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所以有1＋r3 ＝( 1＋y3)3/ ( 1＋y2)2。一般来说，在利率变化确定的情况下，可从零息
票债券的收益率曲线中推出未来短期利率的简便算法，其计算公式如下：
1＋rn ＝( 1＋yn)n/ ( 1＋yn－1)n－1 ( 1 5 - 4 )
式中n为期数，yn为n期零息票债券在第n期的到期收益率。
此式有一简单解释。等式右边分子的含义是n期零息票债券到期的总增长因素，
同理，分母的含义是n-1期投资的总增长因素。由于前者比后者的投资期限多一年，
其增长量的差别一定是将n-1年的回报再投资一年。
当然，当未来利率不确定时，如现实中的那样，无法推断未来“确定”的短期利
率。今天无人得知将来的利率是什么，我们至多能设想它的预期值，并与不确定性相
联系。但人们通常仍旧用1 5 - 4式来了解未来利率的收益率曲线情况。由于认识到未来
利率的不确定性，人们将以这种方式推断出的利率称为远期利率（forward interest
r a t e）而不是未来短期利率，因为它不必是未来某一期间的实际利率。
如果n期的远期利率为fn，我们可用下式定义fn
1＋fn ＝( 1＋yn)n/ ( 1＋yn－1)n－1
经整理有
( 1＋yn)n＝( 1+yn－1)n－1( 1+fn) ( 1 5 - 5 )
在这里，远期利率被定义为“收支相抵”的利率，它相当于一个n期零息票债券
的收益率等于(n-1 )期零息票债券在第n期再投资所得到的总收益率。如果在n期的点
利率等于fn，投资于n期的选择与先投资于(n-1 )期，然后再投资于下一期的选择，结
果是一样的。
需要指出的是，未来的实际利率并不必然等于远期利率，它只是我们今天根据已
有的资料计算得出的。甚至不必要求远期利率等于未来短期利率的预期值。这是一个
我们大大简化了的论点。在这里，我们强调的是远期利率在利率确定的条件下一定等
于未来短期利率。
15.2 期限结构的测度
到目前为止，我们的分析仅限于无违约风险下的零息票债券，由于它们的到期日
是给定的，只有单一支付，所以最易于分析。但在实际生活中，多数债券采用息票付
息方式，所以，我们需要从息票价格中发明一种计算现期利率与远期利率的方法。
1 5 - 4式与1 5 - 5式仅仅适合于零息票债券的远期利率计算，它们是在两种互相竞争
的投资策略结果相等的基础上推导出来的。如果在策略选择中也包括息票债券，就必
须要考虑投资期的付息与再投资问题，这会使问题复杂化。
如果息票利率不同，由此带来收益率不同，即便到期日相同也会使分析更为复杂。
例如，有两种债券，到期期限均为2年，每年支付一次息票，债券A的息票利率为3%，
债券B的息票利率为1 2%。还用表1 5 - 1中的利率，债券A的卖价为
( 3 0美元/ 1 . 0 8 )＋[1 030美元/ ( 1 . 0 8×1 . 1 0 ) ]＝8 9 4 . 7 8美元
在这一价格上，它的到期收益率为8 . 9 8%，债券B的售价为
( 1 2 0美元/ 1 . 0 8 )＋[1 120美元/ ( 1 . 0 8×1 . 1 0 ) ]＝1 053.87美元
在这一价格上，它的到期收益率为8 . 9 4%。由于债券B在利率较低时的第一年有一
较高的支付额，它的到期收益率也稍低。由于两种债券有相同的到期日但有不同的收
益率，我们可以得出结论，即与到期时间和收益相关的单一收益率曲线，不能适用于
所有的债券。
这一使用零息债券收益率曲线所产生的模糊结论，贯穿于我们分析的始终。我们
374 第四部分固定收益证券
有时也称它为纯收益率曲线。我们的目标就是计算这一纯收益率曲线，即便在不得不
使用更一般的息票债券数据时也是如此。
得到曲线的技巧是把每一个息票支付看作一个独立的“微小”的零息票债券。这
