图30–1 光波的折射
水平线表示两种透明介质的分界面，光在两种介质中的速度不同。交叉阴影线段表示一段波在两个不同时刻的位置，即波前的前端和后端刚触及界面的时刻。带箭头的实心线表示波前的前后端的路径考虑这种扰动的一段长度为L的前端，它在介质1中向着与介质2的分界面运动。假设与这一前端成直角的扰动的运动方向与分界面的垂直线成i角。当扰动前端的一端在点A触及分界面时，另一端的点B仍在（沿着扰动前进的方向）距离分界面L tan i处（见图30–1）。因此，另一端到分界面点D还需时L tan i/v1，这里v1是扰动在介质1中的速度。在这段时间里，前端将在介质2中以与垂直线成r的角度前进到达点C，与A的距离为v2 L tan i/v1，这里v2是扰动在介质2中的速度。此时波的前端与其在介质2中的运动方向成直角，从C到D连线，使顶点A、C和D组成一个直角三角形，其中在点C的角为90°。这个直角三角形中r角的对边是A到C的连线，长度为v2 L tan i/v1；而斜边是A到D的连线，长度为L/cos i。（见图30–1）。因此，由于tan i=sin i/cos i，我们可以消去上式中的因子cos i和 L，所以sin r=v2 sin i/v1
换句话说
这便是正确的折射定律。
对于折射的问题，惠更斯提出的波动理论给出了与费马最短时间原理相同的结果，这并非偶然。可以证明，即使光波通过一种非均匀介质，光速在其中的各个方向逐渐变化，而不是在一个界面突变，惠更斯的波动理论也总会给出两点间时间最短的一条光路。
31. 测定光速
假设我们观察到在离我们一定距离处发生的一些周期性过程。为确定起见，我们将考虑环绕一个遥远行星运行的卫星，但下面的分析可适用于任何周期性重复的过程。假设卫星在t1和t2时刻连续两次到达其轨道的同一位置：例如卫星连续两次从行星背后出现。如果卫星的固有轨道周期是T，并假定我们与行星之间的距离是固定的，那么t2 – t1=T便是我们观察到的周期。但若该距离是变化的，那么我们观察到的时间会偏离T，偏离值的大小取决于光速。
假设在卫星有相同相位的两个相继时刻，我们与行星之间的距离分别为d1 和 d2。那么，我们观察到轨道上两个相继相同相位的时刻为t‘1=t1 ＋ d1/c t’2=t2 ＋ d2/c其中c是光速。（我们在这里假设行星与其卫星之间的距离可以忽略不计。）如果我们与该星球之间的距离以速度v变化——或许是因为它在移动，我们在移动，或两者都在移动，于是d2 – d1=vT，所以观察到的周期为（这一推导的假设前提是v在时间区间T内几乎不变，这在太阳系中通常成立，但v可能在较大时间尺度上发生明显的变化。）当遥远的行星靠近或远离我们时，v分别为负或正，其卫星的视周期将分别减少或增加。我们可以在v=0时通过观测行星来测量T，然后通过在v有已知的非零值时再次观测周期来测量光速。
这就是惠更斯测定光速的原理，他采用勒默尔对木卫一视轨道周期变化的观察数据计算了光速。然而根据已知的光速，同样的计算可以告诉我们遥远对象的相对速度v。特别是从一个遥远星系的特定光谱线中传来的光波，将以T为特征周期振荡，周期T与频率ʋ和波长λ之间的关系是T=1/ʋ=λ/c。这一固有周期可在地球上的实验室里通过光谱观测得到。20世纪初以来，人们发现在非常遥远的星系中观察到的光谱线有更长的波长，因此有更长的周期，由此可以推断，这些星系正在离我们远去。
32. 向心加速度
加速度是速度的变化率，但是任何物体的速度都有两个量度，即大小和方向。在圆周上运动的物体，其速度方向不断改变，指向圆心。所以即便是做匀速圆周运动的物体，也具有时刻指向圆心的加速度，这就是向心加速度。
图32–1 向心加速度的计算
上图：在圆周上运动的一个粒子在时间间隔Δt前后的速度。下图：由两个不同时刻的速度构成的一个三角形，其短边是速度的变化对于在半径为r的圆周上以恒速v运动的物体，试求其向心加速度。在t1 到 t2的短时间区间内，物体沿着圆周移动了一小段距离vΔt，这里Δt=t2 – t1，而半径向量（从圆心指向物体的箭头）将旋转一个小角度Δθ。速度向量（在物体运动方向大小为v的箭头）总是圆的切线，因此其与半径向量成直角，所以当半径向量的方向改变角度Δθ时，速度向量的方向也将改变同样一个小角度。于是我们得到两个三角形：一个三角形的三边分别为在时刻t1和t2的半径向量以及连接这两个时刻物体位置的弦，另一个三角形的三边分别为在时刻t1和 t2的速度向量以及这两个时刻之间速度的变化值Δv（见图32–1）。对于小角度Δθ，时刻t1和t2物体位置的弦和弧的长度差异可以忽略不计，所以我们可以取弦的长度为vΔt。
现在，由于这两个三角形都是等腰三角形（每个三角形都有两条相等的边），两边之间有相同的小角度Δθ，所以它们是相似三角形（即两者的差别只在于大小，而不在于形状）。因此，每一个三角形的短边和长边之间的比例也应该相等。即因此
这就是惠更斯提出的向心加速度的公式。
33.月球与落体的比较
古人认为，天空中的现象与地球上的现象截然不同。当牛顿把月球在其轨道上的向心加速度和物体在地球表面附近下落的向下加速度进行比较后，古人设想的这一区别受到了颠覆性的挑战。
