[6] 人们为什么会有动机创造出没有人想要的东西？对于这个问题，我推荐一个发人深省的反思：“Meditations on Molloch” http://slatestarcodex.com/2014/07/30/meditations-on-moloch.
[7] 一个关于核战争可能因意外而爆发的互动式时间线：http://tinyurl.com/nukeoops.
[8] 美国铀处理和核试验辐射受害者获得的赔偿金：https://www.justice.gov/civil/awards-date-04242015.
[9] 美国对核爆电磁脉冲的研究报告：http://www.empcommission.org/docs/A2473-EMP_Commission-7MB.pdf.
[10] 美国和苏联科学家分别警告里根和戈尔巴乔夫关于核冬天风险的独立研究：
a) Crutzen, P. J. & Birks, J. W. 1982, “The atmosphere after a nuclear war: Twilight at noon”, Ambio,11.
b) Turco, R.P., Toon, O. B., Ackerman, T. P., Pollack, J. B. & Sagan, C. 1983, “Nuclear winter: Global consequences of multiple nuclear explosions”, Science, 222, 1283-1292.
c) Aleksandrov, V. V. & Stenchikov, G. L. 1983, “On the modeling of the climatic consequences of the nuclear war”, Proceeding on Applied Mathematics, 21: Computing Centre of the USSR Academy of Sciences, Moscow.
d) Robock, A. 1984, “Snow and ice feedbacks prolong effects of nuclearwinter”, Nature, 310, 667-670.
[11] 对全球核战争的环境影响的计算：Robock A., Oman, L. & Stenchikov, L. 2007, “Nuclear winter revisited with a modern climate model and current nuclear arsenals: Still catastrophic consequences”, J. Geophys. Res., 12, D13107.
06 挑战宇宙禀赋：接下来的10亿年以及以后
[1] 安德斯·桑德伯格（Anders Sandberg）收集的关于戴森球的资料：http://tinyurl.com/dysonsph.
[2] 弗里曼·戴森关于戴森球的开创性论文：Freeman Dyson 1959, “Search for Artificial Stellar Sources of Infrared Radiation”, it Science, vol. 131, 1667-1668.
[3] 路易斯·克兰和肖恩·威斯特摩兰解释了他们提出的黑洞引擎：http://arxiv.org/pdf/0908.1803.pdf.
[4] 一张来自欧洲粒子物理研究所（CERN）的漂亮的信息图，总结了已知的基本粒子：http://tinyurl.com/cernparticle.
[5] 在宇宙中，小星系远远比大星系多。如果我们算上那些质量只相当于银河系百万分之一的微型星系，那么，星系的总数预计会上升到2 000亿～2万亿这么多：https://arxiv.org/pdf/1607.03909.pdf.
[6] 关于激光帆的教育片：http://www.lunarsail.com/LightSail/rit-1.pdf.
[7] 杰伊·奥尔森分析了在宇宙中扩张的文明：http://arxiv.org/abs/1411.4359.
[8] 第一篇对我们遥远未来的全面科学分析：Dyson, Freeman J. 1979, “Time without end: Physics and biology in an open universe”, Reviews of Modern Physics 51.3, 447, http://tinyurl.com/dysonfuture.
[9] 上面提到过的塞思·劳埃德的方程告诉我们，在一个时间段τ内运行一个计算过程需要消耗的能量E≥h/4τ，其中h是普朗克常量。如果我们想在时间T内一个接一个地完成N个计算运算，那么，τ=T/N，因此，E/N≥hN/4T。这告诉我们，我们可以用能量E和时间T来执行次串行运算。所以，能量和时间都是资源。如果有许多能量和资源，将大有裨益。如果你将你的能量分割成N个不同的并行计算，那它们的速度会变慢，但能量效率会提高。尼克·波斯特洛姆估计，要模拟一个人100年的人生，大约需要N=1027次运算。
[10] 如果你想知道为什么生命的起源可能需要非常偶然和侥幸的事件，使得我们最近的邻居也在101 000米之外，那么，我推荐普林斯顿物理学家兼天文生物学家埃德温·特纳（Edwin Turner）做的视频（扫码中文版序最后一页上的二维码，获取“湛庐阅读”APP，搜索“生命3.0”获取精彩视频）。
[11] 马丁·里斯关于寻找地外智能生命的文章：https://www.edge.org/annual-question/2016/response/26665.
