等效原理
我相信，单纯的思考足以了解世界观
——阿尔伯特·爱因斯坦
爱因斯坦在1905年既复活了光的微粒说，又维护了麦克斯韦电磁理论的正确性，但
是他发觉自己进退维谷。关于辐射的这两个概念是相互矛盾的：如果光是由粒子组成，
那么按照万有引力定律，它就会受别的物质影响，果若如此，光速又怎能如狭义相对论
要求的那样是绝对恒星呢？
这个矛盾当然应归根于引力。引力在宇宙中无处不有，并使所有物质加速，而狭义
相对论的惯性系是严格地没有加速度的。爱因斯坦很清楚这个症结，并认识到，要使引
力能与狭义相对论的电磁时空相协调，首先必须重新理解“力”的概念本身。
牛顿万有引力定律要求一切物体都具有一种称为引力质量的内在属性，用以量度每
个物体所能产生的引力。此外，牛顿还用三个基本定律概括了物体在任何力（引力或别
的力）作用下的行为。第一定律简单地说就是笛卡儿的惯性原理：不受力的物体保持静
止或作匀速直线运动；第二定律规定使一个物体加速的力与物体的加速度和质量都成正
比（即人们熟知的公式F＝ma）；第三定律陈述作用与反作用的平等性：每一个力（例
如人推墙的力）都伴之以一个大小相等、方向相反的力（墙也推人）。
所以，牛顿的力是使物体偏离其惯性运动的原因。物体总是反抗对其惯性状态的改
变，这种反抗由其惯性质量来量度。按照这个思路，万有引力同其他任何力一样，也是
一种力，而引力质量之于引力恰如电荷之于电力。我们知道，惯性质量相同而带电荷不
同的物体在同一电场中受到不同的加速，因而在牛顿理论中就没有理由认为引力质量和
惯性质量必定相等。
但是，伽利略和牛顿所观察到的引力的基本性质，正是他心引力同样地加速所有物
体，而与物体的惯性质量或引力质量、体积以及化学性质都无关。一片羽毛、一个分子
或是一块砖，在地球表面附近释放后都同样具有义8米／秒’的加速度（也就是说，假
如没有空气阻力，它们的速度每秒钟都增加98米／秒，在第一秒求是人8米／秒，在第
二秒末是1入6米／秒，等等。这个恒定的加速度正是地球表面的引力加速度）。
这意味着，不仅根本不存在“引力中性”的物体，而且所有物体都具有完全一样的
相应引力荷。这只有在引力质量与惯性质量严格相等时才可能。这种相等性于是被接受
为一条公理，称为等效原理。
这种相等起初被认为只是近似的，后来却经受住了整个科学史上最高精度的核查。
匈牙科男爵罗兰·万·厄伍（Lorandvon E6tvbs）先在1889年，后又在1922年对等效原
理作了验证，精度达十亿分之一。现在，检验精度已经提高了
1000倍。由于一个物体中的所有能量都对惯性质量有贡献（把电子和核束缚在原子
中的电磁能就很显然），我们就能得出结论：所有能量都有重量，尤其是，光也有重量。
爱因斯坦意识到，等效原理是理解引力的关键。引力与电磁力大不相同，包括进引
力，将给狭义相对论带来实质性的扩充。让我们来进一步考虑等效原理的物理意义。
在爱因斯坦看来，引力质量与惯性的等效只是一个更强得多的等效性的弱形式，而
强等效性是把均匀引力和加速统一起来（图对。爱因斯坦指出：
1．任何加速都相当于引力。一个坐在加速度与地心引力（即g＝98米／秒’）相等
的飞船里的人感觉不出与站在地面上有什么区别。
2引力的作用可以通过选择一个适当的加速参考系来消除。他的著名例子是一架突
然断了缆绳的电梯，其中的人将觉得失重，与在太空中已脱离地球引力的人的感觉一样。
