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用这种方法，套利赢利的现值正好等于期权价值高估部分的2倍。利率8%、6 . 8 0美元
的现值是6 . 3 0美元。因为该套利策略包含2份期权，每一个期权的赢利为3 . 1 5美元，正
好等于期权价格被高估的数额，即3 0美元减去公平价值2 6 . 8 5美元。
概念检验
问题4：假如看涨期权被低估了，譬如为2 4美元。阐明用来发现错误定价的套利
策略。并且证明每购买一份期权在一年之后可以获得3 . 0 8美元的无风险现金流。
21.3.2 两状态方法的推广
虽然两状态股票价格模型看起来很简单，但是我们可以将其推广，加入现实的假
设。首先，假定我们将一年分成两个6个月的时期，然后假定在任何一个时期，股票
都只有两个可能的价值。这里我们假定股价将增长1 0%或者将下降5%，股票的初始价
格为每股1 0 0美元，在一年中价格可能的路径为：
121
110
100
104.50
95
90.25
中间价为1 0 4 . 5 0美元，可通过两条路径获得：先增加1 0%，再降低5%；或者先降
低5%再增加1 0%。现在有三种可能的年末股票价值与期权价值。
C++
C+
C-+
C
C
C-
使用类似前面采用的方法，我们可以从C+ +与C+-得到C+，然后从C-+ 与C- -得到C-，..
最后再从C+ 与C-得到C。而且我们也没有理由就停止在6个月的时间间隔上，接下来我
们可以把一年分成四个3个月，或者1 2个1个月，或者3 6 5天，每一个时间段都假定是
一个两状态过程。虽然计算量变得很大而且枯燥，但是对计算机程序来说却很容易，
并且这种计算机程序在期权市场预测上得到了广泛的使用。
当我们把一年分成越来越多的间隔时，年末股票可能价格的范围也随之膨胀了，
并且实际上，将最终形成熟悉的钟形分布。这可以从对一段时间内有三个间隔的股票
事件树的分析中看出：
S+++
s++
S++
S+
S-+
S
S--+
S
S-
S--
首先，注意当间隔数量增加时，股票可能的价格也增加了。其次，注意最后事件，
像S+ + + 或者S- - -是相对较少的，因为它们需要在三个子间隔内连续增加或减少。中间范
围的，像S+ +-能通过不只一条途径得到，价格两升一降的资产组合将会得到股价S+ +-。
556 第六部分期权、期货与其他衍生工具
因此，中等范围的价值的可能性会更大一些。用二项式分布可以将每个结果都描述出
来，因此这种多时期的期权定价方法被称作二项式模型（binomial model）。
例如，初始股票价格为1 0 0美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三时期内股
票价格可能增加5%而减少3%，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。三时
期内股票价格的变动有八种组合：+ + +，+ +-，+-+，-+ +，+- -，-+-，- -+，- - -。
每个都有1 / 8的可能性。因此，股价在最后期末的概率分布为：
事件概率 股票价格
3升1 / 8 1 0 0×( 1 . 0 5 )3= 11 5 . 7 6
2升1降3 / 8 1 0 0×( 1 . 0 5 )2×0 . 9 7 = 1 0 6 . 9 4
1升2降3 / 8 1 0 0×1 . 0 5×( 0 . 9 7 )2= 9 8 . 7 9
3降1 / 8 1 0 0×( 0 . 9 7 )3= 9 1 . 2 7
中间价值发生的可能性是两端
价值发生可能性的3倍。图2 1 - 5 a )是
这个例子的频率分布。该图接近于
钟形曲线。实际上，当时间间隔数
量增加时，如图2 1 - 5 b )所示，频率
分布更接近于对数正态分布，而非
标准正态分布[ 1 ]。
假定我们将股票价格上下变
动的时间间隔继续分小，最后事
件树的每个节点对应着无限小的
时间间隔，那么在这些时间间隔
内股票价格的变动也相应地非常
小。随着时间间隔的增加，最后
的股票价格将越来越接近对数正
态分布。那么两状态模型过于简
单化的缺点就可以通过时间间隔
的进一步细分来克服。
在任何一个节点，都可以建
立一个资产组合来对下一个时间
图21-5 概率分布
间隔的风险进行套期保值。接着，
在下一个时间间隔末，在到达下注：a) 三个时期后股票价格可能的结果及其概率。
一个节点上，又可以重新计算套初始股票价格为1 0 0美元，在每个时期，股票价格或上涨
5%，或下跌3%。
期保值率，对资产组合的构成进
b) 每个时期又分为两个间隔。在六个时期内，股票
行更新。通过不断改变套期保值
价格或上涨2 . 5%，或下跌1 . 5%。随着期间数的增加，股票
头寸，资产组合可以总保持在风
价格分布接近钟型分布。
险对冲的状态，在每个间隔都获
得无风险收益。这称为动态套期保值，也就是随时间不断调整套期保值率。动态套期
保值越来越完善，期权的定价过程也越来越精确。
[1] 实际上，这里引入了更复杂的考虑。只有当我们假设股价连续变动，也就是说在很小的时间间隔内股
价仅发生很小的变动时，这一过程的极限才是对数正态分布。这排除了极端事件，像由于戏剧化的信
息突然发生很大的价格变动。对这类跳动事件的处理，参见：John C. Cox and Stephen A. Ross, “T h e
Valuation of Options for Alternative stochastic Processes”, Journal of Financial Economics 3 (January-
March 1976), PP. 1 4 5 - 6 6 , 或者Robert C. Merton, “Option Pricing when Underlying stock Returns Are
D i s c o n t i n u o u s ,” Journal of Financial Economics 3(January-March 1976), PP. 125-44.
概率
未来股票
价格
未来股票
价格
概率
b)
a)
