因为这些三角形都是相似的，它们的对应边成比例。也就是说，AC与三角形ACP 的斜边AP 之比必定等于AP与原三角形ABP的斜边AB之比，而BC与BP之比必定等于BP与AB之比。我们可以用更方便的代数形式来描述AC，AP等的比例关系：根据以上公式，可以直接得到AP2=AC×AB，以及BP2＝BC×AB。将这两个方程相加得到AP2 ＋ BP2 =（AC ＋ BC）×AB由于AC ＋ BC=AB，我们得到了需要证明的结果。
图4–1 勾股定理的证明
这条定理指出，分别以AP和BP为边的两个正方形的面积之和等于以斜边AB为边的正方形的面积。为了证明这条定理，从P作一条垂直于边AB的直线，与AB相交于C点5. 无理数
早期希腊数学家只熟悉有理数，即整数（如1，2，3等）或整数之比（如1/2，2/3等）。如果两条线的长度之比是有理数，这两条线被称为是“可通约”的——例如，如果比例是3/5，那么第一条线长度的5倍与第二条线长度的3倍相等。因此，当人们了解到并非所有的线都可通约时，自然感到震惊。例如，等腰直角三角形的斜边与两条相等边中的任一条都是不可通约的。用现代术语来说，根据勾股定理，这样一个三角形的斜边的平方，等于两条相等边中任一条的平方的两倍，因此，斜边的长度等于两条相等边中任一条的长度乘以2的平方根，所以这等于声称2的平方根不是一个有理数。欧几里得在《几何原本》第10篇中用反证法给出证明，可用现代语言表述为，假定存在一个平方为2的有理数，将会导致荒谬不可信的结果。
假设一个有理数p/q（p和q均为整数）的平方等于2：（p/q）2=2
把给定的任意p和q乘以任意相同的整数，可以得到无穷对这样的数，但让我们将p和q取值为使（p/q）2=2的最小整数。则从这个方程有p2=2q2
这表明p2是偶数，但任何两个奇数的乘积都是奇数，所以p也必定是偶数。也就是说，我们可以认为p=2p‘，其中p’是一个整数。将其代入上一方程，可得q2=2p‘ 2
根据与前面相同的理由，q是偶数，因此可以有q=2q‘，其中q’是一个整数。于是得出p/q=p‘/q’，所以（p‘/q’）2=2
其中p‘和q’是整数，且分别为p和q的一半，于是这与p和q是满足（ p / q ） 2=2的最小整数的定义相矛盾。因此，不存在整数p和q会使（ p / q ）2=2这一原始假设成立。
这条定理有明显的延伸：任何本身不是整数平方的整数如3、5、6等，不可能是一个有理数的平方。例如，设3=（ p/q）2，其中p和q是使之成立的最小整数，于是p2 =3q2，但这是不可能的，除非对某个整数p‘有p=3p’，将其代入p2=3q2可得q2=3p‘ 2，同时对某个整数q’有q=3q‘，所以3=（ p’/q‘）2，与p和q为满足p2=3q2的最小整数这个前提相矛盾。因此，3，5，6… 的平方根都是无理数。
在现代数学中我们接受了无理数的存在，例如平方为2的数记为。这些数字的小数部分无限不循环；例如= 1.414213562…有理数和无理数都有无穷个，但在某种意义上，无理数要比有理数多得多，因为可以列出一个包括所有有理数在内的无穷序列：1，2，1/2，3，1/3，2/3，3/2，4，1/4，3/4，4/3，…
但不可能给出一个包括所有无理数在内的类似序列。
6. 终极速度
要想理解亚里士多德如何通过观测落体得出其关于运动的思想，我们可以借助亚里士多德所不知道的物理原理——牛顿第二定律。这一定律告诉我们，物体的加速度a等于作用在物体上的总力F除以其质量m：a=F/m
当物体在空气中下落时，主要有两个力作用在物体上。一个是引力，它与物体的质量成正比：F引力= mg
这里g是一个独立于落体性质的常数。它等于落体只受到重力时的加速度，在接近地球表面处的值为32英尺/秒2。
另一个力是空气阻力。这是一个与空气密度成正比的量f （v），它随着速度的增加而增加，也取决于物体的形状和大小，但与物体的质量无关：F空气=– f （v）
公式中的空气阻力带有负号，因为我们考虑的加速度方向向下，而物体下落过程中空气阻力方向向上，因此公式中的负号使f （v）为正值。例如，当物体通过足够粘的流体下降时，其所受阻力与速度成正比f （v）=kv
其中k为正，是取决于物体大小和形状的常数。对于进入上层稀薄大气的流星或导弹，则有f （v）=Kv2
K是另一个正常数。
