β和γ分别表示该平面的倾斜度和高度。（我们定义的坐标系使该平面平行于y轴。）将方程（9）和方程（8）平方后合并得到u2＋ y2= α2（βu ＋ γ）2
或等价地
它其实与定义方程式（1）相同，如果我们取由此我们将会得到e=αβ，所以偏心率取决于圆锥面的形状和切割平面的倾斜程度，而不取决于平面的高度。
19.内行星的距角[7]与轨道
哥白尼的一项伟大成就，是确定了行星轨道相对大小的数值。举一个特别简单的例子，哥白尼根据内行星到太阳的最大视距离计算出其轨道半径。
图19–1 地球与一颗内行星（水星或金星）在其与太阳成最大视角时的位置圆周分别是地球和行星的轨道
考虑一颗内行星（水星或金星）的轨道，我们可以近似地认为其轨道与地球的轨道一样，都是以太阳为中心的圆周。在所谓的“大距”，行星出现在相对太阳的最大角距离θ max处。此时，从地球到行星的连线与行星轨道相切，所以该线与太阳和行星之间连线的夹角是直角。这两条线和日地连线构成一个直角三角形（见图19–1）。该三角形的斜边是日地连线，所以行星与太阳的距离rP及日地距离rE之比是θmax的正弦。下表列出水星和金星的大距及其正弦，以及各自的实际轨道半径rP（以地球的轨道半径rF为单位）：表19–1 水星和金星的大距及其正弦，以及实际轨道半径（以地球的轨道半径为单位）
大距θ max θ max的正弦 rP/rE水星 24° 0.41 0.39
金星 45° 0.71 0.72
θmax的正弦与所观测到的内行星和地球轨道半径比值rP/rE之间之所以存在微小差异，是因为这些轨道不是以太阳为中心的完美圆周，同时这些轨道不是精确地位于同一平面。
20.周日视差
考虑一颗“新星”或一个其他对象，它在一天中相对于恒星或是静止，或是移动极少。假定它到地球的距离比恒星到地球的距离近得多，又假定地球每天围绕其轴线自东向西自转一周，或者该对象与恒星每天围绕地球自西向东旋转一周，无论在哪一种情况下，由于我们看到的对象在晚上不同时间位于不同方向，其位置似乎每晚都相对于恒星有所变动，这就是所谓的“周日视差”。周日视差的测量可用于确定该对象的距离；如果周日视差太小而无法测量，也可据此给出距离的下限。
为了计算这个角位移量，可在对象刚升到地平线之上时以及在空中最高点时，从地球上一个固定的天文台观测该对象相对于恒星的视位置。为了便于计算，考虑几何上最简单的情况：天文台在赤道，而对象在赤道所在的平面上。当然，这不能精确地给出第谷观测到的新星的周日视差，但它将表明这个视差的量级。
当该对象刚升到地平线之上时，天文台到该对象的连线是地球表面的切线，因此这条线与天文台到地球中心的连线构成一个直角。这两条线与对象到地球中心的连线构成一个直角三角形（见图20–1）。这个三角形在对象处的θ角的正弦等于其对边（地球的半径rE）与斜边（对象到地球中心的距离d）之比。如图所示，这个角度也是当对象刚升到地平线之上时以及在空中最高点时，它相对于恒星位置的视角差。对象刚升到地平线之上与刚落至地平线之下的总视角变化为2θ。
图20–1 利用周日视差测量地球到某个对象的距离d这里的观测点在地球北极上方。为了简单起见，假设观测者位于赤道上，而对象位于赤道所在的平面上。夹角为θ 的两条线，分别对应于对象刚出现在地平线之上以及6小时后出现在观测者正上方时的观察视线例如，如果我们取对象距离为地月距离，则d ≈ 25万英里，rE ≈ 4000英里，故sinθ ≈ 4/250，θ ≈ 0.9°，因此周日视差是1.8°。从地球上一个典型位置如汶岛，到天空中一个典型位置如1572年新星所在处的对象，周日视差较小，但仍有相同的数量级，大概为1°。对第谷这样一位裸眼天文学观测专家而言，本应能够察觉这样的周日视差，但第谷并未觉察到，所以他得出结论：1572年时的新星要比月球距地球远得多。另一方面，测量月球本身的周日视差毫无困难，地月距离正是用这一方法求出的。
21. 等面积法则及对位点
根据开普勒第一定律，包括地球在内的所有行星，都在椭圆形轨道上绕日运行，但太阳并不在椭圆的中心，而是位于椭圆长轴上偏离中心的两个焦点之一（见技术札记18）。根据椭圆的离心率e的定义，每个焦点到椭圆中心的距离为ea，其中a是椭圆长轴长度的一半。同时，根据开普勒第二定律，行星在轨道上的速度不是恒定的，不断变动的速度会使太阳到行星的连线在相同时间内扫过相同面积。
