=48.69×1.185×0.68=39.23(万元）
=48.69×1.185×1.44=83.09（万元）其余各月的预测值依此类推。
2.趋势一指数法
趋势一指数法是以市场的循环周期（一年）为跨越期求得移动平均值，
并在移动平均值的基础上求得季节指数，然后以最后一个移动平均值、趋势
增长值和季节指数为依据，预测未来市场发展趋势。
趋势一指数法主要应用算术移动平均值的公式，其预测的数学模型是：
y a b T X t T t t t
^
( ) + = +
式中yt T +
^
——一时间为T 的预测值，其中t 为预测模型所处的时间周期；
at——一相当于截距，系观察期最后一个移动平均值；
6t——相当于斜率，是观察期最后两个移动平均值为基础的变动趋势；
T——为预测的时间周期，即距离预测模型的间隔期；
XT——预测时间周期为R 的季节指数。
下面结合例3 说明用趋势—指数法进行预测的方法和步骤。
例3 表2.22 所列的是某商品1985～1989 年中按月统计的销售额资料，
试预测该商品1990 年各月的销售额。
（1）搜集整理资料。如表2.22
（2）以12 个月为跨越期求历年各月销售额的移动平均值。例如：第一
个移动平均值为1985 年12 个月销售额之和除以12，等于6.5；第2 个移动
平均值为1985 年2 月到1986 年1 月的12 个月销售额之和除以12，等于6.6。
依次类推，直到所有可能的12 个月移动平均值计算完毕为止。
由于跨越期（12）为偶数，所以第一个移动平均值应计在第一年的6、7
月之间，第二个移动平均值应计在7、8 月之间，等等。
（3）计算中心化的移动平均值，即以相邻两个移动平均值相加除以2。
中心化的移动平均值可以使我们上面计算的移动平均值正好位于时间序列的
一个确定的月份。例如，位于1985 年6、7 月之间的移动平均值6.5 万元，
加上位于7、8 月
之间的移动平均值6.6 万元再除以2，等于6.55 万元，它正好处于7 月
份的位置，其余依次类推。
表2.22 某商品按月销售额
单位：万元
月
销售额
年
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑
1985 2 4 6 8 10 8 6 5 4 7 8 10 78
1986 3 5 7 10 9 8 7 6 3 8 11 14 91
1987 5 6 8 10 11 10 6 7 5 9 13 15 105
1988 6 5 7 10 9 7 4 4 9 11 14 17 103
1989 8 10 12 12 10 8 6 7 6 15 18 20 132
（4）计算各月的季节指数。
月季节指数= ×100
式中的百分率略去了百分号。例如，1985 年7 月份的季节指数为
（6/6.55）×100=91，表示该月实际销售额只相当于平均趋势值的91％。各
月季节指数的计算结果列于表2.24 中（百分率略去百分号）。
（5）计算各月季节指数的平均数。
月季节指数的平均数
∑ 每年同月的季节指数
相应的月数
=
( )
例如一月份季节指数的平均数为：
44 61 73 80
4
64 5
+ + +
= .
各月季节指数的平均数计算结果列于表2.23 中。
表2.23 1985 ～ 1989 年各月的季节指数和指数平均值
各月季节指数指数平均值
月份
1985 1986 1987 1988 1989 平均数调整值
1 44 61 73 80 64.5 65.0
2 72 73 63 98 76.5 77.0
3 101 96 88 118 100.8 101.5
4 144 118 121 117 125.0 125.9
5 126 128 108 94 113.0 113.8
6 107 114 82 73 94.0 94.7
7 91 91 68 46 74.0 74.5
8 76 77 80 44 69.0 69.5
9 59 38 57 96 63.0 63.5
10 102 101 103 113 104.8 105.6
11 117 138 151 143 139.3 140.3
12 147 171 179 173 167.5 168.7
合计1191.4 1200.0
个合计数可以写成
∑ 月销售额∑ 月销售额
.指标合计数
∑ 月销售额
∑各月销售额
×
×
1
5
2
5
12
5
5 12
100 + + = +
故此值必等于1200。两者之差是前者在运算中小数点后尾数的入舍造成
的， 这就需要调整。调整方法是将每月的指数平均值乘以系数
1200
季节指数平均值总和
,本例中调整系数为
1200
11914
100722
.
