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概念检验
问题5：当期权的实值状态越深时，套期保值率是越大还是越小？(提示：记住套
期保值率是期权价格的变化与股票价格变化的比率。什么时候期权价格对股票价格的
变动更敏感？)
21.4 布莱克-舒尔斯期权定价模型
尽管我们介绍过的二项式模型方法要灵活得多，但这种方法在实际工作中需要用
计算机，而期权公式却要简单得多，没有二项式模型中的复杂的步骤，只要作两个假
设，公式就可以用了，这两个假设是无风险利率与股票价格的标准差在期权有效期内
保持不变。
21.4.1 布莱克-舒尔斯公式
金融经济学家一直在寻找一种实用的期权定价模型。最后，终于由布莱克、舒尔
斯[ 1 ]与默顿[ 2 ]发现了计算看涨期权价值的公式，舒尔斯与默顿也因此获得了1 9 9 7年诺贝
尔经济学奖[ 3 ]。现在，布莱克-舒尔斯定价公式(Black-Scholes pricing formula)已被期货
市场参与者广泛接受，该公式如下：
C0=S0 N(d1)-Xe N(d2) ( 2 1 - 1 )
-r T
其中
1n(s0/ X) + (r + 2/2)T
d1 =
T
d2 = d1 -
T
式中C0 —当前的看涨期权价格；
S0 —当前的股票价格；
N(d)—标准正态分布小于d的概率，图2 1 - 6的阴影部分；
X—执行价格；
e—2 . 7 1 8 2 8，自然对数的底；
r—无风险利率(与期权的到期期限相同的安全资产的连续复利的年收益
率，与离散时间的收益率rf不同)；
T—期权到期时间；
l n—自然对数函数；
—股票连续复利的年收益率的标准差。
期权价格并不取决于股票的期望收益率。实际上，该公式中已经包含了股票价格
的信息，而股票的价格与股票的风险特性有关。这里的布莱克-舒尔斯公式假定股票不
支付红利。
尽管你会觉得布莱克-舒尔斯公式很复杂，但是我们可以从直觉上进行理解。把
N(d)部分看作看涨期权在到期处于实值的风险调整概率。首先，看一下2 1 - 1式，假设
两个N(d)均为1，我们就看到看涨期权被执行的可能性很高。看涨期权价值为S0 -Xe -r T ，
这也是我们前面提到过的调整后的内在价值，S0 -P V (X)。这一点是很有意义的，如果
确实执行了，我们就获得了以S0为现价的股票的所有权，而承担了现值为P V (X)的债
[1] 3 Fischer Black and Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political
Economy 81( May-June 1973).
[2] Robert C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management
Science 4(Spring 1973).
[3] 布莱克于1 9 9 5年去世。
558 第六部分期权、期货与其他衍生工具
务，或以连续复利计算为Xe -r T的债务。
现在再看2 1 - 1式，如果N(d)趋于零，意味着期权不会被执行，该等式说明看涨期
权价值为零。对于N(d)在0与1之间时，2 1 - 1式告诉我们，可把看涨期权价值看作是经
过到期时处于实值的概率调整后的潜在未来收益的现值。
那么，N(d)又是如何表示风险
调整概率的呢？这需要用到高级统
计学的知识。注意l n (S0/X)，在d1和
d2的分子中都出现了，它近似表示
期权现在实值与虚值的百分比。例
如，如果S0= 1 0 5，X= 1 0 0，期权实值
的百分比是5%，l n ( 1 0 5 / 1 0 0 ) = 0 . 0 4 9，
同理，如果S0= 9 5，则期权虚值的百
分比是5%，l n ( 9 5 / 1 0 0 ) =-0 . 0 5 1，分
母
T，用股票价格在剩余期限中的
标准差对期权的实值与虚值的百分
比进行调整。如果股价变动很小，
并且距到期的时间也所剩无几的时
候，给定比例的实值期权一般会保持原实值状态，因此，N(d1)与N(d2)代表期权到期时处
于实值的概率。
布莱克-舒尔斯公式很容易应用，假设想对一个看涨期权进行定价，已知条件如
下：
股票价格S0= 1 0 0 利率r= 0 . 1 0 (每年1 0%)
执行价格X= 9 5 期权期限T= 0 . 2 5 ( 3个月)
= 0 . 5 0 (每年5 0%)
首先计算：
ln(100/95)
+ (0.10 + 0.52 /2)′ 0.25
d1 =
= 0.43
0.5
0.25
d2 = 0.43 - 0.5 0.25 = 0.18
接下去查N(d1)与N(d2)，在统计书中可以查到正态分布表，如表2 1 - 2，查得
N( 0 . 4 3 ) = 0 . 6 6 6 4， N( 0 . 1 8 ) = 0 . 5 7 1 4。
于是，看涨期权价值为
C= 1 0 0×0.666 4-9 5 e-0 . 1 0×0 . 2 5×0.571 4=66.64-52.94 =13.70美元
概念检验
问题6：如果股票的标准差为0 . 6而不是0 . 5，计算看涨期权价格，并说明标准差越
大，期权价值越大。
表21-2 累积正态分布
图21-6 标准正态曲线
N(d)=阴影区
d N(d) d N(d) d N(d)
-3 . 0 0 0 . 0 0 1 3 -0 . 7 8 0 . 2 1 7 7 0 . 8 4 0 . 7 9 9 6
-2 . 9 5 0 . 0 0 1 6 -0 . 7 6 0 . 2 2 3 6 0 . 8 6 0 . 8 0 5 1
-2 . 9 0 0 . 0 0 1 9 -0 . 7 4 0 . 2 2 9 7 0 . 8 8 0 . 8 1 0 6
-2 . 8 5 0 . 0 0 2 2 -0 . 7 2 0 . 2 3 5 8 0 . 9 0 0 . 8 1 5 9
-2 . 8 0 0 . 0 0 2 6 -0 . 7 0 0 . 2 4 2 0 0 . 9 2 0 . 8 2 1 2
-2 . 7 5 0 . 0 0 3 0 -0 . 6 8 0 . 2 4 8 3 0 . 9 4 0 . 8 2 6 4