第二定律还有一种不同的近似表达方法，它与托勒密天文学中对位点这一古老概念密切相关。我们不考虑太阳到行星的连线，而是考虑从椭圆的另一个焦点（空焦点）到行星的连线。某些行星轨道的偏心率e是不可忽略的，但所有行星的e2都非常小。（偏心率最大的是水星的轨道，e=0.206，e2=0.042；对地球而言，e2=0.00028。）所以，在计算行星运动时只保留与离心率e无关或与e成正比的项，但忽略所有正比于e2或e的更高次幂的项，将会得出很近似的结果。在这种情况下，开普勒第二定律相当于：空焦点到行星的连线在相同时间内扫过相同角度。也就是说，椭圆的空焦点到行星的连线围绕该焦点以恒定速率旋转。
下面我们特别说明，如果是太阳到行星的连线扫过面积的速率，是椭圆的长轴与空焦点到行星连线之间的角度ϕ的变化率，则有=2R/a2 ＋ O（e2） （1）
这里O（e2）表示与e2或e的更高次幂成正比的项，R是一个常数，其值取决于我们用来测量角度的单位。如果我们以度作为测量单位，则R=360°/2π=57.295…°，该角度被称为1弧度。我们也可以用弧度来测量角度，此时R=1。开普勒第二定律告诉我们，在给定时间区间内被太阳到行星的连线扫过的面积始终相同。这意味着，是常数，而如果忽略与e2同阶或更高价的项，则也是常数。所以在给定时间区间内，椭圆的空焦点到行星的连线扫过的角度在很大程度上近似相等。
在托勒密理论中，每颗行星本轮的中心在圆形轨道（均轮）上围绕地球旋转，但地球并非均轮的中心。轨道为偏心轮，地球位于离均轮中心很近的一点。此外，本轮中心绕地球旋转的速度并不恒定，地球到该中心的连线的旋转速度也不恒定。为了正确解释行星的视运动，托勒密引入了对位点。这是地球相对于均轮中心的对称点。从对位点（非地球）到本轮中心的连线在相同的时间内扫过相同的角度。
读者肯定会注意到，这与开普勒定律非常相似。当然，太阳和地球的作用在托勒密和哥白尼天文学中正好反过来，但椭圆的空焦点在开普勒理论中所起的作用与对位点在托勒密天文学中所起的作用相同，开普勒第二定律解释了为什么引入对位点可以更好地解释行星的视运动。
出于某种原因，虽然托勒密引入了偏心轮来描述太阳绕地球的运动，但他并没有在这种情况下应用对位点。通过引入这个最后的对位点（以及增加一些本轮来说明水星轨道对圆周的巨大偏离），托勒密的理论可以很好地说明行星的视运动。
以下是对方程（1）的证明。定义θ为椭圆长轴和太阳到行星连线之间的角度，根据前文所述，ϕ是椭圆的长轴与空焦点到行星连线之间的角度。按照技术札记18中的做法，将r＋ 和 r– 定义为这些线的长度，即分别为太阳到行星和空焦点到行星的距离，于是（根据该札记）有：r±= a±ex （2）
其中x是行星在椭圆轨道上的水平坐标，即由该点到沿短轴切割椭圆的线的距离。角的余弦（符号为cos）在三角学中借助一个直角三角形来定义：该角的邻边与三角形斜边之比。因此，参见图21–1我们会得出，由方程（3）中左边的表达式解出x：
然后把这一结果代入cos ϕ的公式，得到θ和ϕ之间的关系：图21–1 行星的椭圆运动
这里轨道的形状是椭圆，其偏心率为0.8，远远大于太阳系中任何其他行星轨道的偏心率。标有r＋ 和r– 的线分别是太阳到行星和椭圆空焦点到行星的连线不管θ取何值，该等式的两边均相等，因此，当θ改变时，等式左边的变化必定等于等式右边的变化。假定使θ改变一个无穷小量δθ。为计算ϕ的变化，我们需要应用微积分原理——当任何角度α（如θ或ϕ）改变δα时，cos α的变化是–δα sin α。同时，当任何数量f，如方程（5）的分母，改变一个无穷小量δf时，1/f 的变化是 –δf/f 2 [8]。令方程（5）两边的变化相等，我们得到：现在我们需要导出一个能够表示sin ϕ与sin θ之比的等式。从图21–1中可知，椭圆上的点的纵坐标y既可由y=r＋ sin θ表示，也可由y=r– sin ϕ表示，将其代入表达式消去y，可得：将其代入方程（6），得到