我们在这里看到引力与自然界所有其他的力（如电力）之间的巨大差异。不可能用
加速来冒充电力，因为一个电场中的物体并不受到同样的加速，加速度与物体的电荷有
关。准确地说，引力实际上不是一种作用于时空中的不同物体之间的力，而是时空自身
的一种性质。
引力对人们早已熟悉的时空结构摧毁性地入侵的结果，就是广义相对论。
新惯性
物理学的自洽性要求一种相对性，即要求参考系中的物理规律能取相同的形式。在
这个意义上，广义相对论可说是推翻了狭义相对论。狭义相对论里的参考系都以恒定速
度运动，不受力，没有加速度。时空连续体是一种平坦的不毛之地，没有任何局部特征，
这种空虚性保证了位置和速度的相对性。但在引力存在的情况下，所有参考系都受到加
速。因此在广义相对论中没有普适的惯性参考系。时空连续体变得坑洼不平，而位置和
速度只能相对于这样的时空来确定。所有的参考系，无论是惯性系与否，只要我们知道
如何从一个参考系正确地过渡到另一个，就能用来描述自然定律。从这个意义上讲，爱
因斯坦引力理论的名称是取错了，因为广义相对论的相对性比狭义相对论是减小了。
由于一个均匀引力场能由一个加速来消除或代替，并且反之亦然，一个在这个场中
下落的物体就不受任何力（人之没有落向地心是因为他脚下地面压力的阻挡）。恒定引
力场中的自由下落因而就是物体的“自然”运动。对宇宙中任何一个足够小的区域而言，
引力的变化不大，则自由下落运动定义出一个局域惯性参考系，其中的物理定律取其最
简单的形式，即由狭义相对论所给出的形式。狭义相对论并没有被完全抛弃，它是被包
括到一个更广泛的理论中，而仍保持在一定范围内的适用性。
宇宙高尔夫球场
我们今天都知道时空是弯曲的，可是这个奇怪而又迷人的陈述究竟是什么意思呢？
双生子佯谬很好地描绘了狭义相对论时空的刚性结构如何使空间和时间由于观测者
的运动而各自改变（收缩或延缓）。广义相对论则完全变革了我们的宇宙观，它断言引
力会使整个时空变形。
如果在一个给定点上直接的引力效应已被消除，我们仍能测量相邻两点之间的微分
效应。在一个缆绳已断掉的电梯里，两个“自由”物体的轨迹在一级近似上是平行的，
但实际上两条轨迹线将在6400公里远处的地心相交，因此两轨迹之间就有一个相对加速
度（因为它们相互在靠近），对应着一个微分引力场。
显示直接引力与微分引力之间区别的一个鲜明事例是海洋潮汐的幅度。虽然太阳对
地球表面的直接引力比月亮的强180倍，太阳潮却比月亮潮弱得多。这是因为潮汐并不
是由直接引力造成，而是由太阳和月亮对地球上不同点的引力的差异造成。对月亮来说
这种差异是6％，而对太阳则只有1．7％。
牛顿理论把微分引力效应称作潮汐力。在太阳系里潮汐力是很弱的，而黑洞所产生
的潮汐力却能把整个恒星撕碎。然而对广义相对论来说，用潮汐力来描述微分引力是完
全多余的，因为这不是一种力学效应而纯粹是一种几何效应。为理解这一点，且看两只
开始时沿平行路线滚动且相隔不远的高尔夫球（图8）。如果地面完全平坦，它们的轨
迹将保持平行，否则它们的相对位置就会改变，一个鼓包会使它们离远，一个凹坑则会
使它们靠拢。在宇宙高尔夫球场里，微分引力可以用时空“场地”的弯曲来表示。而且，
由于引力总是吸引，这种弯曲就总是凹下而不是隆起。
因此，时空弯曲的深刻含义是指由等效原理所造就的引力与几何之间的联系。物体
不是在引力迫使下在“平直”时空中运动，而是沿着弯曲时空的恒值线自由地行进。
