在接下来的几个月里，我总在考虑他的猜想。坦白地说，我一半认为它是错的。然而，奇怪的是，我与普里泽（Ronen Ples-ser）做过的一个看似不相干的项目令我很快完全改变了看法。普里泽那时是哈佛的研究生，现在在魏茨曼研究所和杜克（Duke）大学，我们曾满怀热情地想发展一种方法，从一个初始的卡-丘空间出发，用数学操作生成一种尚未知晓的卡-丘形态。我们特别感兴趣的是所谓的轨形变换（orbifolding）技术，先前是由狄克松、哈维（Jeffrey Harvey，在芝加哥大学）、瓦法和惠藤在20世纪80年代中期发展起来的。粗略地讲，就是将原来的卡-丘空间里不同的点黏在一起，按一定的数学法则生成一个新的卡-丘空间。图10.4示意了这样一个过程。这幅图背后的数学是很可怕的，因为这一点，弦理论家只是对最简单的空间形态——如图9.1的高维多孔面包圈——考察了这种技术的应用情况。不过，普里泽和我发现，革普纳（Doron Gepner，那时在普林斯顿大学）的一些美妙发现也许能提供一个有力的理论框架，把轨形变换技术推行到如图8.9那样复杂的卡-丘空间。
经过几个月的紧张探寻，我们得到一个令人惊讶的结果。如果以恰当方式把某些特殊的点黏接在一起，生成的卡-丘空间将以一种奇异的方式表现出与原来空间的区别：新空间的奇数维的孔数等于老空间的偶数维的孔数，反过来也对。特别的是，这意味着孔的总数——从而粒子族的数目——是相同的，尽管两个奇偶相对的空间形态和基本的几何结构当然是完全不同的。5
图10.4 所谓环形变换技术是这样一个过程：通过将初始卡-丘空间的不同点黏接在一起而生成一个新的卡-丘空间。
结果显然与狄克松等人的猜想相关，这令我们很兴奋。接下来，普里泽和我又去研究一个关键问题：那两个卡-丘空间除了粒子族的数目相同而外，别的物理性质也相同吗？经过两个多月仔细而艰难的数学分析，其间还得到我的学位论文导师、牛津大学的罗斯（Graham Ross）和老朋友瓦法的启发和鼓励，普里泽和我最后得到了答案：差不多可以肯定是那样的。因为一个与交换奇偶性有关的数学理由，我们以镜像流形来称这些在物理上等价而几何形态不同的卡-丘空间。6每一对镜像卡-丘空间当然并不是我们平常讲的字面意义的镜像。尽管它们有不同的几何性质，在用于弦理论的额外空间时，却能生成同一个物理的宇宙。
发现这个结果后的几个星期，我们是在焦虑中度过的。普里泽和我都明白，我们正在弦理论的一个浪头上，我们证明，爱因斯坦建立的几何与物理学的紧密联系在弦理论中焕然一新了：在广义相对论中意味着不同物理性质的不同几何形态，在弦理论中却可能生成相同的物理。但是，假如我们错了呢？假如那些物理性质以我们忽略了的某种微妙方式产生变化呢？我们把结果告诉了丘成桐，他礼貌然而严厉地指出，我们一定在哪儿错了；他说，从数学观点看，我们的结果太离奇了，不会是真的。他的意见使我们很犹豫。如果一个小结论或不会太引人注意的结论，犯点儿错误也许还算不得什么；而我们的结果是在一个新方向上迈出的意想不到的一步，当然会引起强烈反响。如果它错了，所有的人都会知道。