现在，当角度θ改变δθ时，太阳到行星的连线扫过的面积是多大呢？如果我们用度测量角度，那么这片区域的面积等于一个等腰三角形的面积，该三角形有两边均为r＋，第三边为半径为r＋的圆周2πr＋的一部分：2πr＋ ×δθ/360°。所以该部分的面积是：（这里插入了负号，因为我们希望ϕ增加时δA为正；但正如我们所定义的，ϕ增加时θ减小，所以当δθ为负时δϕ为正。）于是方程（8）可以写为取δA 和δϕ分别为在一个无穷小的时间区间δt内太阳与行星连线扫过的面积和角度，并把方程（10）除以δt，我们得出扫过面积和角度的速率之间的关系：到目前为止，一切都是精确的。现在让我们来考虑一下e很小时的情况。方程（11）第二部分的分子是（1 – e cosθ）2=1 – 2e cosθ ＋ e2 cos2θ，所以这个分数的分子和分母的零阶和一阶项相同，分子和分母的差异只出现在与e2成正比的项。于是方程（11）可简化为期望的结果，即方程（1）。为了更加确定，我们可以保留方程（11）中量级为e2的项：其中O（e3）指与e3和e的更高次幂成比例的项。
22. 焦距
考虑一块前侧是凸曲面、后侧是平面的竖直玻璃透镜，伽利略和开普勒都曾用这种透镜作为望远镜的物镜。最容易研磨的曲面是球面的一部分，我们将假设凸透镜的前侧是半径为r的球体的一部分，我们也将自始至终假定镜片很薄，其最大厚度远小于r。
假定一束光线在平行于透镜轴线的水平方向传播，到达透镜前面的P点，曲率中心C（在透镜之后）到P的连线与透镜的中心线成θ角。透镜使光线弯折，因此当光线从透镜后面射出时，它与中心线的夹角变为一个不同的角度ϕ。光线随后在某一点F与镜头的中心线相交[见图22–1（a）]。我们要计算从这一点到镜头的距离f，并说明它与θ无关，这样所有水平光线穿过透镜后将会聚到中心线上的同一点。因此我们可以说进入透镜的光线聚焦在F点，这一点到透镜的距离被称为透镜的焦距。
首先注意到，透镜前侧从中心线到P的弧是半径为r的整圆2πr的一部分θ/360°。对于薄透镜，由于θ和ϕ很小，所以该弧与半径为f的整圆2πf的一部分ϕ/360°相当接近。于是我们近似地有[9]
消去360° 和2π，可得
于是，为了计算焦距，我们必须计算ϕ与θ的比值。
为此，我们需要更为仔细地看一看光线在透镜内部的路径[见图22–1（b）]。曲率中心C到P点的连线在P点垂直于凸球面透镜表面，故该线与到达透镜的水平光线之间的角度（入射角）正好是θ。如托勒密所知，如果θ很小（对薄透镜而言确实如此），那么玻璃内的光线与垂直线之间的夹角α（折射角）与入射角成正比，所以，α=θ/n
其中 n > 1，是一个被称为“折射率”的常数，取决于玻璃和周围介质（通常是空气）的性质。（费马指出，n为空气中的光速除以玻璃中的光速，但此信息在这里并不需要。）于是，玻璃内部光线与透镜的中心线之间的夹角β可以表示为β=θ - α=（1 - 1/n）θ
这是当光线到达扁平背面时，它与扁平背面法线之间的夹角。另一方面，当光线从透镜背面射出时，它与背面法线之间的夹角是一个不同的角度ϕ。ϕ和β之间的关系与光线反向行进时完全一样——在后一种情况下ϕ是入射角而β是折射角，所以，β=ϕ/n，因此，ϕ=nβ=（n - 1）θ
于是我们看到ϕ简单地与θ成正比，将其代入f / r的公式，我们得到由上式可知，f与θ无关。所以正如上文的预期，所有进入透镜的水平光线都会聚焦到透镜中心线上的同一点。
如果曲率半径r很大，透镜前表面的曲率很小，那么这个透镜就近似于一块平板玻璃，光线进入透镜后的弯折几乎被离开透镜时的弯折所抵消。类似地，无论透镜的形状如何，如果折射率 n接近1，光线经过透镜后的弯折就很小。在这两种情况下，透镜的焦距都非常大，这样的透镜被称为弱透镜。强透镜具有中等曲率半径以及与1相差较大的折射率，例如用n ≈ 1.5的玻璃制成的透镜。
如果透镜的背面不是平面，而是一段半径为r‘的球面，类似的结果依然成立。这种情况下的焦距是如果r‘远大于r，将得到与此前相同的结果，此时透镜的背面几乎是平的。
焦距的概念还可以扩展到凹透镜，凹透镜曾被伽利略用作望远镜的目镜镜头。凹透镜可以把一束会聚的光线发散开来，使它们成为平行甚至发散的光线。考虑凹透镜把会聚光线转化为平行光线的情况，如果这束会聚光线不通过凹透镜，它将会聚于某一点，凹透镜的焦距就是该点到透镜后面的距离。虽然两者意义不同，但凹透镜焦距的公式与我们先前对凸透镜导出的公式相仿。
图22–1[10] 焦距
