测量太阳、月球与地球
希腊天文学最显著的一项成就是测算了地球、太阳和月球的大小，以及日地距离和地月距离。之所以给出如此高的评价，并不是因为古希腊人测算出了精确数值——当时的观测手段太过粗糙，无法据之计算出精确的天体大小和距离——而是因为人们首次正确地运用数学，得出关于世界本质的定量结论。
这项工作的关键在于，首先需要理解日食和月食的本质，并发现大地为球形。基督教的殉道者希波吕托斯（Hippolytus）和广为提及的哲学家埃蒂乌斯（Aëtius）（年代不详），都认为最早理解日食现象的人是阿那克萨哥拉。阿那克萨哥拉是希腊爱奥尼亚人，公元前500年左右出生于克拉佐美纳伊（近士麦那），曾在雅典教书。1或许是依据巴门尼德关于月球的“发光”面永远面向太阳的观测结果，阿那克萨哥拉得出结论：“太阳赋予月球光芒。”2由这句话能够很自然地推断：当月球通过地球阴影时发生月食。人们认为他也同样理解了月球遮住太阳引起日食这一原理。
亚里士多德在研究地球的形状时，恰到好处地结合了推理和观察。第欧根尼·拉尔修和希腊地理学家斯特拉波（Strabo）认为，远在亚里士多德之前，巴门尼德就已知道大地为球形，但他究竟如何（倘若他确实知道）得出这一结论，我们不得而知。在《论天》中，就“大地为球形”的命题，亚里士多德从理论和实验两方面给出论证。正如我们在第三章中看到的，根据亚里士多德对物质的先验理论，较重的土元素和次重的水元素趋向宇宙的中心，而空气和（更轻的）火则远离宇宙中心。大地之所以为球形，且中心与宇宙的中心吻合，是因为这样能使最大量的土元素接近宇宙中心。亚里士多德并未满足于该理论观点，而是继续给出了地圆说的经验证据：发生月食时，地球投射在月球上的阴影为弧形[1]，而当我们由北向南旅行时，星星在天空中的位置看起来有所改变。
发生月食时，月面出现弧形的边界。由于月食的形成是因为地球介于日月之间，弧形正是地球表面的投影，由此可见地表为球面。同时，通过对星星的观测，不仅可证明大地为球形，还能证明其体积并不大。当我们向南或向北稍作移动，地平线便发生明显改变，头顶的星空便大不相同。人们在北上或南下时，能看到不一样的星星。事实上，有一些在埃及和塞浦路斯附近能看到的星星，在北方地区却看不到；另一些星星在北方永远在观测范围内，但在上述地区却有升有落。3
亚里士多德并未试图利用这些对星星的观测结果，给出关于地球大小的定量估计，这体现了他对数学的典型态度。除此之外，令我困惑不解的是，亚里士多德没有引用每个船员都再熟悉不过的现象：在晴朗的日子里，眺望远方的船只，首先看到的是“地平线上的桅杆”——地球的弧形表面掩藏了船身，只有其顶部的桅杆露出——随着船只继续靠近，船体的其他部分也映入眼帘。[2]
亚里士多德对球形大地的认知是一项不俗的成就。阿那克西曼德认为地球是一个圆柱体，人类居于底面之上。而阿那克西米尼则认为大地是平的，太阳、月球和星星浮于空中，当其运动到地球高地后面时，便消失不见。色诺芬尼写道：“足底所见为地之上限，足底之下通向无穷远。”4之后的德谟克利特和阿那克萨哥拉都持有与阿那克西米尼类似的观点，认为地球是平的。
据我推测，对“地平说”的执着信念，或许是由于球形大地会带来一个显而易见的问题：倘若大地为球形，旅行者为何不会掉落？对这一问题，亚里士多德的物质理论给出了不错的回答。亚里士多德认识到，并无普适的“下方”，令各处的物体均向其跌落。在地球各处，由较重的土元素和水元素所组成之物均倾向于落入世界的中心，这与观察结果恰好相符。