利用以上公式计算力的总和F=F引力 ＋ F空气，根据牛顿第二定律的结果，我们得到a=g – f （v）/m
物体刚释放时速度为零，所以没有空气阻力，只有向下的加速度g。随着时间推移，落体速度增加，所受空气阻力开始减小其加速度。最终，落体速度将接近一个值v，使得加速度公式中的– f（v）/m项正好与g抵消，于是加速度可以忽略不计。这就是终极速度，我们将其定义为以下方程的解：f （v终极）=gm
亚里士多德从未提及终极速度，但本公式给出的速度，与他赋予落体的速度有一些相同的属性。由于f （v）是v的一个递增函数，所以终极速度随质量m的增加而增加。在f （v）=kv这种特殊情况下，终极速度与质量成正比而与空气阻力成反比：v终极= gm/k
但这些并不是落体速度的一般特性。重物只有在下落很长一段时间后，才会达到其终极速度。
7.下落的水滴
斯特拉托观察到，当水滴落时，水滴的间距在下落过程中不断增大，他由此得出水滴加速向下运动的结论。如果一个水滴比其他水滴的下落速度快，那它的下落时间也一定比其他水滴长。在分离的水滴中，下落较久的必定下落较快，这表明水滴的下落是加速运动。只是斯特拉托并不知道，加速度是恒定的，而且我们将看到，它会使水滴的间距正比于经过的时间。
技术札记6中提到，如果忽略空气阻力，那么任何落体向下的加速度是一个常数g，g在地球表面附近的值为32英尺/秒2。如果一个物体由静止开始下落，那么在时间间隔τ后它的向下速度将是gτ。因此，如果水滴1和水滴2在时刻t1和时刻t2，由静止开始从同一水管落下，则在之后的某一时刻t，两水滴的向下速度分别为v1=g（t – t1）和v2=g（t – t2）。于是两者的速度差异是v1 - v2=g（t - t1） - g（t - t2）= g（t2 - t1）
虽然v1和v2都随着时间的增加而增加，但其差值与时间t无关，因此水滴之间的间距s完全与时间成正比：s =（v1 - v2）t=gt（t2 - t1）
例如，如果第二滴水比第一滴晚0.1秒离开水管，第一滴水滴下0.5秒后，两水滴相距32×0.5× 0.1=1.6英尺。
8. 反射
亚历山大的希罗对反射定律的推导，是用数学方法从更深入、更一般的原理推导得到物理原理的最早例子之一。假定一个位于A点的观测者通过镜面反射看到位于B点的对象，如果观测者是在镜面P点看到对象，那么光线必须从B经由 P到达A（希罗的说法可能会是，光线从观测者射向镜面，然后到达位于B点的对象——仿佛视力是一种从眼到物的接触，但这对下面的论证没有影响。）关于反射的问题是：P位于镜面上何处？
为了回答这个问题，希罗假定光线总是取最短路径。对于反射，这意味着P的位置应使从B 经由P到A的路径，是从B经由镜面上任意一点到A的路径中最短的一条。由此，他得出的结论是，镜面与反射光线（从A到镜面的线）之间的角度θr，等于镜面与入射光线（从B到镜面的线）之间的角度θi。
图8–1 希罗定理的证明
该定理指出，从位于B点的对象经由镜面到达位于A点的观察者眼睛的最短路径，是使角度θi与θr相等的那一条。带有箭头的实线表示光线的路径；水平线是镜面；虚线BB‘与镜面垂直，点B与点B’分别位于镜面两侧，且它们到镜面的距离相等以下是对反射角等于入射角法则的证明。由镜面前的B到镜面后的B‘作一条垂直于镜面的直线，B 与B’点到镜面的距离相等（见图8–1）。假设这条线与镜面在C点相交，直角三角形B'CP的两直角边B'C和CP分别与直角三角形BCP的两直角边BC和CP长度相等，所以两个三角形的斜边B'P和BP的长度也必定相等。因此，光线从B经由P到A的距离，等于假设光线从B‘经由P到A的距离。B’与A之间的最短距离是一条直线，所以，使观测对象与观测者之间的总距离最小的路径，要求P位于B‘与A之间的直线上。两条直线相交时形成的对顶角相等，所以B'P与镜面之间的角度θ等于反射光线与镜面之间的夹角θr。又因为两个直角三角形B'CP和BCP有公共边CP，θ必定等于入射线BP与镜面之间的夹角θi。所以，既然θi和θr都等于θ，它们也相等。这就是反射角等于入射角的反射定律，它确定了物体在镜面上的映像位置P。
9. 浮体与浸没物体
阿基米德在其杰作《论浮体》中假定，当物体漂浮在水面或悬浮在水中时，倘若相同深度相同面积的水被不同的重量按压，那么水和物体将发生移动，直到给定深度的所有相同面积的水被相同的重量按压为止。根据这一假设，他导出了关于浮体和浸没物体的一般结果，其中有一些甚至具有现实意义。
