那种叫作“单纯列举的归纳法”的推理形式（我将把它简单叫作“归纳法”），在从弗兰西斯·培根到莱新巴哈所写的大多数关于科学推理的讲述中占有一个非常特殊的地位：它象绞刑吏一样，被人当成一件不可少的但却令人不快的事物，人们尽可能地避免谈到这个题目——除了一些象休谟那样不肯受典雅标准约束的人。就我来说，我认为在前面一章（第五部分第八章）中研究过的凯恩斯的着作向我们提出了着重点的改变，即不再把归纳法当作前提，而把它当作数学概率在那些不靠归纳法而得到的前提上面的应用。
然而归纳的证据对于给已被承认的科学的和日常生活中的概括性叙述找到合理的根据这一点来说却是极其重要的。我想在本章内既要讲明白归纳法怎样才是有用的，也要讲明白为什么它不是一个前提。
我们在以前各章已经看到，当我们开始回想时，我们是怎样发现我们自己早已相信多得不可胜数的概括性命题的，例如“狗吠”或“火燃”，这些都是由过去的经验通过条件反射和形成习惯的过程而产生的。当我们思考我们的信念时，如果我们有喜好逻辑的倾向，我们就会疑心产生我们信念的原因是否可以当作它的根据；而因为这种原因乃是重复，这样就让我们想为归纳法找出理由根据。可是从我们先前的研究来看，我们必须找出一种为某些而不是另外一些归纳法找出根据的方法。为归纳法本身找出根据是不可能的，因为我们可以证明归纳法导致虚妄和导致真理是同样常见的。然而就适当的实例来讲，归纳法作为一个增加概括性命题的概率的手段还是很重要的。我们能够感到什么是适当的实例，这种能力尽管极易失败，却足够排除大量的各类导致谬误的归纳法，逻辑学家可以发明这些导致谬误的归纳法，但是神智健全的人却从来不会接受。我们的目的必须是把这种感觉力换成某种与其不相矛盾而又更加明确和更加可靠的东西。
显然，每当A 和B 经常一起发生或很快连续发生时，不会产生条件反射或“动物性归纳”。A 和B 必须是动物关心的事物。如果B 是在情感上引起兴趣的东西，那么B 所需要的重复发生次数要比它在情感上不引起兴趣的情况下少得多。动物和野蛮人对于关系到他们切身利益的重大问题所进行的归纳是极其轻率的；喜欢得出概括性命题的倾向随着教育的提高而大大减少。
但是我们一定要知道，与这点互相制约。的还有这件事实，那就是科学训练可以让人注意到动物从来不会注意到的事物。动物注意到在什么时候和什么地方能够找到食物，并接受食物气味的刺激，但动物不能发现土壤的化学成份或肥料的效用。动物也不能创造假设；动物不会说：“我已经注意到B 随A 而发生的几个场合；也许情况永远是这样，至少值得我们去找寻另外的事例”。但是尽管科学家在有意建立一种归纳时注意到许多不曾为动物注意到的事物，铣他所归纳的A 和B 来讲，他仍然局限在某些类在他看来似乎合理的事物上面。这种无意的和几乎意识不到的限制与那些为了保证归纳法的正确而加在归纳法身上的限制之间到底有多少契合之处是一个困难而晦奥的问题，对此我不想多加论断。
关于归纳的科学用途，我同意凯恩斯得出的结论，这些结论我们在前面一章里已经做过阐述。在现阶段把这些结论重述一下也许是有益的。
凯恩斯假定某个概括性命题，例如“凡A 都是B”，对于这个命题来说，在未观察到任何事例之前，存在着概率p0。他还假定，观察到许多有利的事例X1，X2，Xn，而没有观察到一件不利的事例。概括性命题在第一次有利事例之后的概率为p1，在第二次有利事例之后为p2，以此类推，所以pn就是在第n 次有利事例之后的概率。我们想知道在什么条件下，当n 无限增加时，pn趋近于它的极限1。为此，我们必须考虑在概括性命题虚妄的条件下，我们竟然观察到n 个有利事例，而没有观察到一个不利事例的概率。假定我们把这个概率叫作Qn。凯恩斯证明如果Qn与PO之比在n 增加时趋近于零，那么当n 无限增加时Pn趋近于它的极限1。这就要求Pn应为有限数，qn在n 增加时应趋近于零。只靠归纳法我们不能知道这些条件在什么场合下得到满足，如果存在这种场合的话。
让我们看一下p0应为有限数的条件。这就是说，被提出的概括性命题“凡A 都是B”；在我们观察到不管是有利还是不利的事例之前就有几分可以成立的希望，所以这至少是个值得研究的假设。按照凯恩斯的处理办法，概率p0是对于一般与件h 而言的，这种与件看来可以包括除了A 是B 或不是B 的实例以外的任何东西。很难不令人这样认为：这些与件是由至少有一部分确已成立的类似的概括性命题所组成，从这些概括性命题我们引导出有利于“凡A 都是B”的归纳证据。举例说，你想证明凡铜都导电。在用铜做实验之前，你试过许多其它元素，发现每种元素在导电方面都表现出一种特有的行为。
