第三部分，第四章），也指出了这种错误的真正根源；这种错误证明了在使
用那种工具时，还有徒具形式的和靠不住的东西。拉格朗日指出牛顿之所以
犯错误，是因为他所略去的系列的那一项，含有一定问题关键所在的方幂。
牛顿执着于各项因其相对微小而可以省略那种形式的，肤浅的原则。大家知
道在力学中，若一运动的函数在一个系列中展开，这个系列的各项便被给与
一定的意义，于是第一项，或第一个函数，是关于速度的瞬 刻，第二个函数
是关于加速力，第三个函数是关于诸力的阻力。于是系列各项在这里被认为
不仅是一个总和的部分，而且是概念的一个整体的质的环节。因此，省略其
余属于简单无限系列的各项，与以各项相对微小为理由的省略，是具有全然
不同的意义的。①牛顿的解决，错误不在于其系列各项只被当作是一个总和的
部分，而在于没有考虑到含有问题所在的质的规定的那一项。
① 拉格朗日在应用函数论于力学，即直线运动一章中，把这两种观点以简单的方式并列起来（《解析函数
论》，第三部分，第一章，第四节）。经过的空间被看作是流过的时间的函数，这就是x＝ft 方程式，后者
作为y（t＋θ）展开时，便有：? 于是在这段时间所经过的空固，便以的公式来表示。于是借以通过空
间的运动，可以说是由于各个部分的运动综合而成的（这就是说因为解析的展开，给了多数的，并且诚然
是无限多的项），这些运动的与时间相应的各段空间，便是等 。当运动已知时，第一部分运动在形
式上是匀速的，有一个由ft，规定的速度，第二个是匀加速的运动，它是由一个与ft，成比例的加速的力
而来的。“其余各项现在既然不与任何简单的、已知的运动有关，所以就不须特别考虑它们；我们并且将
指明对于规定运动时间的开始之点，它们是可以抽掉的。”这一点随后便有了说明，但当然只是用一切项
对于规定在一段时间经过的空间大小都属需要的那种系列，来和第三节表示落体运动的方程x＝at＋bt 之比
较，因为那里只有这样两项。由于解析展开而产生了各项，这个方程便有了说明，只是由于假定了这种说
明，这个方程才获得它的形态；这个假定是匀加速运动由一个形式上匀速的，以在先前时间部分所达到的
速度而继续的运动，和一个被付与重力的增长（它在s＝as2 中就是a，即经验的系数）综合而成，——这
一个区别在事物本性中并不存在，也无根据，而只是对着手解析处理时所得的东西，作了错误的物理的表
现。——黑格尔原注
在这个例子里，处理办法要依赖质的意义。这里也可以连带提出一般主
张，即：假如指出原则的质的意义并使运算附属于这种意义，——而不要形
式主义地只是庄为微分起名称的任务中才提出微分的规定，只是在一个函数
的变量得到增长之后才提出这个函数与它的变化的一般区别，——那么，原
则的全部困难便会消除。在这种意义之下，很明显，由展开（x＋dx）n 而发
生的系列，用它的第一项便可以完全穷尽xn 的微分。其余各项之不被考虑，
并不是由于它们的相对微小；——这里并不曾假定有不精密之处、缺点或错
误，被另一错误抵消了或改善了，——卡尔诺主要就是从这种观点来为无限
小的普通计算方法辩护的。既然所处理的不是一个总和，而是一个比率，那
么，这个微分便完全可以由第一项找到；假如需要更多的项，即便高级的微
分时，其规定也不包含作为总和的一个系列之继续，而包含人们唯一想要有
的同一比率之重复，而这个比率却在第一项中已经完备了。对一个系列及其
总和的形式上的需要，以及和它有关的东西，都必须与那种对比率的兴趣分
别开。
卡尔诺关于无限大小的方法的种种解释，最明显地揭示了它含有上面引
证的想法中的一切最为动听的东西。但是，在转到运算本身时，通常的关于
被省略之项相对于其他项说来是无限小的想法，多少又出现了。卡尔诺是用
下述事实来辩解他的方法的，那就是，计算结果是正确的，引进这种不完整
方程（他是这样称呼这些方程的——就是那些作了这种算术上不正确省略的
