行星的问题
并非只有太阳和月球自西向东通过黄道带，同样运动着的，还有每天自东向西围绕北天极较快运行的恒星。在一些古代文明中，人们注意到，在群星背景中，有五颗“星星”日复一日自西向东移动，其路径与太阳和月球的路径基本相同。希腊人称其为流浪的星星或行星，并用神的名字为其命名：水星是赫尔墨斯（Hermes），金星是阿佛洛狄忒（Aphrodite），火星是阿瑞斯（Ares），木星是宙斯（Zeus），土星是克罗诺斯（Cronos），罗马人分别译为墨丘利（Mercury）、维纳斯（Venus）、玛尔斯（Mars）、朱庇特（Jupiter）和萨图恩（Saturn）。希腊人效仿巴比伦人的做法，将太阳和月球也归为行星[1]，这样总共有7颗行星，并据此创立了星期制[2]。
行星以不同的速度在天空中运动：水星和金星在黄道带上运行一周所需时间为一年，火星为一年又322天，木星为11年又315天，土星为29年又166天。所有这些都是平均周期，因为行星并不以恒定速度在黄道带上移动，偶尔甚至会反向运行一段时间，再恢复向东运行。2 000多年来，人们为解释行星的奇怪运动方式付出了不懈努力，许多有关现代科学萌芽的故事由此产生。
毕达哥拉斯学派提出了一个关于行星、太阳和月球的早期理论。在其构想中，太阳、月球、地球以及五大星球，都围绕“中央火”转动。为了解释为什么我们在地球上看不到“中央火”，毕达哥拉斯学派假定我们生活在地球背离火的朝外面。（和几乎所有前苏格拉底时期的先哲一样，毕达哥拉斯学派相信地球是平的。他们将地球想象为一个圆盘，总是以同一侧朝向“中央火”，而我们生活在另一侧，因此看不到火。地球每天围绕“中央火”运动，解释了为何日月星辰每天看起来均围绕地球缓慢移动。）1据亚里士多德和埃蒂乌斯记述，公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的菲洛劳斯（Philolaus）提出“对地星”的概念，其运行轨道或是在地球与“中央火”之间，或是在“中央火”背对地球的另一侧，均不在我们的视线范围内。亚里士多德认为对地星的引入是毕达哥拉斯学派痴迷于数字的结果。地球、太阳、月球、五大星球构成了围绕“中央火”转动的9个天体，但毕达哥拉斯学派认为在空中运行的天体数量必须为10个，因为1＋2＋3＋4=10，从这个意义上看，10是一个完美的数字。对此亚里士多德颇为轻蔑地说2，毕达哥拉斯学派认为万物皆数，整个天空便是一个音阶，亦是一个数字。所有数和音阶的性质，但凡能被证明其与天空的各种属性、各个部分以及整体安排相匹配，毕达哥拉斯学派便将其收集并纳入他们的理论体系中。倘若发现空隙，他们便会在第一时间做相应添加，使整个理论完美无缺。例如，他们认为数字10是完美数字，包含了数字的所有性质，于是据此宣称天空中的运动天体有10个。但由于可见的天体只有9个，他们便凭空创造了第10个天体，即“对地星”。
显然，毕达哥拉斯学派从未试图证明其理论详细解释了太阳、月球和行星在天空中相对于群星的视运动。在之后的几个世纪中，人们为解释这些视运动前赴后继，直到开普勒时代才取得最后的成功。
这项工作的进行得益于一些工具的采用，例如太阳系仪可用来研究太阳的运动，而其他一些仪器能够测量恒星与行星的角距，或天体与地平线之间的夹角。当然，所有这些都只是裸眼天文学。而尽管托勒密曾深入研究折射和反射现象（包括大气中的折射对星星视位置的影响），我们也将看到这一研究在天文学历史上起到的至关重要的作用，但他却从未意识到透镜和曲面反射镜可以用来放大天体的图像（如伽利略发明的折射望远镜和牛顿发明的反射望远镜），这一点着实令人深感可惜。
希腊人在天文学领域取得重大进展，不仅仅归功于物理仪器，还得益于数学学科的进步。事实证明，古代和中世纪天文学中的巨大争议，并未发生在那些支持地动说或天动说的人们之间；相反，大多数人都认为太阳、月球和行星围绕静止的地球转动，却对运动方式持有两种不同的构想。正如我们将要看到的，这一辩论之所以产生，很大程度上是因为人们对数学在自然科学中所起的作用看法迥异。
这个故事的开端，我喜欢将其称为“柏拉图的家庭作业题”。530年左右，新柏拉图主义者辛普利西乌斯在对亚里士多德《论天》的评论中称：柏拉图制定了天体运动的原则，即在圆形轨道上做匀速规则的运动。由此，他向数学家提出了以下问题：怎样的匀速和完全规则的圆周运动的组合，可以作为假设来说明行星的行为？3