. = 。用调整系数调整
各月指数平均值，结果列于表2.23 第7 列。
（6）确定预测模型，进行预测。按照原理部分给定的公式：
yt+T=（at+btT）XT
本例中，观察期最后一个移动平均值（1989 年6 月份）为10.9（万元），
比5 月份的10.6（万元）增长0.3（万元），即
at=10.9
bt=0.3
由于at，处于6 月份的水平，则我们所建立的预测模型为：
y6+T＝（10.9 十0.3T）XT
如果我们预测1990 年1 月份的销售额，最后一个移动平均值离预测月份
的时间周期（间隔期）为7 个月，则T=7，X7=65（％），故1990 年1 月份
的预测销售额为
y6+7=（10.9+0.3×7）×0.65＝8.5（万元）
同理，1990 年2 月份的预测值为
y6+8=（10.9 十0.3×8）×0.77=10.2（万元）其余月份的预测值依次类
推。
3.温特斯线性和季节性指数平滑法
温特斯线性和季节性指数平滑法是一种更高级的平滑预测技术。它的预
测模型为：
yt+m=（St+btm）It-L+m 此模型以三个基本方程为依据，即：
S a
X
I
a S b
b r S S r b
I
X
S
I
t
t
t T
t t
t t t t
t
t
t
t L
= + - +
= - + -
= + +
-
- -
- -
-
( )( )
( ) ( )
( )
1
1
1
1 1
1 1
β β
式中m——所需预测的超前时期数；
L——季节性的长度（即一年中的月数或季数）；
t——预测模型所处的时期数。
上述三个方程分别对预测模型的三个组成部分进行平滑。其中，计算It
的方程类似一个季节指数，这个指数是一个比率，是数列的现行数值Xt 被数
列的现行一次平滑值St 来除。如Xt＞St，比值将大于1，反之则小于1。为
了理解这个方法和季节指数I 的作用，重要的是要认识到St 是数列的一个被
平滑过的数值，其中不包含季节性，而数值Xt 却包含着季节性。必须注意的
还有，Xt 还包含数列中的一些随机因素，为了平滑掉这些随机因素，计算I
的方程式对新计算出来的季节指数（Xt/St）用β加权，而对最近的与同一季
节有关的季节指数（It-L）用（1-β）加权。
计算bt 的方程完全是用以平滑长期趋势，因此，它对长期趋势的增量
（St-St-l 用γ加权，而对以前的长期趋势值（bt-l）用（l-γ）加权。
在平滑值St 的方程式中，第一项要被季节指数It-L 来除，这是为了消除
Xt 的季节性（即从Xt 中消除季节波动）。这种调整可以这样来理解：当It-
L＞1 时，说明第t—L 期的数值在季节性方面大于平均数值，Xt 被大于1 的
数来除，就会得出比原始数值为小的数值，其减小的比率刚好等于第t-L 期
的季节性数值高于平均数值的比率。当It-L＜1 的时候；就会进行相反的调
整。在这些计算中用到It-L 值，主要是因为It 只有等知道St 以后才能加以
计算。
为便于理解和掌握，下面我们结合实例来说明用温特斯法进行季节变动
预测的方法步骤。
例4 某建筑五金批发部窗纱销售额预测。已知1984～1989 年各季的销售
额如表2.24. 其季节变动情况。
表2.24 各季销售额
单位：万元
年份季度时期销售额
1984 1 1 362
2 2 385
3 3 432
4 4 341
1985 1 5 382
2 6 409
3 7 498
48 387
1986 1 9 473
2 10 513
3 11 582
4 12 474
1987 1 13 544
2 14 582
3 15 681
4 16 557
1988 1 17 628
2 18 707
3 19 773
4 20 592
1989 1 21 627
2 22 725
3 23 854
4 24 661
根据表2.24 的资料来预测1990 年各季的窗纱销售额，其方法步骤是：
（1）确定平滑常数α、β、γ的数值。确定平滑常数（权数）的原则和
方法可参看“指数平滑法”条目的专门介绍。本例中我们采用α＝0.2，β＝
0.05，γ＝0.1。
（2）确定S、b、I 的初始值。原则和方法同一般指数平滑法。当没有过
去的资料可以利用时，可用下列方法计算确定初始值：
S X L
I
X
X
I
X
X
I
X
X
X
Xi
L
b
X X X X X X
L
L L
L
L
i
L
L
L L L
+ +
-
=
+
+
- + +
=
= = =
=
+
=
- + - + -
.