方程）对于简化计算具有便利：他并不是从事物自身的性质来辩解它的。
大家都知道拉格朗日为了跳出无限小观念以及最初、最后比率和极限的
方法所引起的困难，重又采用了牛顿原来的方法，即级数法。他的函数计算，
在精确、抽象、普遍等方面的优点都已经得到足够的承认，这里所要举出的，
只是这种计算依靠，一个基本命题，即差分虽不戊为零，却可以认为是如此
微小，以至系列的每一项，在大小方面，都超过了一切后继各项的总和。—
—这个方法也是从增长和西数盖分的范畴开始，函数的变量得到增长，于是
便从原来的函数得到使人厌烦的系列；而在后来，系列的被省略的各项，同
样也只是鉴于它们构成了一个总和，才被考虑，省略它们的理由也是建立在
它们的定量的相对性上。所以一方面这里的省略一般也并不是回到前面曾经
提过的、在某些应用中出现的那种观点，以为系列各项应当有确定的质的意
义，而被忽略的各项并不是因为它们在量上不重要，而是因为它们在质上不
重要；另一方面，这种省略本身在所谓微分系数那种很重要的观点中便消除
了，这是拉格朗日在所谓升算应用中才确定地加以强调的观点，我们在下一
注释里还要对此详细讨论。
这里所谈的那种被称为无限小的量的形式，共一般质的特性已经证明；
这种质的特性在上述比率极限的范畴中，可以最直接地找到，而且极限在针
算中的使用成了特殊方法的标记。拉格朗日对这个方法的判断是：它在应用
中并不简便，极限这一名词也没有明确的概念；在这里我们愿意接受判断的
第二点，并仔细看看，关于极限的解析的意义提出了什么。在极限观念里，
当然包含着变量的质的比率规定这一以前说过的真正范畴；因为这些变量所
采取的dx 和dy 的形式，应该直捷地只被看作是
dy
dx
的瞬刻，而
dx
dy
本身则应
该被认为是唯一而不可分的符号。就升算的运用说，尤其是就计算的应用说，
升算由于微分系数的两端分开而取得的好处，因此便失去了，这一点可只暂
时置之不理。那个极限现在应该是某一函数的极限，——它应该标出与此函
数有关的某一个值，这个值是依导数（Ab1eltung）的方式而规定的。但是，
用单纯的极限范畴，我们并不能比用这个注释中所涉及的东西前进更远；这
个注释要指出在微分计算中出现为dx 和dy 的无限小，不仅具有一个非有限
的、非已知的大小那种否定的、空洞的意义，如人们所说的一个无限的数量，
或无限进展之类，而是具有量的、一个比率环节本身的质的规定性那种明确
意义。但是这个范畴却对一个已知函数那样的东西，还没有比率，与这个函
数的处理和那种规定在函数中的使用都没有牵涉；所以极限观念若是停留在
为它所已经证明的规定性里，便什么也引导不出来。但是极限这一名词本身
已经包含着它是某物的界限这种意思，即是锐它表示了变量函数中所包含的
某一个值；这就必须看一看这种具有极限的具体情况是如何发生的。——极
限应该是两个增量互相具有的比率的极限；在一个方程式中，有关的两个变
量，被当作是互为函数，它们被认为是以这两个增量而增加：这里的增长被
认为是本来不确定的，所以也并没有使用无限小。但是，首先，这种寻找极
限的道路，也招致了和其他方法所包含的同样的前后不一贯。这条道路如下。
假如y＝fx，当y 变为y 十k 时，则fx 应变为fx+ph+qh2+rh3 等等，所
以k＝ph＋qh2＋ 等，而
k
h
＝p＋qh＝＋rh2?。假如现就是两种增长比率
的极限。可见h 作为定量是被当作＝0，但是
k
h
却不因此而是＝
，它还仍然
应该是一个比率。免去这里所包含的不连贯，应该是极限观念所获得的好处；
同时p 不是一个现实的比率，如
的比率，而仅仅是一定的值，比率可以无
限的接近它，以致其差别可以比任何已有的差别更小。下面将考察一下就彼
此应该真正接近的事物而论，接近有什么更确切的意义。一个量的差别，不
