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不过，纳白尔的工作是无与伦比的。他的非凡成果，惊动了一位住在伦 敦的天文数学家，牛津大学教授布里格斯 （Briggs，1561～1631）。布里格 斯几乎陶醉于纳白尔奇特而精妙的对数理论，渴望能亲睹这位创造者的容 颜！ 公元1616年初夏，布里格斯去信给纳白尔，希望能有机会亲自拜访他。 纳白尔久仰布里格斯大名，立即回信，欣然应允，并订下了相会的日期。不 久，布里格斯便登上了前往爱丁堡的旅途。 伦敦与爱丁堡之间路遥千里，而当时最快的交通工具只有马车，虽然日 夜兼程，也需要数天时间。而两位科学家却早已心驰神往，大家都极为盼望 着这次会面时刻的到来！ 俗话说得好： “佳期难得，好事多磨”，偏偏在这节骨眼上，布里格斯 的马车中途因故抛锚。布里格斯心急如焚，却又无可奈何！此后虽则加速行 程，但终因此番耽搁，以致没能如期抵达爱丁堡。 话说另一头，在约定的日子里，纳白尔左等右等，终不见布里格斯的身 影，焦虑和不安使这位年近古稀的老人，似乎显得更加苍老！时间过去了一 天，正当纳白尔望眼欲穿之际，突然门外响起了阵阵铃声。纳白尔喜出望外， 急忙向大门奔去…… 。当风尘仆仆的布里格斯出现在纳白尔面前时，两位 初次见面的数学家，像老朋友般紧紧地握住对方的双手，嘴唇颤动着，却久 久说不出话来！ 在很长一段时间之后，布里格斯终于先开了口： “此番我乐于奔命，唯 一的目的是想见到您本人，并想知道，是什么样的天才使您第一次发现了这 个对天文学妙不可言的方法。” 这次会面使两位数学家结成了莫逆之交。布里格斯根据自己在牛津大学 的讲学经验，建议纳白尔把对数的底数改为10，主张 logl=lgl=0 10 log10=lg10=1 10 这样，一个数N的对数，便可明确地分成两个部分：一部分是对数首数， 只与数N的整数位数有关；另一部分是对数尾数，则由数N的有效数字确定。 这就是说，若 loN ．×××× [lg N] 则 0 ．×××× lg N [lg N] 有道是： “英雄所见略同。”纳白尔对布里格斯的建议大为赞赏，认为 这种以10为底的对数，对于通常的计算更为实用！ 就这样，纳白尔又以全部的精力投入了新对数表的制作，直至不幸逝世。 纳白尔的未竟事业，由布里格斯继承了下去。经历了艰难的八年之后， 公元1624年，世界上第一本14位的常用对数表终于问世。不过，布里格斯 的对数表实际上并不完全，只有1～2000及90000～100000各数的对数。这 一对数表的空隙部分，四年后由荷兰数学家符拉克补齐。 随着对数应用的扩大，各类精密度更高的对数表，像雨后春笋般相继出 现，蔚为壮观！其中有20位的；48位的；61位的；102位的；而如今雄踞 位数榜首的，是亚当斯的260位对数！ 随着对数表位数的增加，表格的厚度也越来越厚：四位对数表只需3页；

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5位对数表就要30页；而6位对数表则需182页，……面对着这一本厚似一 本的表格，人们终于引起了反思。实践使他们意识到，表的位数如果多于计 算量的度量精度，那么表的位数越高，造成的时间和精力的浪费也就越大！ 于是，在实用的指导下，人们又逐渐从高位对数表，退回到低位对数表上来。 目前全世界的教科书，采用的几乎都是四位对数表，这种表的使用，读者想 必是很熟悉的！ 对多位对数表反思的另一个结果，是更为快速计算工具的诞生。下图是 一把常见的计算尺式样，标尺上的读数分为三级，因此可以读出三个有效数 字 （如下图）。对精度要求不太高的计算，计算尺是十分方便的！ 计算尺的前身是纳白尔算筹，它是纳白尔于公元1617年发明的。那是在 一些长方形的板片上刻写数码，对起来进行乘除、乘方、开方运算。