首先，考虑一个重量小于同等体积水的重量的物体（如船舶），该物体会漂浮在水的表面，排开一定重量的水。如果我们在浮体下一定深度处设一个水平标识面，其面积等于物体在水线处的面积，那么压在这个标识面上的重量等于浮体的重量加上这个标识面以上的水的重量，但不包括被物体排开的水的重量，因为这部分水已不再压在这个标识面上。我们可以把它与远离浮体位置、但压在同样面积、同样深度的标识面上的重量相比较。这个重量当然不包括浮体的重量，而只是从标识面到水平面的全部水的重量。为使两个标识面都被同样的重量按压，浮体排开的水的重量必定等于该浮体的重量。这就是为什么船舶的重量被称为排水量。
接下来考虑一个重量大于同体积水的重量的物体。这样的物体不会漂浮在水面，但可以用缆绳悬于水中。如果把缆绳连接到天平的一臂，就可以测量物体浸没在水中时的表观重量W表观。一个直接位于悬浮体下方的标识面所承受的重量，将等于悬浮体的真实重量W真实减去表观重量W表观（它被缆绳张力所抵消），加上该标识面以上水的重量，这当然不包括被物体排开的水。我们可以将其与压在相同面积、相同深度的水的重量相比较，这个重量不包括W真实或– W表观，但包括从标识面到水平面的所有的水的重量，因为没有水被排开。为使两个标识面被同样的重量按压，必须有W真实 - W表观=W排水
其中W排水是被悬浮体排开的水的重量。所以，通过称量悬浮体在水中和水外的重量，我们可以得到W表观和W真实，并由此得出W排水。如果物体的体积为V，则W排水=ρ水V
其中ρ水是水的密度（单位体积的重量），接近每立方厘米1克。（当然，对于一个形状简单的物体如立方体，我们可以通过测量物体的尺寸来求得V，但这对于一个类似于皇冠的不规则物体则十分困难。）此外，物体的真实重量是W真实=ρ物体V
其中ρ物体是物体的密度。在W真实和W排水的比值中体积相互抵消，因此通过测量W表观和W真实，我们能求得物体和水密度之比为：这个比值被称为构成物体材料的“比重”。例如，如果物体重量在水中比在空气中少20%，则W真实–W表观=0.20×W真实，因此它的密度必定是水的1 / 0.2=5倍。也就是说，它的比重为5。
在这个分析中，水没有什么特殊性：如果对悬在某种其他液体中的物体进行相同的测量，那么根据物体真实重量与它悬浮在液体中时减少的重量之比，可得出物体密度与液体密度之比。利用这一比例关系，可通过将某一重量和体积已知的物体悬于不同的液体中来测量不同液体的密度。
10. 圆的面积
为了计算圆的面积，阿基米德设想一个有许多条边的多边形外切于一个圆。为简单起见，让我们考虑一个正多边形，它的所有边和角均彼此相等。多边形的面积，是从中心到多边形顶点的连线，和从中心到多边形各边中点的连线所构成的所有直角三角形面积的总和。（见图10–1，其中的多边形为正八边形。）直角三角形的面积为两直角边乘积的一半。这意味着每个三角形的面积是中心到边的中点的距离r（也就是圆的半径）与边的中点到最靠近多边形顶点的距离s（当然就是多边形该边长度的一半）的乘积的1/2。把所有这些面积加总求和，我们发现整个多边形的面积等于r的一半乘以多边形的总周长。如果我们让多边形的边数趋于无穷，其面积将趋于圆的面积，周长将趋于圆的周长。所以圆的面积等于圆周的一半乘以半径。
用现代术语表述，我们定义数字π=3.14 159…，使半径为r的圆的周长为2πr，于是圆的面积为1/2×r×2πr =πr2
如果我们使多边形内接于一个圆，而不是如图10–1所示的外切于一个圆，以上论证依然成立。由于圆总是在它的外切多边形和内接多边形之间，阿基米德利用这两种类型的多边形得出了圆的周长与半径之比（即2π）的上下限。
图10–1 圆的面积的计算
在此计算中，一个有许多条边的多边形外切于一个圆。图中的多边形有8条边，其面积已经比较接近圆的面积。随着越来越多的边添加到多边形中，其面积也将越来越接近圆的面积11. 太阳和月球的大小与距离
阿利斯塔克根据4个观测结果，以地球的直径为参照，确定了日地和地月距离，以及太阳和月球的直径。让我们依次审视每个观测结果，看看可以学到些什么。下文中的ds和dm分别指日地距离和地月距离，Ds、Dm和De分别指太阳、月球和地球的直径。我们假定直径与距离相比可以忽略不计，因此，提及地月或日地距离时，无须指定从地球、月球或太阳的哪一点上算起。