1 1
1
1
2
2
1
1
1
1 1 2 2 3 3
1
3
( )
, , ,
( , )
( ) ( ) ( )
( )
为季节性长度
.
其中
（3）按预测模型的三个基本方程计算平滑参数值并进行预测。由于用温
特斯法进行预测时，只需要最近的预测值、最近的预测值和平滑常数α、β、
γ，为简化说明，我们先给出本例的计算结果（参见表2.25），然后仅以第
24 时期的数字为例来说明计算过程。
表2.25 应用温特斯线性和节节性指数平滑法预测季节销售额
时间实际值
平滑值
（ St ）
平滑的季
节指数It
平滑值
bt
预测值（当
m=1 时）
1 362.00 0.95
2 385.00 1.01
3 432.00 1.14
4 341.00 0.90
5 382.00 382.00 1.00 9.17
6 409.00 394.05 1.07 14.70 424.79
7 498.00 411.62 1.18 14.99 481.10
8 387.00 427.39 0.90 15.07 383.53
9 473.00 448.17 1.01 15.64 444.32
10 513.00 467.08 1.07 15.97 495.53
11 582.00 485.20 1.18 16.18 569.34
12 474.00 506.52 0.90 16.70 450.90
13 544.00 526.26 1.01 17.04 526.75
14 582.00 543.74 1.07 17.04 581.68
15 681.00 564.08 1.18 17.37 661.55
16 557.00 588.78 0.90 18.11 523.98
17 628.00 610.11 1.01 18.43 611.79
18 707.00 643.99 1.07 19.07 672.48
19 773.00 654.15 1.18 19.08 772.49
20 592.00 669.65 0.90 18.72 608.19
21 627.00 674.96 1.01 17.38 694.66
22 725.00 689.13 1.01 17.06 742.26
23 854.00 709.56 1.18 17.40 834.08
24 661.00 728.06 0.90 17.51 654.03
25 753.02
首先计算：
S
X
I
S b
b S S b
I
X
S
I
24
24
24 4
24 1 24 1
24 24 23 24 1
24
24
24 4
0 2 1 0 2
0 2
661
0 9
0 8 709 56 17 40 728 06
01 1 0 1
01 728 06 709 56 0 9 17 40 17 51
24 0 05 0 95
= + - +
= + + =
= + + -
= - + =
= +
=
-
- -
-
-
( . ) ( . )( )
.
.
. ( . . ) .
. ( ) ( . )
. ( . . ) . ( . ) .
. .
.
.
. ( . ) .
, ( ) ,
:
[ ( )]
[ . . ( )]( . ) .
[ ( )]
[ . . ( )]( . ) .
05
661
728 06
0 95 0 9027 0 9027
25 26 27 28
1
728 06 17 51 1 1 01 753 02
2
728 06 17 51 3 118 92110
24 1 24 24 24 4 1
24 2 24 24 24 4 2
24 4
+ =
= +
= + =
= +
= + =
=
+ - +
+ - +
+
然后变换预测超前时期数和季节指数值就可依次求得第、、和
期等的预测值
m
S S b I
S S b I
S [ ( )]
[ . . ( )]( . ) .