仅可以而且应该比任何已有的差别都更小，一个量的差别假如有了这种规
定，就不再是量的差别了，这一点本身是很明显的，共自明性和任何能够在
数学中是自明的东西一样；但是这样便没有超出
dy
dx
=
以外。另一方面，假
如：
dy
dx
= p ，即被认为是一定的量的比率，这个比率事实上也是如此，而以
h＝0 的假定（只有用它才找得出
k
h
=p），它却反倒陷于困境了。另外，假如
承认
k
h
＝0，——而有了h＝0，那么事实上自然也就有k＝0；因为增长为y，
只有在这个增长是h 的条件下才会出现，——于是要问p，这个完全确定的
量的值，究竟是什么。对此自然立刻有一个简单枯燥的回答，说它是一个系
数，由什么导数发生的，——即以一定方式由原始函数所导出的第一个函数。
假如对此可以满足，拉格朗日就实质而论，对此实际上也是满足的，那么，
微分计算科学的一般部分，紧接着那种称为极限理论的形式部分，免掉了增
长，然后又免掉了增长的无限小或任意的小，也免掉了这样的困难，即，除
首项而外，或不如说只是除首项的系数而外，要把因引入那些增长而不可避
免地出现的一系列的其他更多之项，重行销去，此外，也清除了与此相关的
其他东两，首先是无限、无限接近等形式的范畴，以及在这里是同样空洞的
连续量①范畴，而这些范畴在别处是像一个变化的倾向、发生、机缘等，同样
被认为是必需的。就完全可以满足理论的枯燥规定而言，p 不过是由展开一
个二项式而引导出来的一个函数，但是除此而外，现在必须指出，p 还有什
么更多的意义和价值，即对以后的数学上的需要，还有什么关联和用处；关
于这一点，将在注释二中讨论。这里接着首先要讨论的，是：问题主要所在
的几率，对于它本来的质的规定性的理解，由于在表述中流行使用的渐近观
念，引起了混乱。
我们已经指出过，所谓无限差分就是表示作为定量的比率的两端之消
失，而留下来的只是两端的量的比率，比率之所以纯粹，因为它是以质的方
式规定的：质的比率在此并没有丧失什么，倒不如说它正是有限的量转化为
无限的量的结果。我们已经看到这里正是事物的全部本性所在。——譬如纵
横座标的定量便消失于最后比率之中；但是这个比率的两端在本质上仍然一
端是纵座标的原素，另一端是横座标的原素。当人们用想像使一纵座标无限
地接近另一纵座标之时，从前有区别的纵座标便过渡为另一纵座标，以前有
区别的横座标也过渡为另一横座标；但是本质上，纵座标不过渡为横座标，
横座标也不过渡为纵座标。我们仍然欣这个变量的例子来说，这里并不是耍
把纵座标的原素看作是一个纵座标与另一个纵座标的区别，而要看作是对横
座标的原素的区别或说质的大小规定；一个变量的根本对另一变量的根本有
相互的比率。当区别不再是有限大小的区别时，它在本身以内，也就停止其
为杂多的东西，而消融为单纯的内涵，是一种质的比率环节对另一种质的比
率环节的规定性了。
① 连续量或流量这个范畴，是由观察外在的和经验的大小变化而提出的，——这些大小由一个方程式而有
了互为函数的关系，但是微分计算的科学对象，既然是一定的（通常用微分系数来表示的）比率，而这样
的规定性很可以称为规律；于是对这种特殊的规定性说来，单纯的连绩性一方面已经是一种外来的东西，
另一方面，这种连续性在一切情况下都是抽象的，而在这里则是空洞的范畴，因为它关于连续规律，什么
也没有说。在这里将会完全堕入什么样的徒具形式的定义，这从我的可尊敬的同事狄克孙教授先生*对微分
计算演繹时使用的基本规定，连系到对这门科学一些新著的批评所作的敏锐的、一般的论述，便可以看出，
这种论述见《科学评论年鉴》1827 年，153 号以下；在同上年鉴1251 页甚至引证这样的定义：“一个经常
的或连续的量，连续物（Kontinuum），是每一个被设想为在变的状况之下的大小，以致这个变的出现不是