图11–1 阿利斯塔克在计算太阳和月球的大小和距离时用到的4个观测结果（a）半月时，地球、太阳和月球构成一个直角三角形。（b）日全食时，月球恰好遮住太阳圆盘。（c）月食时，月球进入地球的阴影。在月球的位置恰好填满地球本影的球体，其半径为月球半径的两倍，P是地球阴影的终点。（d）对月球视线的张角为2°（实际张角约0.5°）
观测结果1
半月时，月球与太阳的角距为87°。
半月时，地月连线和日地连线之间的夹角必定为90°[见图11–1（a）]，因此由日月、地月和日地连线构成的三角形为直角三角形，以日地连线为斜边。直角三角形中θ角的邻边与斜边之比是一个三角量，称为θ角的余弦，简称为cosθ，可通过查表或用任何科学计算器求得。所以我们有dm/ds=cos 87°=0.05 234=1/19.11
该观测结果表明，日地距离是地月距离的19.11倍。由于不知道三角学，阿利斯塔克只能得出结论称，这个数字在19和20之间。（该角度其实不是87°，而是89.853°，日地距离实际上是地月距离的389.77倍。）
观测结果2
日食时，月球看起来正好覆盖太阳。
这表明，太阳和月球有着基本相同的视尺寸，也就是说，由地球到太阳圆盘两侧视线的张角与对月球的一样[见图11–1（b）]。这意味着由这两条视线分别与太阳和月球的直径构成的三角形是相似的，即具有相同的形状。因此，这两个三角形对应边的比值相同，所以Ds/Dm=ds/dm
由观测结果1得出Ds/Dm=19.11，但两直径的实际比值非常接近390。
观测结果3
月食时，地球的影子在月球的位置正好能够容纳两倍于月球直径的球体。
设P是地球阴影锥的结束点。于是我们得到三个相似的三角形：由太阳的直径和从太阳圆盘的边缘到P的连线构成的三角形；由地球的直径和从地球圆盘的边缘到P的连线构成的三角形；由位于月食时月球位置的两倍于月球直径的一个球体的直径和其圆盘边缘到P的连线构成的三角形[见图11–1（c）]。因此，这些三角形相应边的比例都是相等的。假设P点与月球相距do，则太阳与P点相距ds ＋ dm＋ do，而地球与P点相距dm ＋ do，所以接下来就是代数问题了。根据第二个方程求解，得到：将该结果代入第一个方程且两边同时乘以DeDs （De – 2Dm），得到（ds ＋ dm）De（De – 2Dm）=dmDs（De – 2Dm） ＋ 2Dmdm（Ds – De）
右边的dmDs×（–2Dm）与2DmdmDs相互抵消。右端项的其余部分有一个共同因子De，它与左端项中的De相互抵消，我们可以得到De的表达式：如果我们现在应用观测结果2得出的ds/dm=Ds/Dm，上式可以完全用直径表达为：如果我们使用前面的结果Ds/Dm=19.1，将得到De/Dm=2.85。阿利斯塔克给出的范围是108/43≈2.51～60/19≈3.16，而2.85恰好在该区间内。现代测度到的实际值为3.67。尽管阿利斯塔克算出的Ds/Dm值很不精确，但他得出的De/Dm却相当接近实际值，其原因是如果Ds ＞＞ Dm，则De/Dm的结果受Ds的精确度影响不大。事实上，如果我们在分母中完全忽略远小于Ds的Dm，那么所有对Ds的依赖性完全消失，我们将直接得出De=3Dm，而这也与真实情况相去不远。
具有更重大的历史意义的一点是，如果把结果Ds/Dm=19.1和 De/Dm=2.85相结合，我们将得到Ds/De=19.1/2.85=6.70。实际值是Ds/De=109.1，但重要的是，人们了解到太阳比地球大得多。阿利斯塔克通过比较体积而不是直径，强调了一点；如果直径比为6.7，那么体积比为6.73=301。如果我们相信阿基米德的话，那么正是这个比较使阿利斯塔克认为是地球绕着太阳转，而不是太阳绕着地球转。
目前所描述的阿利斯塔克的结果给出了太阳、月球和地球直径之间的所有比值，以及日地距离与地月距离之比。但目前为止还没有任何距离与任何直径之间的比值，这将由观测结果4提供。
观测结果4
月球的张角为2°。
