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现值法。
考虑到单次打赌的美元利润（相对于收益率）的分布为
E(R) = 1/2′ 2 000+ 1/2′ (-1 000)美元
= 500
R = [1/2(2 000- 500)2 + 1/2(-1 000- 500)2]1/2 = 1 500美元
每次打赌都是独立的，因此总利润是n次打赌的利润之和。因此，n次打赌有
E[R(n)] = 500n美元
方差 (.(n) Ri ) = n R2
i=1
(n) =
n 2 =
n
R
R
R
所以美元收益的标准会随着打赌次数n的平方根这一因素的增大而增大。相比较，
收益率的标准差会随着打赌次数n的平方根这一因素的减小而减小。
类似地，在一个标准的扔硬币比赛中，扔1 0次或1 000次得到正面的比例都是5 0%，
但是扔1 000次得到的正面比例比扔1 0次更接近5 0%，这就是平均定律。
但是得到正面的确切数值在1 000次实验中偏离均值的数值大。如5 0 4次正面接近
5 0%，比均值大4。为了超过4次正面，在1 0次实验中，要求1 0次中有9次正面，这就大
大偏离了均值。在多次扔投的例子中，得到正面的数值偏离较大，但比例较小。一家
保险公司承保更多的保单也一样：资产组合的美元方差增大了，但收益率方差下降
了。
我们得到的经验是：在相互独立等规模的资产组合条件下，收益率分析是适合的。
在有一个固定的投资预算情况下，我们只考察改变资产组合中不同资产的比例带来的
后果。但是如果保险公司承保越来越多的保单，就增加了资产组合的美元投资额。因
此，从美元收益的角度出发，这种分析方法应该放弃。正如我们比较不同规模的项目
时，选用现值法而不是内部收益率法，这就是为什么风险聚集（积累独立风险的客户）
不能消除风险的原因了。
萨缪尔森的同事应这样回应：“让我们赌1 000次，每次你用2美元赌我的1美元。”
这时他的资产组合就是固定的了。等于1 000美元分散到1 000个相同并独立的赌次中，
这也使保险原则起作用。
萨缪尔森的同事还可以通过与朋友共同参与的方式来规避风险。如果一个公司与
萨缪尔森打赌，每次公司出资1 000美元，可以得到3 000美元或一无所有。每次打赌
对于你来说是太大了，但是如果你拥有公司1/1 000的股权，你的资金头寸就恰好等于
你1 000次2比1的打赌的资金头寸了。1 000美元的1/1 000股份的打赌与1美元的打赌是
等价的。拥有大型打赌的小部分股权就可以让你用可控制的分散化打赌资产组合替代
一个大型打赌。
这个道理如何应用到保险公司上呢？投资者可以在股票市场上购买保险公司的股
票，这样他们就可以选择持有他愿意承担全部风险的一部分。无论保单的风险有多大，
如果期望收益率大于无风险利率，一大群单个的小投资者就愿望承担风险。这种由众
多所有者对风险分担的办法，使得保险业得以发展。
附录8C 时间分散化的错误
保险公司的故事只是讨论了对收益率分析法的错误使用，特别是不能对不同规模
资产组合直接比较。这个错误的一个隐含的表现形式是“时间分散化。”
假定弗赖尔（F r i e r）先生有100 000美元。他想用这笔资金构建一个包含国库券和
风险资产组合的资产组合。国库券的收益率为1 0%，风险资产组合年收益率E(rP)＝1 5%，
P ＝3 0%。
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弗赖尔先生年轻时学过财务学，喜欢数量模型，经过仔细估算，他知道他自己的
风险厌恶程度为4。结果他计算出投资于风险资产组合的份额，有
E(rP ) - rf 15 - 10
y = 2 == 0.14
0.01 ′ A
0.01 ′ 4 ′ 30 2
P
这就是说：他将把资金的1 4%(14 000美元)投入到最优风险资产组合中。
根据这个策略，弗赖尔先生计算了他全部资产组合的期望收益与标准差，有
E(rC ) = rf + y[E(rP ) - rf ] = 10.70%
= y
= 4.20%
C
P
这时，弗赖尔感到胆寒，因为他的钱是他退休用的，他计划五年后退休，任何失
误对他来说都是难以承受的。
弗赖尔先生打电话给一个受人推崇的财务顾问梅维娅（M a v i n）女士，梅维娅女
士解释说时间因素是最主要的。她引用一些学术研究成果说明，资产的收益率在整个
持有期是独立的。因此，她认为在5年中好年景和坏年景的收益将相互抵消。结果，
在整个投资期间，资产组合的平均收益率的风险比一年期资产组合收益的标准差要小，
因为每年的收益率是相互独立的。梅维娅女士告诉弗赖尔先生，一个五年期的投资相
当于5个等权重的互相独立的资产构成的资产组合投资。持有这个资产组合（5年期）
的收益均值为
E[rP( 5 ) ]＝1 5%（每年）
标准差为[ 1 ]
P (5) =
305
= 13.42% （每年）
弗赖尔先生听后如释重负。他相信有效的标准差已从3 0%降至1 3 . 4 2%，酬报与波
动性比率也优于他的先前估算。
弗赖尔先生的新发现是可靠的吗？特别是，梅维娅女士的时间分散化真的能降低
风险吗？梅维娅女士所宣称的5年的年收益标准差是1 3 . 4 2%是正确的，但是弗赖尔先生
所有退休金面临的风险如何呢？5年的平均收益标准差为1 3 . 4 2%，弗赖尔先生整个5年
期投资的平均收益令人失望的标准差将会影响他最终的财富，这个因素为( 1-0.134 2)5
＝0 . 4 8 7。这意味着他的最终财富将可能少于期望的一半，这一影响大于一年的3 0%的
影响。
梅维娅女士错了，时间分散化并不能降低风险。尽管一年平均收益的标准差小于
一个长时间收益标准差是正确的，但不确定性随着时间的拉长而增加也是正确的。不
幸的是，后一种影响主导了长时间投资的风险。即时间越长，风险越大。
图8 C - 1与8 C - 2揭示了时间分散化的错误。他们给出一种股票的累积收益和可能结
果的范围。尽管收益的置信范围随投资的推移而变得狭小了，但是美元收益置信范围
却扩大了。
扔硬币实验在这里也很有帮助，每年的投资收益就好像仍一次硬币。经过多年后，
正面的次数接近5 0%，但实际正面与5 0%的数值的偏差会不断上升。
这里的教训仍然是不要把收益率分析法用于不同规模资产组合的比较。如果投资
的持有期超过1期时，说明风险也在增大，这也可类推到保单的例子中。事实是相互
独立的保单不能消除投入更多资金的风险，不能让资产组合策略的收益标准差掩盖了
实际收益值的重要性。
[1] 标准差的计算是近似的，因为假定5年的收益是5个1年投资收益之和，公式中省略了复利，误差是非
常小的，不影响我们的结论。
