康德曾在《纯粹理性批判》的导言第五节中把7＋5＝12 这一命题看作是.3
于是定量被建立为排斥自身的，从而有了两个定量，但是这两个定量却
被扬弃了，只是一个统一体的环节，这个统一体就是定量的规定性。
一一定量这样在它的外在性中作为漠个相关的界限而与自身相关，于是
便在质的方面被建尔起来，这就是量的比率。——在几率中，定量是外在于
自身的，与自己不同的；它的这种外在性是一个定量对另一定量的关系，每
一定量都只是在与它的他物的关系中才有价值；这种关系构成定量的规定
性，定量就是这样的统一体。定量在那里所具有的，不是漠不相关的规定，
而是质的规定，它在它的这种外在性中回复到自身，在这种外在性中，定量
就是它之所只是定量的东西。
注释一 数学无限的概念规定性
①数学的无限一方面是很有兴趣的，因为它将引人数学，导致了数学的扩
张和伟大的结果；另一方面又是很奇怪的，因为这门科学还没有能够用概念
（真正意义的概念）来论证无限物的使用。论证到底是要依靠（用别的根据
来证明的）借助于那种规定所得结果的正确性，而不是依靠对象和获致结果
的运算的明显性，甚至运算本身倒被认为是不正确的这一点本身已经很糟
糕；这样的一个办法是不科学的。这个办法也带来害处，即：当数学因为对
于它的这个工具的形而上学和批判方面并不擅长，以致不认识这个工具的本
性之时，数学兢既不能规定共应用范围，也不能保证其个被滥用。
① 参看第121 页。
但是从哲学的观点看来，这个数学的无限之所风重要，因为事实上它是
以真正无限的概念为基础，比通常所谓形而上学的无限高得多，人们就是从
形而上学的无限出发，对真无限作了许多责难。面对迅些责难，数学常常只
晓得用抛弃形而上学的权威来自救，认为只要它一贯在自己的地基上行动，
就与形而上学这阴科学毫不相干，也不用理睬形而上学的概念。数学似乎无
须考虑事物本身是什么，而只考虑事物在数学的领域内真的是什么。形而上
学在与数学的无限相矛盾的时候，无法否认或取消使用数学无限的辉煌结
果，而数学也搞不清自己的概念的形而上学，因此也槁不清那种使无限物的
使用成为必需的方法的由来。
假如这是数学遭受到的一般概念的唯一困难，那么，它尽可不必多费周
章，把这个概念放在一边好了，这就是说，由于概念比仅仅列出一事物的基
本规定性、即知性规定要更多一些，而且数学对这些规定性并不缺少严密性：
因为它这一阴科学既不是和它的对象的概念打交道，也不是由于概念发展（即
使仅仅是由于推理）而产生它的内容。但是在数学无限的方法里，数学对自
己特有的方法本身，却发现了根本矛盾，而它之所以是科学，就依靠这种方
法。因为对无限的升算，允许而且要求数学庄有限大小运算时所必须完全抛
弃的解法，同时数学又对这些无限的大小和有限的定量都一样处理，想应用
对它们都有效的同样方法。为超经验的规定及共处理取得普通的针算形式，
是这阴科学成长的一个主要方面。
数学在不同运算的冲突中，表现出它由此而找到的结果，与用真正数学
的、几何的、解析的方法所找到的，是完全一致的。但一方面并非一切结果
都是这样，而引人无限的目的，也不仅仅在于缩短通常的路程，而是要达到
用这些方法所不能导致的结果。另一方面，成果自身并不就验证了所采取的
途经的方式有道理。但是无限的针算方式显出了以它被卷人貌似的不精确而
遭到困难，因为它先以一个无限小量来增加有限的大小，而在风后的运算中，
对这些大小又保留一部分，省略一部分。①这种解法的古怪之处，就是尽管承
认了这种不精确，而所得的结果，却小仅是误差可以无须注意的大概或近似，
而是完全精确。我们在结果以前的运算时，总不免想像有些定量不等于零，
但是微不足道，可以不如注意。但是在我们所了解的数学规定性那里，一切
精确性较大或较小的区别都完全抛掉了，正如在哲学中，所能谈到的，只有
