本身完全当作零（《微分升算教程》第一部分，第三章）。——对此须如何
了解，前面已经谈过了；无限差分只是定量的零，不是质的零，或不如说作
为定量的零，它仅仅是比率的纯粹环节。它不是一个就量而言的区别；所以
在一方面把被称为无限小量的那些瞬刻也说成是增量或减量，并且是差分，
那就简直是偏向了。这种规定首先是以把现存的有限大小加上或减去一点东
西为基础，先有一种减法或加法，即算术的、外在的运算。但是从变量函数
到它的微分的过渡，却必须看作是完全另外一种性质的过渡，如以前已经说
明过的，这种过渡必须被认为是把有限的西数归结到其量规定的质的比率。
——另一方面，假如说增量本身是零，要考虑的只是其比率，那么这一方面
的偏向也是很显然的；因为一个零简直就不会再有什么规定性了。这种观念
固然达到了定量的否定物并且表示了这个否定物，但是并没有同时以质的量
规定这种肯定意义来把握否定物，这些规定若是从比率中摘取出来而被看作
定量，那便会只是零。——①拉格朗日②（《解析面数论》，导言）判断极限
或最后比率的观念说，假如两个量仍然是有限的，那就立刻可以很容易设想
它们的比率，一旦这个比率之项同时成了零时，那么这个比例所给予的概念，
对于知性说来，就不明白、不确定了。③——事实上，知性必须超出比率各项
作为定量是零这种单纯否定的方面，而耍去把握它们是质的环节这种肯定的
方面。——尤拉在以后（见前引书§84 以下）又说两个所谓无限小量虽然不
过是零，却有一个相互的几率，所以对它们不用零的符号而用别的符号：他
为了此种证明而对有关的上述规定所增补的说法，是不能令人满意的。他想
用算术比率和几何比率的区别来论证这一点；在算术几率中我们所看到的是
差分，在几何比率中我们所看到的是商数，算术比率虽然等于两个零之同的
比率，但几何比率却不因此而也是那样；假如说2：1＝0：0，那么，就比例
的本性而言，第一项既然比第二项大两倍，第三项也就必须比第四项大两倍；
所以0：0 就比例说，应该被当作是2：1 之比。——即使就普通算术说，n·0
＝0，所以，n：1＝0：0。——但是正因为2：1 或n：1 是定量的比率，所以
既没有一个0：0 比率，也没有一个0：0 记号是符合于这个定量比率的。
我不再多事引证，因为以上的考察已狸足够指明其中固然包含着无限的
真概念，但是没有在概念的规定性中使概念突出并把握住它。因此在运算本
身进行时，就不能使真的概念规定在运算中发生效力；反而回到有限的量规
定性，运算避免不了一个仅仅是相对小的定量观念。计算使所谓无限的大小
必须服从基于有限大小的本性的那些普通算术运算，如加法等，并且从而把
这些无限的大小暂时当作有限大小来处理。计算一方面把这些无限的大小贬
低到这样的范围，并把它们当作增量或差分未处理，另一方面又在把有限大
小的形式和规律应用于它们之后，立刻将它们当作定量而加以省略；关于这
一点，针算是须要为自己找辩护理由的。
① 参看第122 页。
② 尤拉（LeopoldEuler，1707—17S3），彼得堡、柏林的教授，以后又在彼得堡。著有《无限的分析引论》，
1748 年，《微分计算教程》，1755 年，《积分计算教程》，1768—1794 年。——原编者注
① 参看第122 页。
② 拉格朗日（Jcs LorisLagrange，1736—1812），尤拉的柏林后继者，以后又任巴黎综合工艺学院教授。著
有《解析函数论》，1797 年出版。——原编者注
③ 数学中0：0 这个比率的值是不确定的。——译者
关于几何学家们消灭这些困难的尝试，我只举其最主要的。
古代数学解折家对此并不曾感到有多大顾虑，但是近人的努力却在于使
无限的升算有几何方法特有的自明性，并在数学中达到古人在几何方法中证
明的谨严（拉格朗日的说法）。可是因为无限的分析原理比有限大小的数学
原理有较高的性质，所以前一类必须自行放弃后一类的自明性，就像哲学不
能要求有感性科学，例如博物学那样的自明性，——吃和喝也比思维和概念
理解应该是更容易懂的事儿。现在且谈要达到古人证明的谨严的那些努力。
许多人曾经试图完全避免无限的概念，不用这个概念来实现与使用这个
概念密切相关的东西。——譬如拉格朗日就谈论过兰登①所发明的方法，并且
说那种方法纯粹是分析的，不用无限小的差分，而是光则引用了变量的不同
的值，然后又使其相等。此外，他又断言微分针算所特有的特点，即方法简