最后，我们把文章反复检查了，越来越有信心，就拿出去发表。几天以后，我正坐在哈佛的办公室时，电话响了。那是得克萨斯大学的坎德拉斯打来的。他开口就问我是不是坐好了。当然。接着他告诉我，他和两个学生林克（Monika Lynker）和施姆里克（Rolf Schimmrigk）发现了一样东西，会让我从椅子上蹦起来。他们仔细考察了计算机生成的大量卡-丘空间例子，发现这些空间几乎都是成对出现的，两个空间的差别仅在于奇数维和偶数维的洞的数目相互交换了。我告诉他，我还坐得好好的——普里泽和我已发现了相同的结果。坎德拉斯和我们的结果原来是互为补充的：我们走得远一点，证明了镜像空间生成的物理学是一样的；而坎德拉斯和他的学生证明大量的卡-丘空间都以镜像对的形式出现。通过这两篇文章，我们发现了弦理论的镜像对称。7
镜像对称的物理学和数学
爱因斯坦在空间的几何与物理的现象间建立的刚性而惟一的联系，在弦理论中获得了解放，这是一个惊人的“范式的转移”。但这些发展所带来的远不只是哲学态度的改变。镜像对称还特别为认识弦理论的物理和卡-丘空间的数学提供了强大的工具。
在所谓代数几何领域从事研究的数学家，在弦理论发现很久以前就一直在为纯数学的理由研究卡-丘空间。他们发现了这些空间的许多具体性质，没有一个显得有未来的物理意义。不过，卡-丘空间的某些性质已经证明是很困难的——基本上不可能完全揭示出来。但弦理论的镜像对称的发现极大改变了这种局面。大致说来，镜像对称说的是，原来认为毫不相干的特殊的卡-丘空间对现在被弦理论紧紧联系在一起了。联结它们的是一个共同的物理宇宙，任选一个空间作为卷缩维的空间形式，都将生成这样的宇宙。这种意外的内在联系提供了一个新的有力的物理学和数学工具。
举例来说，假如你在忙着计算与卷缩维的某个卡-丘形式相关联的物理性质——如粒子的质量和力荷。你并不特别关心计算结果与实验的联系，因为我们已经看到，现在做那些实验还有大量理论和技术的障碍。实际上，你是在靠思想实验做计算，关心的是假如选择了某个卡-丘空间，宇宙应该像什么样子。开始计算的时候，一切都还顺利；但接着，你的计算遇到了难以逾越的障碍。没人能帮你，世界上最好的数学家也不知道该怎么往下算。你迷失了方向。但是你后来发现这个卡-丘空间有一个镜像伙伴。因为这两个空间生成的弦物理是完全相同的，你意识到自己可以自由地随便拿一个来做计算。于是，你用原来那个卡-丘空间的镜像伙伴重新做刚才那些艰难计算，你相信计算的结果——物理——应该是一样的。起初你可能认为重新做的计算也会像原来那么难，但你却惊喜地发现，两个计算虽然结果会是一样的，但具体形式却大不相同。原来的某些可怕的计算，在镜像的卡-丘空间里变得非常简单了。为什么会这样呢？这不是两三句话就能说明白的，不过，至少对某些计算来说，几乎肯定是这样的，而且计算的难度可以大大降低。它的意义自然是清楚的：你从迷失的方向里走出来了。
这多少有点儿像下面的例子。假设有人陪你数一堆橘子，橘子随便堆放在一只大果箱里，那箱子3米长，3米宽，3米高。起初，你一个个地数，但很快发现这太累人了。幸运的是，这时来了一个朋友，他是看到橘子送来的。他告诉你，橘子原来整整齐齐堆放在小箱子里（他正好拿着一只那样的箱子），小箱子堆在一起，长、宽、高都是20个。你很快算出，送来了8000小箱橘子。现在你需要知道的只是数清一只小箱子里能堆放多少橘子。这是很容易的。你从朋友那儿借来小箱子，用橘子把它填满，这样，原来那艰巨的使命不费吹灰之力就完成了。总之，发现一种聪明的计算方法，做起来就容易得多。
弦理论中的许多计算都是这种情形。从一个卡-丘空间看，计算可能牵涉大量艰苦的数学步骤；然而，如果转移到它的镜像空间，计算可以更有效地重新组织，从而能够相对容易地实现。这一点是普里泽和我发现的，后来，坎德拉斯和他的合作者得克萨斯大学的奥莎（Xenia de la Ossa）、帕克斯（Linda Parkes）和马里兰大学的格林（Paul Green），令人惊奇地将它投入了实践。他们证明，几乎所有困难的计算都能在镜像空间里实现，只需要一台电脑和几页的代算计算。
