概念检验
问题8 A 1：假定一个风险证券资产组合中包含大量的股票，它们有相同的分布：
E(r)＝1 5%，
＝6 0%，相关系数r＝0 . 5。
a. 含有2 5种股票的等权重资产组合的期望收益和标准差是多少？
b. 构造一个标准差小于或等于4 3%的有效资产组合所需最少的股票数量为多少？
c. 这一资产组合的系统风险为多少？
d. 如果国库券的收益率为1 0%，资本配置线的斜率为多少？
概念检验问题8 A 1答案
8A1. 本题的有关参数为E(r)＝1 5%，＝6 0%，相关系数
＝0 . 5。
a. 资产组合的期望收益与资产组合规模无关，因为所有证券具有相同的期望收益。
当n＝2 5种股票时，资产组合的标准差为：
/ 2＋
×
2(n-1 ) /n]1 / 2＝[ 6 02/ 2 5＋0 . 5×6 02×2 4 / 2 5 ]1 / 2＝4 3 . 2 7
P ＝[
2
b. 因为所有股票是相同的，因此有效资产组合是等权重的，要得到标准差为4 3%
的资产组合，我们需要解出n：
206
602 602(n - 1)
432 =+ 0.5 ′
nn
1 849n = 3 600+ 1 800n - 1 800
1 800
n = = 36.73
49
因此我们需要3 7种股票。
c. 当n变得非常大时，等权重有效资产组合的方差将消失，剩下的方差来自股票
间的协方差：
=
′ 2
=
0.5 ′ 602 = 42.43
P
n＝2 5 时，我们得到系统风险（原文如此，这里应为非系统风险。—译注）
0 . 8 4%，即2 5种股票的资产组合的非系统风险为0 . 8 4%。n＝3 7时，资产组合的标准差
为4 3%，非系统风险为0 . 5 7%。
d. 如果无风险利率为1 0%，那么不论资产组合规模为多大，风险溢价为1 5－1 0＝5%，
充分分散的资产组合的标准差为4 2 . 4 3%，资本配置线的斜率为S＝5 / 4 2 . 4 3＝0 . 11 7 8。
附录8B 保险原则：风险分担与风险聚集
均值-方差分析已经被投资专家们牢牢掌握，有效分散的机制也被广泛运用。但
是一些常见的概念错误依然存在，这里我们将分析其中的几例。
一般人们相信保险公司应持有大量相互独立的保单的资产组合来规避风险。事实
是，大量的保单不仅不必要，也不是一个有效保险资产的充分条件。实际上，一个不
愿意承保单个保单的保险人也不愿意承保相互独立的大量保单的资产组合。
让我们考察一下保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson, 1963）的故事。有一次他和同
事打赌扔硬币，如果是他要的那面，他赢1 000美元，否则输给同事2 000美元，同事
拒绝了：“我不会与你打赌，因为我觉得1 000美元损失比2 000美元的收益多得多。但
是如果说赌1 0 0次的话，我愿意。”
萨缪尔森的同事和其他许多人一样，或许并不是很正确地表达了他的观点：“一
次是不是足以出现我所需要的平均定律的结果，但1 0 0次就可能了。”
另一种理性的理解是从收益率的角度考察。每次打赌，你会出资1 000 美元，有
5 0%的机会拿回来3 000美元，5 0%的机会血本无归。收益的概率分布是2 0 0%，p＝1 /2
和-1 0 0%，p＝1 / 2。
每次打赌都是相互独立和相同的，因此期望收益E(r)＝1 /2( 2 0 0 ) +1 /2(-1 0 0 )＝5 0%，
不论赌多少次，这些独立打赌资产组合的收益标准差为[ 1 ]
(n) =
/
n
其中每一次打赌的标准差为
= [1/2(200- 50)2 + 1/2(-100 - 50)2]1/2= 150%
换句话说，一系列打赌的收益的标准差小于单次打赌。通过增加打赌次数，可以
把标准差降至任一水平上。从表面看，萨缪尔森同事的话是正确的，但其实不然。
错误在于用不同规模资产组合的收益作为选择标准。尽管资产组合是等权重的，
但每增加一次打赌亦增加投资1 000美元。在公司财务课程中我们学习过，在两个独立
的项目中选其一，当项目规模不同时，不能使用内部收益率作为标准，你不得不用净
[1] 结果从8 - 1 0式可以得到，设wi ＝1 /n，所有协方差为0，因为打赌是独立的。