真理，而不是较大或较小的概然性。假如无限的方法及使用由于成果而得到
辩护理由，那么，不管这个成果而要求对方法的辩护理由，这并不像问鼻子
耍使用鼻子的权利证明那样多余志因为数学知识之所以是科学的知识，主要
就在于证明，至于结果，其情况也是如此，因为严格的数学方法并不是对一
切都提供了成果的标记，而这种标记，无论如何，也只是外面的标记。
值得费些力量去仔细考察无限的数学概念，和有些很可以注目的尝试，
那些尝试的意图在于论证这种概念的使用，消除方法所感到的很难受的困
苦。在这个注释里，我耍较广泛地从事考察对数学无限的论证和规定，这种
考察将对其概念的本性投下最好的光明，也将指出这个概念如何浮现在这些
论证和规定的面前并为它们立下基础。
① 参看第121 页。
数学无限的通常规定是：它是一个这样的大小，假如它被规定为无限大，
那么在它以上就没有巨大的；假如它被规定为无限小，那么在它以下也没有
更小的；或者说在前一种情形，它比任何大小都更大，在后一种情形，它比
任何大小都更小。这个定义当然并没有表现真概念，倒不如就是像从前已经
说过的无限进展中购那个同样矛盾。但是我们还是看看那里所包含的东两本
身是什么吧。数学为一个大小所下的定义是：大小是某种可以增加和减少的
东西，——一般说来，这就是一个漠不相关的界限。现在无限大或无限小既
然是这样一个不再能增加或减少的东西，那么，事实上它也就不再是定量本
身了。
这一结论是必然的、直接的。但是定量（我在这个注释中如实地称一般
定量为有限的定量）被扬弃这种不常有的想法，却为普通理解造成困难，因
为定量既然是无限的，那就要求设想它是被扬弃了的，是一个已非定量而仍
然留有它的量的规定性那样的东西。
这里我们引证一下康德对这种规定是如何判断的。①他发现这种规定与人
们所了解的无限的整体并不一致。“根据普通概念，一个大小，假如不可能
有更大的超过它时（即超过其中所包含的一定单位的数量），它就是无限的；
但是没有一个数量是最大的，因为总可以再加添上一个或多个的单位。——
另一方面，通过一个无限的整体，也不会想像出它有多么大；所以它的概念
不是一个最大限度（或最小限度）的概念，而是通过无限的整体来设想它与
一个任意采取的单位的关系，就单位而言，无限的整体比一切数都更大。无
限物随着所采取的单位较大或较小而较大或较小；但是无限物，因为它的存
在仅仅由于与这种已知单位的关系，却永远仍然是一样的，尽管整体的艳对
大小当然完全不会由此而知道。”①
康德斥责把无限整体看作一个最大限度，看作一定单位的已完成的数
量。最大限度或最小限度本身总还像是一个定量或数量。这样的观念无法避
免康德所举出的后果，会引致较大或较小的无限物。一般说来，既然把无限
物想像成定量，那么，较大或较小的区别也就仍然会对无限物有效。但是这
种批评，对于真的数学无限物的概念，无限差分的概念，却是无的放矢，因
为无限差分已不再是有限的定量了。
康德的无限概念，恰恰与此相反。他所谓的真的、先驗的概念，是“测
量一定量时永远不能完成单位的继续综合”。②这是假定了一个一般的定量作
为已经给与的；它应该由于单位的综合而成一个数目，一个被确定指明的定
量，但是这种综合又永远不能完成。③这里所表示的，显然不过是无限进展，
只是被想像为先驗的，即本来是主观的、心理的罢了。就本身说，定量诚然
应该是完成了的，但是就先驗的方式说，即在主观中（主观给它一个与单位
的关系），却只发生了一个这样的定量的规定，它没有完成而绝对带着一个
彼岸。所以这仍然是停留在大小所包含的矛盾里，但是这个矛盾却被分配给
对象和主体了；对象得到的是定立界限，主体得到的是超出主体所把握的每
一规定性而进入坏的无限另一方面，前面已经说过，数学无限物的规定，如
高等分析中所使用的，诚然与真的无限概念符合，现在却应当对这两种规定
的比较，作更祥棚的阐释。