“说明行为”是传统的翻译，柏拉图的问题实际上是：怎样的运动组合——要求以恒定速度并且总是朝着同一方向做圆周运动——能够使行星（这里包括太阳和月球）呈现出我们实际观测到的视运动。
最先着手处理这一问题的是尼多斯的欧多克斯——与柏拉图同时代的数学家4。他在著作《速度论》（On Speeds）（书已佚失，世人只能通过亚里士多德5和辛普利西乌斯6的描述了解书中内容）中建立了一个数学模型。根据这个模型，恒星附着在以地球为中心的一个球壳上，每天自东向西旋转一周，而太阳、月球和行星分别附着在以地球为中心的不同球壳上，而这些球壳本身又被其他球壳带动。在最简单的模型中，太阳的运动可用两个球壳来说明。外球壳自东向西每天围绕地球旋转一周，其轴线与旋转速度与恒星所在球壳相同；太阳位于内球壳的赤道上，内球壳一方面参与外球壳的运动（仿佛两壳相互联结），但同时也围绕自身轴线每年自西向东旋转一周。内球壳的轴线相对于外球壳的轴线倾斜23.5°。这一模型不仅能够解释太阳的周日视运动，也能够解释其通过黄道的周年视运动。同理，月球也可以假设为被两个逆向旋转的球壳载行，其差别是月球所在的内球壳每月（而非每年）自西向东旋转一周。不知为何，欧多克斯在太阳和月球的模型中分别增加了第三个球壳。这种理论被称为“同心球壳理论”，因为行星、太阳和月球所在的球壳层具有相同的中心，即地心。
行星的不规则运动，使问题愈加复杂。欧多克斯为每颗行星设定了4个球壳：最外层球壳自东向西每天绕地球旋转一周，其旋转轴与恒星所在球壳及太阳和月球的外球壳相同；第二层球壳类似太阳和月球的内球壳，其轴线与外球壳的轴线倾斜约23.5°，以不同的速度自西向东较慢旋转；最内层的两个球壳，以完全相同的速率反向转动，其旋转轴近乎平行，但相对于两外层球壳倾斜较大角度。行星附着在最内层球壳上。两外层球壳使每颗行星随恒星一起每天绕地球转动，同时在较长时期内以平均路径通过黄道带。而在两内层球壳，如果两轴完全平行，反向旋转的效果会相互抵消，但由于两轴并不完全平行，它们把8字形的运动轨迹叠加到每颗行星通过黄道带的平均运动轨迹上，这就解释了行星的偶尔逆行。希腊人将这种路径称为“马缰绳”（hippopede），因为它类似于用来防止马匹偏离方向的缰绳。
利用欧多克斯的模型，人们并不能完全解释对太阳、月球和行星的观测结果。例如，我们在第六章中看到，欧克特蒙利用圭表发现了四季长度的差异，但这一差异并未在欧多克斯的太阳模型中得到体现。此外，欧多克斯的水星模型相当失败，而金星和火星模型也不尽如人意。作为改进，西兹库斯的卡利普斯（Callippus of Cyzicus）提出了一个新的模型。他给太阳和月球增加了两层球壳，并给水星、金星和火星各增加一层球壳。尽管卡利普斯的模型又为行星的视运动带来了一些新的虚假特征，但总体说来比欧多克斯的模型更成功。
在欧多克斯和卡利普斯的同心球壳模型中，太阳、月球和行星各有一套独立的球壳，其外层球壳都与恒星层球壳保持精确同步。这正是被现代物理学家称为“微调”的一个早期例子。当一个理论不问究竟、单纯为了实现某些事物等同而对其因素做出调整时，我们将其斥为“微调”。科学理论中的微调现象，犹如大自然发出的悲鸣，抱怨这差强人意的解释。
对微调的反感，使现代物理学家成功得出一项至关重要的新发现。20世纪50年代后期，两种被称为τ和θ的不稳定粒子被确定以不同方式衰变—— θ衰变为两个较轻的π介子，而τ衰变为三个π介子。τ粒子和θ粒子不仅质量相同，平均寿命也相等，但两者的衰变方式却截然不同！物理学家认为τ和θ不可能是相同的粒子，由于种种复杂原因，大自然的左右对称性（即所有自然规律在镜像反演下必须保持不变）不允许同一粒子有时衰变为两个π介子，有时衰变为三个π介子。就我们当时所知，完全可以调整理论中的常数，使τ和θ具有相同的质量和寿命，但人们很难接受这样的理论——如此程度的微调，看起来简直令人绝望。然而最后人们发现并无微调的必要，因为两者实际上是相同的粒子。左右对称性虽适用于将原子和原子核合为一体的力，却不适用于各种衰变过程，包括τ粒子和θ粒子的衰变。7意识到这一点的物理学家做出了正确的判断，他们不相信τ粒子和θ粒子只是“碰巧”具有相同的质量和寿命，因为这将需要太多的微调。