单、运算容易等，都在这里失去了。这种办法与我们以后还要细谈的笛卡儿
切线方法的出发点，很有符合之处。这里所能指出的是，这一点至少是明显
的：这种办法，先假定变量不同的值，以后又使其相等，这一般是属于微分
针算方法本身以外的另一种数学处理范围，并且这种计算自身的现实具体的
规定所归结的那种单纯比率，即推导出来的函数与原始函数的单纯比率，其
特性也没有得到强调；这种特性，我们以后还要详细说明。
②近人中的较老一辈，如费尔马③、巴罗④等人都在后来发展成为微积分计
算的应用中，用过无限小，后来莱布尼兹及其后继者，还有尤拉，都总是坦
率相信无限差分的乘积及其校高极方幂可以略去，共理由只是因为这些差分
与棘低的序列相对比便消失了。他们的基本命题唯有依靠这一点，即依靠一
个乘积或方幂的微分是什么的规定，因为他们的全部理论学说都归结到这一
点。其余一部分是展开[函数或系列]的作用，一部分别是应用；可是有较高
兴趣的、或者说唯一有兴趣的东西，却实际上是在应用那一部分里，这以后
还要加以考察。——与现在问题有关的，我们在这里只是要举出初步的东西；
关于曲线的主要命题，也同样以无足轻重为理由而被采用，曲线的原素，即
纵横座标的增量，具有次切线（Sub—tangent）和纵横座标的相互比率；为
了取得相似三角形的目的，便将弧（它与以前有理由称为特殊的三角形的两
个增量构成一个三角形而是其第三边）认为是一条直线，是切线的一部分，
从而被认为是增量之一达到了切线。①这些假定一方面使那些规定高出于有限
大小的本性，但另一方面却又对现在称为无限的瞬刻应用了只适用于有限大
小的处理办法，在这样的办法里，没有东西可以因其无足轻重而省略掉。方
法所遭受的困难，在这样的办法里，仍然很厉害。
① 兰登（John Landen，1719—1790），英国数学家，著有《数学夜思集》，1755 年，等书。——原编者注
② 参看第122 页。
③ 费尔马（Pierre de Fcrmat，1601—1665），著有《数学运算的变数》，1679 年。——原编者注
④ 巴罗（Isaac Barrow，1630—1677），剑桥大学教授，著有《几何学讲义》， 1669 年，《光学讲义》，
1674 年。——原编者注
① 意思是说：弧本是曲线，但在无限小的情况下，却被当作了直线。——译者
这里须要举出牛顿的一个值得注意的办法（《自然哲学的数学原理》，
第二卷，第七命题后面的第二补助命题），——为了消除这种情况，即在求
微分时算术上不正确地省略无限差分的乘积或其较高极的乘积，便发明了一
种很有意思的把戏。从来用的微分，便很容易推导出商数、方幂等的微分，
而他是用以下的方式找到乘积的微分的。假如x，y 每个的无限差分都小一
半，共乘积就成为xy
xdy ydx dxdy
- - +
2 2 4
；假如让x 和y 有同样的增加，其
乘积就成为xy
xdy ydx dxdy
+ + +
2 2 4
。现在再从第二个乘积减去第一个乘积，
仍然剩余下ydx+xdy，而这是增长了整个dx 和dy 的剩余，因为这两个乘积
就是以这个增长而有区别的：所以这就是xy 的微分。——人们可以看出在这
种办法中，构成主要困难的那一项，即两个无限差分的乘积dxdy，由它本身
而消除了。但是虽然以牛顿的鼎鼎大名，也必须说这样的运算，尽管是很初
极的，却仍旧不正确；说( )( ) x ( )( )
dx
y
dx
x
dx
y
dx
+ + - - -
2 2 2 2
＝（x＋dx）（y
＋dy）—xy，这是不正确的。只有为流量计算重要性找理由的这种需要，才
能够使一个像牛顿那样的人自己受到这种证明的欺骗。
牛顿用来推导微分的其他形式，是与原素及其方幂的具体的，和运动有
关的意义联系着的。使用系列形式也是他的方法的特征，在这里，其涵意是
税永远能够用增添更多的项来取得所需要的精密的大小，而省略掉的项则是
相对地无足轻重的，结果一般只是一种近似；在这里，好像他也不以这种理
由为满足，正如他在解高等方程时，用近似的方法，以较高方幂（这些方幂
是在替代已有方程中每一个找到了的但仍不精密的值之时所发生的）很微小
这样粗疏的理由而将它们省略掉那样：参看拉格朗日《数字方程》第125 页。
牛顿用省略重要的高级方幂来解决问题，他所犯的这个错误，使他的反
对者有机会用他们的方法战胜他的方法，拉格朗日在近著中（《解析函数论》，
