第二章）办到这一点，即没有特殊三角形，这就是说无须假定无限小的弧和.2
相乘，起初显得似乎有些荒谬，因为乘法只涉及数，是数的变化，这些数与
其由过渡而成的东西，或说乘积，是完全同质的，不过大小变化了而已。另
一方面，所谓线本身与线之相乘——这被称为积诸线为线（ductus lineae in
lineam），就像积诸面为面（plani in planum）那样，积诸点为线（ductus
punctiin lineam）也是如此——这不单纯是大小的变化，而是线作为空间的
性质的规定性、作为一维（Dimension）的变化；必须把线过位为面理解作线
超出自身之外，正如点超出自身之外为线，面超出自身之外为立体那样。说
点的运动就是线等等，其所想像的，与上面所说，是同一的东西；但是运动
包括时间规定，并且在那种观念中，更像仅仅是情况的偶然的、或外在的变
化；而须要采取的，却是表现为自身超出的概念规定性，——即是质的变化，
并且在算术方面，它就是（如点等等）单位与（线等等）数目的相乘。这里
还可以注意到在面超出自身时，便会出现面与面相乘，而发生算术乘积与几
何乘积有区别的假象，因为面的超出自身，作为积诸面为一面（ductus plani
inplanum），在算术方面，会得出两个二维规定的相乘，从而会得出一个有
四维的乘积，但这乘积却由几何的规定而降低到三维。假如说在一方面，数
因为以一为根本，所以对外在的量的事物给予了固定的规定，——那么，它
的相乘也同样是很形式的：把3·3 当作数的规定，其自乘便是3.3x3·3；
但是同一的大小，作为面的规定，其自乘却在3.3.3 那里便被遏止住了，因
为空间虽然被想像为从点，这个仅仅是抽象界限出发前进，但它却以第三维
为它的真实界限，即从线出发的具体规定性。上述区别，对于自由运动，可
以证明是很有效果的；在自由运动中，其空间的一方面是受几何规定（s3:t2
的克卜勒定律）支配的，其时间的另一方面，是受算术规定支配的。
这里所考察的质的方面，如何与前一注释中的对象不同，可以无须更加
解说便自然明了。在前一注释中，质的方面包含在方幕规定性之内；在这里，
它却像无限小那样，仅仅在算术方面对乘积而言是因数，或者对线而言是点，
对面而言是徒等等。那个必须从分立物（连续大小被想像分解为这种分立物）
到连续物的质的过渡，现在将作为加法来完成。
但是这个似乎单纯的加法，事实上自身却包含着乘法，即包含从线的规
定到面的规定之过渡，例如一个等边四边形的面积等于两条相互平行线之和
与其高之半的乘积，就最简单地表现了这一点。这个高被想像为一些应该加
在一起的一定数量的分立的大小的数目。这些大小是线，它们是在那两条作
为界限的平行线之间并与其平行；它们的数量是无限多的，因为它们应该构
成面，但又是线，为了成为有面的性质的东西，便必须随着否定而建立。为
了避免从线的总和须得出面这样的困难，便立刻把线当作面，但同时却当作
是无限细窄的面，因为它们只是以不等边四边形平行界限的带有线的性质的
东西为其规定。它们是平行的，并且以不等边四边形另外两条直线的边为界
限，于是它们就可以被想像为是一个算术极数的诸项：各项的差分，一般是
相同的，但并不需要规定，而级数的首项和未项就是不等边四边形的那两条
平行线：这个极数的总和，就是大家知道的那两条平行线与全项数日之半的
乘积。后一定量只是完全对无限多的线这一观念而言，才被叫做数目；它是
一个连续物，即高的一般大小规定性。很明显，所谓总和，同时就是积诸线
为一线（ductus lineae in lineam），即线与线相乘，按照上面的规定，就
是带有面的性质之物的发生。在长方形这种最简单的情况下，a，b 两因数中
每一个都是一个单纯的大小：但是以后即使在不等边四边形这样最初步的例
子中，便已经只有一个因数是其高之半这样单纯的东西，而另一个因数，则
相反地是由一个级数来规定的；后一因数也同样有线的性质，但是它的大小
规定性较为复杂；因为这种规定性只能由一个系列来表示，这就是说要解析
地、即算术地把这个系列总加起来；其中几何的因素是乘法，是从线维到面