在这方面，亚里士多德关于较重元素的自然位置在宇宙中心的理论，颇类似于现代的重力理论，但有一个重要区别：对亚里士多德而言，宇宙只有一个中心；今天我们知道，任何大质量物体都会在其自身重力的作用下趋于球形，同时也将吸引其他物体趋向其中心。亚里士多德的理论并未说明地球之外的其他天体为何应是球形，但他至少知道月球为球形，理由是月相从盈到亏的往复变化。5
亚里士多德之后，地圆说成为天文学家和哲学家（除了少数人如拉克坦提乌斯之外）之间的普遍共识。阿基米德甚至从一杯水中构想出球形大地。在《论浮体》命题2中他说：“静止流体的表面是球面，其中心与地球中心相同。”6（这只适用于没有表面张力的情况，但阿基米德忽视了这一点。）
接下来我要讲述的，是数学在古代自然科学的应用中，在某种意义上最令人印象深刻的一个例子：来自萨摩斯的阿利斯塔克的研究。公元前310年左右，阿利斯塔克出生于爱奥尼亚的萨摩斯岛。他曾就读于斯特拉托的吕克昂学园，担任过雅典吕克昂学园的第三任校长，此后在亚历山大工作，直到公元前230年左右去世。幸运的是，他的杰作《论日月的大小和距离》（On the Sizes and Distances of the Sun and Moon）流传至今。7在书中，阿利斯塔克列举了4个天文观测结果作为前提：1．“半月时太阳到月球的（角）距离比1/4周小1/30。”（即在半月时，月球与太阳的角距比90°小3°，也就是87°。）
2．日食时，月球看起来正好覆盖太阳。
3．“地球本影的宽度是两个月球的宽度。”（最简单的解释是，在月球的位置，一个两倍于月球直径的球体在月食期间正好填满地球本影。得出这一发现的方法，大概是分别测量月球从初亏到食既的时间、全食持续的时间，以及从生光到复原的时间。）
4．“月球占据黄道带的1/15。”（完整的黄道带是一个360°的整圆，但阿利斯塔克在这里显然是指黄道带中的一个星座。黄道带共有12个星座，所以一个星座占据360°/ 12=30°角，其1/15为2°。）
由这些假设，阿利斯塔克推断出以下结论：
1．日地距离是地月距离的19～20倍。
2．太阳直径是月球直径的19～20倍。
3．地球直径与月球直径之比在180/43～60/19之间。
4．地月距离是月球直径的22.5～30倍。
阿利斯塔克撰写其著作时，三角学尚未问世，因此他不得不通过复杂的几何构建来得到这些上下限。今人利用三角函数能够得到更精确的结果。例如，在第一点中，我们会得出以下结论：日地距离与地月距离之比为87°的正割（余弦的倒数），或19.1，而该值恰好介于19和20之间。（这一点以及阿利斯塔克的其他结论，将在技术札记11中用现代术语重新推导。）
根据这些结论，阿利斯塔克以地球直径为参照，计算出太阳和月球的大小，以及它们与地球之间的距离。尤其通过结合第二前提和第三前提，阿利斯塔克推断出：太阳直径是地球直径的361⁄60～215⁄ 27倍。
阿利斯塔克的推理在数学上完美无瑕，但离真实值相去甚远，因为他用来作为出发点的第一前提和第四前提误差极大。半月时月球与太阳的实际角距不是87°，而是89.853°，这样算出的日地距离是地月距离的390倍，远大于阿利斯塔克所认定的值。该测量值不可能通过肉眼观测得出，但阿利斯塔克本可以对半月时月球与太阳的实际角距做出正确的预测，即“不小于”87°。同时，月球在黄道带上占据的角度并非2°，而是0.519°，而这使地月距离更接近于月球直径的111倍。当然，阿利斯塔克的研究原本还有提升空间，而阿基米德也在《数沙者》（The Sand Reckoner）中暗示阿利斯塔克在之后的工作中有所改进。[3]
阿利斯塔克的科学与当今科学之间的差距，并不在于他观测中的错误。在观测天文学和实验物理学中，严重的错误仍时有发生。例如，20世纪30年代人们所认为的宇宙膨胀速率，约7倍于我们现在所知的实际值。阿利斯塔克和今天的天文学家与物理学家之间的真正区别，不在于他的观测资料存在差错，而在于他从未试图判断其中的不确定性，甚至从不承认其理论可能存在瑕疵。