以跳跃的方式，而是由于不断的前进。”这到底不过是被下定义的事物的同语反复而已。——黑格尔原注 *
狄克孙（Dirksen，EnnoHerren，1792—1850），柏林数学教授。著有《变数计算的解析表述》，1823 年。
——原编者注
但是事物的这种状态之所以被弄得很模糊，是因为前例中所说的纵座标
的原素被了解成差分或增量，即它仅仅是一个纵座标的定量与另一纵座标的
定量之间的区别。于是这里的极限便泼有比率的意义，只被当作最后的值，
与另一同类的大小经常接近，以至其区别顺意怎样微小，便可以怎样微小，
而最后的比率便成了一个相等的比率。这样，无限差分便是一个定量与另一
定量的区别之落漾不定，而质的本性便在观念中退后了，就这种本性说来，
dx 在本质上并不是对x 的比率规定，而是对dy 的。与dx 对比，dx2 固然可
以消失；但dx 与x 对比，却更会消失；这就真正意谓着：dx 只是对dy 才有
一比率。——几何学家们在这样的表述中主要该作的事，就是使一个大小对
它的极限的接近，明白易晓，把握住定量与定量的区别如何是区别而又不是
区别这一特点。但是“接近”这一范畴，却本身简直什么也没有说，也不曾
使任何东西明白易晓；dx 已经把接近抛在背后，它既不是近，也不是更近；
而无限近本身就意味着邻近和接近的否定。由于现在事情是这样，即增量或
无限差分，假如只就定量方面来看，它们便只是定量的极限，而定量却在它
们之中消失了，这样，它们便被理解为无比率的瞬刻。从这里会得出不能容
许的观念，即在最后比率中，如横座标、纵座标、或正弦、余弦、切钱、反
正弦以及一切等等都可以被认为彼此相等。假如一条弧线将被当作一条切毙
处理，那么，这种观念好像就会占上风；因为弧与直线当然也是不可通约的，
它的原素比直线的原素有另外不同的质；假如有圆的方（ qiiadrata
rotundis），假如弧的一部分，尽管是无限小，却被认为是切线的一段，从
而被当作直线来处理，这似乎比混同纵横座标、反正弦、余弦等还更荒谬，
更不能容补。——但是这种处理，与方才斥责过的那种混同，有本质的区别，
理由是：在一个以一个弧的原素及其纵横座标的原幸为边的三角形里，其比
率与那条弧的原素好比是一条直线的原素，即切线的原素，是同一的；诸角①
所构成主要比率，仍然就是这些原素的比率，由于那个比率把属于这些原素
的有限大小都抽掉了，所以那些角仍是同一的。②——人们对此也可以说，作
为无限小的诸直线是过渡为曲线了，并且它们在无限中的比率是一个曲线的
比率。直线就定义说，既然是两点之同最短的距离，那么，它与曲线的区别，
其根据就在于数量的规定，在于这段距离上可区别的较小的数量，所以那是
一种定量的规定。但是当这种规定被认为是内涵的大小，是无限的环节，是
原素时，它就在数量中消失了，于是它与曲线的区别也消失了，这种区别仅
仅依赖定量区别。——所以直线和曲线，作为无限，并没有量的比率，从而
根据已狸承认的定义，也彼此不再有质的差异，而是直线过渡为弧。
① 诸角，指上面所说的三角形内的三个角。——译者
② 意指即使弧被当直线处理，它所构成的三角形，伪然是同一的。——译者
说同一整体的无限小部份彼此相等，这样的假设本身是不确定而全然漠
不相关的，它与把异质的规定等同起来，相近而又毕竟不同。但是，这种假
说应用到一个自身中就有异质的对象，即带有大小规定本质的不均性的对
象，却引出高等力学中一个命题所含的奇特的颠倒，这个命题说：一个曲线
的各无限小部分，是以匀速运动在各个相等的、并且诚然是无限小的时同通
过的：同时关于这个运动，又作这样的主张，即曲线的各有限的、即存在看
的、不相等的部分，是以这样的运动在各个相等的、有限的、即存在着的时
间部分通过的；这就是就，这种运动是、并且被认为是存在着的、不匀速的
运动。这个命题是用文字来表现一个解析的项应当意味着什么，这种项是由