07 目标
[1] 一篇关于杰里米·英格兰的“耗散驱动适应性效应”理论的科普文章：https://www.scientificamerican.com/article/a-new-physics-theory-of-life/.这本书打下了许多基础：Ilya Prigogine & Isabelle Stengers 1984, Order Out of Chaos: Man's New Dialogue with Nature, Bantam.
[2] 关于感觉以及它们的生理基础：
a) Principles of Psychology, William James 1890, Henry Holt & Co.
b) Evolution of Consciousness: The Origins of the Way We Think, Robert Ornstein 1992, Simon & Schuster.
c) Descartes' Error: Emotion, Reason, and the Human Brain, onio Daasio 2005, Penguin.
d) Self Comes to Mind: Constructing the Conscious Brain, Antó nio Damá sio 2012, Vintage.
[3] 埃利泽·尤德考斯基曾经讨论过，不需要让友好的人工智能的目标与我们目前的目标相一致，但需要让它们符合我们的“连贯推断意志”（Coherent Extrapolated Volition，简称CEV）。简单而言就是说，假设我们的知识更多、思考的速度更快、代表的人数更多，那么，一个理想化的人类想要什么东西。尤德考斯基在2004年发表了关于CEV的文章（http://intelligence.org/files/CEV.pdf），之后不久，就开始批评这种思想。因为它很难实施，也因为不清楚它是否能收敛到任何确定的东西上。
[4] 逆向增强学习方法的一个核心思想是，人工智能试图最大限度满足的不是它自己的目标，而是人类的目标。因此，在不清楚它的主人想要什么时，它有动机保持谨慎，并试图找出这个目标。如果它的主人关掉它也应该没关系，因为这意味着它误会了主人的意思。
[5] 史蒂夫·奥莫亨德罗关于人工智能目标涌现的论文：http://tinyurl.com/omohundro2008.
[6] 下面这本发人深省的书，讨论了当智能盲目服从命令而不质疑其伦理偏见的时候，会发生什么事：Hanna Arendt (1963), "Eichmann in Jerusalem: A Report on the Banality of Evil", Penguin.类似的困境也适用于埃里克·德莱克斯勒近期提出的一个想法（http://www.fhi.ox.ac.uk/reports/2015-3.pdf）——将超级智能分割成无法理解全局的简单部分，以此来控制超级智能。如果这种方法可行的话，这或许又为超级智能提供了一个缺乏固有道德规范的强有力工具，它会尽力实现主人任何心血来潮的命令，而不考虑任何道德问题。这会让人想起反乌托邦极权主义情景中的分裂的官僚机构：一个部门负责建造武器，但不知道这些武器是如何使用的；另一个部门负责处决罪犯，却不知道他们犯了什么罪，等等。
[7] 现代版本的黄金定律是约翰·罗尔斯（John Rawls）提出的：在一个假想的情况中，如果人们不会提前知道自己是该情况中的哪个角色时，就没有人想改变原始的情况。
[8] 比如说，希特勒的一些高级官员的IQ值都很高：http://tinyurl.com/nurembergiq.
08 意识
[1] 斯图尔特·萨瑟兰（Stuart Sutherland）写的意识条目非常迷人：Macmillan Dictionary of Psychology, Macmillan, 1989, ISBN 978-0-333-38829-7.
[2] 量子力学的创始人之一埃尔温·薛定谔在他的书《心灵与物质》（Mind andMatter）中思考“过去”的时候，做出了上述精彩的评论，以及如果有意识的生命从来没有进化出来过，会发生什么事情。另一方面，人工智能的崛起提出了一个符合逻辑的可能性，那就是，我们在未来可能会演出一场无人观看的戏剧。
[3] 斯坦福哲学百科全书对“意识”的不同定义和使用做出了广泛的调研：http://tinyurl.com/stanfordconsciousness.
[4] Yuval Noah Harari 2017, Homo Deus, p116.
[5] 一个先驱对“系统1”和“系统2”的精彩介绍：Daniel Kahneman 2011, Thinking, Fast and Slow, Farrar, Straus & Giroux.
[6] 参见：The Quest for Consciousness: A Neurobiological App-roach, Christof Koch 2004, W. H. Freeman.