时至今日，我们面临一个更令人困扰的微调。1998年，天文学家发现宇宙膨胀并没有像预测的那样，因星系间的引力作用而减缓，反而在加速。这种加速被认为与空间本身的能量（也就是我们所说的暗能量）有关。理论指出，暗能量有几种不同的来源。其中一些能够计算，另一些则不能。而我们能够计算出的暗能量来源，比天文学家观测得到的暗能量值高56个量级，也就是说1后面有56个零。这并非悖论，因为我们可以假定暗能量来源的这一计算值被我们不能计算的值所抵消，但这种抵消必须精确到小数点后56位。这一级别的微调是无法接受的，因此理论家们一直致力于寻找一种更好的方式来解释暗能量的实际值远小于计算值的原因。其中一种可能的解释将在第十一章中提及。
与此同时，我们必须承认，一些看似是微调的实例实际上只是巧合。例如，日地距离与地月距离之比约等于日月直径之比，因此，从地球上看，日月大小相差无几——日全食期间月球恰好遮住太阳的事实便是明证。但这只不过是个巧合，没有理由认为存在任何其他解释。
为减少欧多克斯和卡利普斯模型中的微调现象，亚里士多德采取了相应措施。在《形而上学》8中，他建议把所有球壳捆绑在一个单一联结系统中。在最外层行星土星的模型中，欧多克斯和卡利普斯设定了4层球壳，亚里士多德则减去了最外层球壳，直接将土星的三层内层球壳与恒星层球壳固定，这样便依然能够解释土星自东向西的周日运动。此外，亚里士多德还在土星的三层内层球壳的里层，额外增加了三层反向旋转的球壳，其中最里层的球壳与木星最外层球壳相联结，以此抵消土星三层球壳的运动对木星球壳的影响。
亚里士多德以增加三个反向旋转球壳为代价，将土星的外球壳与恒星层球壳相联结，可谓成功之举。从此人们无须猜度土星的周日运动为何与恒星精确同步——土星已与恒星球壳完全绑定。但接下来，亚里士多德可谓一着不慎满盘皆输：在木星模型中，他保留了欧多克斯和卡利普斯模型中的全部4个球壳。由此引起的麻烦是，木星的周日运动既来自土星，也来自其自身4层球壳中的最外层，其结果是木星将在一天内环绕地球两周。土星与木星之间的三个反向旋转球壳只能抵消土星的特殊运动，而土星绕地球的周日运动仍将传递给木星，难道他忘记了这一点？
更糟的是，亚里士多德只在木星的4层球壳内侧添加了三个反向旋转球壳，以抵消其自身的特殊运动而非周日运动，然后在火星模型中，保留了卡利普斯设定的5个球壳，因此火星将一天环绕地球三周。以此类推，在亚里士多德的方案中，各天体每天环绕地球运行的周数分别是：金星4周，水星5周，太阳6周，月球7周。
我在读亚里士多德的《形而上学》时，曾震惊于这个明显的失误，然后我发现其他几位作者已经注意到了这一失误，包括J·L·E·德雷尔（J. L. E. Dreyer）、托马斯·希斯（Thomas Heath）和W· D·罗斯（W. D. Ross）。9他们中的一些人认为该文本与亚里士多德的原文有出入。但如果亚里士多德确实提出了在《形而上学》标准版中描述的方案，那么就不能将此解释为他的思考角度与我们不同，或者他所感兴趣的问题与我们不同。我们只能推断：亚里士多德从自己的思考角度出发解决他所感兴趣的问题时，犯了这样的错误，可见他不是粗心就是糊涂。
即便亚里士多德设置了正确数目的反向旋转球壳，使得每颗行星与恒星一样每天恰好绕地一周，他的方案仍然依靠大量的微调。亚里士多德置于土星球壳内侧、用来抵消土星的特殊运动对木星运动影响的反向旋转的球壳，其旋转速度必须与土星的三层球壳转速完全一致，抵消作用方能实现；对于其他行星亦是如此。此外，与欧多克斯和卡利普斯的模型一样，在亚里士多德的方案中，水星和金星的第二层球壳需要以与太阳第二层球壳完全相同的速度旋转，才能解释水星、金星和太阳一起通过黄道带的事实——正因如此，内行星在空中的位置总不会远离太阳。例如金星，总是在黎明或黄昏出现，从来不会在午夜时分高悬空中。
在古代天文学家中，至少有一位对微调问题十分重视，即本都的赫拉克利德斯（Heraclides of Pontus）。公元前4世纪，赫拉克利德斯求学于柏拉图学院，或在柏拉图赴西西里岛时受托掌管学院。辛普利西乌斯10和埃蒂乌斯都说，赫拉克利德斯在其学说中介绍了地球绕轴自转[3]，从而一举否定了恒星、行星、太阳和月球围绕地球做周日运动的假设。赫拉克利德斯的主张在古典时代晚期和中世纪偶有提及，但直到哥白尼时代才广为人知，原因大概也在于我们感觉不到地球的转动。阿利斯塔克的著作写于赫拉克利德斯一个世纪之后，没有迹象表明他认为地球不仅绕太阳运动，还绕自身轴线旋转。
