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地表现出拥有更高的效力[ 1 ]。
最后，在通货膨胀的条件下免疫不是一个恰当的目标。免疫基本上是一个名义上
的概念，它只对名义上的负债有意义。用名义资产，譬如债券，来对一个会随价格水
平一起增长的负债进行利率免疫是没有意义的。例如，如果你的孩子1 5年后会上大学，
那时的学费预计一年为15 000美元，锁定15 000美元的最终价值，通过资产组合进行利
率免疫，这并不是一个合适的降低风险的策略，因为学费的负债会随现实的通胀率变
化，而资产组合的最终值却不会。最终，学费的负债不一定会与组合的资产值相匹配。
在这一说明中值得指出的是，免疫策略对于那些认为零风险资产组合是过度保守
的投资者来说并不十分适用。完全免疫对资产组合管理者而言是一种相当极端的头寸
选择。
16.3 凸性
在固定收入资产组合管理中，久期显然是一个关键的工具，关于利率对债券价格
的效应的久期法则仅是一种近似表达。等式1 6 - 2或它的等价物，等式1 6 - 2 '（我们将重
复表述如下）说明债券价格变化的百分比约等于债券收益变化的久期修正值：
DP/P＝-D*Dy ( 1 6 - 2 )
这个规则以为债券价格变化的百分比直接与债券收益变化成比率。如果确实是这
样，债券价格变化的百分比作为它的收益变化的函数的图形将是一条直线，它的斜率
等于-D*。我们从图1 6 - 1中也看到，马尔凯尔五法则（特别是法则2）的更一般的表达
有债券价格与收益之间的关系不是线性的。久期法则虽然是债券收益较小变化的良好
近似表达，但是，它并不能对较大程度的变化作出精确的说明。
实际价格变化
久期近似值
到期收益率的变化(％)
图16-6 债券价格凸性
图1 6 - 6表明了这一点。像图1 6 - 1，图1 6 - 6说明债券价格变化的百分比是对债券到
期收益率变化的反应。曲线是3 0年期限、8%息票率、最初以8%的到期收益率出售的
债券价格变化的百分比；直线是久期法则预期的债券价格变化的百分比。债券初始收
益修正久期是11 . 2 6 年，所以直线是等式-D*Dy＝-11 . 2 6×Dy的图形。请注意，两条线
在初始处相切。因此，对于债券到期收益率的小变化，久期法则是准确的。但是，对
于到期收益率的大变化，在两条线之间有一不断扩大的“间隔”，这表明久期法则越
[1] G. O. Bierwag, G. C. Kaufman, and A. Toevs, eds., Innovations in Bond Portfolio Management: Duration
Analysis and Immunization (Greenwich, CT: JAI Press, 1983).
第四部分固定收益证券
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来越不准确。
从图1 6 - 6中还可以看到，近似久期（直线）总是低于债券的价值。当收益率下降
时，它低估债券价格的增长程度；当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。这
是由真实价格关系的曲率决定的。曲线的形状，譬如价格-收益关系的形状是凸的，价
格-收益曲线的曲率就称作债券的凸性（c o n v e x i t y）。凸性一般被认为是债券的理想特
征：当债券收益下降时，债券价格以更大的曲率增长；当债券收益增长时，债券价格
则以较低的曲率降低。例如，在图1 6 - 7中，债券A与债券B在初始处有相同的久期：它
们的价格作为利率变化的函数成比率变化的图形相切，这意味着它们对收益变化的敏
感程度相同，至少对较小的收益变化的敏感程度相同。但是，债券A比债券B的图形更
凸，这表明在利率有一较大变化时，有更大的价格增长或较小的减少。当然，如果凸
性是理想的，它不会是免费的，投资者可能不得不对更具凸性的债券付出更多，并接
受一个较低的到期收益率。
到期收益率的变化(%)
债券A
债券B
图16-7 两种债券的凸性
凸性意味着债券的价格-收益曲线在更高收益率时会变得平缓，即斜率是较低的
负值。因此，我们可以让凸性作为价格-收益曲线斜率变化率的合适的表达，也是债券
价格的部分表达[ 1 ]。作为一个实际的法则，我们将看到有更高凸性的债券显示出价格
收益关系有一更高的曲率。不可赎回债券的凸性（如图1 6 - 6）是正的：有更高收益率
时，斜率将增加（即变得较低的负值）。
凸性允许我们改进随债券价格变化而变化的久期近似值。考虑到凸性，等式1 6 - 2
可以修正如下[ 2 ]：
DP/P＝-D*Dy＋1 / 2×凸性×(cy)2 ( 1 6 - 3 )
等式右侧第一项与等式1 6 - 2的第一项是相同的，第二项是由于凸性引起的修改。注意，
[1] 我们在前述中曾指出，在等式1 6 - 2中修正久期可以写成dP/P＝-D* dy。因此，D*＝-1 /P×dP/ dy是价
格-收益曲线的斜率，它作为债券价格的部分表达。同样，债券的凸性等于价格-收益曲线除以债券价
格的二阶导（斜率的变化率）：1 /P×d2P/ dy2。期限为n年，每年支付一次息票的债券凸性公式如下
凸性＝1 / [P×( 1＋y)2] .(n) { [ C Ft/ ( 1＋y)t] (t2＋t) }
t =1
这里，C Ft为在时期t付给债券持有人的现金流，C Ft或者代表了到期前的息票利息的支付，或者是到期
的本息支付。
[2] 运用凸性规则，一定要用数字而不是百分比来表达利率。