的过渡的质；前一因数只是为了后一因数的算术规定才被认为是分立的，就
本身而言，它也和后一因数一样，是一个有线的性质的东西的大小。
把面想像为线之总和这样的办法，当乘法本身与结果的目的无关时，也
常常被使用。假如所从事的，是耍指出在一方程式内的大小不是定量，而是
一个比例，上面所说的情况便出现了。这是人所共知的证明方式，例如一个
圆的面积与一个以此圆的直径为大轴的椭圆面积之比，正如大轴与小轴之
比，因为这两种面积，每一个都被认为是与它有关的纵座标的总和；椭圆的
每一纵座标与圆的相应的纵座标之比，也正如小轴与大轴之比：所以得出结
论说，纵座标的总和（即面积）的比例也是一样的。那些想耍避免面为线之
总和这一观念的人，使这些纵座标成为宽度无限小的不等边四边形，这种救
急的应付是很普通而完全多余的：因为方程式只是一个比例，所似乎面的两
个线的原素，只有一个得到比较。另一原素、即横座标轴，在椭圆和圆里被
认为是相等的，是算术的大小规定的因数，即是等于1，因此，这个比例完
全只依靠一个进行规定的因素的比率。对于面的观念必须要有两维；但是在
这个比例中所应指出的大小规定，却仅仅只涉及一个因素。对这一因素加上
总和的观念，使其顺从或帮助这观念，真正说来，这是误解了此处问题所在
的数学规定性。
这里所讨论的，也包含了前面提到过卡伐列里不可分方法的理由根据，
所以它也同样得到论证，无需逃难到无限小那里。当他考虑到面时，不可分
的东西就是线，当他考虑到梭锥体或圆锥体时，不可分的东西就是平方或圆
面等等；他称那些被认为已确定的底线或底面为准尺（Regel）；这是一个常
数，对一个系列的关系说，那就是系列的首项和未项：有了常数，那些不可
分的东西就将被认为是平行的，即从形状看来，它们是有同一规定的。现在，
卡伐列里的一般原理是（《几何习题》第六卷；后来的著作《习题》第一卷，
第6 页）：“一切形状，无能平面的或立体的，都与它们的一切不可分的东
西成比例，并集体地（kollective）加以比较，假如王这些不可分的东西中
有一共同的比率，就分配地（distributive）加以比较。”为此目的，他只
有同底同高的形状，来比较那些与底线平行并与底线有同等距离这样作出的
诸线的比率；一个形状的一切这样的线，都有一个同一的规定，并构成形状
的全部内容。例如他以这样的方式，也证明了诸同高的平行四边形与其底线
成比例这一基本的命题；在两个形状中所作出的每两条与底线有同等距离并
与底线平行的线，是有两底线的同一比率的，所以那两个形状全部也如此。
事实上，这些线不是构成作为连续的形状的内容，而是构成在算术上应该被
规定了的内容：有线的性质的东西是这种内容的原素，必须通过这种原素，
内容的规定性才可以掌握。
这里我们便被引导去思索一种区别，这种区别之发生，是关于一个形状
的规定性究竟在哪里，即：规定性的情况或者是像这里的形状之高那样，或
者是外在的界限。假如它是外在的界限，那么，就须承认形状的连续性，可
以说是随着界限之相等或比率而来的；例如相互重合的形状之相等，是依靠
作界限的诸线相互重合。但是在同高同底的平行四边形那里，只有底这一规
定性才是外在的界限；至于引出对外在界限作规定的第二原则的却是高，而
不是一般的平行性，形状的第二主要规定，即它的比率，就依靠高。欧几里
得关于平行四边形有同高同底者相等之证明，便是把它们还原为三角形，即
外在被界限的连续物；在卡伐列里的证明中，首先是关于平行四边形的比例
性之证明中，界限一般地是大小规定性本身，它被解说为可以应用到每两条
以相等距离在两个形状中作出的线。这些与底线相等或有相等的比率之线，
集体地看来，便给予了有相等比率的形状。线的堆集观念与形状的连续性相
抵触：但是仅仅对线的考察，已经完全穷尽了问题所在的规定性。不可分这
种观念是否会引到须要依照数目来比较无限的徒或无限的平面，对于这种困
难，卡伐列里也常常给了答案（《几何学》第二卷，第一命题，注释）；他
作了正确的区别，他不比较我们所不知道的无限的线或平面的数目（如已经
