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乙、毕泰戈拉与毕泰戈拉派５７２
〔二 数之应用于宇宙〕①
然而这个单纯的理念及其中的单纯实在性是需要进一步加以发展的，这样才能达到更加结合、更加发展的实在性。
毕泰戈拉派在这种情形之下，是怎样从抽象的逻辑范畴过渡到表明数的具体应用的形式的呢？具体对象的规定，通过毕泰。。。。
戈拉派所作成的数，对于空间性的事物和音乐性的事物还有更密切的联系；但是对于自然界和精神界的具体对象，数却成了一种纯粹形式的空洞的东西。
（甲）关于毕泰戈拉派如何“从数中建立宇宙机体”
，塞克斯都②给我们举了一个空间关系方面的例子，当然在这里。。
必须与这些理想的原则相合。因为抽象的空间范畴是容易得到的；数事实上就是完满的空间范畴。如果我们在空间方面从点、从对于虚空的第一个否定开始：那么“点就与一相应；点是一个不可分的东西，是线的原则，正如一是数的原则一样。由于点就是单元，所以线就表示二元；因为二者均藉过渡而得到理解，——线是两点之间的纯粹关系，是没有宽度的。面是由三元而来的。而立体图形、体则属于四元，其中包含了三度空间。另一些人说，体由一个点（就是说，（２６１）它的本质是一个点）而成立；”因为点动成线，而线动则成面，面动则成体。
这些人不同于前面那些人的地方是：前面那些人以为首先从单元和不确定的二元中产生数，然后从
①译者增补。
②“反数学家”
，第十卷，第二七七——二八三节。
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６７２哲学史讲演录 第一卷
数中产生点、线、面和体。而这一些人则从一个点建立其余的一切。“一种人认为区别是固定的对立，固定的形式，是二元；另一种人则把形式当作活动看。
“因此有形事物是在数的指导之下形成的，而确定的形体，水、空气、火，总之整个宇宙都由数形成，关于宇宙，他们说是按照和谐而形成，——按照一种和谐，这和谐又只存在于数的关系中，数的关系构成绝对和谐的各种不同的和音”。
关于这一点我们必须注意，从点进展到实际空间（实在的空间，因为线、面都只是环节，抽象物）同时有充实空间的意义。因为一是本质，本体，质料①。只是有空间与充实的空间的区别。
构造过程是简单地进行的；它是运动或关系。
线的概念是纯粹的点的关系；点是纯粹的一，——作为纯粹活动、纯粹关系的一就是线。
面也是一样，面就是线的关系，自乘，产生，活动，连续性，普遍性；有形的空间亦复如是。它多半采取事变的形式，而发展就是采取（２６２）运动或在构造的形式。但是这样进行得还很好；相反地，由一般的充实空间过渡到确定：水，土等，——情形就不同，就比较困难了。
或者也可以说毕泰戈拉派并未作这种过渡，而是在他们看来，宇宙本身就具有这种思辨的单纯形式：亦即被表现为一个数的关系的系统。但是这样物理性的东西还是没有规定出来。
（乙）
作为本质的数的范畴的另一种应用或表示，便是音乐关系，——在音乐关系中，数主要地构成了决定性的成分。
①亚里士多德：“形而上学”
，第一卷，第八章：按照他们的基本信条和学说看来，他们说到感官可见的物体和说到数学的对象时并没有什么区别。
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乙、毕泰戈拉与毕泰戈拉派７７２
在音乐中，音调的差别表现为不同的数的关系；数的关系是唯一规定音乐的方式。音调之间的相互关系，是建立在量的不同上，量的不同可以造成和谐，反之也可以造成种种不和谐。因此毕泰戈拉派把音乐当作教化精神的、教育性的东西。
①毕泰戈拉是第一个洞察到音乐关系的人，他洞察到这些可以听见的差别是可以用数学来说明的，——洞察到我们对于协调和不协调的听觉乃是一个数学的比较。那主观的、在听觉中的简单的感觉，本身却是在关系中的东西，毕泰戈拉把它划归理智的范围，并且凭藉确定的范畴加以理智的说明。
和谐的基本音调的发现，是属于他的，这些音调是建立在最简单的数的关系上。
据说②毕泰戈拉走过一个铁匠的工场，打铁时所发出的一种特别的和声引起了他的注意。于是他比较了发出一个一定谐音的锤子的重量，从而用数学确定了音调的关系；最后应（２６３）用这个关系，在弦上作了试验。这个试验向他提供了以下的关系：八度音程，五度音程，四度音程。我们都知道，一根弦（或与此相似的东西，管乐器中一根管中的气柱）的音调为三种情况所决定：它的长度，直径与紧张的程度。如果现在有两根同样粗同样长的弦，则紧张程度的不同便产生音调的不同。所以我们只比较它的紧张程度；紧张程度可以由一个重量去测量，把一个重量挂在弦上，弦便紧张起来了。毕泰戈拉发现，如果一根弦负有十二磅的重量，另一根负有六磅的重量，（διπασι，１∶２）
，O B O B①波尔费留：“论毕泰戈拉的生活”