如今，物理学家和天文学家需要接受训练，学会认真对待实验的可靠性。在康奈尔大学读本科时，尽管我很清楚自己想成为一名理论物理学家，永远不需要做实验，但仍被要求与其他所有物理专业的学生一起上实验室课程。课程中的大部分时间，我们都在估计所做测量的不可靠性。但在历史上很长一段时间内，没有人关注这种不可靠性。据我所知，不仅在古代或中世纪无人进行相关尝试，就连牛顿（见第十四章）也对此不以为意。
在阿利斯塔克身上，我们看到了滥用数学的害处。他的书读起来就像欧几里得的《几何原本》：以第一点到第四点的数据作为前提，用严谨的数学推导得出结果。但其观测结果的误差，远大于他所严格证明的各种天体大小和距离的狭窄取值范围。也许阿利斯塔克并无意证明半月时月球与太阳的角距确为87°，而只是将其作为一个例子，来展示可能的推导结果。阿利斯塔克被同代人称为“数学家”不是没有道理的，与之相比，他的老师斯特拉托则被称为“物理学家”。
但阿利斯塔克确实得出了正确的定性结论：太阳远大于地球。为了强调这一点，阿利斯塔克指出，太阳的体积至少是地球的（361/60）3倍，即218倍左右。当然，我们现在知道太阳的实际体积还要远大于此。
阿基米德和普鲁塔克（Plutarch）均提供了有趣的说法，即阿利斯塔克由太阳的巨大尺寸得出的结论是：不是太阳绕地球运行，而是地球绕太阳运行。阿基米德在《数沙者》8中提到，阿利斯塔克不仅提出日心说的思想，还推断地球的轨道大小与其到恒星的距离相比微乎其微。阿利斯塔克很可能是在处理一个任何关于地球运动的理论都会提出的问题。从旋转木马上看，地面上的物体似乎在来回移动，同理，从运动的地球上看，星星似乎也在一年中来回移动。亚里士多德似乎意识到了这一点，他评论道9，如果地球在运动，那么“必定会看到星星经过并循环往复，然而实际上人们并未观测到这一现象。在地球上的同一地点，每年升落的是同一批星辰”。确切地说，如果地球围绕太阳运行，那么每颗星星在空中的运动轨迹应为一条封闭曲线，其尺寸取决于地球围绕太阳运行的轨道直径与其到星星的距离之比。
如果地球绕太阳转动，为什么没有古代的天文学家观察到这种恒星的周年视运动，即所谓的周年视差呢？若视差太小，不足以被观测到，则应当假设星星至少在某个距离之外。不幸的是，阿基米德在《数沙者》中没有明确提及视差，我们也不知道是否有任何古人曾用这一点来设定地球与恒星距离的下限。
除此之外，亚里士多德还提出了其他论据来证明地球并未运动。其中部分论据依据其关于趋向宇宙中心的自然运动的理论（见第三章），但还有一个论点是基于观察。亚里士多德推论：若地球处于运动中，竖直上抛的物体将滞后于运动中的地球，从而落向别处。但正如他所说10，事实与该假设相反：“被用力上抛的重物，即便上抛距离无限远，也仍将落回原地。”历史上这一论据被多次引用，克罗狄斯·托勒密（第四章中讲述）在150年左右以及让·布里丹（Jean Buridan）在中世纪都曾提及，直到尼科尔·奥雷姆（Nicole Oresme）对这一现象做出解释（见第十章）。
若能看到对古代太阳系仪（关于太阳系的机械模型[4]）的详细描述，我们或许能够判断地动说的思想在古代世界的传播范围。在《论共和国》中，西塞罗记述了发生于公元前129年（他出生之前23年）的一段关于太阳系仪的对话。其中据说一位名叫卢修斯·弗里乌斯·费鲁斯（Lucius Furius Philus）的人谈及阿基米德制作的一个太阳系仪。锡拉库萨沦陷时，攻城者马塞勒斯（Marcellus）将其掠走，后得见于马塞勒斯孙子的家中。从这一间接转述（这部分的《论共和国》还有几页缺失）中，很难看出太阳系仪的工作原理。但在故事中的某处，西塞罗引用费鲁斯的话说，这个太阳系仪“描绘了太阳、月球以及那5颗被称为‘流浪者’的行星的运动”。这显然表明，在太阳系仪中运动的是太阳而非地球。11