于是你根据归纳得出结论：铜都导电或都不导电；因此你的概括性命题在你进行观察之前就有了一种可以觉察到的概率。但是因为这种论证使用了归纳方法，所以对于我们想做的事情没有什么用处。在我们做出所有元素在导电方面都表现出一种特有的行为这个归纳之前，我们必须先问一下，在我们还没有观察到这个归纳的真或伪的实例以前，它的概率有多大。我们可以接着把这个归纳归入一个范围较大的归纳之中；我们可以说：“人们对于很多种性质进行过试验，就每一种性质来说，每种元素都表现出一种特有的行为；所以导电大概也是这样一种性质”。但是这种把归纳归入范围较大的归纳的方法在实用上必然有一个限度，我们不管在什么地方停下来，在我们知识的任何一种特定的情况下停下来，在凯恩斯的H 下所汇集的与件一定不是在只有假定了归纳的前提下才与本问题有关的与件。
因此我们就得在归纳之外去寻找一些原则，这些原则在已知某种不属于“这个A 是一个B”这种形式的与件的情况下，能使“凡A 都是B”这种概括性命题具有有限的概率。已知这类原则，又已知适用这类原则的一个概括性命题，归纳法就可以使这个概括性命题具有越来越大的概率，在有利的实例数目无限增加时具有逐渐接近必然性并以其为极限的概率。在这样的论证当中，我们所说的那些原则是前提，但归纳却不是这种前提，因为在我们使用归纳的那种形式下，它是概率的有限频率说的一个分析性推论。
因此我们的问题是在尚未发现证据之前，找出使适当的概括性命题具有概然性的一些原则。
我们还要看一看凯恩斯所说的另外一个条件，即当n 增加时qn应趋近于零。qn是在尽管概括性命题为伪而所有前n 个实例却都是有利的实例时的概率。让我们重复一遍以前说过的一个例子，假定你是个户口调查官员，从事情查威尔斯某个村庄居民的姓名。你所调查的前n 个居民都叫威廉。那末qn就是在居民不都叫威廉的情况下发生这件事的可能性。就这个实例说，当n变得等于村中居民数的时候，村中再也不会有一个可以不叫作威廉的人，因此qn 也就为零。但是一般来说这种无遗漏的列举是不可能的。一般来说，A将是一类总在发生并且除非发生就无法观察到的事件，所以除非到了时间结束，我们无法把A 没有遗漏地列举出来。我们也无法猜想A 有多少分子，甚至无法猜想它是不是一个具有有限数分子的类。这样一些实例是我们在研究凯恩斯所说的条件，即当n 增加时qn必然趋近于零时所必须考虑到的。
凯恩斯把这个条件用另一种形式表示出来，即把qn作为n 个不同概率的乘积。假定Q1是在概括性命题为伪的情况下第一个A 将是一个B 的概率，Q2是在概括性命题为伪和第一个A 为一个B 的情况下第二个A 将是一个B 的概率，以此类推。那么qn就是Q1，Q2，Q3，Qn。的乘积，这里Qn。是在已知概括性命题为伪和前n-1 个A 都是B 的情况下，第n 个A 将是一个B 的概率。如果有任何一个小于1 的数，并且所有的Q 都小于它，那么n 个Q 的乘积小于这个数的n 次乘方，并且在n 增加时趋近于零。这样，如果有某个不能达到必然性的概率，例如p，使得在已知概括性命题为伪和n-1 个A 已经是B 的情况下，在n 足够大的时候第n 个A 将是一个B 的机会永远小于p，我们的条件就可以得到满足。
很难看出这种条件在经验界所提供的材料上会发生失败的情况。如果这种条件发生失败的情况，那末如果ε是任何一个不管多小的分数，而n 是任何一个不管多大的数，并且如果前n 个A 都是B，但并非所有的A 都是B，则有一个使得第（n＋m）个A 不是一个B 的可能性少于ε的数m。我们可以换一种说法来讲这个问题。不管n 是什么数，设已知条件是前n 个A，但并非所有的A，都是B。如果我们现在安排一下以后的A，不是按照它们出现的次序而是按照它们是B 的概率的次序，那么这些概率的极限就是必然。这是在这种条件失败的情况下必然要发生的事情。
显然这种条件比起前面所说的那种条件，即我们的概括性命题在有利事例出现之前一定具有有限的概率，更少引起人们的兴趣并且更易于满足。如果我们能够就一个已知的概括性命题找到一个保证产生这类有限概率的原则，那么我们就有权利利用归纳法使得概括性命题具有概然性。但是在缺少某种这类原则的情况下，我们却不能把归纳法当作一件使得概括性命题具有概然性的东西。
在上面的讨论中，我按照凯恩斯的办法，只考虑“凡A 都是B”的证据。
但是在实用方面，特别是在一项研究的早期阶段，知道大多数A 是B 这一点常常是有用的。例如，假定有两种疾病，其中一种是常见的而另一种是不常见的，它们在早期阶段的症状非常相似。医生看到这些症状就得出结论，认为他所处理的是那种比较常见的疾病，这样的做法是对的。那些我们相信没有例外的定律通过适用于大多数但并非一切实例的先有的概括性命题而被发现，这是很常遇到的事情。显然，建立‘大多数A 是B’这个概率所需要的证据比起建立‘凡A 都是B’这个概率所需要的证据要少。
从实用的观点来看，这种区别并没有多大紧要。如果我们确实知道A 的m/n 是B，那么M/n 就是下一个A 将是一个B 的概率。如果凡A 都是B 具有概然性而不具有必然性，那么下一个A 将是一个B 仍然具有概然性。所以就我们对于下一个A 的期待来看，确实相信大多数A 是B，或者认为凡A 都是B 具有概然性，两者是相同的。在实际生活中最容易出现的情况是那种认为大多数A 是B 具有概然性的情况。这种情况常常可以作为合理期待的充分根据，因而成为实际生活中的指南。