S b I 24 24 24 4 4 4
728 06 17 51 4 0 90 718 30
+
= + =
- +
□应用领域
季节变动预测法广泛地应用于日用化工、轻纺工业、商业、旅游业和饮
食服务业、建筑业、运输业和农业等经济活动受自然条件和生产条件影响的
行业中。采用科学的方法进行季节变动预测，可以使管理者掌握季节变动的
情况、程度和规律，有计划地组织生产经营活动，既能满足社会的需求，又
能提高企业的经济效益。
九、简单时间序列平滑法
简单时间序列平滑法是时间序列平滑预测的基本法。所谓时间序列平滑
预测是指用平均的方法，把时间序列中的随机波动剔除掉，使序列变得比较
平滑，以反映出其基本轨迹，并结合一定的模型进行预测。所平均的范围可
以是整个序列（整体平均数），也可以是序列中的一部分（局部平均数）；
所用平均数可以是简单平均数，也可以是加权平均数。在一次平均之后，就
局部平均而言，还可以进行第二次、第三次以至更多次的平均，进行多层次
的平滑。所以，平滑预测的方法也是多种多样的。简单时间序列平滑法是指
用简单平均数进行预测的一类预测方法。
当给定一组数据或观测值后，这些数值的平均数的种类
很多，常见的有算术平均数、几何平均数、调和平均数、加权算术平均
数、移动平均数与指数平滑平均数等。这些平均数各有各的计算方法，各有
各的特点与用途，在使用平均法进行预测时，首先要判断使用哪一种或哪几
种能够满足需要，然后再根据相应的计算方法求之。由于算术平均数、几何
平均数、调和平均数、加权算术平均数的计算方法相对其余几种来说，比较
简单，故常称这几种平均数的求法为“简单平均法”。
□算术平均法
算术平均数是部分数据或全部数据之和除以求和数据个数之商。
设X1，X2，.，Xn 为n 个数据，其算术平均数为：
X
Xi
n
i
n
= = .1
由于这种平均数使用机会最多，故通常把它简称为“平均数”。求算术
平均数的方法称为算术平均法。
因为求平均数的数据或观测值之均匀程度，每组数据通常不同，故所求
得的算术平均数不能反映均匀程度的大小。能表明数据均匀程度的指标有数
种，其中最常用的是标准差，其计算公式如下：S
X X
n
i
i
n
=
-
-
= .
( ) 2
1
S 越小，反映数据的均匀程度越好。
□几何平均法
对给定n 个数据，其乘积的n 次方根称为这n 个数的几何平均数。设X1，
X2，.，Xn 为给定的n 个数，则它们的几何平均数为：
G X X X Xi n
n = 1 2 0 . ≥ ( )
如果n＞3，为简化上式的计算，通常采用上式的对数形式：
lg lg
lg
G
n
X
G anti g
X
n
i
i
n
i
i
n
=
=
=
=
.
.
1
1
1
1
故
几何平均法的主要用途是在经济领域的预测中，用以计算物价上涨率、
产品产值增长率等。
例如，1982 年A，B，C，D 四种物品的价格相对于1970 年的价格指标分
别为150％，125％，85％，125％，则利用几何平均数可以计算四种物品的
价格上涨幅度。计算方法为：用此四种物价指标的几何平均数减100％（即
1970 年为100％）。
G anti - = + + + - - - = 100
1
4
150 125 85 125 100 118 8 100 18 8 lg[ lg lg lg lg )] . . (%)
即四种物品的价格1982 年比1970 年平均上涨18.8％
□调和平均数
调和平均数是给定数据的倒数之算术平均数的倒数。设X1，X2，.，Xn
为n 个数据，则调和平均数为：
H
n
i
Xi i
n =
= .1
例如，一人驾车从甲地到乙地，去程用30 公里/小时的速率，回程采用
60 公里/小时的速率。则去程与回程速率的调和平均数为
H =
+
=
1
1
30
1
60
40( / ) 公里小时
对上述三种平均数，很容易证明：对同一组数据（均大于零）求出算术、
几何、调和平均数，则有算术平均数＞几何平均数＞调和平均数。
□加权平均法
加权平均法有加权算术平均法、加权几何平均法等等，但一般是指加权
算术平均法。具体方法是，给每一数据乘一个反映数据重要性的“权数”，
然后再求总平均。
设X1，X2，.，Xn 为n 个数据，W1，W2.，Wn 为给定的对应权数，则加
权算数平均数为
Y
WX
W
i i
i
n
i
i
n = =
=
.