纳白尔 算筹于公元 1645年由我国学者汤若望引进国内，当时国内学者对此兴趣颇 高。这种算筹目前北京故宫博物馆仍然藏有数套。 对数表和计算尺源出同宗，但优劣各异：精度高的速度慢；速度快的精 度低。是否存在得兼两者长处的计算工具呢？几个世纪来，科学家们用自己 的聪明才智，进行着努力的探索！ 公元1642年，法国数学家帕斯卡 （Pascal，1623～1662）制造出了世界 上第一台加法计算机，打响了攻坚的第一炮。 公元1677年，著名的德国数学家莱布尼兹发明了乘法计算机。 公元1847年，俄国工程师奥涅尔研制成了世界上第一部功能完善的手摇 计算机。 我国人工计算机的研制工作起于清初康熙年间。公元1685年至公元1722 年期间我国自行制造的原始手摇计算机，至今仍有十台，保存于故宫博物馆。 世界上第一台电子计算机，是公元1946年，在美籍匈牙利数学家冯·诺 依曼 （Von Neumann，1903～1957）领导下制成的。它标志着人类开始走进一 个光辉的时代——电子时代！ 今天，电子计算机已经更新了好几代，面目远非半个世纪前所能相比， 各式各样先进的电子计算工具，也早已替代了计算尺和对数表。然而，对数 表的发明和它在历史上的功绩，将永不磨灭！ 并非危言耸听 公元1972年，尼克松被再次当选为美国总统后，建议美苏两国联合攻克 癌症。建议立即被采纳。美方赠送了供研究的23种致癌病毒；苏方回赠了六 名癌症患者的癌细胞标本。 翌年一月，美国国立癌采研究中心决定，将苏联的癌细胞标本分送给几 位科学家研究。其中的一份，送到了加州细胞培养所长实验所所长尼尔森芮 斯博士手上。 尼尔森芮斯经过几番周折，终于弄清了，所有苏方赠送的六各标本，全 是二十多年前死去的美国黑人拉克丝的细胞。 原来拉克丝1951年10月死于一种罕见的子宫颈癌。这种特殊的癌细胞 具有极强的繁殖力和生命力。拉克丝从发现第一个病灶到死亡，整个过程不 足八个月。科学家们提取这种癌细胞加以培养，发现这些癌细胞竟以 x y=A·2 0

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这样的指数曲线疯狂地生长！每 24小时便增加一倍 （上式中A为原始数量， 0 X为天数）。就这样，这种新发现的癌细胞被命名 “海拉”，并被严格控制 于实验室。 “海拉”细胞在不足一个月时间内，便能增加数千万倍，这使过去一直 认为的，健康细胞 “自发”转变为癌细胞的神秘现象，得到了新的解释。原 来所谓 “自发”转变，只不过是“海拉”细胞消灭并占领了整个培养物！ 然而事过二十多年， “海拉”细胞不仅没有死亡，而且还令人费解地流 到国外，出现在莫斯科！于是，尼尔森芮斯博士撰文向全世界敲起了警钟： “如果听任‘海拉’细胞在最适宜的情况下毫无抑制地生长，那么到现在为 止，它们很可能已经占领整个世界！” 这是危言耸听吗？不！这是科学的结论！ 如果任其疯狂生长，那么按理论计算，一年后将达到 365 y=A·2 0 现在，我们已经有了对数工具，让我们计算一下，这个数字究竟有多大 365 ∵ lgy=lgA+lg2 0 =lgA+365×lg2 0 =lgA+365×0.3010 0 y ∴lg 109.865 A 0 109 从而 y=7.328×10A 0 这样多的细胞，不必说占领整个地球，就是占领整个宇宙也不算过分！ 好在人类已经学会了对生物的有效控制，才制止了这种有害生物指数般 的繁殖和生长。 具有讽刺意味的是：人类虽然很早就注意控制生物，却迟迟才注意控制 人类自己，世界人口依然按一条可怕的指数曲线在增长着！ 公元初地球上的人口不足2亿5千万人，到公元1650年世界人口也才达 到5亿，让我们计算一下这段期间世界人口的增长率P： 8 8 1650 ∵5×10=2.5×10(1+P) 1650 ∴ 2=(1+P) lg2=1650lg(1+P) ∵lg(1+P)=0.3010÷1650=0.0001824 ∴1+P=1.00042 P=0.042% 这就是说，在公元后的1600年里，人类人口每年只平均增长万分之四多 一些。