这对数学家来说更是特别激动人心的发现，因为其中的某些计算也曾令他们困惑过多年。用物理学家的话说，弦理论把它们都解决了。
现在你该明白，在数学家和物理学家之间存在着许多有益的而且通常是友好的竞争。事实上，两个挪威数学家——埃林斯鲁德（Geir Ellingsrud）和斯特罗姆（Arild StrOmme）——就曾计算过坎德拉斯和他的伙伴们用镜像对称成功解决了的一个问题。大体说来，那相当于计算在某个特别的卡-丘空间里能“堆放”多少个球，有点儿像我们在大果箱里数橘子的问题。1991年，在伯克莱举行的一次物理学家和数学家会议上，坎德拉斯宣布他的小组用弦理论和镜像对称得出的结果是317206375。埃林斯鲁德和斯特罗姆也宣布了他们艰难的数学计算结果：2682549425。几天里，数学家和物理学家一直在争论：谁是对的？这个问题成了弦理论定量可靠性的真正考验。许多人甚至说——多少带点儿玩笑——这是弦理论能否与实验对比的最好检验。另外，坎德拉斯的结果远不仅是埃林斯鲁德和斯特罗姆也计算了的数值结果，他们还宣布说回答了许多别的极端困难的问题——实际上，那些难题连数学家也从未想过。但弦理论可信吗？数学家和物理学家们在会上进行了广泛的交流，可分歧最终还是没能解决。
大约一个月过后，一封电子邮件在参加过伯克莱会议的人中间传开了，信的主题是物理学赢了！埃林斯鲁德和斯特罗姆在他们的计算机代码中发现了一个错误，改正以后他们也证实了坎德拉斯的结果。从那以后，许多数学家都来检验弦理论镜像对称的定量可靠性：所有的检验都胜利通过了。在物理学家发现镜像对称近10年后，最近，数学家在揭示其内在的数学基础方面取得了重大进展。根据数学家康泽维奇（Maxim Kontsevich）、曼宁（Yuri Manin）、田刚（Gang Tian）、李军（Jun Li）和吉温托尔（Ale-xander Givental）等人的重要成果，丘成桐和他的合作者刘克峰等终于从数学上严格证明了用来计算卡-丘空间能放多少个球的公式，从而解决了困扰数学家几百年的一大难题。
除了这场独特的胜利，这些发现真正让我们看到物理学开始在数学舞台上崭露头角了。过去许多时候，物理学家曾在数学的仓库里“发掘”出一些工具来构造和分析物理世界的模型。现在，通过弦理论的发现，物理学家开始偿还他们的债务，为数学提供新的方法去解决他们的未解问题。弦理论不仅树起一个统一的物理学框架，还可能实现一个同样深刻的数学大联合。
注释
1.为了讨论的完整，还应该说明，虽然到现在为止我们在书中讲的许多东西都同样适用于开弦（两端自由的弦）或闭弦圈（这正是我们所关心的），但在这里讨论的问题上，两种弦将表现出不同的性质。毕竟开弦是不会缠绕在某个卷缩维的。不过，圣巴巴拉加利福尼亚大学的Joe Polchinski和他的两个学生戴建辉（Jian-Hui Dai）和Robert Leigh在1989年说明了开弦如何能很好地符合我们在这一章得到的结论。他们的成果最终将在第二次超弦革命中发挥重要作用。