[7] 在每秒进入我们大脑的信息中，我们可能只意识到了很少的部分（比如说10～50比特）：Küpfmüller, K. 1962, "Nachricht-enverarbeitung im Menschen", in Taschenbuch der Nachrichtenverarbeitung, Steinbuch, K., Ed., 1481-1502；Nørretranders, T. 1991, The User Illusion: Cutting Consciousness Down to Size, Viking.
[8] “The Future of the Mind: The Scientific Quest to Understand, Enhance, and Empower the Mind”, Michio Kaku 2014, Doubleday.
a) "On Intelligence", Jeff Hawkins & Sandra Blakeslee 2007, Times Books.
b) "A neuronal model of a global workspace in effortful cognitive tasks", Stanislas Dehaene, Michel Kerszberg & Jean-Pierre Changeux 1998, Proceedings of the National Academy of Sciences, 95, 14529-14534.
[9] 近年来，意识相关神经区（NCC）的研究进入了神经科学界的主流。参见："Neural correlates of consciousness in humans", Geraint Rees, Gabriel Kreiman & Christof Koch 2002, Nature Reviews Neuroscience, 3, 261–270，和“Neural correlates of consciousness: Empirical and conceptual questions”, Thomas Metzinger 2000, MIT press.
[10] 连续闪烁抑制的工作原理：
a) The Quest for Consciousness: A Neurobiological Approach, Christof Koch 2004, W.H. Freeman.
b) “Continuous flash suppression reduces negative afterimages”, Christof Koch & Naotsugu Tsuchiya 2005, Nature Neuroscience, 8, 1096-1101.
[11] “Neural correlates of consciousness: progress and problems”, Christof Koch, Marcello Massimini, Melanie Boly & Giulio Tononi 2016, Nature Reviews Neuroscience, 17, 307.
[12] 参见这本书的第260页：“The Quest for Consciousness: A Neurobiological Approach”, Christof Koch 2004, W.H. Freeman。斯坦福哲学百科全书对其展开了进一步的讨论（http://tinyurl.com/consciousnessdelay）。
[13] 关于意识感知的同步性：
a) The Brain: The Story of You, David Eagleman 2015, Pantheon.
b) Stanford Encyclopedia of Philosophy, http://tinyurl.com/consciousnesssync.
[14] "Mind Time–The Temporal Factor in Consciousness" Benjamin Libet 2004, Harvard University Press，"Unconscious determinants of free decisions in the human brain", Chun Siong Soon, Marcel Brass, Hans-Jochen Heinze, John-Dylan Haynes 2008, Nature Neuroscience, 11, 543-545, http://www.nature.com/neuro/journal/v11/n5/full/nn.2112.html.
[15] 近期关于意识的理论方法的例子：
a) Consciousness explained, Daniel Dennett 1992, Back Bay Books
b) In the Theater of Consciousness: The Workspace of the Mind, Bernard Baars 2001, Oxford Univ. Press.
c) The Quest for Consciousness: A Neurobiological Approach, Christof Koch 2004, Roberts.
d) A Universe Of Consciousness How Matter Becomes Imagination: How Matter Becomes Imagination, Gerald Edelman & Giulio Tononi 2008, Hachette.
e) Self Comes to Mind: Constructing the Conscious Brain, António Damásio 2012, Vintage.
f) Consciousness and the Brain: Deciphering How the Brain Codes Our Thoughts, Stanislas Dehaene 2014, Viking.
g) “A neuronal model of a global workspace in effortful cognitive tasks”, Stanislas Dehaene, Michel Kerszberg & Jean-Pierre Changeux 1998, Proceedings of the National Academy of Sciences, 95, 14529-14534.
h) “Toward a computational theory of conscious processing”, Stanislas Dehaene, Lucie Charles, Jean-Ŕemi King & Śebastien Marti 2014, Current opinion in neurobiology, 25, 760-84.
[16] 大卫·查尔默斯全面地讨论了“涌现”（emergence）这个词在物理学和哲学中的不同意义：http://cse3521.artifice.cc/Chalmers-Emergence.pdf.