（a）焦距的定义水平虚线是透镜的轴线。标有箭头的水平线表示平行于该轴进入透镜的光线，其中一根光线经过点P。该光线与凸球面在点P的法线（通过曲率中心C）成一个小角度θ；该光线被透镜弯折后与透镜轴线成角度ϕ，并在镜头焦点F处与轴线相交，与透镜的距离为f。这就是焦距。由于ϕ与θ成正比，所有水平光线都聚集到这一点。（b）焦距的计算。图中表示的是透镜的一小部分，左边带阴影的实线表示透镜凸表面的一小部分。实线箭头表示光线在点P进入透镜的路径，在此处光线与凸曲面的法线成一个小角度θ。法线用虚线表示，这是点P到透镜曲率中心连线的一小段，曲率中心在图外。光线在透镜内折射后与法线成角度α，然后再次发生折射，离开透镜时与透镜扁平背面成角度ϕ。该法线用平行于透镜轴线的虚线表示23. 望远镜
正如技术札记22中所述，薄凸透镜将平行于其中心轴的入射光线，聚焦于该轴上的点F，点F与透镜的距离即为焦距f。一束与中心轴成一小角度γ的平行入射光线，也会被透镜聚焦，但会聚点会稍微偏离中心轴。为求出偏离幅度，设想将图22–1（a）中透镜周围的光线路径旋转γ角。于是焦点到透镜中心轴的偏离距离d与以 f为半径的圆周之比，等同于γ与360°之比：因此
（上式只对薄透镜成立，否则d也将取决于技术札记22中引入的角度θ。）如果光线从遥远的对象进入透镜的角度在Δγ范围内，则光线将集聚于高度为Δd的一条带中，Δd可以由下式表示，[同样，如果Δγ用弧度（等于360° /2π）衡量，这一公式可简化为Δd=f Δγ。]这条聚焦光线带被称为“虚像”[见图23–1（a）]。
图23–1[11] 望远镜
（a）一个虚像的形成。带箭头的两条实线表示以非常小的角度差别Δγ 分别射入透镜的两条光线。这两条光线（和其他平行光线）聚焦于距离透镜f处，在竖直方向有正比于Δγ 的间隔Δd。（b）开普勒望远镜的镜片。用箭头标识的实线，表示从远处对象进入弱凸透镜的光线路径。这些光线基本平行，它们被透镜聚焦到距透镜f处的一点，并从这一点开始发散；在通过强凸透镜后，光线发生弯折，进入眼睛时相互平行我们无法看到这一虚像，因为虚像形成后光线再度发散。若要使进入眼睛的光线束在放松的人眼视网膜上聚焦到一点，该光线必须与人眼中的晶状体基本平行。开普勒望远镜有另一个凸透镜，称为目镜，它能使从虚像发散的光线在离开望远镜时成为一束平行光线。若逆转光线的方向后重复上述分析，我们将看到，为了使从一个点光源发射的光线在离开望远镜时成为一束平行光线，目镜必须放置在距离虚像f‘处，其中f’是目镜的焦距[见图23–1（b）]。也就是说，望远镜的长度必须是各个透镜焦距的总和L=f ＋ f‘
设从光源的不同点发射的光线在Δγ‘范围内进入人眼，则该范围与虚像的大小有以下关系任何对象的视大小都正比于来自对象的光线与人眼所成的视角，因此，用望远镜观察物体时的视角与用肉眼观察物体时的视角的比值，就是望远镜的放大倍数：利用前文推导的关于虚像大小Δd的两个公式，我们得到放大倍数为若想得到相当大的放大倍数，望远镜前端的物镜必须比目镜弱得多，即f >>f‘。
但这并非易事。根据技术札记22中给出的焦距公式，焦距较短（f‘）的强玻璃目镜必定有较小的曲率半径，这意味着，曲面半径必须非常小，但透镜又不能很薄（即厚度远小于曲率半径），因为薄透镜不能很好地聚集光线。或者我们也可以用长焦距（f）的弱透镜作为前端的物镜，但在这种情况下，望远镜的长度L=f ＋ f’ ≈ f必须很大，那将会很不方便。伽利略花了一些时间来改进他的望远镜，使其放大倍数满足天文学应用。
伽利略的望远镜设计稍有不同，其中有一个凹透镜目镜。技术札记22中提到，放置在合适位置的凹透镜能将会聚光线弯折到平行方向，其焦距是如果没有镜片时光线的会聚点到镜片背面的距离。伽利略望远镜的前端是一个焦距为f的弱凸透镜，其后是焦距为f‘的强凹透镜，它位于若无凹透镜时所呈虚像之前，距离为f’。这种望远镜的放大倍数也是f / f‘的比值，但其长度只是f – f’，而不是f ＋ f‘。
24.月球上的山
月球的亮面和暗面被一条所谓的明暗界线隔开，在此阳光正好与月球球体表面相切。当伽利略将望远镜对准月球时，他注意到月球暗面靠近明暗界线处有亮斑，并将其解释为来自暗面山上的反光，这些山非常高，因此能被太阳照亮。通过类似于比鲁尼用来测量地球大小的几何架构，伽利略得以推断这些山的高度。做一个三角形，其顶点分别是月球的中心C，月球暗面正好能被阳光照亮的山顶M 和明暗界线上光线与月球表面相切的点T（见图24–1）。这是一个直角三角形，由于线段TM 与月球表面在T点相切，因此TM必定垂直于CT。CT的长度是月球的半径r，而TM的长度是山顶M到明暗界线的距离。如果山的高度是h，则CM（三角形的斜边）的长度是r ＋ h。根据勾股定理，我们有（r ＋ h）2= r2 ＋ d2