① 见《纯粹理性批判》中对宇宙论第一个二律背反正题的注释。——黑格尔原注
① 《纯粹理性批判》，蓝译本，第332 页，中间删略了关于世界和时空的几句话——译者
② 《纯粹理性批判》，蓝译本，第333 页，重点是黑格尔加的。——译者
③ 参看第122 页。
关于真的无限的定量，首先就是它自己规定本身
是无限的。它之所以如此，因为正如以前看到过的，有限的定量（或者说一
般定量）和它的彼岸，即坏的无限，，都同样被扬弃了。扬弃了的定量因此
回复到单纯性和自身关系，但是这不仅仅像外延定量那样，因为当外延定量
过渡到内涵定量之时，内涵定量只是＊身在外在的杂多中才有其规定性，但
对于规定性既应当漠不相关，又应当有差异。无限的定量则是在它那里含有
（1）外在性，（2）这种外在性的否定；所以它不再是任何有限的定量，不
再是一个以定量为实有的大小规定性，而是单钝的，因此只是环节。无限的
定量是一个在质的形式中的大小规定性，它的无限性必须是一个质的规定
性。这样，作为环节，它本质上是在和它的他物统一之中），只有通过它的
这个他物，才是被规定了的，即它只在对一个同它处于比辛中的东西有关系
时，才有意义。在比率之外，它就是零；——因为定量本身对比率应当是漠
不相关的，而在比率中却应当是一个直接的、平静的规定。它在比率中只作
为环节，便不是一个自为的漠不相关的东西；由于它同时又是一个量的规定
性，所以它在作为自为之有的无限性中，只是一个为—（Fiir-Eine）的东西。
无限物的概念，这里还只是抽象地展示出来；假如我们把定量当作一个
比率环节，观察它所表现的各个阶段，从它同时还是定量本身这一最低的阶
段起，直到它获得无限大小的真正意义和表现这种较高的阶段为止，那么，
无限物的概念就将显出是为数学的无限物奠立基础，它的本身也将更为明
白。
我们试先取一个比率中的定量，如一个分数。例如2/7 这个分数，它并
不像1，2，3 等等定量，它固然是一个普通的有限的数，但不是一个直接的
数，如整数那样，而是由两个其他的数同接规定的分数；那两个数互为数目
和单位，而单位也是一确定的数目。但是假如将这两个数相互的密切规定抽
掉，只就现在它们在质的关系中恰巧是定量这一点来观察，那么，2 和7 在
另外的地方就是漠不相关的定量；但是在这里，由于它们仅仅出现为彼此的
环节，从而第三者（即被称为指数的定量）也出现了，所以它们并不是立刻
被当作2 和7，而只是依照它们的相互规定性才能有效。因此可以同样用4
和14，或6 和21 等等以至无限来代替它们。这里，它们开始有了质的特性。
假如它们被当作只是定量，那么2 和7 便是：一个绝对只是2，另一个绝对
只是7，4，14，6，21 等等也都绝对与这个数不同，而以上等等数既然只是
直接的定量，它们也就不能够彼此代替。但是2 和7 既然依照规定性，不被
当作是这样的定量，那么，它们的漠不相关的界限便扬弃了。于是从这一方
面看来，它们便包含了无限性的环节；因为它们不仅不再是它们本身，而且
它们的量的规定性仍然保督，但是叉作为一个自在之有的质的规定性而保留
——即依照它们在比辛中的值。可以用无限多的别的数来代替这两个数，而
分数则由于比率所具有的规定性，其值并不改变。
但是分数所表现的无限性仍然还不完全，这是因为分数的两项2 和7 可
以从比率中取出来，而它们这样便是普通的漠不相关的定量；至于它们既是
在比率中叉是环节，这种关系对它们就来倒是某种外在的、漠不相关的东西。
它们的关系本身也同样是一个普通的定量，即比率的指数。
普通算术运算所用的字母，是提高数到普遍性的第一步，字母并没有一
定数值的那种特性，只是每一确定值的一般符号和不确定的可能性。因此分
数a/b 像是无限物的较适合的表现，因为a 和b 从它们的相互关系取出来，