.
1
1
例如，某商品过去6 个月的销售量依次是65，68，70，75，85，90 箱。
如果取0.01，0.04，0.08，0.12，0.25，0.5 依次为各月销售量的权数，则
六个月销售量的加权平均数为
Y =
+ + + + +
+ + + + +
= =
0 01 65 0 04 68 0 08 70 0 12 5 0 25 85 0 5 90
0 01 0 04 0 08 012 0 25 0 5
84 22
1 00
84 22
. . . . . .
. . . . . .
.
.
. ( / )
× × × × × ×
箱月当给出的资料并不是一系列
7
离散变数，而是连续变化的函数时，同样可求其加权平均数，只是给定
的权数也必须是一个函数。设给定的连续函数F（X），给定的权函数W（X），
则求（a，b）区间内的加权平均数为
Y
W X fxd x
W X dx
z
a
a
b =
ò
ò
( ) ( )
( )
十、乐观决策法
乐观决策法也叫最大最大决策准则或乐观决策准则。这种决策方法的客
观基础是“天时、地利、人和”。因此，决策者感到前途乐观，有信心取得
每一决策方案的最佳结果。既然决策者对每一方案的最佳结果都有信心取
得，自然要选择结果最好的方案。这就是乐观决策法。
□基本原理
决策者在决策之前面临两种或两种以上的可行方案，每一种方案对应着
一定的自然状态，如产品推销人员可能面临产品销路好，销路一般，销路差
等自然状态，决策者选择不同的方案，其结果将带来不同的经济效益，在各
种自然状态下，每一种方案都可以通过科学的预测方法得出相应的效益值，
在每一种方案所对应的收益值中选出最大的收益值，然后比较每一种方案的
最大收益值，在所有最大收益值中最大者所对应的方案，就是入选方案。此
时乐观决策法表现为最大最大决策准则。有时，决策者可能采用的各种方案
所对应的收益值表现为损失值，如生产和销售中的各种费用支出，这种情况
下乐观决策法则表现为最小最小决策准则，即决策者所选方案对应着最小损
失的方案。采用乐观决策法可以期望获得最高的效益，但这种方法有较大的
风险性。
□基本操作步骤
（1）确定各种可行方案。
（2）确定决策问题将面临的各种自然状态，如：产品销路好，销路一般，
销路不好；风天、雨天、晴天等。
（3）将各个方案在各种自然状态下的效益值列于决策矩阵表中。
设某一决策问题有m 个可行方案A1，A2，.，Am；有n 个自然状态θ1，
θ2，.，θn；效益值为aij（i＝1，2，.，m；j＝1，2，.，n）。则决策
矩阵如下表所示：
表2.26 决策矩阵表
自然状态
益（损）值
方案
θ
1
θ
2 . θ
n max[a
ij
]θ
j
A
1
a
11
a
12 . a
1n
A
2
a
21
a
22 . a
2n
A
m
a
m1
a
m2 . a
mn
决策max{max[a
ij
]}A
i
θ
j
（4）求每一方案在各种状态下的最大效益值：
{ }
{ }
{ }
max , , ,
max , , ,
max , , ,
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
.
.
.
将每一方案在各种自然状态下的最大效益值填写在决策矩阵表的最右一
列。
（5）取max[ ]
θ j
a ij 中的最大值[ ] max max
A ij
j j
a
θ
ìí.