故
d2=（r ＋ h） 2 - r2=2rh ＋ h2
图24–1 伽利略测量月球上的山峰高度
标有箭头的水平线表示在明暗界线T处擦过月球表面的光线，光线到达高度为h的山顶M，与明暗界线的距离为d由于月球上任何一座山的高度都比月球的半径小得多，h2与2rh相比可以忽略不计。把方程两边除以2r2，得到因此通过测量山顶到明暗界线的视距离与月球视半径的比值，伽利略得出山高与月球半径之比。
伽利略在《星空信使》中记录道，他有时能看到月球暗面上的亮斑离明暗界线的视距离大于月球视直径的1/20，所以对于这些山有d/r > 1/10，因此根据以上公式我们可以得到，h/r > （1/10）2/2=1/200。伽利略估计月球的半径为1 000英里[12]，所以这些山至少有5英里高。（不知何因，伽利略给出的数字是4英里，但由于他试求的是山高的下限，也许这只是他的保守估计。）伽利略认为这些山高于地球上的任何一座山，但我们现在知道，地球上有高度接近6英里的山。伽利略的这一观测表明，月球上和地球上山的高度并无多大差异。
25. 重力加速度
伽利略证明了落体作匀加速运动，即其速度在每一相同时间区间内增加相同的数量。用现代术语表述，从静止开始下落的物体在时间t后的速度v与t成正比：v=gt
其中g是地球表面引力场的特征常数。虽然g在地球表面不同位置的数值略有不同，但都接近32英尺/秒2，即9.8米/秒2。
根据平均速度定理，物体由静止开始下落，经过时间t 后其下落的距离是v平均t，其中v平均是gt和零的平均值；换句话说，v平均=gt/2。因此，物体下落的距离是d=v平均t=1/2gt2
特别的，物体在第一秒下落的距离为g·（1秒）2 / 2=16英尺。在一般情况下，物体下落距离d所需的时间为我们还可以用一种更为现代的方式来看待这一结果。落体的能量等于动能项和势能项的总和。动能是其中m是物体的质量。势能是mg 乘以高度（从任意高度开始测量），所以如果物体从初始高度h0由静止开始下落距离d，那么E势能= mgh=mg（h0 – d）
因为d=gt2/2，所以总能量是一个常数：E=E动能= E势能= mgh0
假定能量守恒，我们可以进一步推导出速度与距离之间的关系。设E 在t=0时等于mgh0 ，此时v=0，h=h0，根据能量守恒，在任意时刻都有由此可得到v2/2=gd。由于v 是d 的增加率，因此我们可以写出确定d与t关系的微分方程。当然，我们知道这个方程就是d=gt2/2，由此可得v=gt。因此，我们可以利用能量守恒得到这些结果，而无须事先知道加速度是否均匀。
这是能量守恒的一个基本例子，它使得能量概念适用于各种不同的条件。特别值得注意的是，能量守恒说明了伽利略的球在倾斜平面上滚下的实验与自由落体问题的相关性，虽然伽利略并未使用能量守恒作为其论据。质量为m的球从平面上滚下，其动能是mv2/2，v在这里是球沿平面滚动的速度；球的势能为mgh，其中h仍然是高度。此外还有球旋转产生的能量，其表达式为其中r是球的半径，ʋ是球每秒的转数，ζ是一个取决于球的形状和质量分布的数。对于可能与伽利略实验相关的均匀实心球，ζ=0.4。（对于空心球，ζ=2/3。）球旋转一整圈经过的距离是2πr，因此，球在时间t 内转了ʋt 圈，经过的距离为d=2πrʋt，因此其速度是d/t=2πʋr。将其代入旋转能量的公式，我们得到将能量守恒方程（1）两边除以 m 和1 ＋ ζ 得到这与自由落体的速度和下落距离d=h0 – h之间的关系相同，只是 g被g /（1 ＋ ζ）代替。除此之外，沿斜面滚下的球的速度与经过的竖直距离的关系，与自由落体的相同。因此，对于沿斜面滚下的球的研究可以用来验证自由落体确实经历匀加速。但除非考虑因子1 /（1 ＋ ζ），否则不能以此来测量加速度。惠更斯通过一个复杂的论证说明，长度为L的摆以小角度从一边摆动到另一边所需的时间为它等于物体下落距离d=L/2所需时间的π倍，这就是前文所述的惠更斯的结果。
26. 抛物线轨道