[见图10–1（d）]由于一周为360°，半径为dm的圆的周长为2πdm，所以月球的直径为阿利斯塔克算出Dm/dm的值在1/30 ≈ 0.033 ～ 2/45 ≈ 0.044之间。不知何故，他现存的著作中大大高估了月球的张角——远大于实际值0.519°，而由之可得到Dm/dm=0.0090。我们在第八章中已指出，阿基米德在《数沙者》中给出的月球视角值为0.5°，相当接近真实值，据此可以得到月球直径距离比的一个相当精确的估计。
根据由观测结果2和3得到的地月直径之比De/Dm，以及由观测4得出的月球的直径距离比Dm/dm，阿利斯塔克得到了月球距离与地球直径之比。例如，取De/Dm=2.85，Dm/dm=0.035，则（实际值约30）结合观测1中日地和地月距离之比ds/dm=19.1，求得日地距离与地球直径之比为ds/De=19.1×10.0=191。（实际值约11 600。）接下来的任务是测量地球直径。
12．地球的大小
埃拉托色尼利用了夏至日正午的观测结果估计了地球的大小。在夏至日正午，太阳相对亚历山大的位置偏离竖直线1/50个整圆（即360°/50=7.2°），而在位于亚历山大南面的赛伊尼，夏至日正午时的太阳在头顶正上方。由于太阳十分遥远，射向亚历山大和赛伊尼的光线基本上是平行的。任何城市的竖直方向都是由地球中心到该城市连线的延续，所以从地球中心到亚历山大和赛伊尼的连线之间的角度也必定为7.2°，或1/50个整圆（见图12–1）。因此，根据埃拉托色尼的假设，地球的周长必定是亚历山大和赛伊尼之间距离的50倍。
赛伊尼不在地球的赤道上，而是靠近北回归线——北纬23.5°线。（也就是说，地球中心到北回归线上任意点的连线，与地球中心到该点正南方赤道上的点的连线的角度是23.5°。）夏至日正午，太阳在北回归线的正上方，而不是在赤道的正上方，因为地球的旋转轴不垂直于其轨道平面，而是倾斜23.5°。
图12–1 埃拉托色尼用以计算地球大小的观测结果标有箭头的水平线表示夏至日的太阳光线。虚线由地球中心引向亚历山大和赛伊尼，并标识每处的竖直方向13. 内行星和外行星的本轮
托勒密在《天文学大成》中提出了一个关于行星运动的理论，根据该理论的最简版本，每颗行星在一个称为“本轮”的圆周上运行，而本轮中心又在均轮上绕地球转动。我们面临的问题是，为什么该理论能够与从地球上看到的行星视运动高度吻合。对这一问题，就内行星（水星和金星）而言的答案，不同于就外行星（火星、木星和土星）而言的答案。
首先考虑内行星——水星和金星。根据现代理解，地球和各大行星都在距太阳大致恒定的距离以大致恒定的速度围绕太阳运行。如果不考虑物理定律，我们也可以认为地球是中心。根据这一观点，太阳围绕地球转，其他各大行星围绕太阳转，均保持恒定的速度，相距恒定的距离。这是第谷理论的一个简单版本，也有可能被赫拉克利德提出过。它准确地解释了行星视运动，只需要做一些基于以下事实的微小修正：行星的运行轨道实际上不是圆，而是接近圆的椭圆；太阳并不位于这些椭圆的中心，而是稍微偏离；每颗行星在轨道上绕行时，速度稍有改变。这也是托勒密理论的一个特例，虽然托勒密从未考虑过，在这个版本的理论中均轮无非就是太阳围绕地球运行的轨道，而本轮是水星和金星围绕太阳运行的轨道。
就天空中太阳和行星的视位置而言，我们可以将任何行星到地球的处于变动中的距离乘以一个常数，而不引起观测结果的改变。例如，为水星和金星分别选择一个常数因子，再将二者的本轮和均轮的半径分别乘以该因子。比方说，我们可以取金星均轮的半径为日地距离的一半，而本轮半径是金星绕日轨道半径的一半。这不会改变行星本轮的中心总是在日地连线上的事实。[见图13–1（a），它表示了一颗内行星的本轮和均轮，但未按比例绘制。]只要我们不改变每颗行星均轮和本轮的半径之比，金星和水星在空中的视运动便不会因这种变化而改变。这是托勒密关于内行星理论的简单版本。根据这一理论，行星在本轮上绕行的时间，与它实际上绕太阳一周的时间相同——水星需88天，金星需225天，而本轮中心随太阳一起围绕地球运行，在均轮上完成完整一周需耗时一年。
特别说明一点，由于我们没有改变均轮和本轮的半径比，所以r本轮/r均轮=rP/rE
其中r本轮和r均轮分别是托勒密方案中本轮和均轮的半径，而rP和rE分别是哥白尼理论中行星和地球轨道的半径（也可以看作是第谷理论中行星围绕太阳和太阳围绕地球运行的轨道半径）。当然，托勒密并不知道第谷或哥白尼的理论，他没有用这种方式导出他的理论。以上讨论只是为了说明托勒密理论如此见效的原因，而不是说明他导出其理论的过程。