2.如果你想知道为什么均匀振动的允许能量是1/R的整数倍，请回想一下第4章的量子力学讨论——特别是关于那个仓库的讨论。我们从那里知道，量子力学的能量像钞票一样，是离散的能量“元”组成的：是不同能量“元”的整数倍。在管子世界均匀振动的弦的情形，能量元正好是1/R，我们在正文里用不确定性原理解释过了。这样，均匀振动的能量就是1/R的整数倍。
3.从数学上讲，在卷缩维半径为R或1/R的宇宙中，弦能量的形式为v/R+wR，这里v为振动数，w为缠绕数。同时交换v与w和R与1/R——即交换振动数与缠绕数，同时半径换为倒数，这个方程的形式是不变的。这就是两个宇宙的弦能量相同的原因。我们在讨论中用的是普朗克单位，也可以换成更传统的单位，即用一个所谓弦标度来改写能量公式——弦标度的值大约是普朗克长度，10-33厘米。这样，弦能量可以表达为v/R+wR/α′，在交换v与w和R与α′/R时，它是不变的。这里，R和α′/R用的是传统的距离单位。
4.你大概很奇怪，在半径为R的卷缩维上缠绕着的弦怎么可能测得那半径是1/R呢？这种忧虑是很正常的，不过，问题本身却表述得不够准确。你知道，我们在说弦绕着半径为R的圆时，必然利用了某个距离定义（这样“半径为R”才有意义）。但这一个距离定义却是与未缠绕的弦模式相关的——即与振动模式相关。从这个定义——也只有从这个定义——看，缠绕的弦在空间的卷缩维展开。然而，从第二个距离定义——即与缠绕弦相关的那个定义——看，它们却是局限在空间的一点，就像第一种定义观点下的振动弦一样，而那“一点空间”的半径在它看来是1/R，如正文所讲的。
这多少说明了缠绕和未缠绕的弦所测得的半徑是互为倒数的，但是，这一点还是有点儿难以捉摸，看来我们应该为对数学感兴趣的读者说说它背后的数学。在普通的点粒子量子力学里，距离与动量（本质上还是能量）通过傅立叶变换相联系。就是说，在半徑为R的圆周上的位置本征态|x＞可以定义为，这里p=v/R，而|p＞是动量本征态（类似于我们所说的弦的均勻振动模式——没有形变的整体运动模式）。但在弦理论中，还存在另一个位置本征态的概念，，通过缠绕弦的状态来定义：，这里是缠绕弦的本征态，。根据这些定义，我们马上发现，x以2πR为周期，以2π/R为周期。这说明x是半径为R的圆周上的位置坐标，是半径为1/R的圆周上的位置坐标。说得再具体些，我们现在可以让两个波包|x＞和从原点开始随时间演化，从而实现我们的两个操作方法来定义距离。不论用哪种方法，圆周的半径都正比于波包回到原来状态所需的时间。由于能量为E的状态伴着相因子Et演化，所以对振动模式来说，时间（从而也是半径）为t〜1/E〜R；而对缠绕模式来说，t〜1/E〜1/R。
5.对数学感兴趣的读者可以看到，更准确地说，弦振动的族数等于卡-丘空间欧拉特征数的一半，这在上一章注释3里已经说过了。这个数由与之差的绝对值来确定。这里是（p,q）Hodge数。这两个量分别给出了非平凡同调3-圆（“三维孔”）和同调2-圆（“二维孔”）的数目（精确到一个数值变换）。因此，我们在正文里讲孔的总数，而准确地说，族数依赖于奇数维和偶数维孔洞数之差的绝对值。然而结果是相同的。例如，如果两个卡-丘空间的差别在于各自的和Hodge数是相互交换的，粒子族数——以及“孔”的总数——是不会改变的。
6.这个名字源于这样一个事实：“Hodge钻石”——卡-丘空间中不同维的孔洞的数学概括——对一对卡-丘空间来说是互为镜像反射的。
7.镜像对称这一名词也用于物理学的其他完全不同的场合。如我们在第7章、第8章讨论过的手征性问题——即宇宙是否是左-右对称的——讲的便是另一种镜像对称。