假定一颗弹丸以速度 v 被水平射出，在忽略空气阻力的前提下，它会保持该速度的水平分量不变，同时加速下落。因此在时间t后，弹丸移动的水平距离为x=vt，而下落距离z与时间的平方成正比，通常写为z=gt2/2，其中g=32英尺/秒2，这是伽利略去世后惠更斯测量到的一个常数。根据 t=x/v，我们可以得到z=gx2/2v2
在这个方程中，两个变量互成正比，因此它定义了一条抛物线。
注意，如果弹丸发射枪距离地面的高度为h，当下落距离z=h（即弹丸落地）时，弹丸经过的水平距离x就是。即使不知道v 或 g，伽利略也可以通过测量在不同高度 h 下落时经过的距离d，以及检验 d 是否正比于 h 的平方根，来验证弹丸的路径是否为一条抛物线。目前尚不清楚伽利略是否做过此事，但有证据表明，他在1608年做了一个与此密切相关的实验（在第十二章中曾提到），如下所述。一个小球从不同的初始高度 h 滚下斜面，然后在斜面所在的水平桌面上继续滚动，最后从桌子边缘射入空中。如技术札记25中所示，球在到达斜面底部时的速度是同样，g=32英尺/秒2，而ζ是球的旋转与移动能量之比，取决于滚动的球中的质量分布。对于密度均匀的实心球，ζ=0.4。这也是球从桌面边缘水平射向空中时的速度，于是球下落高度h时经过的水平距离为伽利略并没有提及以ζ为代表的对于旋转运动的修正，但他也许怀疑这样的修正会减少球经过的水平距离，因为他没有把该距离与d =（无ζ时的预期值）的值相比较，而只是验证了对于固定的桌面高度h，距离d确实与成正比，精确到百分位。由于某种原因，伽利略从未发表这一实验结果。
对于天文学和数学中的许多应用，将抛物线定义为椭圆的极限情形（两焦点相距很远）较为方便。根据技术札记18中给出的椭圆方程，对长轴为2a和短轴为2b的椭圆有：为方便起见，我们用z – z0 和 x取代技术札记18中所使用的坐标x和y，其中z0是一个可以任意选择的常数。这个椭圆的中心在z=z0，x=0处。如技术札记18中所述，椭圆的其中一个焦点坐标为z – z0=–ae， x=0，其中e是离心率，并有e2 ≡1 – b2 /a2，曲线到这一焦点的最近点的坐标为z – z0=–a，x=0。为方便起见，我们选择 z0=a，使这一点的坐标为z=0，x=0，此时与其相邻的焦点在z=z0 – ea=（1 – e） a处。令a和b趋于无穷大，另一个焦点便趋于无穷远，曲线没有最大的x坐标，但我们希望使曲线到较近的焦点的距离（1 – e）a保持有限，所以设置1 - e=/a
其中当a趋于无穷大时 固定。由于e接近1这个极限，所以短半轴b满足b2=a2（1 - e2）=a2（1 - e）（1 ＋ e） →2a2（1 - e）=2a利用b2的这一公式和z0=a，椭圆方程可变形为左边的a2/a2项与右边的1相互抵消。再将所得方程的两边同时乘以a，得到由于a远大于x、y，或 ，所以方程的第一项可忽略不计，得到本方程与我们此前推导得出的水平发射弹丸的运动方程相同，由此可得故抛物线的焦点在弹丸初始位置下方相距 =v2/2g处（见图26–1）。
图26–1 从山上以水平方向发射的弹丸的抛物线轨迹这一抛物线的焦点是F
像椭圆一样，抛物线可被视为圆锥曲线，但对于抛物线来说，与圆锥面相交的平面平行于其中心线。取z轴为中心线的圆锥面的方程为= α（z ＋ z0），平行于其中心线的平面为y=α（z – z0），其中z0取任意值，圆锥面与平面的交线满足方程消去α2z2和α2z02后得到
若取z0=/α2，我们将得到与前文相同的结果。值得注意的是，给定形状的抛物线可由带任意角度参数α的任意圆锥面得到，因为任何抛物线的形状（不包括其位置和方向）完全由以长度为量纲[13]的参数 确定，无须其他无量纲参数如α或椭圆的离心率。
27. 由网球运动类比推理得出的折射定律笛卡儿试图根据以下假设推导折射定律：光线由一种介质进入另一种介质时发生的弯折，与网球穿透薄布后运动轨迹的弯折方式相同。假设一个速度为vA的网球倾斜地撞击薄布，其速度将减小，穿过布面后的速度vB < vA，但我们不认为其沿布面的速度分量会发生任何变化。我们可以画一个直角三角形，其两条直角边分别是球垂直和平行于布面的初速度分量，其斜边是vA。如果球的初始轨迹与布面的垂直线成i角，那么它沿平行于屏幕方向的速度分量是vAsin i（见图27–1）。同理，如果球穿透布面的轨迹与布面的垂直线成r角，那么它沿平行于布面方向的速度分量是vBsin i。采用笛卡儿的假设，通过薄布的球只改变垂直于布面的速度分量，而不改变平行分量，我们有vAsin i=vBsin r