图13–1 托勒密本轮理论的一个简单版本（a）一颗内行星（水星或金星）的假想运动。（b）一颗外行星（火星、木星或土星）的假想运动。行星P在本轮上绕C运行一年，从C到P的线总是平行于日地连线，而C点在均轮上绕地球运行较长时间（虚线表示托勒密理论中一个等同于哥白尼理论的特例。）
现在，让我们考虑外行星——火星、木星或土星。在哥白尼（或第谷）理论的最简版本中，每颗行星不仅与太阳之间的距离不变，与空间中一个移动的点C‘之间的距离也保持固定，而C’到地球的距离始终不变。为了找到这一点，画一个平行四边形[见图13–1（b）]，它的前三个环绕该点的顶点，依次是太阳的位置S，地球的位置E，和一颗行星的位置P‘。运动点C’是平行四边形的第4个空角。由于E和S之间连线的长度固定，而P‘和C’之间的连线是ES连线在平行四边形中的对边，所以其长度固定且与前者相等，因此，行星与C‘的距离——即日地距离——保持固定。同样，由于S和P’之间的连线有固定的长度，E和C‘之间的连线是SP’连线在平行四边形中的对边，所以其长度固定且与前者相等，所以C‘点与地球的距离保持固定，等于行星到太阳的距离。这是托勒密理论中一个从未被他考虑过的特例，其中均轮就是C’围绕地球运行的轨道，而本轮是火星、木星或土星围绕C‘运行的轨道。
需要重申的是，就天空中太阳和行星的视位置而言，我们可以将任何行星到地球的处于变动中的距离乘以一个常数，而不引起观测结果的改变。也就是说，我们可以为每颗外行星分别选择一个常数因子，将其本轮和均轮的半径分别乘以该因子。尽管没有了平行四边形，但行星和C之间的连线依然与日地连线保持平行。这种变化不会改变每个外行星在天空中的视运动，只要我们不改变其均轮和本轮的半径比即可。这是托勒密外行星理论的一个简单版本。根据这一理论，行星在本轮上围绕C运行一周耗时1年，而C在均轮上运行的时间，实际上是行星绕太阳一周的时间：火星是1.9年，木星是12年，土星是29年。
特别说明一点，由于我们没有改变均轮和本轮的半径比，所以r本轮/r均轮=rE/rP
其中r本轮和r均轮分别是托勒密方案中本轮和均轮的半径，而rP和rE分别是哥白尼理论中行星和地球轨道的半径（也可以看作是第谷理论中行星围绕太阳和太阳围绕地球运行的轨道半径）。当然，托勒密并不知道第谷或哥白尼的理论，他也没有用这种方式导出他的理论。再次说明，以上讨论所述不是托勒密导出其理论的过程，而是该理论如此见效的原因。
14. 月球的视差
假设从地球表面O点观测月球，视线的方向与O点的天顶所成角度为ζ‘。月球绕地球中心做平稳规则的运动，故利用对月球重复观测的结果可以计算在同一时刻从地球中心C到月球中心M 的方向，特别是计算从C 到月球的方向与O的天顶的方向（即从地球中心到O的连线的方向）之间的角度ζ。角度ζ和ζ’略有不同，因为地球半径 re与地球中心到月球的距离 d 相比并不能完全忽略不计，根据这一差异，托勒密得以计算比值 d/re。
图14–1 利用视差来测量到月球的距离
这里ζ‘是到月球的视线和竖直方向之间的角度，ζ是假设从地球中心观测月球所得到的角度C、O和M点构成一个三角形，其中在C点的角度为ζ，在O点的角度为180°– ζ‘，因为任何三角形的内角之和为180°，所在M点的角度为180°– ζ –（180°– ζ’）= ζ‘– ζ（见图14–1）。应用现代三角学中的一条定理——任意三角形的边长与其对角的正弦成正比（正弦这一概念将在技术札记15中讨论），我们可以由这些角度计算比值d/re，该方法比托勒密的方法容易得多。长度为 re 的由C 到 O的连线的对角是ζ’ – ζ，而长度为 d 的由C 到 M 的连线的对角是180° – ζ‘，所以135年10月1日，托勒密从亚历山大观测到月球的天顶角ζ‘=50°55'，他的计算表明，在同一时刻，从地球中心观测的相应角度ζ= 49°48'。相应的正弦是sinζ‘=0.776 sin（ζ’ - ζ）=0.0195
托勒密以此得出结论：以地球半径为单位，从地球中心到月球的距离是这一数值大大低于平均值约为60的实际值。症结在于托勒密并不精确地知道差值ζ‘ – ζ，但这至少很好地提示了地月距离的数量级。