仍然是不确定的，即使分离以后，它们也没有自己的特殊的值。这两个字母
固然被当作不确定的大小，但其意义却是它们可以是任何一个有限的定量。
这样，它们诚然是一般的想像，但又只是确定的数的想像，既然如此，它们
之在比率中这一点，于它们说来，是不相干的；它们在比率外，也保持这个
值。
我们更仔细观察一下比率中所呈现的东西是什么，那么，在比率中就有
两个规定，一是一定量，二是这个定量不是直接的，而是其中有质的对立：
它之所以在比率中仍然是确定的、漠不相关的定量，因为它从它的他有、从
对立回复到自身，从而是无限物。这两种规定，以下面的大家熟知的形式来
表现它们的相互区别的展开。2/7 个分数可以表示为0285714 ，1/1-a 这
个分数可以表示为1＋a＋a2＋a3+ 等等。这样，分数就是一个无限的系
列；分数本身意谓着这个系列的总和或有限的表现形式。比较一下这两种表
现形式，那么，无限系列那一种表现形式就是不再把分数表现为比率，而是
依照这样的方面来表现它，即分数作为一定数量的彼此相加的东西，作为数
目，是定量。至于这些大小应该把分数作为数目来构成，而本身又是由十进
位的分数、即由比率而成，那却与这里的问题无关；因为这种情况所涉及的，
只是这些大小的特种单位，而不是构成数目那样的大小；正如由多数符号构
成的十进位系梳的一个整数，本质上被当作数目，而并不管它是由一个数和
十这个数及其方幂的乘积所构成的那样。所以这个问题也不在于除我们所举
的例2/7 以外，还有其他造成十进位分数的分数，并没有发生无限的系列；
每一个分数都可以用与此不同的单位的数的体系来表示。
无限的系列应该把分数表现为数目，现在分数的比率方面既然在这个无
限系列中消失了，那么，，以前指出过的，分数从比率得到无限性的那一方
面也就消失了。但是这样无限性却以另一种方式进来了：系列本身就是无限
的。
系列的无限属于哪一类，现在也是很明显的：这是进展的坏的无限。系
列包含并表现着矛盾，那就是它要把比率和其中具有质的本性这样的东西，
表现成一个没有几率的东西，一个单纯的定量或数目。其结果是：系列中表
现的数目总是缺少了一点什么东西，以致为了达到所要求的规定性，总是必
须超出已经建立的东西。进展的规律是大家熟知的，它就在分数所包含的定
量规定中和应当表现这种规定的形式的性质中。数目固然可以由系列的继续
延长，使其需要多么精密便有多么精密；但是由系列所表现出来的，仍然永
远只是一个应当；这种表现总是带着一个扬弃不掉的彼岸，因为把一个依靠
质的规定的东西表现为数目，就是一个永存的矛盾。
无限系列中现实当前的那种不精密，在真的数学无限里却只是表面现
象。这两类数学的无限，和两类哲学的无限一样，决不可以混淆。表现真的
数学无限物，早就开始用过系列的形式，甚至近来也重又引用。但是这种形
式对它并不是必要的；恰恰相反，下面将会指出无限系列的无限物与那种真
的数学无限物有本质的区别。无限系列不如就是比分数的表现形式甚至还要
低下一些。
无限系列包含着坏的无限，因为系列所应该表垠的东西，仍然是一个应
当，而它所表现出来的东西，又带着一个不会消失的彼岸，与它所应该表现
的东西不同。无限系列之所似是无限的，并非为了被建立起来的各项的缘故，
而是因为这些项不完全，因为有一个本质上属于这些项的他物，是它们的彼
岸；建立的项无论愿意怎么多，便怎么多，而系列中实有的东西却仍然只是
一个有限物，就真正的意义税来，是被建立为有限物，即它不是它应该是的
那样的东西。与此相反，这种系列的所谓的有限的表现形式或总和却并没有
欠缺；它所包含的值是完全的，而系列却只是在寻找这个值；彼岸从逃跑中
被召回来了；这种表现形式是什么和它应该是什么并浚分离，而是同一的东
西。
这两者区别所在，较确切地说，就是：在无限系列中，否定物是在它的