前面已经引用过的不匀速而又符合某一规律的运动公式之展开而发生的。新
发明的微分计算，永远总是和具体对象打交道，校早的数学家对它的结果，
企图用词句来述说，用几何图表来表现，主要是为了把这些结果，依照普通
证明方式，用于定理。解折的处理，把一个对象，例如运动的量，分解为一
个数学公式的各项，这些项便在公式那里获得了对象的意义，例如速度、加
速力等等；根据这样的意义，这些项便应该给出正确的命题，物理的规律，
而它们的客观联系和比率也应该依照解析的关联来规定，正如在一个匀加速
运动中，存在着一个特殊的、与时间成比例的速度，但是除此之外，还总是
耍添上重力的增长。这一类的命题，在近代力学的解析的形态中，常常是被
当作计算的结果来引用，而不理会它们是否本身有实在的意义，即与一存在
物相符合的意义，也不理会这样意义的证明。假如用显明的实在的意义去看
待这些规定，要使其联系——譬如从那种简单的匀速度到一种匀加速度的过
渡——明白易晓，有了困难，那么用解析的处理也就可以完全消除这种困难，
因为在解折处理中，这种联系只是现今已有牢固权威的运算的简单结果。仅
仅用计算，便会超出经验，找到规律（即没有存在物的存在命题），这被说
成是科学的胜利。但是在微分计算最初的幼稚时期，应该指出那些用几何图
线来表示的规定和命题本身的实在意义，使其可通，并已在这样的意义之下，
将那些规定应用于有关的主要命题之证明。（参看牛顿在《自然哲学的数学
原理》第一卷第二部分第一命题对他的万有引力论基本命题的证明，与舒伯
特①的《天文学》——第一版，第二卷§20——比较，那里承认，在证明的关
键之点，情况并不严格地像个顿所假定的那样。）
不能否认，在这个颁域里，许多东西主要靠无限小的帮忙而被满意地当
作证明，其理由不外是所得结果总是先前已经知道的，而这样安排得来的证
明，至少也能带来一种证明架子的假象，——比起单纯的信仰或经验的知识
来，人们总是更喜欢这种假象一些。但是我毫不犹豫，认为这种方式栋毫不
比对证明单纯变戏法、卖假药好一些，其中甚至也耍算上牛顿的证明，尤其
是方才引过的、属于他的那些证明，人们为此把牛顿捧上天，说他高出克卜
勒之上，因为克卜勒仅仅是由经验找到的东西，牛顿却对它加以数学的证明。
为了证明物理的规律，这些证明的空架子便架起来了。但是，由于物理
的量的规定就是那些以环节的质的本性为基础的规律，数学对它们根本不能
够证明；理由很筒单，因为这门科学不是哲学，不是从概念出发，并且质的
方面，由于不是以辅助证明的方式从经验取来，因此便在数学的范围以外了。
说数学中出现的一切命题都应该有严格证明，要维持数学的这种荣誉，使它
常常忘记了它的界限；于是简单承认经验是经验命题的源泉和唯一证明，便
似乎是触犯了数学的荣誉。后来关于这种情况的意识变得较为有修养了；但
是在这种意识没有区别清楚什么是数学可证明的和什么是只能从别处取得证
明的以前，风及区别清楚关于什么只是解折展开的项和什么是物理存在物以
前，科学性是不能达到严格而纯净的态度的。但是中顿的那种证明架子，无
疑也将和牛顿从光学实验得来的另一无根据的构造以及与共有关的推论，遭
到同样公正的命运的。应用数学至今还是充满着这类经验和反思的酿制品，
① 舒伯特（Schubcrt，Friedrich Theodorvon，175S—1825），彼得堡天文台长，著有《理论天文学教科书》，
1798 年；《通俗天文学》三卷，1804—18l0 年。——原编者注
但是和那种光学自长时期从来就已经开始一部分接着一部分在科学中实际上
被忽祝了一样（这里仍有不彻底处，即剩余的部分尽管其中有矛盾，却还是
被保留下来了），那些骗人的证明，事实上也同样已经有一部分被忘却或被
其他证明代替了。
注释二 微分计算从它的应用所引导出来的目的
前一注释中所考察的，一部分是微分计算所用的无限小的概念规定性，