无论如何，托勒密的工作比阿利斯塔克的更为出色，后者根据地月直径比值以及地月距离与月球直径的比值，得以推断出d/re 在57/4 ≈ 14.3～215/9 ≈ 23.9。但如果阿利斯塔克对月球圆盘的角直径取值正确，即取约0.5°，而不是2°，他将得到4倍于初始值的d/re值，即57.2～95.6，而真实值就在这一区间内。
15. 正弦及弦
如今在高中教授的数学的一个分支——三角学，对古代数学家和天文学家来说十分有用。给出直角三角形的任一角度（除直角之外），便可通过三角学计算各边长度的比值。例如，对边除以斜边的值被称为该角度的“正弦”，可通过查表或在计算器中输入角度值并按“sin”键得到。（三角形某角的邻边除以斜边是该角的余弦，对边除以邻边是该角的正切，但这里只用正弦就够了。）虽然在希腊化数学中没有出现过正弦这一概念，但托勒密在《天文学大成》中用到了一个相关的量——角度的“弦”。
为了定义一个角度θ的弦，可以画一个半径为1（或者任何你觉得方便的长度单位）的圆，并从圆心向圆周画两条间隔为θ的径向线。这个角度的弦就是径向线与圆周的两个交点的连线的长度（见图15–1）。《天文学大全》中给出的弦表[6]采用的是巴比伦的六十进制，其角度以弧的度数表示，从0.5°到180°。例如45°的弦为45 55 19，用现代符号表述为而45°的弦的真实值为0.7 653 669…
弦在天文学中有着自然的应用。设想星星镶嵌在一个以地球为中心的半径为1的球面上，如果到两颗星的视线夹角为θ，两星间的视直线距离便是θ的弦。
要了解这些弦与三角函数的关系，让我们回到角度θ的弦的定义图，从圆心画一条正好平分弦的线（图15–1中的虚线），于是我们得到两个直角三角形，二者都在圆心处有一个中心角等于θ/2，且该角的对边长度为弦长的一半。这些三角形的斜边是圆的半径，已取为1，所以θ/2的正弦是θ的弦的一半，或：θ的弦= 2sin（θ/2）
因此，任何利用正弦做的计算也可以用弦来做，只是在大多数情况下不甚方便。
图15–1 角度θ 的弦
图中圆的半径为1。两条实径向实线在圆的中心构成一个角度θ；在这两条线与圆周的交点之间作水平连线，这条线的长度就是θ的弦16. 地平线
在室外，我们的视线常常会被附近的树木、房屋或其他障碍物遮挡。晴朗的日子里，我们可以从山顶看到很远的地方，但视野范围仍受限于地平线，超过地平线的视线会被地球本身阻挡。阿拉伯天文学家比鲁尼想出了一个聪明的方法，只需要知道山的高度，便可以此测量地球的半径。
图16–1 比鲁尼用地平线来测量地球的大小O是位于高度为h的山上的一位观察者，H是这位观察者所看到的地平线，从H到O的直线与地球表面相切于H，因此它与从地球中心到H的连线成直角山顶上的观察者O可以看到地球表面上的点H，他的视线在该点与地球表面相切（见图16–1）。这条视线与点H到地球中心C的连线成直角，所以三角形OCH是直角三角形。从山顶望向地平线的视线不完全水平，而是向下偏离θ角度，这个角度很小，因为地球体积巨大且地平线距离遥远。视线与山的竖直方向之间的角度是90°– θ，由于任意三角形的内角和为180°，因此该三角形位于地球中心的内角角度是180°– 90° – （90°– θ ）=θ。该角在这个三角形中的邻边是从 C 到 H 的线段，其长度是地球半径，而三角形的斜边的长度是从C 到O的距离r ＋ h，这里h是山的高度。根据余弦的一般定义，任意角的余弦是邻边与斜边之比，于是我们可得求解该方程时，注意到它的倒数是1 ＋ h/r=1/cosθ，将等式两边同时减1，整理后可得例如在印度的一座山上，比鲁尼发现θ=34'，于是有cosθ=0.999 951 092，1/cosθ – 1=0.0 000 489。因此，r=h/0.0 000 489=20 450 h比鲁尼指出，这座山的高度是652.055肘（远高于他可能达到的精确度），由此得出的正确值应为 r=0.133亿肘，而他给出的结果却是0.128亿肘。比鲁尼在哪里出了错，我无从得知。
17.平均速度定理的几何证明
假设建立一个坐标系，纵轴为速度，横轴为时间，在坐标系中绘出匀加速运动中速度随时间的变化图。图像将是一条直线，从零时刻的零速度上升到最终时刻的最终速度。在每一个微小的时间区间，经过的距离都是当时的速度（如果区间足够小，该时间区间内的速度变化可以忽略不计）与时间区间的乘积。也就是说，经过的距离等于一个矩形的面积，其高度是图线的高度，而宽度是微小的时间区间[见图17–1（a）]。我们可以用这些从最初时刻到最终时刻排列的细长的矩形填满图线下的面积，而物体经过的总距离便是所有这些矩形的总面积，也就是图线下的面积[见图17–1（b）]。