提到过的，那不如说是被当作辅助手段的空洞观念），而是只比较大小，即
等于那些线所包括的空间那种量的规定性本身：因为这空间被封闭在界限
里，所以它的大小也就封闭在同一界限之内：他说，连续物不是别的，正是
不可分之物本身；假如连续物在不可分之物以外，那么，它就是不可比较的
了；但是要说有了界限的连续物不能相互比较，那是不合情理的。
可见卡伐列里想把属于连续物外在存在的东西，与其中含有连续物的规
定性并单单为了比较和为了关于连续物的定理的缘故而必须强调的东两区别
开。他为此而使用的范畴，如连续物由不可分之物综合而成或由其拘成之类，
当然是不够满意的，因为这同时需要连续物的直观，或如上面所说，需要连
续物的外在存在；假如不说“连续物不是别的，正是不可分之物本身”，而
说：连续物的大小规定性不是别的，正是不可分之物本身的大小规定性，那
倒会是更正确，从而也会立刻更明白些。有些学派从不可分之物构成连续物
这一观念，得出有更大和更小的无限物这样坏的结论，卡伐列里却并不这样
做，他在以后还表现更明确地意识到（《几何学》第七卷前言）他并不由于
他的证明方式而被迫要有连续物由不可分之物综合而成这样的观念；连续物
只是随不可分之物的比例而来的。他之采用不可分之物的堆集，并不是说它
们似乎为了无限数运的线或平面的缘故而陷入无限规定之中，而是由于它们
自身有了划出界限的明确状态和本性。但是为了搬走这块绊脚石，他到底不
辞辛苦，还在专门为此而增加的第七卷中，用不杂有无限性的方式，来证明
他的几何的主要命题。这种方式把证明归结到以前引过的普通的形状重合形
式，即以前说过的作为外在空间界限这种规定性的观念。
关于这种重合形式，首先还要加上一个说语，即它对于感性的直观，简
直可以说是一种很幼稚的帮助。在关于三角形的基本命题中，设想有两个三
角形并列着，它们每一个都有六个部分，假定一三角形有三部分与另一三角
形相应的三部分相等， 那么， 就将证明这两个三角形是彼此相合的
（kongruent），即这一三角形的其余三部分也与另一三角形的那三部分的大
小相等，——因为它们借前三部分相等便彼此重合。假如更抽象地来把握事
物，那么，正是因为在两形中每一对彼此相应部分之相等，现存的才只有一
个三角形①；在这个三角形中，有三部分是被假定为已经规定的，于是其余三
部分的规定性也随之而来。规定性以这种方式将被证明往这三部分中已经完
全了，所以对规定性本身说来，其余三部分是多余的，是感性存在，即连续
性的直观的多余。用这种形式来说，质的规定性便与直观中所呈现的东西，
即与作为一个自身连续的整体，有了区别；而重合则使人意识不到这种区别。
随平行线而来和在平行四边形那里，如以前说过的，却出现了一种新的
情况，一部分是仅仅角的相等，一部分是形状的高，而形状的界限，即平行
四边形的边，却与高不同。这里突出了含糊不清之点，就是在这些形状中，
除了作为外在界限的底边这一个边的规定性而外，必须在什么程度上来把另
外的外在界限，即平行四边形的另一个边或高，当作另外的规定性呢。在两
个有同底同高的形状里，一个是直角的，一个却有很锐的角，因而其相对的
角是很钝的角；对直观说来，后者可以很容易显得比前者更大些，因为直观
将后一形状现有的大边当作是规定性的，并依照卡伐列里的想法，将两个面
积按可以通过它们的平行线的数量加以比较；较大的边可以看作是比长方形
垂直的边可能有较多的线。可是这样的设想并不曾有助于对卡伐列呕的方法
提供非难，因为在这两个平行四边形中为了比校而设想的平行线的数量，同
时就已经假定了它们彼此距离相等或与底线距离相等，从而得出结论说：规
定性的另一因素，是平行四边形的高，不是它的另一边。假如两个平行四边
形有同高同底，但不在一个平面上而与一第三平面造成不同的角时，若加以
比较，上面的情况就改变了；假如人们想像第三平面通过那两个平面并与自
身平行而向前运动时，那么，由此而产生的平行截面，其阳互的距离便不再
是相等的，而那两个平面也就不相等了。卡伐列里仔细注意过这种区别，他
将它规定为不可分之物的垂直移动（transitus rectus） 与偏斜移动
