在本章内我想把概率论作为纯粹数学的一个分支来加以论述，演绎出某些公理的结论而无需给它们以这种或那种的解释①。我们可以看到，尽管人们对于这一领域内的解释意见不一，这种数学计算本身还是与数学中其它任何分支享有同样程度的公认。这种情况并不是概率论所特有的。微分学的解释约近二百年来一直是数学家和哲学家争论的一个题目；莱布足兹认为它包括真正的极小数，直到魏尔斯特拉斯这个看法才被完全否证。再举一个更带基本性质的例：对于初等算术从来没有发生过什么争论，但是自然数的定义却仍然是一个争论未决的问题。所以对于“概然性”的定义有疑问而对于概率计算没有（或很少有）疑问这一点我们就不必感到奇怪了。
按照约翰逊和凯恩斯的办法，我们用“p/h” 来表示这个不下定义的概念：
p 在已知h 的条件下的概率。当我说这个概念是不下定义的概念时，我的意思是说它只由将要列举出来的公理或公设来下定义。任何可以满足这些公理的东西都是概率计算的一个“解释”，人们可以料到将有许多可能的解释。
其中没有哪一个比另外一个更为正确或更为合理，但是有些却可能比另外一些更为重要。所以在给皮阿诺的五个算术公理找出一种解释时，那种以O 为第一个数的解释就比那种以3781为第一个数的解释更为重要；它之所以更为重要，原因在于它能让我们把形式主义的概念的解释和在列举中所认识的概念等同起来。但是目前我们将不去管一切解释的问题，我们对概率只作纯粹形式的论述。
不同作者所提出的必要的公理或公设都大体相同。下面的说法采自C. D.布劳德教授②。这些公理是：
1. 已知P 和h，那么p/h 只有一个值。所以我们能够谈到“p 在已知h的条件下的概率”。
II. p/h 的可能值是所有从0 到1 的实数，包括0 与1 在内。（照某些解释我们把可能值限于有理数；这是一个我将在以后讨论的问题。）
III. 如果h 蕴涵p,那么p/h＝1。（我们用“1”表示必然性。）
IV. 如果h 蕴涵非p,那么p/h＝0。（我们用“0”表示不可能性。）
V. p 和q在已知h的条件下的概率等于p在己知h的条件下的概率乘以q在已知h 的条件下的概率，也等于q 在已知h 的条件下的概率乘以P 在已知q 和h 的条件下的概率。这叫作“合取”公理。
VI. p 和/或q在已知h的条件下的概率是p在已知h的条件下的概率加。q 在已知h 的条件下的概率减去p 和q 在已知h的条件下的概率。这叫作“析取”公理。
就我们的目的来说，这些公理是否都是必要的并没有什么要紧；我们所关心的只是它们是充分的。
关于这些公理有几点需要注意。显然II、III 和IV 部分地体现了容易改变的惯例。如果采用了它们，而一个已知概率的约量是X，那么我们就同样有理由采用任何随着X 的增长而增长的数f（x）作为约量：我们可以用f（1）和f（O）替换III 和IV 中的1 和0。
按照上面的公理，一个与件为真则必真的命题，相对于与件来说，具有概率1；一个与件为真则必伪的命题，相对于与件来说，具有概率0。