一部分是将无限小引人微分计算的基础；两种规定都是抽象的，所风本身也
是容易的。但是所谓应用，却既提供了较大的困难，又提供了较有趣的方面；
这个具体方面的原素，应该是本注释的对象。微分计算的全部方法只用一个
命题便毕业了，即dxn=nxn-1dx,或
f x i fx
i
P
( + ) -
= =p，即等于依dx 或i 的方
幂而展开的x 十dx，x＋i，这个二项式的首项系数。再不需要学更多的东西；
以后的形式，如乘积的微分、指数的量等等推演，都可以机械地由此得出；
用很少时间，或许用半点钟，便可以学会全部理论——因为求得微分，其反
面，积分也就有了，即微分的原始函数也就求得了。不过，在以解析的方式，
即以完全算术的方式，由变量函数的展开而求得那个系数之后，在这个变量
由增长而获得一个二项式的形式之后——在课题这一情况很容易办好之后，
而其另一情况，即正在发生的系列，除首项外，其余诸项都被省略，仍有其
正确性：要懂得这一点并使其可以理解，却须费校长的工夫。假如情况是：
唯有那个系数才是必要的，那么，这就会正如我们所说，只要有了系数的规
定，一切与理论有关的东西，用不了半点钟便完结了；而省略系列的其余各
项也并不成为困难，它们之作为系列各项（作为第二、第三等函数，它们的
规定已经与第一项的规定一起解决了），倒是完全谈不到的，因为这里的事
情与它们毫不相干。
这里可以首先提说一下，人们当然立刻可以看出微分计算不像是只为自
己而发明、建立的；它之创立另一种解析办法，不仅不是为它自己，而且勉
强干脆省略掉展开一个函数所产生的各项，那倒简直是与一切数学原理完全
矛盾，因为这一展开的整体却仍然被认为完全属于有关的事情，——这个事
情被看作是一个变量（在格予这个变量一个二项式形态以后）的展开了的函
数与原始函数的区别。需要这种办法，而在这种办法本身那里又缺少论证，
这就立刻显出了它的来源和基础必定是在别的地方。在别的科学中，也曾出
现过同样的事，那首先树立起来的、作为基本的东西，并且许多科学命题都
应该从那里演繹出来，却是一个不明不白的东西，它的理由和根据反而要在
后来才得显明。微分计算史中的演进，说明了尤其在各种切线法，也同样是
以人工制造品作事情的开始；在方法扩展到更多的对象以后，它的方式才渐
渐被意识到，而被纳入抽象的公式，并被试图提高为原则。
我们已经指出过，那些被安置在相互比率中的定量，其质的量规定性就
是所谓“无限小”的概念规定性，这里联系着想用关于无限小的描写和定义
来证明那种概念规定性的经验的研究，在这种情况下，无限小是被当作无限
差分风及诸如此类的东两。——这种情况之发生，其兴趣只在于抽象的概念
规定性；更进一步的问题则是从这种抽象的规定性过渡到数学的形成和应
用，情况是怎样的。为此目的，首先须更进一步着手理论方面、即概念规定
性，它本身将证明并非是完全无益的；然后就要考察这种概念规定性与应用
的关系，并就这里范围所及，在这两方面都要证明，一般结论对于微分计算
所需要做的事，以及做成它的方式如何，都同样是适宜的。
这里首先需要提一下，现在所谈的概念规定性在数学方面的形式，已经
附带讲过了。量的事物，其质的规定性，首先一般地表现为量的比率，但是
在说明所谓各种计算方式时（参看有关的注释），也曾经预示在方幂比率（将
来在适当的地方还要加以考察）中，数由于它的单位和数目这两个概念环节
之相等被当作是回复到自身，从而在自身那里获得无限性、自为之有、即由
自身规定的有这一环节。于是，正如已经提到过的那样，显明的质的大小规
定性，主要是与方幂的规定有关，既然微分针算的特点就是用质的大小形式
来运算，那么，它的特殊的数学对象，就必定是对方幂形式的处理，而且有
关使用微分计算的全部课题及其解答，都指出唯有方幂规定本身的处理，是
其兴趣所在。