（transitus obliquus）的区别（见《习题》In.XII 以下，并且在《几何学》
第一、二卷中也已经有了），于是便截断了可能在这方面发生的肤浅的误解。
巴罗在前面引过的他的著作中（《几何学讲义》第二卷第21 页），也同样用
过不可分的方法，可是他已经把这方法和一个假定纠纷不清；这个假定就是，
一个曲线三角形（如所谓特殊的三角形）与一直线三角形，假如两者是无限
的，即很小的，便可以相等。这个假定由他传到他的学生牛顿和别的同代数
学家，其中也有莱布尼兹。我记得他在前书中引证了达盖①对此的责难，达盖
也是当时从事研究新方法的聪明几何学家。达盖所提出的困难也同样是关于
在计算圆锥体和圆球体的面积时，对于以应用分立物为根据的考察，应该把
什么线当作是规定的基本因素。达盖斥责不可分的方法说，假如须要计算一
个圆锥体的面积，那么，按照那种原子主义的方法②，就将想像圆锥体三角形
是由与底线平行、与轴垂直的直线综合而成的，这些直线同时又是圆的半径，
圆锥体的面积就是由这些半径构成的，现在假如这个面积被规定为各圆周之
总和，而这总和又是由各圆周的半诬的数目，即由轴的大小，或说由圆锥体
之高所规定的；那么，这个结果却与亚基米德以前所教导的、所证明的真理
相矛盾。于是巴罗与此相反，指出为了规定面积所必须采用的那条线，不是
轴而是圆锥体三角形的边，它的旋转产生了面积，因此必须用这个边，而不
是轴，作为对圆周数量的大小规定性。
① 意思是说，既然两个三角形完全相等，便实际只是一个三角形。——译者
① 达盖（Tacquet，Andr，1611—1660），安特威普耶稣教公学教授，著有：《圆柱体与环形》五卷，1651—1659
年。—一原编者注
② 原子主义的方法，即指不可分的方法。——译者
这类的黄难和犹疑下定，其根源唯在所使用的观念不明确，风为棱由无
限数量的点构成，面由无限数量的线构成等等：这种观念使线或面的本质的
大小规定性暗昧不明。——这些注释的用意就在于要指明那些肯定的规定，
由于无限小在数学中的各种使用，可以就是被留在后台八它们被包裹在单纯
的否定范畴之中，必须把它们从那层云雾里抉发出来。在无限的系列那里，
和在亚基米德的圆测量法那里一样，无限物只是意味着进一步规定的法则是
已知的，不过所谓有限的、即算术的表现不曾给予而已，所以把曲线归结为
直线是办不到的；这种不可通约性是它们的质的不同。分立物与连续物，其
质的不同，一般也同样含有否定的规定，使其像是下可通约的，并且以如下
的意义引来了无限物，即连续物（被当作是分立的），就它的连续的规定性
而论，不应该再有定量。连续物，在算术方面被当作是乘积，因此自身被当
作是分立的，即分解为原素，这些原素就是连续物的因数；连续物的大小规
定性就在这些原素之中；正因为它们是原素或因数，它们才属于一较低的维；
并且，它们是一个大小的原素或因数，只要有了方冪规定，它们就是属于比
这个大小较低的方冪。就算术而论，这种区别似乎是单纯的量的区别，像方
根与方冪或任何方幕规定性的区别那样，可是当这种表现的式子仅仅涉及量
的事物本身时，例如a:a2 或d.a2=2a:a2=2:a 或t:at2 的引力律，那么，它就
给予了什么也没有诅的1:a，2:a,1:at 等比率；这些比率的各项，对它们的
单纯的量的规定说来，必须用不同的质的意义使它们相互分开，譬如s：at2，
作为一种质的大小，因此而被表现为另一种质的大小的面数。于是呈现于意
识的，便只是量的规定性；用这种规定性，按它的方式去运算，毫无困难；
耍用一条线的大小与另一条线的大小相乘，也不会有麻烦；但是这些大小相
乘，立刻便产生了从线过渡为面这样质的变化；在这种情况下，一个否定的
规定出现了：这种规定引起了困难：理解了它的特点和事物的简单本性，困
难是可以解决的；但是用无限物来帮忙，想由此消除困难，却反而只是陷于
混乱，使困难完全悬而未决。
14-10 -----------------------------
逻辑学（上卷）[德]黑格尔著 杨一之译