在第八章中，我们将看到，远在阿利斯塔克之前，毕达哥拉斯学派就有了这样的想法：地球和太阳围绕“中央火”转动。对此他们并未提供证据，但不知何故世人记住了他们的猜测，对阿利斯塔克的思想却几近遗忘。据知历史上只有一位古代天文学家采纳了阿利斯塔克的日心说，即塞琉西亚的塞琉古（Seleucus of Seleucia），他活跃于公元前150年左右。在哥白尼和伽利略时代，地动说被天文学家和教士们当作毕达哥拉斯学派的思想提及，没有人认为该观点属于阿利斯塔克。我在2005年访问萨摩斯岛时，看到很多酒吧和餐厅以毕达哥拉斯命名，却没有一家提及萨摩斯的阿利斯塔克。
不难理解古代世界为何没有采纳地动说。我们感觉不到这种运动，而且在14世纪以前没有人意识到，我们并无“应该”感觉到地球在运动的理由。此外，不管是在阿基米德还是在其他任何人的著作中，都没有任何蛛丝马迹显示阿利斯塔克曾计算出在运动的地球上所观察到的行星运动轨迹。
喜帕恰斯是公认的古代世界最伟大的天文观测家，他对地月距离的测算做出了极大的改进。公元前161～前146年，喜帕恰斯在亚历山大进行天文观测，此后或在罗德岛上持续观测至公元前127年。12其所著文稿几乎全部佚失，后人主要从3个世纪之后克罗狄斯·托勒密的陈述中得知其天文成就。喜帕恰斯曾根据一次日食——现已知发生于公元前189年3月14日——进行了天文计算。当日在亚历山大港观察到的是日全食，而在赫勒斯庞特（现代称为达达尼尔海峡，位于亚欧大陆之间）观察到的是日偏食，太阳只有4/5被遮蔽。月球和太阳的视直径非常接近，喜帕恰斯实测为33'（角分）或0.55°，他据此推断：从赫勒斯庞特与从亚历山大看月球的视角相差0.55°的1/5，即0.11°。通过对太阳的观测，可以得知赫勒斯庞特和亚历山大的纬度；同时又知道发生日食时月球在空中的位置，因而能计算出地月距离相对于地球半径的倍数。考虑到月球在一个太阴月中可见大小的变化，喜帕恰斯得出结论，地月距离介于71～83个地球半径之间。实际上，地月平均距离为60个地球半径。
说到这里，我应该先讲讲喜帕恰斯的另一项伟大成就，尽管该成就与天体大小和距离的测算并无直接关联。喜帕恰斯编制了一本包含800颗恒星在内的恒星目录，其中包括每一颗恒星在天空中的位置。当今最完备的现代星表记录了118 000颗恒星的位置，而获得这些观测结果的人造卫星正是以喜帕恰斯命名，可谓“名至实归”。
对恒星位置的测量，使喜帕恰斯发现了一个值得注意的现象，这一现象直到牛顿的研究结果问世才得到解释。为了解释这一发现，必须先说明天体位置的描述方法。由于喜帕恰斯的星表现已佚失，我们无从得知他本人是如何描述天体位置的。自罗马时期以来，常用的方法有两种，都具有一定可能性。第一种方法后来被用于托勒密星表13，该方法将恒星想象为球面上的点，黄道——一年中太阳相对于群星运动的视路径——为该球体的赤道。正如人们用纬度和经度定位地球表面各点，天球中群星的坐标也可用天球的经纬度来定义。[5]喜帕恰斯可能使用的另一种方法是14，仍将恒星想象为球面上的点，但该球体不是以黄道为赤道，而是以地轴为轴线，北天极即为该球体的北极，从地面看起来星空每晚绕该点旋转。在此方法中，天球的坐标并非纬度和经度，而是赤纬和赤经。