样息票债券就变成许多零息票债券的“组合”。我们在前述章节也确实看到，大多数
零息票债券产生于从息票债券中剥离出的息票支付，再将其与许多其他到期日相同的
证券重组。通过决定这些“零息的”各自的价格，可得出单一支付债券的到期收益率，
从而得到纯收益率曲线。
举例说明这种技巧，假定有一1年期债券，每半年支付8%的利息，价格为9 8 6 . 1 0
美元；另一种1年期债券，每半年支付1 0%的利息，价格为1 004.78美元。为计算以后
两个半年的短期利率，首先要找出各自的支付现值，也即把它们当做微小的零息债券。
半年得到的1美元的现值为d1，一年时得到的1美元的现值为d2（d代表折现价值；有d1
＝1 / ( 1＋r1)，这里r1为前半年的短期利率）。这两种债券同时满足下式：
9 8 6 . 1 0＝d1×4 0＋d2×1 040
1 004.78＝d1×5 0＋d2×1 050
在每一等式中，债券的价格等于它所有现金流的折现值。解这组等式，有d1 ＝
0.956 94 ，d2 ＝0 . 9 11 37 。因此，如果r1是前半年的短期利率，则，d1 ＝1 / ( 1＋r1) ＝
0.956 94 ，所以r1 ＝0 . 0 4 5，d2 ＝1 / [ ( 1＋r1) ( 1＋f2) ]＝1 / [ ( 1 . 0 4 5 ) ( 1＋f2) ]＝0 . 9 11 - 3 7，所以，
f2 ＝0 . 0 5。因此，前半年的短期利率为4 . 5%，后半年的短期利率为5%。
概念检验
问题2：一面值10 000美元的半年期国库券售价为9 700美元。一每半年按4%利率
付息的一年期国库券售价1 000 美元。试计算前半年的短期利率及后半年的远期利率。
当我们分析多种债券时，这种计算方式就更困难了。困难的原因在于债券的数量
大、期限多样，也在于并非所有债券都能计算1美元的远期折现值。换句话说，定价
关系上有误差是明显的[1] 。但我们把这些误差看成是一些随机的偶差，这就可用统计
方法来推断收益率曲线中的远期利率模式。
为理解统计方法如何奏效，我们假定有多种债券，以i为指数，卖价为Pi，债券i
在时间t的息票收益率与/或本金的现金流为C Fi t，1美元在时间t的折现值，即我们试图
解出的零息票债券价格为dt。这样，对每一种债券我们有：
P1 ＝d1C F11＋d2C F1 2＋d3C F1 3＋.＋e1
P2 ＝d1C F2 1＋d2C F2 2＋d3C F2 3＋.＋e2
P3 ＝d1C F3 1＋d2C F3 2＋d3C F3 3＋.＋e3 ( 1 5 - 6 )
..
Pn ＝d1C Fn1＋d2C Fn2＋d3C Fn3＋.＋en
以上各式都等于债券的现金流直到支付时为止的总现金流的价格。每一等式中最
后一项ei为误差项，它是对等式中债券预期价格的偏差。
统计系的学生知道用回归分析能估算出上式的值。其中的因变量是债券价格，自
变量为现金流，系数dt可以从已有的数据资料中得到[ 2 ]。dt的估计值就是我们所说的1
美元在时间t的折现值。不同时间支付的dt被称为折现函数，因为它给出了1美元作为
时间函数的折现值。从折现函数中可知，它是一系列不同到期日的零息票债券价格的
[1] 我们将在后面的篇幅中考虑形成这些误差项的一些原因。
[2] 实际上，称作“齿槽技术”的变量回归分析通常用来估计系数，这种方法是首先由M c C u l l o c h在以下
文章中提出的：J. Huston McCulloch,“Measuring the Term Structure of Interest Rates,”Journal of
Business 44 (January 1971); and“The Tax Adjusted Yield Curve,”Journal of Finance 30 (June 1975).
