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经济学奖。[1] 他的模型是资产组合管理的第一步：确认有效率的资产组合集合，即风
险资产的有效边界。
全球最小方
差资产组合
风险资产的
有效边界
图8-12 有效率资产组合集合
风险资产组合集合背后最重要的思想是，在任一风险水平上，我们只对最高期望
收益的资产组合感兴趣。因此，边界是给定期望收益下最小方差的资产组合的集合。
实际上，两种计算风险资产组合的有效率集合的方法是一样的。这一点可以从图
解这些步骤中看出。图8 - 1 2显示了最小方差边界。
方形的点是方差最小化程序得出的结果，首先我们画出限制条件，即水平线代表
期望的收益水平。然后我们寻找每条水平线上最小的标准差（尽量靠左边的点）。当
我们针对不同水平的期望收益要求重复这一寻找工作时，最小方差边界的形状就显现
出来了。我们丢弃底部（虚线）部分，因为它没有效率。
另外一种方法是，我们画一条重直线代表标准差的限制，然后考察这条线上所有
的资产组合（有同样的标准差），找出最高的收益水平，即重直线上最高的资产组合。
重复以上的工作，画出不同的垂直线（代表标准差水平），画出不同的圆点，这些圆
点轨迹的上部就是有效率边界。
当以上步骤完成后，我们就有了份有效率资产组合的清单，因为最优化程序给出
的解包含资产组合中的权重wi、期望收益E(rp)和标准差
。
让我们重述一下资产组合经理已完成的工作，分析师的估算已经转化为期望收益
率的集合和一个协方差矩阵。这组数据被称为输入清单（input list），这组输入清单被
输入到优化程序中。
在我们开始第二步，即从边界集合中选择最优风险资产组合前，让我们考察一个
实际的情况。一些客户可能会要求增加限制条件。例如，许多机构禁止在任何资产上
拥有空头。对于这些客户，资产组合经理将给程序加入限制条件，即寻找有效率资产
组合时不考虑空头的情况。在这个特殊的例子中，单个资产有可能是有效率的风险资
产组合，例如，具有最高收益的资产可以是边界资产组合，因为没有卖空的机会，获
得收益的唯一办法是持有一项完整的风险资产组合。
除了卖空限制外，还存在其他的限制。例如，一些客户要求保证从最优资产组合
中得到一个最低水平的期望股息收益。在这种情况下，输入清单将增加期望股息收益
p
[1] Harry, Markowitz,“Portfolio Selection,”Journal of Finance, March 1952.
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集合，d1，.， dn，最优化程序中将加入保证资产组合的期望收益等于或大于设想收
益水平d的条件。
资产组合经理可以根据不同客户的需求裁制不同的效率集合。当然，任一限制条
件都贴上价格标签，即加入额外的限制条件所获得的酬报与波动性比率将低于限制少
的资产组合。客户应意识到这一成本，特别是对于不是法律强加的限制。
另一类限制是由于道德上或政治上的原因，不对某些行业或国家进行投资，这被
称为社会责任投资（socially responsible investing），它必须承担低酬报与波动性比率的
成本。这一成本可被正当地视为对于隐含理由的贡献（尽管不是一个可减税的理由）。
8.5 一个表格模型
8.5.1 计算期望收益与方差
有许多软件包可用于生成有效率边界。我们将演示一下用微软E x c e l生成的模型。
E x c e l是现今为止这类软件中最好的，但它有资产数目方面的限制，不过通过一个简单
的E x c e l资产组合优化器，可以很清楚地显示出在更加复杂的“黑盒子”程序的计算过
程。你可以发现，即使在E x c e l中，有效率边界的计算也是极为简单的。
我们将运用马克维茨资产组合优化器来解决国际分散化的问题。表8 - 4 A是从第2 5
章得到的，“国际分散化”，它包含了平均收益、标准差和1 9 8 0 ~ 1 9 9 3年间七个国家股
票指数收益率的相关系数矩阵。假定在1 9 7 9年，国际资本管理公司（I C M）的分析师
们得到了这份输入清单。作为国际资本管理公司的资产组合经理，有效率的资产组合
有哪些呢？
把表8 - 4 A输入到表格中后，我们用关系斜方差C o v (ri，rj)＝
j得到了表8 - 4 B中
的加边方差矩阵。表的上半部为公式，下半部为数字结果。
我们准备数据计算有效率边界。为了建立一个标准来评价有效率资产组合，我们用
相同的权重，即每个国家的权重都一样，等于资产组合的1 / 7＝0.142 9。这些权重被输
入到A 5 3 ~ A 5 9和B 5 2 ~ H 5 2的范围中。[1] 我们可以在表8 - 4 C中的B 7 7单元进行计算。这一
单元的输入等于协方差矩阵中每一元素的和，协方差矩阵中的每一元素乘以资产组合的
权重[ 2 ]。我们还用两个单元来计算等权重资产组合的标准差和期望收益（B 6 2、B 6 3中的
公式）。得出期望收益为1 6 . 5%，标准差为1 7 . 7％（在B 7 8和B 7 9单元之中的数字）。
为了计算有效率边界上的点，我们在表8 - 4 D中使用Excel Solver（你们在工具菜
单的插入中会发现这一工具）。一旦运行了S o l v e r，你会被要求输入目标函数所在单元
格。在我们的例子中，目标函数是资产组合的方差，被规定在B 9 3单元格中。S o l v e r
将最小化这个目标。下一步你必须输入决策变量的单元格的范围（在这个例子中包括
资产组合权重，在B 8 5 ~ B 9 1单元中列出）。最后，你输入所有必须的限制条件。对于
一个允许卖空的无限制的有效率边界有两个约束条件：第一，权重之和等于1（单元
A 9 2＝1）；第二，资产组合期望收益等于目标平均收益。我们选择了与等权重资产组
合下的收益相等的收益率1 6 . 5%，所以第二个限制条件为B 9 5单元＝1 6 . 5。在输入两个
限制条件后，就可以要求S o l v e r找出最优的资产组合权重了。
当S o l v e r找到解时，会发生声响，并自动调整在8 4行及A列中的资产组合权重来
配置有效率的资产组合，它调整了协方差矩阵中的输入；通过乘以新的权重得出最优
资产组合—最小方差下1 6 . 5%收益的资产组合均值和方差。这些结果在表8 - 4 D中的
i j
i
[1] 你不能单独地在这些行与列中输入权重，因为如果一个权重的行发生变化，其列也应发生相应的变化。
因此，你必须把A列中的输入复制到5 2行的相应位置上。
[2] 我们需要协方差矩阵每一元素的和，协方差矩阵中的元素首先与行和列中的权重相乘。这些结果出现
在表8 - 4的C部分。我们首先对这些元素进行列加总。行6 0显示列加总的结果。这样，B 6 0 ~ H 6 0单元的
和出现在B 6 1中，这是用加边斜方差矩阵中出现的权重形成的资产组合的方差。