查尔西提乌斯（Chalcidius）（或卡尔西提乌斯，Calcidius）是一位基督徒，于4世纪将《蒂迈欧篇》从希腊语译为拉丁语。据其所述，赫拉克利德斯曾经还提出，由于水星和金星永远不会远离太阳，它们应是围绕太阳而不是围绕地球运行。这一说法减少了欧多克斯、卡利普斯和亚里士多德的方案中的微调现象，不需要人为协调太阳和内行星第二层球壳的转动情况。然而，太阳、月球和三颗外行星仍然被设定为围绕静止（虽然实际上在自转）的地球运行。这一理论对于内行星完全适用，能够像哥白尼理论的最简版本一样解释其视运动。在哥白尼学说中，水星、金星和地球都以恒定速度绕太阳运行。对内行星而言，赫拉克利德斯与哥白尼的唯一区别在于这两位天文学家观点的不同——前者认为地球是宇宙中心，后者认为太阳是宇宙中心。
此外，欧多克斯、卡利普斯和亚里士多德的方案中，除了固有的微调现象外，还存在另外一个问题：这些同心球壳模型与观测结果并不十分吻合。当时的人们认为行星依靠自身发光，而既然行星所在的球壳始终与地表保持同等距离，那么行星的亮度应该永恒不变。但显然其亮度变化很大。辛普利西乌斯11提到，200年左右，逍遥学派哲学家索西琴尼（Sosigenes）发表了如下评论：然而，欧多克斯及其合作者的假设并不能说明所有现象，而只是那些先前已知并为其所接受的现象。有些现象欧多克斯未能说明，西兹库斯的卡利普斯试图对其进行解释，不管是否成功，这些事情都无讨论的必要……我的意思是，在很多时候，行星看起来很近，但在另一些时候则显得很远。对某些行星而言，这种距离的变化可被观测到。金星和火星在逆行时看起来增大了许多，因而在无月的夜晚，金星能够将物体照出影子。
辛普利西乌斯或索西琴尼所指的行星大小，我们推测应该理解为其视亮度，因为肉眼看不到任何行星圆面。但一个点越光亮，看起来就越大。
事实上，这一论据并不具有辛普利西乌斯所认为的说服力。行星（类似于月亮）发光是因其反射了太阳光，因此即便在欧多克斯等人的方案中，行星的亮度也会随相位（类似月相）的改变而改变——这一点直到伽利略的研究成果问世后才为世人所知。但即便将行星的相位变化考虑在内，同心球壳理论仍然难以解释实际观察到的行星亮度变化。
在希腊化时期和罗马时期，出现了一种能够更好地解释太阳和行星视运动的理论，该理论取代了欧多克斯、卡利普斯和亚里士多德的同心球壳体系，为专业天文学家（如果不称其为哲学家的话）所接受。它基于以下三种数学手段：本轮、偏心轮和对位点。我们不知道谁发明了本轮和偏心轮，但在第六章和第七章中提及的佩尔加的阿波罗尼奥斯（希腊化时期的数学家）和尼西亚的喜帕恰斯（天文学家）对此绝不陌生。12而我们得知本轮和偏心轮理论，是通过托勒密的著作，此后该理论便一直与其名字相关联。在该理论中，托勒密还首先提出了“对位点”这一概念。
托勒密活跃在150年左右，那时的罗马帝国正处于安东尼统治下的兴盛时期。他曾在亚历山大博物馆工作，于161年之后去世。在第四章中，我们讨论了他对反射和折射现象的研究。他的天文学研究成果记录在《大综合论》（Megale Syntaxis）中，阿拉伯人译为《天文学大成》，该名称在欧洲广为人知。由于这本书的空前成功，抄写员们不再誊抄先前的天文学家如喜帕恰斯的著作，其结果是，人们如今难以将托勒密本人的工作与别人的区分开来。
在《天文学大成》中，托勒密完善了喜帕恰斯星表，共列出1 028颗恒星，在喜帕恰斯原著的基础上增加了好几百颗，并指出其亮度以及在天空中的位置。[4]而对未来科学更为重要的，则是托勒密关于行星、太阳和月球的理论。首先，《天文学大成》中所述的理论工作在方法上具有惊人的现代化程度。其中提出了包含各种自由参数的行星运动的数学模型，然后根据观测结果调整对模型的预测，由此确定参数的数值。下面是一个与偏心轮和对位点相关的例子。
在其最简单的版本中，托勒密理论认为每颗行星都在一个被称为“本轮”的圆周上运行，而本轮中心又在“均轮”上绕地球转动。内行星——水星和金星——在本轮上绕行一周的时间分别为88天和225天。模型经过微调，使本轮中心在均轮上绕地一周的时间恰为一年，且本轮中心始终位于日地连线上。
我们能够理解这一理论为何有效。行星的视运动丝毫无法显示其距离有多远。因此在托勒密的理论中，任何行星在天空中的视运动都不取决于本轮和均轮的绝对尺寸，而只取决于两者的尺寸之比。只要托勒密愿意，他完全能够以同等比例扩大金星的本轮和均轮的尺寸，再对水星进行类似处理，以使两颗行星具有相同的均轮，即太阳的轨道。这样太阳将成为均轮上的一点，内行星围绕该点在本轮上运行。这一假设固然与喜帕恰斯或托勒密提出的理论不同，但在两种情况下，内行星呈现相同的视运动，因为两者的差别只在于轨道的总体规模，而这对视运动并无影响。本轮理论的这一特例，与前文中出现过的赫拉克利德斯的理论——其中水星和金星围绕太阳运行，而太阳绕地球运行——正好相同。正如前文所述，赫拉克利德斯的理论效果很好，因为它等价于日心说，两种理论的差别只在于天文学家的观点。既然托勒密的理论与赫拉克利德斯的理论所呈现的水星和金星的视运动相同，前者能与观测结果完美契合，也就不足为奇了。
