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支股票表现不错时投入越多，你收回的钱也就越多。因此，你的业绩评估指标应该反
映这个事实。
但是，时间权重的收益率有它自己的用处，尤其是在资金管理行业。在很多重要
的实际操作过程中，资产组合的管理者并不能直接控制证券投资的时机和额度。养老
基金的管理者就是一个很好的例子：他所面对的现金流入是每笔养老金的注入，而现
金流出则是养老金的支付。很显然，任何时刻的投资额度都会因为管理者无法控制的
各种原因而各不相同。由于投资额并不依赖管理者的决定，因此在测算其投资能力时
采用资金加权的收益率是不恰当的。于是，资金管理机构一般用时间加权的收益率来
评估其业绩。
概念检验
问题1：设X Y Z公司在每年的1 2月3 1日支付2美元的红利，某投资者在1月1日以每
股2 0美元的价格购入2股股票。一年后，即次年的1月1日他以2 2美元/股出售了其中一
股；又过了一年，他以1 9美元/股出售了另一股。分别计算这两年投资的资金权重收益
率及时间权重收益率。
24.1.2 算术平均与几何平均
在上文例子中我们对1 0%和5 . 6 6%两个年收益率取了算术平均数，即时间权重收益
率为7 . 8 3%；还有一种方法是取几何平均，用rG表示。
这种计算方法来源于复利计算规则。如果红利收入可以再投资，则该股票投资的
累计价值在第一年将以1 . 1的增长率上升；第二年以1.056 6的增长率上升，其复合平
均增长率rG用下面的公式计算：
( 1＋rG)2＝1 . 1×1.056 6
利用此式计算出：
1＋rG ＝( 1 . 1×1.056 6)1 / 2＝ 1.078 1
即rG ＝7 . 8 1%
一般情况下，对于一个几期投资来说，其几何平均收益率是这样给出的：
1＋rG ＝[ ( 1＋r1) ( 1＋r2).( 1＋rt).( 1＋rn) ]1 /n
其中rt是每期的收益率。
在这个例子中，几何平均收益率为7 . 8 1%，比算术平均收益率7 . 8 3%略小一些。这
是一个一般的结论：几何平均收益率绝不会超过算术平均收益率。为使这个结果变得
更直观，考虑某一股票，第一期它的价值翻了一倍(r1 ＝1 0 0%)，第二期其价值减半(r2
＝-5 0%)，那么算术平均收益率是rA ＝[ 1 0 0＋(-5 0 ) ] / 2＝2 5%，然而它的几何平均收益
率却为rG ＝[ ( 1＋1 ) ( 1-0 . 5 ) ]1 / 2-1＝0。在计算几何平均收益率时，第二期-5 0%的收益完
全抵销了第一期1 0 0%的收益，使得平均收益为0；而在算术平均收益率中则并非如此。
一般来说，在几何平均收益率的算法中，较低的收益率具有更大的影响。因此，几何
平均收益率要比算术平均收益率低一些。
更进一步说，每期的收益率差距越大，两种平均方法的差别也就越大。一般的规
则是，当收益率以小数(而不是百分比)表示时，有下面的公式成立：
rG . rA -1 2 2 ( 2 4 - 1 )
其中
2是收益率的方差。当收益率为正态分布时，公式( 2 4 - 1 )是精确的。
例如，表2 4 - 1列示了在1 9 2 6 ~ 1 9 9 6年各种不同投资项目的算术平均收益率和几何
平均收益率。所有的算术平均收益率都比几何平均收益率大，其差距最大的是小公司
的股票，同时它也是年收益率标准差最大的。只有当各年年收益率完全相等时，两种
624 第七部分资产组合管理的应用
平均收益率之间的差别才会降至0。从表中可以看出，当收益率的标准差降到了国库
券的水平，两种平均收益率的差别就很小了。
表24-1 1926~1996年投资的平均年收益率
名称算术平均几何平均差距标准差
小公司的普通股① 1 9 . 0 1 2 . 6 6 . 4 4 0 . 4
大公司的普通股1 2 . 5 1 0 . 5 2 . 0 2 0 . 4
长期国债5 . 3 5 . 0 0 . 3 8 . 0
美国国库券3 . 8 3 . 7 0 . 1 3 . 3
① 这些公司的股票市值相对较低，计算市值的方法为每股股价乘以现有股票数量。
资料来源：作者在表5 - 2的资料基础上计算出来的。
为了说明公式( 2 4 - 1 )，我们可以考虑大公司股票的平均收益。根据公式，
0 . 1 0 5≈0 . 1 2 5-( 1 / 2 ) ( 0 . 2 0 4 )2＝0.1042
0 . 1 0 5≈0 . 1 0 4 2
正如我们预测的那样，算术平均收益率( 0 . 1 2 5 )超出几何平均收益率( 0 . 1 0 5 )的部分
大约是两年中收益率方差的一半。显然，我们在比较收益率时决不应把这两种平均方
法混淆[ 1 ]。
还有最后一个问题：在算术平均和几何平均中，哪一种方法能更好地测算投资业
绩？也许几何平均会更好一些，因为它意味着我们必须保持一个稳定的收益率，以配
合过去几年投资的实际业绩。它是一个测算过去业绩的好方法。然而，如果你更注重
未来的业绩，那么你就得用算术平均来统计了，因为它是资产组合期望收益的无偏估
计(假定期望收益不随时间变动)。相反，因为长样本期的几何平均收益率往往小于算
术平均收益率，它就成为了股票预期收益的保守估计。
为了说明这个问题，仍然考虑上文提过的那只股票，它的价值可能以0 . 5的概率翻
倍(r＝1 0 0%)，或者以0 . 5的概率减半(r＝-5 0%)。下表说明了可能的结果：
投资结果每投资1美元所获得的最终价值/美元一年收益率(%)
翻倍2 . 0 0 1 0 0
减半0 . 5 0 -5 0
假设两年中股票保持了这样的概率特性。其中一年加倍，另一年减半，最终股票
价值仍会和最初时点一样，因此年收益的几何平均值为0。显然，如果每年收益率保
持为0，那么结果与其完全一致。
但股票的期望年收益率并不是0，而是1 0 0%和-5 0%的算术平均值：( 1 0 0-5 0 ) / 2＝
2 5%。每投资1美元就有两种等可能的结果：或收益美元1 (当r＝1 0 0%时)，或损失美元
0 . 5 0 (当r＝-5 0%时)，期待其期望利润是( 1美元-0 . 5 0美元) / 2＝0 . 2 5美元，即2 5%的期望
收益率。尽管几何平均收益率为0，但好年景的利润却足以抵销坏年景的损失。这就
说明了算术平均收益率是计算期望收益率的正确方法。
进一步讨论多时期投资，例如考虑两年中所有可能的情况：
投资结果每投资1美元所获得的最终价值/美元两年总收益率(%)
翻倍，翻倍4 . 0 0 3 0 0
翻倍，减半1 . 0 0
减半，翻倍1 . 0 0
减半，减半0 . 2 5 -7 5
[1] 在小公司股票的情况下，( 1 / 2 ) ( 0 . 4 0 4 )2＝0 . 0 8 2，rA -rG ＝0 . 0 6 4，因为小公司股票收益率的最终价值比根
据正态分布预计的价值要更可能实现。