弯曲几何
上帝以弯曲来显平直。
——共济会思想象（1782）
“弯曲”是一个日常用词。三维空间里的欧几里德几何允许我们讲一维的曲线和二
维的曲面。圆是一个一维几何图形（只有长度，没有宽度和深度），其半径越短，则弯
曲程度越大。反之，如果半径增至无限长，圆就变成了直线，失去了弯曲性。同样地，
一个球面随其半径的无限增长也会变成一个平面（若不计地面的粗糙，则在局域尺度上
看地球表面是平的）。
弯曲因而是有精确的几何定义的。但当维数增加时，定义变得复杂多了，弯曲程度
不能再像圆的情况那样用一个数来描述，而必须讲“曲率”。且看一个简单情况即圆柱
面，这是一个二维曲面（图约，平行于其对称轴所量度的曲率为零，而在垂直方向上的
曲率则与截出的那个圆相等。
尽管曲率有多重性，仍然可以定义出一个固有曲率。在二维面上的每一个点都可以
量出两个相互垂直方向上的弯曲半径，二者乘积的倒数就是曲面的固有曲率。如果两个
弯曲半径是在曲面的同一侧，固有曲率就是正的；如果是在两侧，那就是负的。圆柱面
的固有曲率为零，事实上它可以被切开平摊在桌面上而不会被扯破，而对一个球面就不
可能这样做。
球面、圆柱面及其他任意二维曲面都“包理”在三维欧几里德空间里。这种来自现
实生活的具体形象使我们觉得可以区分“内部”和“外部”，并且常说是一个面在空间
里弯曲。但是，在纯粹的几何学里，一个二维曲面的性质可以不需要关于包含空间的任
何知识而完全确定，更高维的情况也是如此。我们可以描绘四维宇宙的弯曲几何，不需
要离开这个宇宙，也不需要参照什么假想的更大空间，且看这是如何做到的。
弯曲空间的数学理论是在19世纪，主要由本哈·黎曼（Bernhard Riemann）发展出
来的。即使是最简单的情况，弯曲几何的特性也是欧几里德几何完全没有的。
再次考虑一个球面。这是一个二维空间，曲率为正值且均匀（各点都一样），因为
两个曲率半径都等于球面的半径。连接球面上两个分离点的最短路线是一个大圆的一段
弧，即以球心为中心画在球面上的一个圆的一部分。大圆之于球面正如直线之于平面，
二者都是测地线，就是最短长度的曲线。一架不停顿地由巴黎飞往东京的飞机，最省时
间的路线是先朝北飞，经过西伯利亚，再朝南飞，这才是最短程路线。由于所有大圆都
是同心的，其中任何两个都相交于两点（例如，子午线相交于两极），换句话说，在球
面上没有平行的“直线”。
已可看出欧几里德几何是被无情地践踏了。熟知的欧氏几何定律只能应用于没有任
何弯曲的平坦空间，一旦有任何弯曲，这些定律就被完全推翻了。球面最明显的几何性
质是：与平面上直线的无限延伸不同，如果谁沿着球面上的直线（即沿着大圆）运动，
他将总是从相反方向上回到出发点。因此，球面是有限的，或者说封闭的，尽管它没有
终极，没有边界（大圆是没有终端的）。球面正是具有任何维数的有限空间的理想原型
（由于自转、地形及潮汐等因素，地球表面不是精确的球面，但它同样具有上述性质）。
现在来考查一下负曲率空间的情况。为简单起见，限于二维，典型的例子是双曲面，
形如马鞍。如果也沿着这个面上的一条直线运动，一般说来不会再返回出发点，而是无
限地远离。像平面一样，双曲面也是开放面，但仅此而已。作为一个曲面，双曲面根本
不再是欧几里德型的。
大多数曲面并不像球面或双曲面那样具有处处都为正或为负的曲率，而是曲率值逐
点变化，正负号在面上不同区域也会改变。
几何与物质