各项之外的，这些项仅仅由于被当作数目的部分而当前现在。与此相反，有
限的表现形式是一个比率，否定物在这个形式中，作为比率两端的相互规定，
是内在的，这个相互规定回归到自己，是自身相关的统一，是否定之否定（比
率两端都是环节），于是在自身中也就有了无限性的规定。——这样，寻常
所谓总和，如2/7 或1/1-a，事实上就是一个比率；而这个所谓有限的表现
形式就是真的无限的表现形式。反之，无限系列倒真的是总和；它的目的是
要把本身是比率的东西，以一个总和的形式来表现，而系列现有的各项不是
一个比率的项，而是一个总积（Aggregat）的项。另一方面，系列还不如说
是有限的表现形式；因为它是不完圣的总积，木质上仍然是有缺憾的。系列
就其实有的东西而言是一定的定量，但同时又是一个较少于本身应该有的定
量；而系列所缺少的东西也同样是一个一定的定量；所缺少的部分事实上正
是系列中称为无限的那个东西，就仅仅形式方面说，这个部分是一个缺少的
东西，一个非有；就它的内容说，它是一个有限的定量。在系列中实有的东
西痤同所缺少的一起，就构成了分数那样的东西，这是系列应该是而又不能
够是的一定的定量。无限这个字，即使在无限系列中，也常常被人以为一定
是某种高尚尊严的东西，这是一种迷信，知性的迷信；我们已经看到了它倒
不如说是耍归秸到有缺憾的规定上去。
还可以说，其所以有不能总和的无限的系列，就系列形式而言，那完全
是由于外在而偶然的情况。它们比能总和的无限系列，含有较高极的无限性，
即不可通钓性（Inkommensurabilitat），或者说不可能把其中所含的量的比
率表现为定量，即使是表现为分数也不可能。但是它们所具有的系列形式，
本身却含有与能总和的系列中相同的坏的无限规定。
数学的无限物——不是方才所说的，而是真的数学的无限物——被称为
相对的无限物；通常的形而上学的无限物——这该是被了解为抽象的、坏的
无限物——却反而被称为绝对的无限物；这里也就有了以前在分数和分数的
系列那里所看到的名词的颠倒。事实上，这个形而上学的无限物倒只是相对
的，因为它所表现的否定仅仅是与一个界限对立，即界限仍然在它之外长留，
并不被它捌弃；数学的无限物则与此相反，真的把自身中的有限的界限扬弃
了，因为界限的彼岸与界限联合了。
一个无限系列的所谓总和或有限的表现形式，在方才陈述过的意义之
下，倒应该被认为是无限的，尤其是斯宾诺莎曾树立真的无限概念来与坏的
无限概念对立，并用例子加以说明。当我将他关于这方面的说法和我的这种
解释联系起来时，他的概念就极共明白了。
他首先把无限物定义为任何性质的存在的绝对肯定，相反地，有限物却
是规定性、是否定。①当然，一种存在的绝对肯定必须认为是它的自身关系，
而不是由于有一他物：反之，有限物则是否定，是与一个他物的关系的终止，
这个他物是在它以外开始的。一种存在的绝对肯定，当然没有穷尽无限的概
念。这个概念之包含无限，即肯定，并不是作为直接的肯定，而只是通过他
物在自身中的反思而恢复的肯定，或说是否定物之否定。但是在斯宾诺莎那
里，实体及其绝对统一还只有不动的，即不是自己以自己为中介的统一形式，
是一种僵硬的形式，其中还浚有自身的否定的统一这样概念，还没有主观性。
他说明真的无限物所用的数学例子（《书信集》，Epist.XXIX），是两
个不相等的圆之同的空同，一个圆落在另一个圆之内而又不碰到它，并且这
两个圆不是同心的。他似乎很看重这个几何形状和用这形状为例的概念，以
致把它作为他的伦理学的公则。②他说：“数学家结论说，在这样的空间中可
能的不相等是无限的；那些不相等，不是由于无限数量的部分（因为这样的
空同的大小是确定的、立了界限的，而且我可以建立较大的或较小的这样的
空间），而是因为事物的本性超出了任何规定性。”可是斯宾诺莎抛弃了把