托勒密谈到15，喜帕恰斯的测量相当精确，从而使他注意到角宿一的天球经度（或赤经），与很久以前天文学家提默洽里斯（Timocharis）在亚历山大的观测值相比，发生了2°的改变。原因并非角宿一改变了相对于其他恒星的位置，而是太阳在天球上的秋分点位置（天球经度自该点开始计量）发生了改变。
很难计算出发生这一变化的精确时间。提默洽里斯出生于公元前320年，先于喜帕恰斯约130年；一般认为他于公元前280年左右英年早逝，先于喜帕恰斯约160年。若假设他们对角宿一的观测相差约150年，则观测结果表明，秋分点的位置约每75年变化1°。[6]以这样的速度，秋分点将在360个75年，即27 000年的时间内，在黄道带上进动360°，即一整圈。
我们今天知道，春（秋）分点岁差的成因在于，地轴绕着一根垂直于其轨道平面的轴摆动（就像旋转陀螺轴的摆动），该方向和地轴的夹角几乎稳定在23.5°。春（秋）分点是指日地连线恰与地轴垂直的日子，因此地轴的摆动是分点进动的原因。在第十四章中我们将看到，这种摆动由牛顿首次解释为太阳和月球对地球赤道凸出部分的引力的效应。完整摆动一圈实际所需的时间为25 727年。喜帕恰斯对这一时间跨度的预测达到如此之高的精确度，着实令人瞩目。[春（秋）分的岁差，解释了为何古代航海家判断北方依靠的是空中靠近北天极的星座，而不是北极星。北极星相对于其他星星并未移动，但在古代，地球的轴线并不像现在这样指向北极星，而在未来北极星又将离开北天极。]
现在回到天体测量，阿利斯塔克和喜帕恰斯把所有关于日月大小和距离的估测，都表示为地球大小的倍数。在阿利斯塔克发表其著作的几十年后，埃拉托色尼测量了地球的大小。公元前273年，埃拉托色尼出生于地中海沿岸的希腊城市昔兰尼（现位于利比亚境内）。昔兰尼始建于公元前630年左右，当时已并入托勒密王国。埃拉托色尼曾求学于雅典，其间在吕克昂学园就读过一段时间。公元前245年左右，埃拉托色尼受召于托勒密三世，前往亚历山大，担任博物馆研究员兼未来的托勒密四世的导师。公元前234年左右，他被委任为图书馆的第5任馆长。他的主要著作——《地球大小的测量》（On the Measurement of the Earth）、《地理学概论》（Geographic Memories）和《赫尔墨斯》（Hermes）——都不幸失传，但在古代曾被广泛引用。
公元前50年之后，斯多葛派哲学家克莱奥迈季斯（Cleomedes）在《天论》（On the Heavens）16中描述了埃拉托色尼测算地球大小的方法。埃拉托色尼首先观察到，夏至日的中午，太阳位于埃及城市赛伊尼的正上空，而在亚历山大（人们认为其位于赛伊尼的正北方），圭表显示夏至日中午太阳的投影偏离竖直线1/50个整圆，即7.2°。由此他得出结论：地球的周长是亚历山大与赛伊尼之间距离的50倍（见技术札记12）。两地距离经测量（可能由训练有素、每步等距的步行者测量）为5 000斯塔德，因此地球的周长为250 000斯塔德。
这一估测效果如何？我们不知道埃拉托色尼所用斯塔德的具体长度，克莱奥迈季斯或许也不清楚，因为（不同于我们所使用的英里或公里）该单位从来就没有标准定义。但在不知道斯塔德长度的情况下，我们依然能够判断埃拉托色尼应用天文学的精确度。事实上，地球的周长是亚历山大与赛伊尼（现代的阿斯旺）之间距离的47.9倍，因此不论斯塔德的长度为何，埃拉托色尼算出的50倍这个数字，实际上都是相当精确的。[7]就其对天文学（如果不归为地理学的话）的应用而言，埃拉托色尼的成就不容小觑。
[1] 有人认为（O. Neugebauer， A History of Ancient Mathematical Astronomy， Springer-Verlag， New York， 1975， pp. 1093–94），亚里士多德关于地球在月球上阴影形状的推理不能令人信服，因为有无数种地球和月球的形状可以形成同样的弧形阴影。
