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6A.2 正态分布与对数正态分布
现代资产组合理论在很大程度上假设资产收益是呈正态分布的。这是一个简便的
假设，因为用均值与方差完全可以描述正态分布，与均值-协方差分析相一致。一个基
本观点是即便单个资产的收益不是完全正态的，一个大型资产组合收益的分布却会与
正态分布非常相似。
数据证实了这种论点。表6 A - 1显示了从纽约证券交易所上市股票中随机抽查的许
多资产组合的一年期投资结果。资产组合按分散化程度不断增加的顺序列出，即每种
资产组合样本的股票数目是1，8，3 2，1 2 8。每种资产组合收益分布的百分位数与人
们期望的正态分布的资产组合进行了比较，它们的均值与方差是相同的。
首先来看单只股票的资产组合（n＝1），它的收益分布离正常值很远。样本的均
值是2 8 . 2%，标准差为4 1 . 0%。在有相同的均值与标准差的正态分布中，我们预期第5
百分位数的股票损失3 9 . 2%，但它实际上损失了1 4 . 4%。而且，虽然正态分布的均值与
其中值正好一致，但单只股票实际的样本中值却是1 9 . 6%，大大低于样本均值2 8 . 2%。
相反地，1 2 8只股票资产组合的收益分布与假设的正态分布的资产组合基本上是一样
的。因此，对于十分分散的资产组合而言，正态分布是一个恰如其分的假设。持有多大
的资产组合才能达到这种结果取决于单个股票的收益分布离正常值有多远。从表中显示
的情况看，一个资产组合通常必须包括至少3 2只股票，其一年期收益才能接近正态分布。
单只股票收益正态分布的假设还存在理论上的缺陷。假定股票价格不能是负的，
正态分布就不能真正代表持有期收益率的情况，因为它允许有任何结果，包括全部股
票的价格为负。特别要指出的是，低于-1 0 0%的收益率在理论上是不可能的，因为它
意味着存在负的证券价格的可能性。正态分布不能排除这样的结果应当视为一种缺陷。
另外一个假设是，连续复利年收益率是正态分布的。如果我们把该比率用r表示，
有效年收益率用re表示，那么re ＝er-1，因为er永远不可能是负的，re最小的可能值是-1，
或-1 0 0%。因此，这种假设巧妙地排除了负价格的可能性，同时还保持了使用正态分布
的好处。在这种假设下，re的分布就将是对数正态分布。图6 A - 2描述了这种分布。
图6A-2 三种标准差值的对数正态分布
资料来源：J. Atchison and J. A. C. Brown, The Lognormal Distribution(New York: Cambridge
University Press, 1976).
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re(t)表示投资期限为t的有效收益率。持有期限短，即t很小时，re(t)＝ert-1的近似
值非常精确，并且正态分布非常近似于对数正态分布。由于rt是正态分布的，短期内
的有效年收益可以看成是近似于正态分布的。
因此，短期持有时，有效持有期收益的均值与标准差与年连续复利的股票收益率
的均值与标准差以及时间间隔是成比例的。
所以，如果一只股票的年连续复利收益率的标准差为4 0%（
＝0 . 4 0，
2＝0 . 1 6），
那么，譬如由于特定目的持有期为1个月的收益的方差就是：
2(月)＝ 2/ 1 2＝0 . 1 6 / 1 2＝0 . 0 1 3 3
月标准差是( 0 . 0 1 3 3 )1 / 2＝0 . 11 5 5。
为说明这个原理，假定道·琼斯工业平均指数一天上升5 0点，从8 400 点升至8
4 5 0。这个涨幅“很大”吗？看一看道·琼斯资产组合年连续复利率，我们发现战后
年平均标准差为1 6%。假定道·琼斯资产组合收益是对数正态分布且连续分期之间的
收益负相关，一天期收益分布的标准差（按每年2 5 0个交易日计算）为：
2(日)＝(
年) ( 1 / 2 5 0 )1 / 2＝0 . 1 6 / ( 2 5 0 )1 / 2＝0 . 1 0 1＝1 . 0 1%（每日）
将此结果应用于道·琼斯交易日开市时的水平8 400 点，我们发现道·琼斯指数的
日标准差为8 400×0 . 1 0 1＝8 4 . 8点。如果道·琼斯资产组合的日收益率是近似于正态
分布的，我们知道三天中有一天道·琼斯指数的变动将会大于1%。因此5 0点的变动就
不值得大惊小怪。
概念检验
问题6 A - 2：再来看表6 A - 1。资产组合越分散，其最小收益率就越不可能为负，你
对此会感到奇怪吗？你的解释与样本的最大收益率情况相一致吗？
小结：附录6 A
1. 收益率的概率分布可以用矩差表示。一阶矩差，即收益分布的均值，可以用来
测度风险的报酬。较高阶矩差是有风险的特征，偶数矩差传达了可能有极端值的信息，
而奇数矩差表示收益分布的不对称。
2. 投资者对各种分布矩差的偏好表明了他们对风险的态度。基本的近似法表明，
频繁更换资产组合时，价格是持续的，理想的资产组合只用均值与方差估算就行了。
3. 持有期不是太长且十分分散的资产组合的收益率近似于正态分布。持有期限短
时（一个月以上），正态分布非常接近于对数正态分布。
习题：附录6 A - 1
1. 机智股票投资咨询公司为K L公司的股价与年终红利作了以下的情景分析，K L
公司的股票现在售价为每股1 2美元。
年末
情景概率红利/美元价格/美元
1 0 . 1 0 0 0
2 0 . 2 0 0 . 2 5 2 . 0 0
3 0 . 4 0 0 . 4 0 1 4 . 0 0
4 0 . 2 5 0 . 6 0 2 0 . 0 0
5 0 . 0 5 0 . 8 5 3 0 . 0 0
计算每一情景的收益率与：
a. 均值、中值和众值。
b. 标准差和绝对均差。