根据对于月球周日视差的测量，在牛顿的时代，人们已精确地知道地月平均距离为地球半径的60倍。（实际比值为60.27。）为了计算地球半径，牛顿取赤道上的1'（角分）为1英里，等于5 000英尺。由于一个圆周为360°，60'为1°，所以地球的半径便是（平均半径实际上是20 926 300英尺，这是牛顿计算中的最大误差。）月球轨道的周期（恒星月）精确地已知为27.3天，或2 360 000秒。于是月球在其轨道上的速度是据此得出向心加速度为
根据平方反比定律，该数值应该等于地球表面下落物体的加速度（32英尺/ 秒2）除以月球轨道半径和地球半径之比的平方：牛顿说“答案相当接近”，指的正是“观测到的”月球向心加速度0.007 3英尺/ 秒2与根据平方反比定律得出的0.008 9英尺/秒2这两个答案。他后来还得到了更接近真实值的结果。
34. 动量守恒
假设质量为m1 和 m2 的两个运动物体正面碰撞。如果在很短的时间δt内物体1对物体2施加力F，那么在这个时间区间内物体2会有一个加速度a2，根据牛顿第二定律，a2服从关系式m2a2=F。其速度v2将变化如下，δv2=a2 δt=Fδt/m2
根据牛顿第三定律，物体2会对物体1产生作用力–F，其与作用力F大小相等但方向相反（用负号表示），所以在相同时间区间内，物体1的速度v1将发生与δv2方向相反的变化，即δv1=a1 δt=- F δt/m1
总动量m1v1 ＋ m2v2 的净变化如下，m1δv1 ＋ m2δv2=0
当然，这两个物体可能会接触较长时间，在此期间，力可能不是恒定的，但由于在每一个短时间区间内动量均守恒，所以在整个期间内动量也是守恒的。
35. 行星质量
在牛顿时代，人们已知太阳系中的4个天体有卫星：木星、土星和地球都有各自的卫星，同时所有行星都是太阳的卫星。根据牛顿万有引力定律，质量为M 的物体对质量为m且距离为r的卫星所施加的力F=GMm/r2（其中G是一个自然常数），所以根据牛顿第二运动定律，卫星的向心加速度为a=F/m=GM/r2。常数G的数值和太阳系的总体大小在牛顿时代是未知的，但在根据距离比和向心加速度比计算得到的质量比中，这些未知量并不出现。对质量分别为M1和M2的两个卫星，如果其距离之比r1/r2已知，向心加速度之比a1/a2也已知，那么两者的质量比可从以下公式求得特别的，对于在半径为r的圆形轨道上以恒速v运动的一颗卫星，其周期为T=2πr/v，所以其向心加速度v2/r为a=4π2r/T2，加速度之比为a1/a2=（r1/r2）（T2/T1）2，而质量比可根据轨道的周期比和距离比推断为到1687年，所有行星到太阳的距离之比都已求出。同时，通过观测木星和土星分别与其卫星木卫四和土卫六（牛顿称之为惠更斯卫星）的距角，可以算出木星到木卫四的距离与木星到太阳的距离之比，以及土星到土卫六的距离与土星到太阳的距离之比。以地球大小为单位的地月距离是已知的，但它与日地距离之比在当时并不知道。牛顿采用了地月距离与日地距离之比的一个粗略估计，但该估计错得离谱。除此之外，速度和向心加速度之比可以用已知的行星和卫星的轨道周期算出。（实际上，牛顿使用了金星的周期，而不是木星或土星的周期，但这一样有用，因为金星、木星和土星到太阳的距离之比是已知的。）如第十四章中所提到的，牛顿提出的木星、土星与太阳的质量之比相当准确，但他给出的地月质量比十分离谱。
[1] 这一点在泰勒斯时代可能尚不为人所知，如果确实如此，这个证明应该是后来给出的。
[2] 摘自T.·L·希思（T. L. Heath）的标准译本（EuClid’s Elements，Green Lion Press， Santa Fe， N.M.， 2002， P. 480）。
[3] 对于钢琴弦，频率因弦的刚度而有小的修正；这种修正对ʋ的影响在1/L3的量级，在此忽略不计。
[4] 在某些音阶中，中央G被赋予一个稍微不同的频率，以使其他涉及中央G的和弦悦耳。使尽量多的和弦悦耳的频率调节称为回调。
[5] 最早见于公元前1世纪《周髀算经》中的勾三股四弦五，故在中国被称为勾股定理。西方称之为毕达哥拉斯定理。——译者注[6] 这张表见于G· J·图默（G. J. Toomer）翻译的《天文学大成》中。（Ptolemy’s AlmAgest， Duckworth， London， 1984， pp. 57–60）。
[7] 距角为天体离太阳的角距离。——编者注[8] 这段说明过于简略，为便于读者理解，特补充如下。方程（5）是一个分数g/f，它的无穷小变化是（g‘δg f–f’δf g）/f 2，其中一撇表示导数，例如（cos α）‘= –sin α。若g=1，即得到正文中1/f 的变化的公式。——译者注[9] 以上这段文字经与作者讨论后略加修改，强调了对薄透镜近似成立。——译者注[10] 经与作者讨论后，对图22–1做了一些修改。——译者注[11] 经与作者讨论后，对图23–1做了一些修改。——译者注[12] 伽利略所提到的“英里”与现代计量方法中的英里没有多大差别。以现代计量单位，月球的半径约为1 080英里。
[13] 量纲是指物理量的基本属性。——编者注尾注
第一部分 希腊物理学