故
sini / sinr=n （1）
其中，
n=vB/vA （2）
方程（1）是众所周知的斯内尔定律，它是正确的光的折射定律。遗憾的是，对于方程（2），光和网球之间的类比并不成立，因为对网球来说，vB小于vA，所以可由方程（2）得出n < 1；而当光由空气进入玻璃或水时，n > 1。除此之外，没有理由假定网球的vB/vA与角度i和r无关，因此方程（1）在此处不起作用。
图27–1 网球运动的速度
水平线表示网球穿过的布面，网球的初始速度为vA，最终速度为vB。带有箭头的两条实线分别表示球穿过布面前后速度的大小和方向。图中球的运动路径向垂直于布面的方向弯折，类似于光线进入一个较密介质的情况。这表明，在此种情况下，球穿过布面后，它沿着布面的速度分量大大降低，与笛卡儿的假设相左如费马所说明的，当光从一种介质进入另一种介质且速度由vA变为vB时，折射率n实际上等于vA/vB，而不是vB/vA。笛卡儿并不知道光以有限速度传播，而是随便找来一个论据说明为什么当A是空气而B是水时n大于1。对于17世纪的应用，如笛卡儿的彩虹理论，这并不重要，因为n被认为与角度无关——这对光成立，但对网球不成立。此外，n的数值取自对折射的观测，而不是通过对不同介质中光速的测量得到的。
28.用最短时间原理推导折射定律
亚历山大的希罗基于光线从物体经由镜面到眼睛取最短距离路径的假设，推导出反射角等于入射角的反射定律。他也完全可以假设光取最短时间路径，因为光经过任何距离的时间等于距离除以光速，且反射后光速并不改变。然而，当光线穿过介质（如空气和玻璃）之间的边界发生折射时，不同介质中的光速不同，我们必须把最短距离原则和最短时间原则区分开来。基于光线从一种介质到另一种介质时发生弯折的事实，我们知道光的折射并不取距离最短的路径，否则其路径将是一条直线。如费马所示，通过假设光取最短时间路径，就可以导出正确的折射定律。
图28–1 折射光线的路径
水平线表示两种透明介质A和B之间的分界面，光分别以不同速度vA和vB，经过这两种介质，角度i和r分别为光线与法线之间的夹角。带箭头的实线表示从介质A中的PA点到分界面上的P点，再到介质B中的PB点的光线路径首先，假设一条光线从介质A（在其中光速为vA）中的PA点射至介质B（在其中光速为vB）中的PB点。为使叙述简单，假设两种介质的分界面是水平的。设介质A 和介质B中的光线与竖直方向的夹角分别为i 和 r。如果PA和PB与边界面的竖直距离分别为dA和dB，那么从这两点到光线与分界面的交点的水平距离分别为dA tan i 和 dB tan r，这里tan表示一个角的正切，即直角三角形中该角的对边与邻边之比（见图28–1）。虽然这些距离并未预先确定，但其总和是PA 与 PB之间固定的水平距离L：L=dA tan i ＋ dB tan r为了计算光线从PA到PB经历的时间，我们注意到光在介质A 和 B中经过的距离分别是dA/cos i和dB/cos r，这里cos表示一个角度的余弦，即直角三角形中该角的邻边与斜边之比。经过的时间等于距离除以速度，所以总时间为我们需要找到角度i 和 r之间（与L、dA和 dB 无关）的一般关系式，它应该满足以下条件：角度i使时间t最短，而r随着i的变化而改变，但距离总和L保持不变。为此考虑入射角i的无穷小变化δi，由于PA 和 PB之间的水平距离是固定的，故当i改变δi时，折射角r也必须改变δr以保持L不变。此外，当t取极小值时，t关于i的曲线必须趋于水平。这意味着，微小改变δi至少在δi这一阶不会引起t的变化。因此，为找到最短时间路径，可以设定以下条件：当i 和 r改变时，δL 和 δt至少在δi 和δr这一阶都必须为零。
为了满足这一条件，我们需要利用微积分学中的标准公式，描述θ角的无穷小改变δθ导致的δtanθ和 δ（1/cosθ） 的改变：其中，如果θ以度为单位，则R=360°/ 2π=57.296…°。（这个角度R被称为1弧度。如果θ以弧度为单位，那么R=1）。通过使用这些公式，我们找到当角度i 和 r 分别变化无穷小量δi 和 δr时，t和L的变化：由条件δL=0，可得