对于外行星——火星、木星和土星，托勒密本可以应用相同的本轮和均轮理论，但为了使理论保持有效性，必须设定行星在本轮上的运动比本轮中心在均轮上的运动慢得多。我不知道这一设定有何不妥，但不知何故托勒密选择了一条不同的途径。在其方案的最简版本中，每一颗外行星在本轮上运行一周的时间为一年，而本轮在均轮上绕地一周的时间则较长：火星为1.88年，木星为11.9年，土星为29.5年。这里存在一种不同类型的微调，即本轮中心到该行星的连线始终平行于日地连线。该方案与观测到的外行星的视运动十分吻合，原因与上述的内行星模型类似：以同等比例扩大行星本轮和均轮的尺寸时，视运动不变；而当其扩大到某一特殊值时，该理论等同于哥白尼理论的最简版本，两者唯一的区别是天文学家的观点不同——托勒密认为地球是中心，哥白尼认为太阳是中心。对于外行星，这一特殊值是，本轮的半径等于日地距离（见技术札记13）。
托勒密的理论很好地解释了行星的逆行。例如，当火星在本轮上运行到最接近地球的一个点时，似乎在逆向通过黄道带，因为此时火星在本轮上的假定运行方向与其本轮在均轮上的假定运行方向相反，且前者的运行速度更快。对此，以地球为参照系的现代说法是：火星和地球都绕太阳运行，当地球超过火星时，火星看起来在黄道带上逆向运行。两种说法参照不同，实质却相同。火星逆行之际，也是它最亮的时刻（前文中辛普利西乌斯对此有所提及），因为此时火星与地球距离最近，且我们看到的火星面正对太阳。
由喜帕恰斯、阿波罗尼奥斯和托勒密发展的本轮—均轮理论，并不是碰巧（仅凭运气好）与观测结果吻合，却与现实无关的幻想产物。在其最简版本（每颗行星只有一个本轮，无其他特殊情况）中，该理论与哥白尼理论的最简版本（地球和其他行星以太阳为中心做匀速圆周运动）在太阳和行星的视运动方面，有着完全相同的预测。正如在水星和金星的例子中所阐明的（详细解释见技术札记13），这是因为托勒密的理论是一个集合，其中关于本轮和均轮大小的所有假设均能够使太阳和行星呈现相同的视运动，而其中一个特定的假设（尽管托勒密并未采用）与哥白尼理论的最简版本相同，准确地解释了太阳和各大行星的实际相对运动情况。
若只到这里结束，希腊天文学的故事将会非常完美。但不幸的是，既然哥白尼本人都清楚地意识到，其理论的最简版本对行星视运动的预测与观测结果不甚相符，托勒密理论的最简版本——与前者如出一辙——自然也不例外。从开普勒和牛顿时期开始，人们就已知道，地球和其他行星的轨道并非正圆，太阳也并不正好位于轨道中心，同时地球和其他行星在轨道上的运动并非精确的匀速运动。当然，希腊天文学家完全不具备这样的现代理解。在开普勒之前，天文学家们多数时间都在试图修补托勒密与哥白尼理论最简版本中的不精确之处。
柏拉图提倡匀速圆周运动，就我们所知，历代古人都坚定不移地认为天体只能做复合圆周运动，只有托勒密愿意在匀速运动方面做出让步。在圆周轨道条件的约束下，托勒密和他的前辈为了使其理论更加精确地匹配对太阳、月球以及行星的观测情况，创造了诸多复杂机制。[5]
复杂机制之一是增加更多本轮。托勒密发现有此必要的唯一行星是水星，它的轨道相较任何其他行星而言，与圆的差异更大。另一个复杂机制是“偏心轮”的设定：地球不再作为每颗行星均轮的中心，而是偏离中心一定距离。例如，在托勒密的理论中，金星均轮的中心偏离地球的距离，为均轮半径的2%。[6]
偏心轮可与另一个由托勒密提出的数学概念“对位点”相结合。除行星本轮之外，这是使行星在轨道上改变速度的另一方法。有人可能觉得，在地球上，我们应该看到每一颗行星——更准确地说是每颗行星的本轮中心——以恒定的速率（例如周日角度数）围绕我们运行，但托勒密知道这不大符合实际观测。而在引入偏心轮的概念后，人们可能转而认为，我们应该看到行星本轮的中心围绕行星均轮的中心（而不是绕地球）匀速运行。但是，这仍然不可行。于是托勒密为每颗行星引入了一个后来被称为“对位点”的概念[7]——该点位于地球相对于均轮中心的反方向，且到均轮中心的距离与地球到该中心的距离相等；同时假定行星本轮的中心以恒定角速率环绕对位点运行。地球和对位点与均轮中心距离相等这个事实，并非出于哲学的先入为主，而是先将其作为自由参数，再根据理论预测与观测结果的吻合程度来确定这些距离的数值。
