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当wD＜0和wE＞1时，情况相反，投资策略应是作一债券基金的空头，把所得投入
股票基金。
当然，改变投资比例还会影响资产组合的标准差。表8 - 3给出了根据8 - 5式和资产
组合的相关系数分别假定为0 . 3及其他
值计算出的不同权重下的标准差。图8 - 4显示了
标准差与资产组合权重的关系。首先看一下
D E ＝0 . 3时的实线，此图显示，当股权投
资的比例从0增加到1时，资产组合的标准差首先因分散投资而下降，但随后上升，因
为资产组合中股权先是增加，然后全部投资都集中于股权，从集中到分散，再到集中。
只要基金之间的相关系数不是太高，这一类型总是有效率的。对于一对收益的正相关
系数很高的资产，资产组合的标准差将单调上升，从低风险资产变化为高风险资产。
即便在这种情况下，如果正相关值很小，分散化还是会有一个积极的效果。
E[r(资产组合)]
股权基金
债券基金
w(股票)
w(债券)＝1-w(股票)
图8-3 资产组合期望收益率是投资比率的函数
哪种资产组合的标准差的最小水平是可接受的？根据表8 - 1规定的参数值，通过
解以下最小值问题可以得出资产组合的权重：[ 1 ]
wM i n(D)＝0 . 8 2
wM i n(E)＝1-0 . 8 2＝0 . 1 8
根据表8 - 3中
＝0 . 3列的数据，这个最小化方差的资产组合的标准差为
M i n ＝[ ( 0 . 8 22×1 22)＋( 0 . 1 82×2 02)＋( 2×0 . 8 2×0 . 1 8×7 2 ) ]1 / 2＝11 . 4 5%
图8 - 4中的实线表示当
＝0 . 3时，标准差是投资比例的函数，这条线经过wD ＝1和
wE ＝1两个非分散化的资产组合。我们发现最小方差资产组合（m i n i m u m - v a r i a n c e
p o r t f o l i o）有一个小于资产组合中各个单独资产的标准差，这显示了分散化的影响。
图8 - 4中其他三条线表明在其他相关系数下，资产组合中各组成资产的方差不变，
资产组合的风险是如何变化的。这些曲线画出了表8 - 3中其他三列中的数值。
[1] 解题中运用了微积分求最小值的技巧。先根据式( 8 - 2 )写出资产组合的方差；用（1-wD）来替代wE，求
2
出公式对于wD系数，令其等于0，得w Min( D) =
D
2 +
E -
2
E
Cov( rD , rE )
。另一种方法是使用计算机电子表
- 2Cov( rD , rE )
格求得准确解。
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资产组合标准差（%）
股票基金权重
图8-4 资产组合标准差是投资比例的函数
黑色实线连接非分散化下的全部是债券或全部是股票的资产组合，即wD ＝1或wE
＝1，表示资产组合中的资产完全正相关，
＝1。在这种情况下，分散化没有好处，
资产组合的标准差只是组合中各资产标准差的简单加权平均值。
绿色的抛物线描绘出非相关资产，即
＝0时的资产组合的风险。相关系数越低，
分散化就越有效，资产组合风险就越低（至少在两种资产的持有量为正时），最小的
标准差是当
＝0时，为1 0 . 2 9%（见表8 - 3）,低于组合中各个资产的标准差。
最后，三角形的折线显示了完全对冲的情况，当两种资产为完全负相关，即
＝
1时，资产组合的最小方差为：
E
wMin( D;
=-1) =
+
D
E
20 ( 8 - 6 )
== 0.625
12 + 20
wMin(E;
=-1) = 1 - 0.625 = 0.375
资产组合的方差（与标准差）为零。
我们可以把图8 - 3和8 - 4组合在一起，以揭示在有关资产的参数给定的情况下，资
产组合风险（标准差）与期望收益率的关系，结果见图8 - 5。对于任一对投资比率为
wD、wE的资产，我们可以从图8 - 3中得到它们的期望收益，从图8 - 4中得到它们的标准
差。期望收益与标准差在表8 - 3中列出，并在图8 - 5中给出了它们的几何图形。
图8 - 5绿色曲线是相关系数
＝0 . 3时的资产组合机会集合（portfolio opportunity
s e t）。我们把它称为资产组合的机会集合是因为它显示了由两种有关资产构造的所有
资产组合的期望收益与标准差。其他线段显示的是在其他相关系数值下资产组合的机
会集合。黑色实线连接两种基金，表示当两种资产的相关系数为1时，分散化没有什
么益处。绿色抛物线表示，当相关系数小于0 . 3时，可以从分散化中获得更多的利益。