将其代入第二个方程，可得
为使它等于零，必有
或者，
其中折射系数n由速度比得出，与角度无关
n=vA / vB
这便是正确的折射定律和正确的折射率公式。
29. 彩虹理论
假设一束光线从P点进入球形雨滴，且与雨滴表面的法线成i角。如果不发生折射，光线会继续沿直线行进，穿过雨滴。在这种情况下，从雨滴中心C到光线的最近点Q 的连线与光线成直角，所以三角形PCQ为直角三角形，其斜边等于圆的半径R，且与光线构成i角[见图29–1（a）]。定义未折射光线到雨滴中心的最短距离为影响参数b，它是三角形中直角边CQ的长度，根据初等三角学可知b=R sin i
我们还可以用笛卡儿计算出的b/R值，或用入射角i的值来描述一条特定的光线。
由于发生折射，光线进入雨滴时与其法线成r角，根据折射定律可知其中n –～ 4/3是空气中的光速与水中的光速之比。光线会穿过雨滴，到达其背面的点P‘。由于从雨滴中心C到P和P’的距离都等于半径R，以C、P和P‘为顶点的三角形便是等腰三角形，所以光线与P和P’处表面法线之间的夹角应该相等，都等于r。有些光线会在背面发生反射，根据反射定律，反射光线与在P‘处表面法线之间的夹角也是r。反射光线将在水滴中传播，到达水滴前表面上一点P’‘，与P’‘表面法线成r角。还有些光线会从水滴后部直接射出，根据折射定律，出射光线与P’‘处表面法线的夹角将等于初始入射角i。[见图29–1（b）。该图显示光线穿过一个平行于该光线原始方向的平面的路径，该平面包含雨滴中心和观察者。到达雨滴表面的光线，仅当与该平面相交时才有机会进入观察者眼中。]
图29–1 一束阳光在一个球形雨滴中的路径光线用带箭头的实线表示，在点P进入雨滴，与雨滴表面的法线成角度i。（a）无折射时光线的路径，点Q是这种情况下光线最接近雨滴中心的位置。（b）光线在P点进入雨滴后发生折射，在雨滴的后表面点P‘反射，随后在点P’‘离开雨滴时再次折射。虚线从雨滴的中心点C出发，连接光线与雨滴表面的各个交点在所有折射及反射过程中，光线进入和离开雨滴时会两次向中心弯折i – r角，加上在雨滴背面反射时的角度180°– 2r，光线的总弯折角度为2（i - r） ＋ 180° - 2r=180° - 4r ＋ 2i如果光线直接反向射回（这时有i=r=0），这个角度将会是180°，初始光线和最终光线会沿着同一条直线，所以初始光线和最终光线之间的实际角度φ 是φ=4r - 2i
我们可以用i把r表示为
这里对任意值x，arcsin x 是正弦为x的角度（通常在 –90° ～ ＋ 90°之间）。第十三章中提到的对n=4/3的计算表明，φ从i= 0时的零值开始上升到约42°的极大值，然后下降到约14°，此时i=90°。φ关于i的曲线在其极大值处为水平线，所以水滴中的光线倾向于在偏转角ϕ接近42°处射出。
在有雾的天气里，背对太阳观察天空，我们将看到反射回来的光线主要从我们的视线与阳光成42°左右角度的方向过来。这些从不同方向射入的光线形成了一条倒扣在天空中的弓形光带。因为n与光的颜色略微相关，偏转角度ϕ的极大值也是如此，所以这一弓形光带中布满了不同颜色。这就是彩虹。
不难推导φ的极大值对任意折射率n的解析公式。φ的极大值通过以下方法求得：极大值对应的入射角i 值，使φ关于i 的曲线在该处趋于水平，因此，由i的增量δi 产生的φ的增量δφ对δi的一阶项为零。为了利用这个条件，我们需要微积分中的一个标准公式，即当x改变δx时，arcsin x的变化为如果反正弦函数的单位是度，则=360°/2π。因此，当入射角变化δi时，偏转角变化或者，因δ sin i=cos i δi/，则所以，φ取极大值的条件是
等式两边同时平方，并应用cos2i=1–sin2i（基于勾股定理），即可解出sin i，在这个角度，φ取极大值：
当n=4/3时，φ的极大值在b/R=sin i =0.86处达到，此时i=59.4°，r=40.2°，φmax=42.0°。
30.用波动理论推导折射定律
技术札记28中描述的折射定律，可以根据折射光线取时间最短路径的假设导出，也可以在光的波动理论的基础上推导。惠更斯认为，光是介质中的扰动，介质可以是透明物质或无物的空间。扰动的前端是一条线，它在与前端成直角的方向上向前运动，其速度取决于介质的特性。