无限物想像为没有完成的数量或系列的那种设想，提醒人们这里所举的空间
的例子，无限物不是彼岸，而是当前现在、已经完成了的；这个空间是一个
立了界限的，但它所以是无限的，是“因为事物的本性超出了任何规定性”，
因为其中所包含的大小规定不能表现为定量，或依照上述康德的说法，把它
综合为一个分立的定量是不能完成的。
① 见斯宾诺莎《伦理学》第一部分，命题八，附释一。贺麟译本第7 页。——译者
② 按指《伦理学》第一部分，公则（五），贺麟译本第4 页，以下引文，仍是《书信集》中语。——译者
——连续定量和分立定量的对立如何
一般地导引出无限物，这应该在下一注释中讨论。那种在一个系列牛的无限，
斯宾诺莎称之为想像的无限物：另一方面，他称自身关系的无限物为思维的
无限物或现实的无限物（infinitum actu）。它之所以是现实的（aciu）无
限，是因为它是已完成的和现在的。这样，0.285714 或1＋a＋a2＋a3
等系列便仅仅是想像的、或意见的无限物，因为它们没有现实性，总是缺少
点什么：反之，
2
7
或
1
1- a
都是现实的无限物，不仅有系列中现在各项的东西，
并且还有系列所缺少而只是应该有的东西。
2
7
或
1
1- a
同样是一个有限的大小，就像斯宾诺莎封闭在两个圆之同的空同及其各种不
相等那样，并且也像这个空间那样可以使其较大或较小。但是并不因此而发
生较大或较小的无限物那种荒谬事情；因为这个整体的定量与它的环节的比
率，与事物的本性、即与质的大小规定无关：那在无限系列中实有的东西，
同样是一个有限的定量，但除此之外，它还是一个有缺憾的东西。想像对于
它仍然停留在定量本身那里，并不曾反思质的关系，而质的关系却构成现存
的不可通约性的基础。斯宾诺莎例子中所包含的不可通钓性，其中一般地包
含了曲线函数，更确切地说，导致了数学在这样的函数里，或一般地说，
在变量的函数里所引用的无限，这是真的数学的、质的无限，
也就是斯宾诺莎所想的无限。我们在这里要详细说明这种规定。
首先是关于可变性这样重要的范畴，函数中相关的大小就是在这个范晴
下被把握的。这些大小之可变化，其意义并不应该是像分数
2
7
中2 和7 两个
数那样，因为同样可以用4 和14，6 和21 等等以至无限的其他的数来代替而
不改变这个分数中所定的值。对
a
b
同样也可以用任何数代替a 和b 而不改变
a
b
所应该表现的值。现在的意义是：对于一个函数中的x 和y，也可以用一
个无限的、即不可穷尽的数量的数来代替，a 和b 是与那x 和y 同样可变化
的大小。因此，为大小规定选择了变量这一名词是很含糊而不幸的，这种大
小规定的有兴趣之处及其处理方式，是在与单纯可变性完全不同的地方。
数学高等分析满怀兴趣地从事于研究一个函数的环节，为了弄明白这些
环节的真正规定何在，我们必须再经历一遍前面已经注意过的阶段。在
2
7
或
a
b
中，2 和7 每一个本身都是规定了的定量，关系对于它们是不重要的：a
和b 也同样代表这样的定量，它们在比率之外也仍然是它们原来的样子。此
外，
2
7
和
a
b
也是一个固定的定量，一个商数：比率构成一个数目，分母表示
数目的单位，分子表示这些单位的数目，或倒过来说也可以；即使4 和14
等等代替了2 和7，比率作为定量仍然是同一的。但是这一点在譬如
y
x
2
＝p
的面数中却有了本质的改变；这里x 和y 固然有可以是确定的定量的那种意
义，但x 和y 却没有确定的商数，而只是x 和y2 才有。所以这个比率的两端
不仅第一、不是确定的定量，而且第二、它们的比率也不是一个出定的定量
（这里也不意谓着它是像a 和b 那样的一个固定的定量），不是一个固定的
商数，这个商数作为定量也是绝对可变的。这一点的含义，唯在于：不是x
对y 有比率，而是只有x 对y 的平方才有比率。一个大小对方幂的几率，不