当然，无论我们把矩形画得多窄，矩形面积的总和都只是近似图线下方的面积。但我们可以使这些矩形要多窄便有多窄，从而使这两个值要多近似便有多近似。通过想象无穷个无限窄的矩形的极限，我们可以得出这样的结论：匀加速物体经过的距离等于速度—时间图线下的面积。
到目前为止，即便加速度不均匀，以上陈述仍然适用，只是图线将不再是一条直线。事实上，我们刚刚推导出了微积分的基本原则：做任意量对时间改变率的曲线，则该量在任意时间区间内的变化便是曲线下的面积。对均匀增加的改变，如匀加速情况，该面积可由一个简单的几何定理算出。
图17–1 平均速度定理的几何证明
斜线表示由静止开始做匀加速运动物体的速度相对于时间的变化。（a）小矩形的宽度是一个很短的时间区间，矩形的面积接近这一时间区间内物体经过的距离。（b）匀加速时段被分割为许多微小的时间区间，随着矩形数目的增加，矩形面积的总和无限接近斜线下方的面积。（c）斜线下方的面积是所用时间和最终速度乘积的一半该定理指出，直角三角形的面积是直角的两条邻边（即除斜边之外的两边）乘积的一半。这一结果可以直接从以下事实得到：把两个这样的三角形拼在一起构成一个矩形，其面积是两边的乘积[见图17–1（c）]。在这里，两条直角边分别是最终速度和总时间。经过的距离是这个直角三角形的面积，即最终速度与总时间乘积的一半。但是由于速度从零开始，其平均值是其最终值的一半，所以物体经过的距离是平均速度乘以时间。这就是平均速度定理。
18.椭圆
椭圆是平面上的一条封闭曲线。精确描述这条曲线的方式至少有三种。
图18–1 椭圆的元素
椭圆中的黑点是它的两个焦点；a和b分别是该椭圆长轴和短轴的一半；从每个焦点到椭圆中心的距离均为ea。从两个焦点到椭圆上一点P的距离r＋ 和r– 的总和等于2a。图中椭圆的偏心率为e≈0.8
定义I
椭圆是平面上满足以下方程的点的集合
这里的x是椭圆上任一点沿一根坐标轴到椭圆中心的距离，y是同一点沿垂直于第一根轴的坐标轴到中心点的距离，a和b是表示椭圆大小和形状的正数，习惯上定义a ≥ b。为了方便描述，可设想x轴水平而y轴竖直，当然，它们可以位于任何相互垂直的方向。根据方程（1）可知，椭圆上任一点到中心（x=0， y=0）的距离r=满足所以椭圆上各点均有
在椭圆与水平轴的交点有y=0，故在该点有x2=a2，x =±a；于是方程（1）描述了长轴沿水平方向从–a到 ＋a的一个椭圆。同时，在椭圆与竖直轴的交点有x=0，故y2=b2，y=±b；于是方程（1）描述了短轴沿竖直方向从–b 到 ＋b的一个椭圆（见图18–1）。参数a称为“椭圆的半长轴”。因此，我们通常将椭圆的离心率定义为一般来说，离心率介于0和1之间。e=0的椭圆是半径为a=b的圆；e=1的椭圆被完全压扁，只是水平轴y=0上的一段。
定义II
椭圆的另一个经典定义是，平面上到两个固定点（椭圆的焦点）的距离之和为常数的点的集合。对于方程（1）中定义的椭圆，这两点位于x=±ea，y=0，这里的e是方程（3）中定义的离心率。满足方程（1）的椭圆上的各点到这两点的距离为所以其和确实是常数：
r＋ ＋ r–=2a （5）
这个定义可以看作是圆的经典定义（到某一点距离相同的点的集合）的推广。
因为椭圆的两个焦点完全对称，椭圆上各点到两焦点的平均距离r¯＋和r¯–（椭圆上每一给定长度线段的等权平均值）必定相等：r¯＋= r¯–，因此根据公式（5）可得这也是椭圆上各点到两焦点的最大和最小距离的平均值：定义III
佩尔加的阿波罗尼奥斯对椭圆的原始定义为圆锥曲线，即一个倾斜于圆锥轴的平面与圆锥相交得到的截面。用现代术语表述，轴线在竖直方向的圆锥面，是三维空间中满足以下条件的点的集合：圆锥面圆形横截面的半径正比于竖直方向上的距离，可以用下面的表达式表示这里的 u 和 y 是在两个相互垂直的水平方向上的距离，z是竖直方向上的距离，α是确定锥面形状的一个正数。（我们采用u而不是x作为一个水平坐标的理由，会在下文予以说明。）锥面的顶点在z=0，在此u=y=0。锥面被一个倾斜平面切割的交线，可以被定义为满足以下条件的点的集合：z=βu ＋ γ （9）
