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用函数，效用从l o g（100 000）＝11 . 5 1 增加到l o g（150 000 ）＝11 . 9 2 ，即图上的距离G。
增加的部分G＝11 . 9 2-11 . 5 1＝0 . 4 1。按期望效用计算，增加值pG＝0 . 5×0 . 4 1＝0 . 2 1。
图6B-2 公平游戏与期望效用
现在考虑另一端的情况。在这种情况下，财富从1 0万美元降到5万美元。图中的
距离L是效用的损失，L＝l o g（100 000）-l o g（50 000）＝11 . 5 1-1 0 . 8 2＝0 . 6 9。因而
预期效用的损失为（1-p）L＝0 . 5×0 . 6 9＝0 . 3 5，它大于预期效用的增加。
我们计算风险投资的预期效用：
E[U(W) ]＝p U(W1) + ( 1-p)U(W2)＝1/2log(50 000)+1/2log(150 000)＝11 . 3 7
如果该投资遭到拒绝，1 0万美元的效用值为l o g（100 000）＝11 . 5 1 ，比公平游戏
的11 . 3 7 还大。因此，风险厌恶型投资者将拒绝参加公平游戏。
使用具体的投资者效用函数（如对数效用函数）使我们能够计算特定的投资者玛
丽·史密斯（Mary Smith）风险投资的确定等价值。如果该数值能肯定得到，玛丽会
认为与风险投资有相同的吸引力。
如果对数效用描述了玛丽对财富的偏好，那么图6 B - 2还可以告诉我们：对她来说，
该投资的美元价值是多少。我们要问：“效用值为11 . 3 7 （等于投资的期望效用）时，
确定的财富水平是多少？”由11 . 3 7 画出的水平线与效用曲线在WC E点相交。这意味着：
l o g（WC E）＝11 . 3 7
它表示：
WC E ＝e11 . 3 7＝86 681.87
因此，WC E是投资的确定等价值。图6 B - 2中的距离Y是出于风险对预期利润的妨碍
或下调。
Y＝E(W)-WC E ＝100 000美元-86 681.87美元＝13 318.13美元
史密斯认为稳拿的86 681.87 美元与有风险的100 000美元的效用值相等。因此，
在两者之间，她持无所谓的态度。
概念检验
问题6 B 1：假定效用函数为U(W)＝W1 / 2。
a. 财富为5万美元与1 5万美元时的效用水平各是多少？
b. 如果p＝0 . 5，期望效用是多少？
c. 风险投资的确定等价值是多少？
d. 该效用函数也表示出了风险厌恶吗？
e. 与对数效用函数比较，该效用函数表示出的风险厌恶是多还是少？
投资者的行为表现出了风险厌恶吗？看一看金融市场的价格和以往的收益率，我
们可以掷地有声地回答：“是的”。相当一致的是，有较大风险的债券与较安全的债券
在其他特征相似的情况下，前者的价格比后者要低。有较大风险的股票在长期的平均
收益率要高于低风险的资产，譬如国库券。例如，1 9 2 6年至1 9 9 6年间，标准普尔5 0 0
指数资产组合的平均收益率每年超出国库券收益率8 . 5%。金融数据非常清楚地显示一
般的或有代表性的投资者表现了强烈的风险厌恶。对于承认金融资产的定价是以提供
风险溢价来为风险作补偿并同时有赌博欲望的读者，我们向他们提供一条建设性的建
议：把你的赌博欲望转向金融市场。正如冯·纽曼所说：“股市是对你有利的卡西诺
赌场游戏。”一个冒点儿风险的投资会带给你想要的所有刺激及正的预期收益入帐。
习题：附录6 B
1. 假定投资者的财富为250 000美元。投资者购买了一幢200 000美元的房子并将
余额投资于年利率为6%的无风险资产。投资者的房屋烧毁的可能性为0 . 0 0 1，投资者
对年末财富的效用为对数形式，则投资者在年初愿意支付的保险费为多少(假定，如果
房屋未损毁，它的年末价值仍为200 000美元)？
2. 如果房屋投保费用为每1 000美元保费1美元。则投资者的年末财富的确定等价
值为多少？假定投资者对住宅投保：
a .价值的1/2 b.全值c . 1 . 5倍的全值
概念检验问题6 B 1答案
6B1.a. U (W ) =
W
U(50 000)
= 50 000= 223.61
U(150 000)＝3 8 7 . 3 0
b. E(U)＝( 0 . 5×2 2 3 . 6 1 ) + ( 0 . 5×3 8 7 . 3 0 )＝3 0 5 . 4 5
c. 我们必须找到效用水平为3 0 5 . 4 5的WC E，因此：
WCE = 305.45
WCE = 305.45 2
= 93 301美元
d. 是的。风险投资的确定等价值比预期结果100 000美元要少。
e. 投资者风险投资的确定等价值比教材中投资者认为的对数效用值大。因此，这
一效用公式表明较小的风险厌恶程度。