托勒密模型和观测结果之间仍然存在相当大的差异。在第十一章关于开普勒的部分，我们将看到，如果托勒密能善始善终，为每颗行星设置一个本轮，同时为太阳和每颗行星设置一个偏心轮和对位点，就能够很好地模拟行星（包括地球）在椭圆轨道上的实际运动——与几乎任何裸眼观测到的天文现象完美吻合。可惜托勒密并未做到前后一致。他在描述假设的太阳绕地运动时并未引入对位点，而这一遗漏——因行星的位置以太阳为基准——也搅乱了对行星运动的预测。正如乔治·史密斯（George Smith）所强调的13，体现古代或中世纪天文学与现代科学之间差距的一个标志便是，在托勒密之后，似乎没有人认真对待这些差异，并以此为切入点发展出更好的理论。
对月球模型的构建有特殊难度，因为适用于太阳和行星视运动的理论并不适用于月球。直到牛顿的研究成果问世，人们才得知这一现象的原因：月球的运动在很大程度上受到太阳和地球这两个天体引力的共同影响，而行星的运动几乎完全由太阳引力支配。喜帕恰斯曾提出单一本轮的月球运动理论，并根据两次月食之间的时间长度调整本轮大小。但托勒密注意到，这一模型不能有效预测两次月食之间月球在黄道带的位置。为弥补这一缺陷，托勒密创造出一个更为复杂的模型，但其理论存在另一个问题：地月距离会发生很大变化，这导致月球视大小的理论变化远大于观测值。
正如前文所述，在托勒密及其前人的理论中，仅凭对行星的观测，人们无从得知其均轮和本轮的大小，只能确定均轮与本轮的大小之比。[8]托勒密在《天文学大全》之后，又撰写了《行星假说》（Planetary Hypotheses）一书，填补了这一空白。在该书中，他引用了一个或取自亚里士多德的先验原则：世界的体系中不应有空隙。托勒密认为，每颗行星以及太阳和月球都应该占据一个球壳，球壳厚度为天体与地球的最大和最小距离之差，各层球壳之间严丝合缝、彼此贴合。在该方案中，一旦人们根据各天体与地球的距离，按照距离递增的顺序决定太阳、月球和行星的排位，就能够确定各天体轨道的相对大小。同时，由于地月距离很小，其绝对距离（以地球半径为单位）可用多种方法估算，包括第七章中讨论的喜帕恰斯的方法。托勒密本人则提出视差测距的方法：首先测量在地表观察到的天顶与月球之间的角距，再假设在地心观测月球，重新计算该角距，这样就可以得出地月距离与地球半径之比（见技术札记14）。14因此，根据托勒密的假设，只需知道太阳和行星绕地轨道的次序，就能够确定它们与地球之间的距离。
由于太阳和行星都偶尔会被月球遮蔽，人们一贯认为月球轨道是距地球最近的轨道。同时，人们很自然地假定，最远的行星绕地周期最长。因此，一般认为火星、木星和土星与地球的距离依次递增。然而，太阳、金星和水星的平均绕地周期均为一年，因此其次序问题仍然存在争议。托勒密猜测的次序由近到远依次为月球、水星、金星、太阳，然后是火星、木星和土星。他所得到的太阳、月球和行星到地球的距离（以地球直径的倍数表示），远小于实际值，其中日地距离与地月距离类似于第七章讨论过的阿利斯塔克的结果（或许并非巧合）。
本轮、对位点和偏心轮的复杂机制，为托勒密的天文学理论带来骂名。但我们应该知道，托勒密固执地引入这些复杂机制，并不是为了弥补将地球作为太阳系的静止中心的错误。在每颗行星的单一本轮（太阳无本轮）基础上增加的复杂机制，与地球环绕太阳或太阳环绕地球无关。本轮之所以有存在的必要，是因为天体轨道并非圆形、太阳不在轨道的中心、天体运行速度也并非恒定——这些事实直到开普勒时代才为世人所知。同样的复杂机制也影响着哥白尼最初的理论，他认为行星和地球的轨道必须是圆形，运行速度必须恒定。幸运的是，托勒密的理论与实际颇为接近；本轮理论的最简版本——每颗行星只有一个本轮，而太阳没有本轮——远比欧多克斯、卡利普斯和亚里士多德的同心球壳体系效果好。倘若托勒密不仅为每颗行星设定偏心轮和对位点，也对太阳模型做同样处理，那么其理论值与观测值之间的出入将大大减小，仅凭当时的观测方法将难以察觉。
托勒密与亚里士多德在行星运动理论方面的争端并未因此得到解决。托勒密的理论与观测情况的吻合度较好，但它违反了亚里士多德物理学的以下假设：所有天体运动轨迹必须由以地球为中心的圆复合而成。事实上，行星在本轮上怪异的循环运动，即使对不了解任何其他理论的人而言，也是难以接受的。