是一个定量，而在本质上是质的比率：方幂比率是一种情况，这种情况必须
看作是基本规定。——但是在直线函数y＝ax 之中，
y
x
＝a 却是一个普通的
分数和商数，因此这个函数只在形式上是一个变量的函数，或说这里的x 和
y 就和在
a
b
中的a 和b 那样，没有微积分针算中所考虑的那种规定。从微积
分的观点看来，由于变量的特殊性，倒是宜于为它们采用一个特殊名称，并
且采用与有限的（无论确定或不确定的）方程式中普通所用的未知数符号不
同的符号，因为它们与那些单饨未知数有本质的差异，那些未知数本身是完
全确定的定量或有一个确定定量的确定范围。——只是因为对于构成高等分
析的兴趣和对引起需要和发明微分针算的东西的特殊性缺乏意识，才把一次
方的函数，如直徒方程，也纳入这种计算本身的处理之内；另外一种误解也
有助于这样的形式主义，即这种误解以为一个方法的普遍化这一本来正当的
要求，将由于省略掉为这种需要基础的特殊规定性，便会实现，以致认为这
个领域内所处理的，好像只有一般的变量了。假如懂得这种形式主义所涉及
的不是变量本身，而是方幂规定，那么在考虑以及处理这些对象时，便会省
去许多形式主义了。
但是数学无限的特殊性之出现，还在后一阶段里。在把x 和y 首先当作
是由一个方幂比率来规定的方程式中，x 和y 本身仍然应孩有定量的意义；
这种意义在所谓无限小的差分中却完全丧失了。
dx，dy 不再是定量了，也不应该有定量的意义，它们的意义只在于关系，
仅仅意味着环节。它们不再是某物（被当作定量的某物），不再是有限的差
分；但也不是无，不是无规定的零。在比率之外，它阴是钝粹的零，但是它
们应该被认为仅仅是比率的环节，是
dx
dy
微分系数的规定。
在这个无限概念中，定量真的成了一个质的实有；它被建立为现实地无
限的；它不仅是作为这个或那个定量，而是作为一般定量被扬弃了。但是，
作为定量原素的量的规定性，仍旧是根本，或者如以前所说，仍旧是定量的
第一概念。
对这种无限的数学基本规定，即对微积分的基本规定所作的一切攻击，
都针对着这一概念。假如这个概念不被承认，那也是数学家本身不正确的观
念所引起的；尤其是要归咎于在这些争论中，不可能把对象当作概念来蔬证。
但是前面已经说过，数学在这里也避免不了概念；因为作为无限的数学，它
并不把自己限制于对象的有限的规定性，像在纯粹数学中空间和数及其规定
只是就有限性方面来观察并相互有关系那样，而是把一个从那种研究得来并
加以处理的规定，移植到与此对立的规定的同一中去，例如把一条曲线作成
直能、把圆作成多角形等等。所以数学采用的微积分的运算，与单纯的有限
规定的性质及其关系相矛盾；因此，唯有在概念中，这些运算才会得到论证。
假如无限的数学坚持那些量的规定是正在消失的大小，即既不再是任何
定量，又不是无，而仍然是一个与他物对立的规定性；那么，在有与无之间，
并没有所谓中间状态，这似乎是再明白不过的了。——这种责难以及所谓中
间状态自身是怎么回事，这已经在前面变的范畴第四个注释中说明过了。有
和无的统一、当然不是什么状态；状态只是有和无的一种规定，有、无等环
节只是偶然由于错误的思维才陷入这种规定之中，就好像陷入疾病或外在的
影响之中那样；倒不如说唯有中项和统一、消失或变才是它们的真理。
人们还说过：无限是什么，并不能以较大或较小来比较，所以按照无限
的行列或品极，并不能够发生有限和无限的比率，像出现在数学科学中的无
限差分的区别那样。从上所说的非难，是以如下的观念为基础，即这里所淡
的是定量，它们是作为定量而被比较的；假如那些规定不再是定量，那未，
它们彼此同也就不再有比率了。但是，那个仅仅在几率中的东西，倒不如说
并非定量：定量是一个这样的规定，即它在比率之外，有一个完全漠不相关
