的两个正方形面积之和。用现代代数语言，我们可以认为AB、AP、BP分别表示这些边的长度，而将该定理陈述为AB2＝AP2 ＋ BP2
证明中的关键是从P向斜边AB画一条直线，与斜边相交于C点，夹角为直角。（见图4–1）。该线将三角形ABP分为两个较小的直角三角形APC和BPC。很容易看出，这两个小三角形都与ABP相似，因此所有对应角相等。如果我们把A和B处的角分别记为α和β，那么三角形ABP的内角为α、β和90°，因而有α ＋ β ＋ 90°=180°。三角形APC有两个角等于α和90°，为使三内角的总和等于180°，它的第三个角必定是β。同理，三角形BPC有两个角等于β和90°，所以它的第三个角必定是α。