亚里士多德的捍卫者通常被称为物理学家或哲学家，托勒密的支持者一般被称为天文学家或数学家，两者之间的论战持续了1 500年之久。亚里士多德派经常承认托勒密模型与数据更为相符，但他们认为该模型只能吸引数学家，对理解现实毫无帮助。罗得岛的杰米努斯（Geminus of Rhodes，活跃在公元前70年左右）在其陈述中表达了这一想法，该陈述在3个世纪后被阿芙罗迪西亚斯的亚历山大（Alexander of Aphrodisias）引用，后者又被辛普利西乌斯15引用于对亚里士多德《物理学》的一篇评论中。这一陈述引发了自然科学家（有时译作“物理学家”）和天文学家之间的大辩论：物理学专注于探索天空中各种物质和天体的本质、能量及其从生到死的过程，揭示关于其大小、形状和位置的真相。天文学并不试图回答这些问题中的任何一个，而是着眼于揭示天空中现象的有序性，说明天空的确是有序的世界。天文学讨论地球、太阳和月球的形状、尺寸和相对距离，讨论日食和月食以及天体的“合”，讨论天体路径中固有的特征和数量。由于天文学的研究范围涉及天体形状的数量、大小和特征，可想而知它需要依赖于算术和几何的应用。天文学需要说明的只有这些问题，也有能力通过应用算术和几何得到相关结果。因此在许多场合中，天文学家和自然科学家试图实现的目标相同，例如证明太阳体积相当大或证明大地为球形，只是所使用的方法不同。自然科学家根据天体的实质证明他的每一个论点，这一实质可能是其能量、本身的优越性或其来历变化。而天文学家提出观点的依据，则是天体的形状和大小等性质，或是天体对应的运动和时间的量值……一般说来，天文学家并不关注什么事物天生静止，什么事物天生运动。他必须先假设出静止的事物和运动的事物，然后考虑何种假设符合天空中的现象。天文学家必须从自然科学家那里获取首要的基本原理，即天体的“舞蹈”是简单、规则且有序的；根据这些原理，他将能证明所有天体——无论是在平行轨道上循环还是在倾斜圆周轨道上运行——其运动轨迹均为圆形。
杰米努斯所描述的“自然科学家”具备当今理论物理学家的一些特征，但两者之间仍存在巨大差异。作为亚里士多德的追随者，杰米努斯主张自然科学家依赖于包括目的论在内的基本原则——自然科学家认为，“天体的现状是最好的状态”。在杰米努斯看来，只有天文学家会应用数学以辅助其观测。但令他始料未及的是，理论与观测之间已经实现了相互补充。现代理论物理学家确实依据基本原理做出推论，但他们在工作中应用数学，而且这些原理本身也用数学表达，此外，得出这些原理的途径是观测，而不是考虑何种状态“最好”。
杰米努斯关于行星运动的说法是“在平行轨道上循环”以及“在倾斜圆周轨道上运行”，从中可看出欧多克斯、卡利普斯和亚里士多德的方案——围绕倾斜轴旋转的同心球壳体系。作为亚里士多德的忠实信徒，杰米努斯自然坚定地支持这一方案。另一方面，100年左右，阿芙罗迪西亚斯的阿德拉斯托斯（Adrastus of Aphrodisias）写了一篇关于《蒂迈欧篇》的评论；后一辈的数学家，士麦那的西昂（Theon of Smyrna）对阿波罗尼奥斯和喜帕恰斯的理论深信不疑。为了提升该理论的接受度，阿德拉斯托斯和西昂将本轮和均轮描述为类似亚里士多德同心球壳理论中的固体透明球壳，唯一区别是本轮—均轮理论中的球壳并不同心。
面对关于行星的对立理论之间的冲突，一些作者知难而退，宣称人类无法理解天体现象。5世纪中叶，新柏拉图主义者普罗克洛斯在其对《蒂迈欧篇》的评论中宣称：16
研究尘世之物时，由于其组成材料的不稳定性，我们会满足于掌握多数场合发生的情况。但在探究天上的事情时，我们运用感觉，创造出各种各样几无可能的发明设计……有关天体的种种发现，朴素地展示了各种天体现象——对于同样的对象，我们通过采用种种不同的假设，得出相同的结论。在这些假设中，有些借助本轮来解释现象，另一些运用了偏心轮，更有一些引入了反向旋转的空球壳。上帝的判断势必更为明确。至于我们，必须满足于事情的“近似”结果，因为作为凡夫俗子，我们所言之事只是可能之事，我们的长篇大论不过是无稽之谈。
普罗克洛斯的说法存在三方面的错误。首先，他忽略了很重要的一点：与亚里士多德假设的同心反向旋转球壳相比，托勒密的本轮和偏心轮理论在“说明现象”方面的效果要好得多。其次是一个技术性小错误：在提到“有些借助本轮来解释现象，另一些运用了偏心轮”时，普罗克洛斯似乎并未意识到，某些情况下本轮能够起到偏心轮的作用[9]，因此这两者并非不同的假设，而是用不同方法描述的同一数学假设。最后一点严重错误在于普罗克洛斯的以下假定：理解天体运动要比理解月球轨道以下的地面运动更为困难。事实恰恰相反。我们知道如何高精度地计算太阳系中天体的运动，却仍然无法预测地震或飓风。然而，持有这一悲观看法的，并非只有普罗克洛斯一人。在几个世纪之后的摩西·迈蒙尼德（Moses Maimonides）身上，也出现了类似的莫名悲观情绪，认为人类不可能理解行星运动。