物质所在，几何所在（Ubi materia，ibi geometria）。
——约翰斯·开普勒（JOhaunes Kopler）
我们现在来考虑广义相对论的四维几何。重要的是，时空是弯曲的，而不仅是空间。
黎曼曾试图以弯曲空间来使电磁学和引力相和谐，他之所以未成功，是因为没有扭住时
间的“脖子”。
设想我们把石块掷向地面上10米外的靶子。在地球引力作用下石块将沿连接出手处
和靶子的抛物线飞行，其最大高度取决于初始速度。如果石块以10米／秒的速度掷出，
并将用1．5秒钟落到目标，则其最大高度为3米。如果改成用枪射击，且子弹初速为500
米／秒，则子弹将沿高为0．5毫米的弧线用0．02秒钟击中目标；如果子弹被射到12公
里高的空中再落到靶子上（忽略空气的影响和地球自转），它的总飞行时间就大约是
100秒。由此推至极限，也可以用速度为3 0公里／秒的光线来射靶子，这时的轨道
弯曲变得难以觉察，几乎成了一条直线。显然，所有这些抛物线的曲率半径各不相同。
现在加进时间维度（图14b）。无论对石块、于弹还是光子，在时空中量度的曲率
半径都精确地相等，其值为1光年的星级。因此，更合理的说法是，时空轨道是“直”
的，而时空本身被地心引力所弯曲，不受任何其他力的抛射体将沿测地线运动（等价于
说沿弯曲几何中的直线运动）。
上面的例子表明时空是怎样在时间上弯曲得比在空间上厉害得多的。一旦所涉及的
速度开始增大，时间曲率就变得重要。公路上凸起了一小块，只是空间曲率的一点小小
不整齐，一个徒步慢行的人很难觉察到，但对一辆以120公里／小时的速度行驶的汽车
来说却很危险，因为它造成时间维度上大得多的变化。
阿瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）计算出，l吨的质量放在一个半径为5米的圆中
心所造成的空间曲率改变，仅仅影响圆周与直径比值（即欧几里德几何中的…的小数点
后第24位。
因此，要给时空造成可观的变化，就得有巨大的质量。地球表面的时空曲率半径如
此之大（约1光年，即其自身半径的10亿倍）的事实说明地球的引力场，尽管给物体以
98米／秒’的加速度，却是不够强的。对于地球附近的绝大多数物理实验，我们可以继
续采用明可夫斯基时空和狭义相对论；欧几里德空间和牛顿力学在涉及的速度较小时也
足够精确。
尽管局域地看来似乎平直，我们的宇宙实际上是被物质弄弯曲了。然而，弯曲效应
变得明显仅仅是在高度集中的质量附近（例如黑洞），或者是在很大的尺度上（数百万
光年，例如研究对象是由数千个星系组成的团）。最近发现的多重类星体是弯曲时空真
实性的一个最好证据。一个遥远光源发出的光线沿不同路径穿过弯曲时空，使天文学家
看到同一个天体的几个像
柔软的光
光……更多的光！
——歌德（Goethe）最后的话（1832）
狭义相对论时空的刚性结构也像牛顿空间一样被引力的冲击完全破坏了。时空连续
体变得柔软了，被它所包含的物质扭曲了，而物质又按照它的弯曲而运动。
不过，光线的轨迹仍然是沿着最短路径。这个时空“软体”的结构仍然是由光编织
的，广义相对论的本质也仍能由光锥来表示出来。
另一种使弯曲时空及其对物质的影响形象化的有用办法是用一块橡皮片。设想将时
空的一部分缩减成二维，且由弹性材料构成。在没有任何别的物体时，橡皮保持平直。
如果把一个球放在它上面，它就会变形，凹下一个坑，球的质量越大，凹得就越深。这