的实有，它与一个他物的区别应该是漠不相关的；与此相反，质的东西恰恰
只是在它与一个他物相区别那样的东西。因此，那些无限的大小不仅是可以
比较的，而且只有作为比较或比率的环节。
我再列举一下数学中关于这种无限所储予的最重要的规定；很显然，关
于事实的思想虽然为这些规定立下基础并与此处所阐释的概念一致，但是这
些规定的创始者并没有把这种无限当作概念来探讨，而在应用时又不得不找
与其更良好的宗旨相矛盾的办法。
①对这种思想的正确规定，莫过于牛顿，我在这里把属于运动和速度（他
主要是从速度采用了流数Fluxion 这一名词）观念的规定分开，因为这里出
现的思想，不是在份所应有的抽象之中，而是具体的，夹杂着非本质的形式。
① 参看第122 页。
牛顿解释这些流量说（《自然哲学的数学原理》第一卷，第十一补助命题注
释）①，他并不把它们理解为不可分的东西（这是以前数学家们，如卡伐里利
②等所用的形式，含有自在地规定了的定量的概念），而是正在消失的可分的
东西。再者，流量也不是一定部分的总和和比率，而是总和和比率的极限
（limites）。可以责难说，正在消失的大小并没有最后的比率，因为在消失
以前就还不是最后的，而当其消失，便也再不是什么比率了。但是对于正在
消失的大小的比率，必须理解为这样的比率，即大小不是在比率以前，也不
是在以后，而是莲同比率一起消灭的（quacdcum evanescunt）。正在发生的
大小的最初几率，也同样是速同比率一起发生的。
牛顿只是按科学方法的当时水平，说明了一个名词所指的是什么，但是
一个名词所指是这样或那样的东西，这原本是主观的意向或历史的要求，那
里并没有表现出这样一个概念是自在而自为地必然的，具有内在的真理。但
是从上所引，也表明了牛顿所提出的概念，与上述无限大小如何由对定量自
身的反思而产生，是相符合的。这就是从大小的消失来了解大小，即是说它
们已不再是定量；此外，它们也不是一定部分的比率，而是比率的极限。所
以无论定量本身（即比率的各项），或是比率本身（只要这个比率也是定量），
都应该消失；大小比率的极限，就是在那里既有比率，又没有比率，——更
精确地说，就是定量在那里消失了，从而比率只是作为质的量比率而被保留，
其各项也同样只是作为质的量环节而被保留。——牛顿又说，不可以从有正
在消失的大小的最后比率，推论出也有最后的或不可分的大小。那样就会叉
是从抽象的比率跳到这种比率的各项上去，这样的各项本身在其关系之外另
有一种值，它们是不可分的，像是某种是一或无几率的东西。
针对这种误解，他还提醒我们说，最后比率不是最后大小的比率，而是
极限；无限地减少着大小的比率，比任何已有的、即有限的差分都更接近极
限，但是这些比率却不可越出那个极限，那样就会成了无。如前所说，最后
的大小可以被了解为不可分的大小或一。但是在最后比率的规定中，无论是
漠不相关的一，即无比率之物的概念，或是有限的定量的观念，都除掉了。
另一方面，假如所要求的规定，已经发展成为钝粹仅仅是比率的环节这种大
小规定的概念，那就既不需要牛顿把定量移植其中而仅仅表现为无限进展的
那种无限的减少，也下需要在这里并不再有直接意义的那种可分性的规定。
①至于在定量消失中保留比率，在别处也有表现（例如卡尔诺②的《关于
微分计算的形而上学的一些思考》），即正在消失的大小，由于连续规律，
在消失之前仍然保持它们来源所自的比率。——这种观念只要不被了解为定
量的连续，就表现了事物的真正本性，因为这种连续在无限进展中仍有定量，
定量在消失中仍然这样继续自身，即在它自己的彼岸中所发生的，仍然只是
一个有限的定量，一个系列的新项；一个连续的过程总是被想像为这样的，
即：它所经过的值，全都仍然是有限的定量。反之，在被造成真正无限的那
种过渡中，连续的却是比率；因为这种过渡倒是恰恰在于把几率提出使其纯