[17] 我关于“意识就是信息以某种复杂的方式处理时的感觉”的论证：
a) https://arxiv.org/abs/physics/0510188.
b) https://arxiv.org/abs/0704.0646.
c) Max Tegmark 2014, Our Mathematical Universe, Random House.（中文书名：《穿越平行宇宙》）。
d）大卫·查尔默斯在他1996年的书《有意识的头脑》（The Conscious Mind）中也表达了相关的感觉：“体验就是由内部而来的信息；物理学就是从外部而来的信息。”
[18] “A theoretically based index of consciousness independent of sensory processing and behavior”, Adenauer Casali et al. 2013, Science translational medicine, 5, 198ra105, http://tinyurl.com/zapzip.
[19] 信息整合理论不适用于连续系统：
a) https://arxiv.org/abs/1401.1219.
b) http://journal.frontiersin.org/article/10.3389/fpsyg. 2014. 00063/full.
c) https://arxiv.org/abs/1601.02626.
[20] 克莱夫·韦尔林的短期记忆只能保持30秒（扫码中文版序最后一页上的二维码，获取“湛庐阅读”APP，搜索“生命3.0”获取对他的采访视频）。
[21] 斯科特·阿伦森对信息整合理论的批评：http://www.scottaaronson.com/blog/?p=1799.
[22] 斯科特·阿伦森对信息整合理论的批评，认为整合度不是意识的充分条件：http://tinyurl.com/cerrullocritique.
[23] 信息整合理论预测，模拟的人类将是无意识的僵尸：http://rstb.royalso-cietypublishing.org/content/370/1668/20140167.
[24] 默里·沙纳汉对信息整合理论的批评：http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1504/1504.05696.pdf.
[25] 无意盲视：http://tinyurl.com/blindsight-paper.
[26] 在每秒进入我们大脑的信息中，我们可能只意识到了很少的部分（比如说10-50比特）：Küpfmuüller, K. 1962, “Nachrichtenverarbeitung im Menschen”, in Taschenbuch der Nachrichtenverarbeitung, Steinbuch, K., Ed., 1481-1502; Nørretranders, T. 1991, The User Illusion: Cutting Consciousness Down to Size, Viking.
[27] 支持和反对“不能获取的意识”（consciousness without access）的例子：“How neuroscience will change our view on consciousness”, Victor Lamme 2010, Cognitive Neuroscience, 204-20, http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/17588921003731586.
[28] 这个问题及其相关问题在丹尼尔·丹尼特（Daniel Dennett）的《意识的解释》（Consciouness Explained）一书中有详细讨论。
[29] 一个先驱对“系统1”和“系统2”的精彩介绍：Daniel Kahneman 2011, Thinking, Fast and Slow, Farrar, Straus & Giroux.
[30] 斯坦福哲学百科全书的这篇文章对自由意志的争论进行了评述：https://plato.stanford.edu/entries/freewill.
[31] 斯塞斯·劳埃德解释了为什么人工智能会觉得自己拥有自由意志（扫码中文版序最后一页上的二维码，获取“湛庐阅读”APP，搜索“生命3.0”获取视频）。
[32] 参见：Dreams of a Final Theory: The Search for the Fundam-ental Laws of Nature.
[33] 第一篇对我们遥远未来的全面科学分析：Dyson, Freeman J. 1979, “Time without end: Physics and biology in an open universe”, Reviews of Modern Physics 51.3, 447, http://tinyurl.com/dysonfuture.
后记 未来生命研究所团队风云传
[1] 波多黎各会议产生的那封公开信（http://futureoflife.org/ai-open-letter/）认为，如何让人工智能系统稳健和有益，这个问题不仅很重要，而且迫在眉睫，并指出，已经有一些具体的研究方向可供今天的人们研究，比如这份研究优先级文件：http://futureoflife.org/data/documents/research_priorities.pdf.
[2] 我就人工智能的安全性问题对埃隆·马斯克进行了采访（扫码中文版序最后一页上的二维码，获取“湛庐阅读”APP，搜索“生命3.0”获取采访视频）。
[3] 在这个视频集锦中，你可以看到SpaceX的几乎每一次火箭着陆尝试，从第一次成功的海上着陆开始（扫码中文版序最后一页上的二维码，获取“湛庐阅读”APP，搜索“生命3.0”获取采访视频）。
[4] 这篇文章嘲笑了那些对我们的公开信危言耸听的新闻：http://www.popsci.com/open-letter-everyone-tricked-fearing-ai.
[5] 致力于让人工智能有益于人类和社会的企业伙伴关系：https://www.partnershiponai.org.