üyt
引所对应的方案Ai 为决策方
案。
若决策矩阵表为损失矩阵，则应采用最小最小决策准则。
□主要应用领域
乐观决策法主要应用于生产、销售、建筑施工和交通运输等领域。在存
在多种可行方案、每一方案在各种自然状态下的效益已知的情况下，即可采
用乐观决策法。
十一、乐观系数决策法
乐观系数决策法又称赫维茨决策准则。它是介于乐观决策法和悲观决策
法之间的一种决策方法，这种方法既不象乐观决策方法那样在所有的方案中
选择效益最大的方案，也不象悲观决策法那样，从每一方案的最坏处着眼进
行决策，而是在极端乐观和极端悲观之间，通过乐观系数确定一个适当的值
作为决策依据。这种利用乐观系数进行决策的方法就叫作乐观系数决策法。
□基本原理
乐观系数决策法的基本原理是：决策者的目光可以放在过分乐观和过分
悲观之间进行决策。这种决策方法的客观基础是形势既不太乐观也不太悲
观。因此，需要对乐观程度有一个基本估计，这个估计值称乐观系数。若以
α表示乐观系数，0≤α≤1，则1－α就是悲观系数。以α和1－α为权数对
每一方案的最大效益值和最小效益值进行加权平均，便得到每一方案可能的
效益值，然后取各方案的可能效益值中最大者为决策者的目标值。
□基本操作步骤
设CVi 表示第i 方案的加权平均效益，则：
[ ] ( ) [ ] CV a a a a i ij ij
j j
= + - max min
θ θ
1
取CVi 中最大值为决策者的目标值，设其为CVK，其对应的方案即为决策
方案。
{ } CV CVi K
Ai
= max
如果考虑的是损失值，则：
[ ] ( ) [ ] CVi a a a a
j j
ij ij = + - min max
θ θ
1
取CVi 中的最小值为决策者的目标值。
应用上述方法，α取值不同，可以得到不同的决策结果到底α取什么值
合适，这要视具体客观情况而定。如果当时情况比较乐观，则α可取得大些；
反之，α应取得小些。
□主要应用领域
乐观系数决策法主要应用于工业生产、销售、交通运输、建筑施工等领
域，它应用的客观基础是，客观条件和主观条件虽然不能保证获得最佳结果，
但对决策者而言仍具有一定的有利条件，在这种情况下即可应用乐观系数决
策法。
□实用案例
某工厂准备投产一种新产品，由于随机因素比较复杂，无法准确判断未
来产品销售情况，可能出现高需求，也可能出现中等需求或低需求。该工厂
有三个可供选择的方案：A1：新建一个车间；A2：扩建原有的车间；A3：对
原车间的生产线进行改造。这三个车间在10 年内的获利情况如下表所示。
表2.27 获利情况表
自然状态
方案
高需求
θ
1
中需求
θ
2
低需求
θ
3
A
1 830 415 -207
A
2 565 300 0
A
3 370 213 150
根据调查，确定乐观系数为α＝0.6，则悲观系数为1－α＝0.4。分别计算
每一方案的期望利润如下：
( ) CV
CV
CV
1
2
3
0 6 830 0 4 207 415 2
0 6 565 0 4 0 339
0 6 370 0 4 150 282
= + - =
= + =
= + =
. . .
. .
. .
×
× ×
× ×
三个方案对比，其中加权平均利润最大者是方案A1，故决定选用方案A1。
十二、确定型决策法
确定刑决策是决策人对未来的情况已有完整、可靠的资料，不存在不确
定因素的决策。现实生活中，绝对的确定刑决策是没有的，多少总带有一定
程度的不确定性；但在不确定性很小时，为了处理方便，可以按确定性决策
来对待。在这一类决策中，决策人只需要在已知的资料中，利用直观判断或
模型计算，从众多的方案中，选择一个最满意的策略方案即可。
作为确定型决策问题，必须具备以下四个条件：①存在着决策人希望达