这种基础虽是如此重要，并且立刻把某种确定的东西提到顶点，代替了
徒具形式的范畴，如可变的、连续的或无限的大小之类，也代替了仅仅是一
般函数的范畴，却仍然太一般了，其他的运算也同样与此有关，先是乘方和
开方根，然后是指数大小、对数、系列的处理，较高级的方程式，其兴趣和
努力都只是在于以方幂为基础的比率。这些比率无疑必须共同构成一个处理
方幕的体系，方幕规定可以在各种比率中建立起来，但在那些比率之中，这
个体系却是微分计算的特殊对象和兴趣所在，它只是山微分计算本身，即由
所谓微分计算的应用，才可以取得。这些应用实际是事物本身，是数学解决
一定范围内的问题的实际办法；这种办法比理论或一般部分为时较早，它只
是后来由于以后创立了理论的关系，才被称为应用；理论想要提出办法的一
般方法，并给予方法以原则，即给予它以论证。至于曾经白费过什么样的努
力，要为以前对这种办法的观点找出原因，来真正解决出现的矛盾，而个是
仅仅用那种就数学办法说来虽属必要，但在这里却须省略掉的无足轻重的东
西，或走相同的路用无限或任意接近的可能性以及箸如此类，来宽恕或掩盖
这种矛盾：这在前一注释中已经指出过了。假如从被称为微分计算的这一数
学的现实部分用与以前不同的方式，抽掉这种办法的一般东西，那么，那些
原则和搞那些原则的努力，本身既然表明是某种歪斜的、仍陷于矛盾的东西，
所以也就大可省去了。
假如我们简单地接受数学这一部分现有的这种特点，加以研究，那么，
我们所发现的对象就是：
（1）方程式，任何数目的大小（这里一般可以以二这一数目为限）在这
些方程式中就联系为规定性的这样一个整体，即，第一，这些大小以作为固
定界限的经验的大小为其规定性，然后以这些大小与经验的大小的联系方式
以及它们自身周的联系方式为其规定性，这一点在一个方程式中的情况一般
都是如此：但是因为两个大小只能有一个方程式（相对地说来，较多的大小
当然就会有较多的为程式，但是方程式永远耍比大小的数目少），所以这类
方程式属于不确定的方程式：——第二，这些大小之所以在这里有其规定性，
因为它们的一种情况就在于它们（最少是它们中之一）之出现于方程式中有
比一次方幂较高的方幂。
对此须要先说几句话，第一，依据上述第一种规定，这些大小完全只有
像在不确定的解析课题中出现的那些变量的特性。它们的值是不确定的，但
是，情况却是这样的，即，假如一个大小从别处得到了一完全确定的值，即
一个数值，那么，另一大小也就确定了，这样，一个大小便是另一个大小的
函数。变量、函数似及诸如此类的范畴告所以对这里所谈的特殊的大小规定
性，仅仅如我们以前所说，是形式的，那是因为这些范畴所具有的一般性还
不包含微分计算全部兴趣所在的那个特殊方面，从而也不能用解析来解释。
这些范畴原本是筒单的、不重要的、容易的规定，只因为要把本来不在其中
的东西，即把微分计算的特殊规定，放到它们里面去，以便从它们那里又把
这种东西引导出来，这才造成麻烦。至于所谓常数，可以说常数先是作为漠
不相关的经验的大小，它对变量进行规定，也只是关于变量的经验的定量方
面，作为变量的最低或最高的极限，但是常数与变量的联系方式，对于特殊
函数（这个函数就是那些变量）的本性说来，本身也是它的环节之一。但是
反过来说，常数本身也是函数；例如一条直线假如有它是一条抛物线的参数
这种意义，那么，它的这种意义也就在于它是
y
x
2
这个函数；一般和展开二
项式那样，常数是展开的首项系数，为各方根之和，第二项系数是这些方根
两个与两个等等乘积之和，所以这些常数在这里一般都是方根的函数；在积
分计算里，常数也由一定的公式来规定，在这种情况下，它是被当作这一公
式的函数来处理的。我们以后将用一种与函数不同的规定，来考察这些系数，
其全部兴趣所在，只是系数在具体方面的意义。
但是现在考察变量用以区别它们在微分计算中的自身和它们在不确定的