[6] 最近一些表达观点的人工智能报告：
a）斯坦福的人工智能百年研究：http://tinyurl.com/stanfordai.
b）白宫关于人工智能未来的报告：http://tinyurl.com/obamaAIreport.
c）白宫关于人工智能与就业的报告：http://tinyurl.com/AIjobsreport.
d）电气和电子工程师协会关于人工智能和人类幸福的报告：http://standards.ieee.org/develop/indconn/ec/ead_v1.pdf.
e）美国机器人发展路线图：http://tinyurl.com/roboticsmap.
[7] 在被删掉的原则中，我最喜欢的是这个：“意识警惕：由于还未达成共识，我们应该避免对先进的AI是否拥有意识或是否需要意识或感觉做出强假设。”这个原则经历了多次修改，在最后的版本中，“意识”这个颇有争议的词被“主观体验”所替代，但这个原则只获得了88%的认可，差一点就达到90%的标准了。
[8] 与埃隆·马斯克等伟大的思想家一起探讨超级智能的讨论小组：http://tinyurl.com/asilomarAI.
致谢
我很感激每一位鼓励和帮助我写这本书的人。
我的家人、朋友、老师、同事和合作者多年来对我的支持和启发；
我的母亲点燃了我对意识与意义的好奇心；
我的父亲为了让世界变得更美好而不懈奋斗；
我的儿子菲利普和亚历山大证明了人类水平智能的奇迹。
感谢这么多年以来全世界各地与我联系的科技爱好者们，他们分享问题和评论，并鼓励我追寻和发表我的思想。
感谢我的经纪人约翰·布罗克曼（John Brockman），他一直向我“施压”，直到我同意写这本书；感谢鲍勃·佩纳（Bob Penna）、杰西·塞勒（Jesse Thaler）和杰里米·英格兰（Jeremy England），他们分别与我进行了关于类星体、溜滑子和热力学问题的讨论。
感谢那些读过部分手稿并给予我反馈的人，包括我的母亲、我的兄弟佩尔（Per）、路易莎·巴赫特（Luisa Bahet）、罗伯特·本辛格（Robert Bensinger）、凯特琳娜·伯格斯特龙（Katerina Bergström）、埃里克·布莱恩约弗森（Erik Brynjolfsson）、丹妮拉·奇塔（Daniela Chita）、戴维·查尔默斯（David Chalmers）、尼马·德赫加尼（Nima Deghani）、亨利·林（Henry Lin）、艾琳·马尔姆斯科尔德（Elin Malmsköld）、托比·奥德（Toby Ord）、杰里米·欧文（Jeremy Owen）、卢卡斯·佩里（Lucas Perry）、安东尼·罗梅罗（Anthony Romero）和纳特·索尔斯（Nate Soares）。
还要感谢对整本书的草稿提出评论的超级英雄们，他们是梅亚、我的父亲、安东尼·阿奎尔（Anthony Aguirre）、保罗·埃尔蒙德（Paul Almond）、马修·格拉夫斯（Matthew Graves）、菲利普·赫尔比格（Philip Helbig）、理查德·马拉（Richard Mallah）、戴维·马布尔（David Marble）、霍华德·梅辛（Howard Messing）、路易诺·西奥亚尼（Luiño Seoane）、马林·索里亚彻克（Marin Soljačić）、扬·塔里安（Jaan Tallinn）和我的编辑丹·弗兰克（Dan Frank）。
最应该感谢的是我心爱的缪斯与旅伴——梅亚，她给予我不懈的鼓励、支持和启迪。没有她，这本书将不复存在。
延伸阅读
《人工智能时代》
◎ 《经济学人》2015年度图书。人工智能时代领军人杰瑞·卡普兰重磅新作。
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(1) 欧文·古德（Irving Good）提出的“智能爆炸”（intelligence explosion）是指，智能机器在无须人干预的情况下，能不断地设计下一代智能机器。——编者注
(2) 为了简化起见，我假定这个故事的经济和科技背景与当下无异，但大多数研究者都认为，人类水平的通用人工智能至少还有几十年才能实现。假如数字经济持续增长，并且越来越多的服务无须讨价还价就可以从网上订购，那么，欧米茄团队的计划在未来应该会比现在更容易实现。