科学哲学家皮埃尔·迪昂（Pierre Duhem）17，在20世纪头10年发表著作，在书中他支持托勒密派的观点，因为他们的模型与数据更为吻合，但是他不赞成西昂和阿德拉斯托斯为迁就模型而忽视真相的做法。或许是出于虔诚的宗教信仰，迪昂主张科学的作用应仅限于建构与观测结果相符的数学理论，而不应试图给出任何解释。对此我并不赞同，因为在我这一代的物理学家看来，我们所做的工作当然是“解释”（我们也经常使用该词），而不仅仅是“描述”。18诚然，精确界定“描述”与“解释”的区别并非易事。我会表述为，我们解释世界的某些一般性的方法，是展示其如何遵循一些更基本的一般性。但我们所说的“基本”是指什么呢？当我们说牛顿的引力和运动规律比开普勒的行星运动三大定律更基本时，我想我们就明白了其中的意思。牛顿的巨大成功在于“解释”了行星的运动，而不仅是描述。对于引力问题，牛顿并未给出解释，对此他心知肚明，但这很正常——总有一些东西需要留待将来再作解释。
行星因其不规则的运动方式，无法用作时钟、日历或罗盘。从希腊化时期开始，人们将其另作他用，发展出占星术——这是从巴比伦人那里学来的伪科学。[10]现代天文学和占星术之间的鲜明区别在古代和中世纪世界并不明显，因为那时的人们还不知道，人类所关心的事情与支配恒星和行星的法则之间毫无瓜葛。托勒密王朝政府之所以支持天文学研究，主要是希望能据此揭示未来，因此天文学家自然在占星术上花费了大量时间。事实上，托勒密不仅撰写了古代最伟大的天文著作《天文学大成》，还著有占星术的教科书《占星四书》（Tetrabiblos）。
但我不能在这样不和谐的气氛中结束希腊天文学。为使本书第二部分有一个更加愉悦的结尾，我将引用托勒密所说的天文学之乐作结语19：我自知肉身凡胎，朝生暮死；当我探寻出群星运行的轨迹，便仿佛脱离凡尘，比肩宙斯，饱享仙馐，与神共食。
[1] 为清楚起见，本章中但凡提到行星，即指水星、金星、火星、木星和土星。
[2] 从英语中周一到周日的命名，我们可以看出一周7天与行星以及相关诸神的对应关系。星期六（Saturday）、星期日（Sunday）和星期一（Monday），显然与土星（Saturn）、太阳（Sun）和月球（Moon）有关；星期二（Tuesday）、星期三（Wednesday）、星期四（Thursday）和星期五（Friday）则是根据日耳曼诸神命名，假设分别对应拉丁诸神如下：提尔（Tyr）对应玛尔斯，沃旦（Wotan）对应墨丘利，托尔（Thor）对应朱庇特，弗丽嘉（Frigga）对应维纳斯。
[3] 在一年的365.25天中，地球实际绕地轴旋转了366.25周。在此期间太阳看似只绕地球转动了365.25周，这是因为地球绕轴自转366.25周的同时，还沿同一方向围绕太阳一周，导致看起来太阳围绕地球旋转了365.25周。地球相对于恒星自转366.25周耗时365.25天（每天24小时），因此地球自转一周耗时为（365.25×24小时）/ 366.25，即23小时56分4秒。这被称为恒星日。
[4] 自托勒密时代至今，星表中恒星的视亮度都用“星等”来描述。星等的数值越大，星星越暗。最亮的天狼星是–1.4等，明亮的织女星是0等，肉眼勉强可见的星为6等。1856年，天文学家诺曼·普森（Norman Pogson）比较了大量恒星的测量视亮度和它们在历史上被赋予的星等，并据此确定，绝对星等每相差5等，则亮度相差100倍。
[5] 托勒密在《天文学大成》第12篇的开头提到，佩尔加的阿波罗尼奥斯证明了一个定理，其内容是关于使用本轮和均轮来说明太阳的视运动，这是关于本轮应用起源的为数不多的线索之一。
[6] 在地心说中，偏心轮可以被认为是某种形式的本轮，从该本轮的中心到太阳的连线始终平行于地球到太阳均轮中心的连线，从而使太阳轨道的中心移离地球。类似的说法也适用于月球和行星。
[7] 托勒密并未使用“对位点”这个术语，而是将其称为“偏心等距点”，表明均轮的中心被取作对位点和地球连线的中点。
[8] 加入偏心轮和对位点后，该说法依然成立。对每颗行星进行观测，只能确定均轮中心到地球和到对位点的距离与均轮、本轮的半径之比。