课题中的状态这一特点，那在前面所述已经提出了，即这些变量，最少是一
个或全部都有比一次方幂较高的方幂，至于那些变量全部是否都有同一较高
的或不等的方幂，却是不相干的；它们在这里所具有的特殊不确定性，在于
它们以这样的方幂比率，互为函数。变量的变化因此是在质方面被规定了的，
从而是连续的：连续性本身不过又是一个同一性（即在变化中自身仍然保持，
仍然同一的规定性）的一般的形式的范畴，但在这里却有其确定的意义，当
然这只是在方幂比率中，因为这个比率不是以定量作它的指数，也不构成变
量比率的量的、不变的规定性。因此也须注意反对另一种形式主义，即一次
方幂只是与较高的方幂相比，才是方幂；X 本身只是任何一个不确定的定量，
所以就直线方程：y=aX＋b，或简单的匀速度方程：S=ct 本身加以区分，并
无意义；假如从y＝ax 或也从y＝ax 十b 变为a=
dy
dx
，或从s=ct 变为
ds
dt
＝c，
那么，同样地，a＝
y
x
就是切线的规定，或
s
t
=c 就是简单速度的规定。后者
作为
dy
dx
是表现于与被称为匀加速运动的展开那种东西的关联之中：但是单纯
的、简单匀速的（即不由运动诸能率之一的较高方幂规定速度的）一个能率，
出现于匀加速的运动的系统之中，那就正如前面说过的，本身是空洞的假定，
只是以方法的习惯成规为基础。方法既然从变量应有增长这一观念出发，那
么，只是一次方幂的函数这样的变量当然也有增长。假如现在为了求出微分
而必须认为由此而发生的第二个方程式与已知的方程式有区别，那么这种运
算的空虚就表现出来了；因为前面已狸讲过，在运算以前和以后，对于所谓
增长和对于变量本身，方程式都是相同的。
（2）以上所说，明确了需要处理的方程式的本性，现在要举出来的，是
这种处理的兴趣所在是什么。这样的考察所能给予的，只是已知的结果，就
形式说，这些结果尤其是像拉格朗日所理解的那样；但是我为了剔除那里混
杂着的异质的规定，所以提出的说明，完全是很基本的。——上述种类的方
程式的处理的基础，显示出方幂在它自身之内被认为是一个比率，是一个比
率规定的系统。方幂在以上被表述为数，它之所以能够如此，是因为它的变
化是由它自身规定的，它的环节、即单位与数目，也是相同的，——如以前
所指出的，方幂在平方中也就很完全了，而在更高的方幂中，不过是更形式
的，在这里无关宏旨。现在方幂作为数（虽然人们较喜欢用“量”这一名词，
以其较为一般，但是方幂本身总之仍旧是数），既然是一个数量，也表现为
总和，那么，它在自身之内可以被除为任何数量的数，这些数除了一共等于
它们的总和而外，其彼此之间和对总和便都没有别的规定了。但是方幂也可
以被除为那些由方幂形式规定的差分的总和。假如方慕披当作总和，那么，
它的方根数，或说方根，也被当作总和，至于除它的倍数也是任意的，但是
这种倍数却是漠不相关的、经验的、量的东西。方根应当是总和；总和归到
它的单纯规定性，即它的真正普遍性时，就是二项式：一切更多的项的增加
都仅仅是这个同一规定的重复，因此也就是某种空虚的东西。①问题所在，只
是这里由被认为是总和的方根乘方而生的诸项之质的规定性，这种规定性完
全包含在乘方这一变化之中。于是这些项便完全是乘方和方幂的函数了。把
数表现为这样的诸项（它们就是乘方的函数）一定数量的总和，然后兴趣就
在于找出这些函数的形式，并随即从这些项的数量找出总和，因为要找出总
和唯一必须依靠西数的形式，——这就构成大家知道的特殊的系列论。但是
这里重要的是，把更有兴趣之点区别出来，即作为基础的大小本身（因为它
是一复合体，在这里就来，即是一个方程式，其规定性自身就包括了一个方
幂）与其乘方函数的比率。完全除去了前面所说的对总和的兴趣，这种比率
就将表现出它是真正科学所产生的唯一观点，微分计算便是把这种观点放在