(3) MTurk是这样一种平台，用户既可以通过回答别人的调查挣些小钱，也可以自己发布问题获得结果，获得结果也是需要支付一些钱的。——编者注
(4) 称为“我们的可观测宇宙”，或简称为“我们的宇宙”。
(5) 量子涨落是指空间任意位置能量的暂时变化，根据德国著名物理学家沃纳·海森堡的不确定性原理，空无一物的空间能随机地产生少许能量，前提是该能量在短时间内重归消失；产生的能量越大，则该能量存在的时间就越短，反之亦然。——编者注
(6) 生命为什么会变得越来越复杂？原来，足够复杂的生命会得到进化的犒赏，奖品是一种预测及利用环境规律的能力。因此，在越来越复杂的环境中，就会进化出越来越复杂和智能的生命。这个更加聪明的生命又会为竞争者创造出一个更加复杂的环境，而这些竞争者又因此而进化得更加复杂，最终创造出一个充满极端复杂生命的生态系统。
(7) 强人工智能是指，在所有认知任务上都与人类差不多的人工智能。
(8) “奇点”理论的支持者认为，当“奇点”到来之时，死人可以被复活（可能是以电子形式），意识可以被转移到机器中。——译者注
(9) 关于人工智能的对话很重要，表现在两个方面：紧迫性和影响力。气候变化或许会在50～200年内肆虐四方，但与气候变化相比，许多专家预计，人工智能会在几十年内造成更大的影响，可能还会给我们带来缓解气候变化的科技。与战争、恐怖主义、失业、贫困、移民和社会公平等问题相比，人工智能的崛起会带来更大的整体性影响。事实上，我们会在这本书中探讨人工智能将如何影响以上所有问题，无论是从好的方面还是坏的方面。
(10) 马文·明斯基（Marvin Minsky）是人工智能领域的先驱之一，其经典著作《情感机器》为我们描绘了一幅塑造未来机器的光明图景。本书已由湛庐文化策划，浙江人民出版社出版。——编者注
(11) 1956年夏天，28岁的约翰·麦卡锡（John McCarthy）与同龄的马文·明斯基、37岁的纳撒尼尔·罗切斯特（Nathaniel Rochester）以及40岁的克劳德·香农（Claude Shannon）组织了一次人工智能的专题讨论会，这个会议就是历史上有名的达特茅斯夏季研讨会，被认定是人工智能研究的诞生之日。——编者注
(12) 赛博格（Cyborg）是一种机械化有机体，又称改造人，指的是同时具有有机体和生物机电部分的人。现在，赛博格已经从想象中的概念变成了现实。——编者注
(13) 若想理解这一点，请想象一下，假如有人声称，奥运会运动员的运动能力可以用一个数字来量化，这个数字称为“运动商”（Athletic Quotient），简称“AQ”，而AQ最高的人可以直接获得所有运动项目的金牌。你会怎么想呢？
(14) 有些人喜欢将“人类水平的人工智能”或“强人工智能”作为通用人工智能的同义词，但这是有问题的。从狭义的角度来说，一个计算器也可以算得上人类水平的人工智能。“强人工智能”的反义词应该是“弱人工智能”，但把深蓝计算机、沃森和AlphaGo这类“狭义人工智能”系统称为“弱人工智能”是一件令人觉得很古怪的事情。
(15) 迈克斯·泰格马克生于1969年。——编者注
(16) 感觉运动（sensorimotor）是指刺激作用于感觉神经而传至大脑，再由运动神经做出动作的活动。——编者注
(17) 泰格马克在这里用“universal intelligence”与“universal computer”（通用计算机）进行类比，按理来说，应该将两个“universal”翻译成同一个词“通用”。但“通用智能”是另一个词组“general intelligence”的专有翻译，为避免混淆，我将“universal intelligence”翻译成“普遍智能”。——译者注
(18) 机器码是指将硬件序列号经过一系列加密、散列形成的一串序列号。——编者注
(19) 与非门（NAND gate）是数字电路的一种基本逻辑电路，其英文名称“NAND”是“NOTAND”的简称。一个与门（AND gate）只有当两个输入都为1时，才会输出1；因此，非与门的输出正好相反。
(20) 在这里，“定义明确的函数”指的是数学家和计算机科学家所说的“可计算函数”（computable function），也就是某些假想计算机在内存和时间无限的情况下可以计算出来的函数。艾伦·图灵和阿朗佐·丘奇曾有个著名的证明，某些函数尽管可以被描述，但却是不可计算的。