[2] 在其作品《海洋元帅：哥伦布传》（Admiral of the Ocean Sea， Little Brown， Boston， Mass.， 1942）中，塞缪尔·爱略特·莫里森（Samuel Eliot Morison）引用这个论据来说明，与流行的看法相反，在哥伦布进行探险航行之前，世人已普遍了解“地圆说”。当卡斯蒂利亚的上层在宫廷中辩论是否支持哥伦布建议的探险时，其焦点并不在于地球的形状，而是地球的大小。哥伦布认为地球很小，他可以从西班牙一路航行到亚洲东海岸，无须补给食物和水。显然他对地球大小的判断失误，但由于美洲“出人意料地”出现在欧洲和亚洲之间，哥伦布才没有为其错误埋单。
[3] 阿基米德在《数沙者》中有一段引人入胜的话，说阿利斯塔克发现“太阳看起来大约是黄道的1/720”（The Works of Archimedes， trans. T. L. Heath， Cambridge UniversityPress， Cambridge， 1897， p. 223）。也就是说，从地球上看太阳的视角是360°的1/720，即0.5°，与正确值0.519°相距不远。阿基米德甚至声称他用自己的观测验证了这一点。但是正如我们已经看到的，阿利斯塔克在其传世著作中提到月球在黄道带中占据2°，他还指出，太阳和月球具有相同的表观尺寸。阿基米德是否引用了阿利斯塔克后期并未传世的测量数据？又或者他引用的是自己的测量值，但归功于阿利斯塔克？我听说有学者认为，差异来自抄写时的笔误或文字上的误读，但在我看来，这种可能性微乎其微。正如前文已经指出的，阿利斯塔克根据其对月球视角的测量断定，地月距离为月球直径的22.5～30倍，该结果与约0.5°的视角明显不符。另一方面，现代三角学告诉我们，如果月球的视角度是2°，那么它与地球之间的距离将是其直径的28.6倍，这一数值确实在22.5～30之间。（《数沙者》并非严格的天文学著作，阿基米德只是通过该作品显示其计算极大数字的能力，如计算填满恒星所需要的沙粒数。）
[4] 有一个著名的古代装置被称为安蒂基西拉机器。1901年，潜水员在位于地中海的安蒂基西拉岛（克里特岛和希腊大陆之间）附近的水域采收海绵时，发现了该装置。科学家认为它来源于发生在约公元前150～前100年的一次海难。该青铜机械装置已锈蚀严重、面目全非，但学者通过对其内部进行X射线扫描，成功推断出其工作原理。显然它并非太阳系仪，而是日历装置，能够预测任何一天太阳和行星在黄道带的视位置。最重要的是，该装置内部的齿轮结构错综复杂，证明希腊化时期的技术水平已十分高超。
[5] 天球纬度是恒星和黄道之间的夹角。地球经度由格林尼治子午线开始测量，而天球经度是在固定的天球纬度圈上恒星与天球子午圈（春分时太阳所在位置）之间的夹角。
[6] 根据他自己对狮子座轩辕十四的观测，托勒密在《天文学大成》中给出的数字是约100年变化1°。
[7] 埃拉托色尼是幸运的。赛伊尼并不在亚历山大的正南方（其准确经度是32.9°E，而亚历山大的经度为29.9°E），此外，夏至日中午，太阳并不在赛伊尼的正上空，而是偏离竖直线约0.4°。这两个错误恰好部分抵消。埃拉托色尼真正测算的，是地球的周长与亚历山大到北回归线（被克莱奥迈季斯称为夏季回归圆）距离的比值。在北回归线上，夏至日的中午太阳直射。亚历山大在北纬31.2°，而北回归线的纬度是23.5°，比亚历山大的纬度小7.7°，所以事实上地球的周长360°/7.7°=46.75倍于亚历山大到北回归线的距离，只比埃拉托色尼给出的50倍的比值略小。