然而，从公元1650年到公元1800年，仅一个半世纪，世界人口又翻 了一番。可以算出这期间世界人口增长率为0.46％，比前面高了十倍！而从 1800年到1930年，世界人口再次翻番，达20亿。1960年达30亿，1975年 达40亿，1987年达50亿，……世界人口沿着一条越来越陡峭的曲线直指上 方！ 科学家们告诫说：我们这个赖以生存的地球，最多只能养活80～100亿 人类。然而，按目前世界人口的增长速度，公元2000年，世界人口将达 65 亿，而公元2025年将突破100亿！再下去地球将无法承担这一负荷，人类将 最终毁灭自己！

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这是危言耸听吗？不！这是科学向人类提出的警告！ 公元1987年7月11日，生活在这个星球上的第50亿个人，在南斯拉夫 的萨格勒布市诞生了！这一天联合国人口活动基金会组织，向世界各国首脑， 分别赠送一台特制的 “人口钟”。这是一种奇异的计时器，除通常钟表功能 外，还能显示该时刻该世界总人口的预测数，及每分钟各国人口的变化，它 将随时提醒各国首脑重视人口问题。 追溯和预测 公元1896年，法国物理学家贝克勒尔发现，铀的化合物能放射出一种肉 眼看不见的射线，这种射线可以使它在黑纸里的照相底片感光。这种现象引 起了女科学家玛丽·居里的注意。居里夫人想，该不是只有铀才能发出射线 吧！经她悉心研究，终于又发现了一些放射性更强的元素。 公元 1903年，杰出的英国物理学家卢瑟福，设计了一个极为巧妙的实 验，证实了放射性物质放出的射线有三种，而且在放出射线的同时，本身有 一部分蜕变为其他物质。蜕变的速度不受冷热变化、化学反应及其他外界条 件的影响。 经科学家们不懈努力，人们终于弄清了放射性蜕变的量的规律：即蜕变 的变化量△m，与当时放射性物质的质量m及蜕变时间成正比。也就是说 △m -m△t 右端的负号是因为蜕变后放射性物质减少的缘故。 上式写成等式便是： △m=-km△t -kt 其中m=me 0 下面我们计算一下，究竟需要多长时间，才能使放射性物质蜕变为原来 1 的一半。为此，令m m0 ，于是 2 1 kt e 2 1 lg kT lg e 2 lg 2 1 从而 T 0.693 × k lg e k 这是一个常量，这个常量只与放射性物质本身有关，称为该放射性物质 的半衰期。右上图画的是镭的衰变情况：每隔1620年质量减为原来一半。下 表列的是一些重要放射性物质的半衰期。

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元素 同位素符号 半衰期 10 钍 Th 232 1.39 ×10 年 铀Ⅰ U 238 4.56 ×109年 镭 Ra 226 1620 年 钋Ⅰ Po 210 138 天 -4 钋Ⅱ Po 214 1.5 ×10 秒 钋Ⅲ Po 216 0.16 秒 铀Ⅱ U 234 2.48 ×105年 铀是最常见的一种放射性物质，由上表得知，它的半衰期为45亿 6000 万年。也就是说，过45亿6000万年之后，铀的质量剩下原来的一半。由于 铀蜕变后，最后变成为铅，因此我们只要根据岩石中现在含多少铀和多少铅， 便可以算出岩石的年龄。科学家们正是利用上述的办法，测得地球上最古老 岩石的年龄要为30亿年。当然，地球年龄要比这更大一些，估计有 45～46 亿年！ 应用上面的数学方法，不仅可以使我们科学地追溯过去，而且可以帮助 我们科学地预测将来。在儒勒·凡尔纳的 《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里， 作者描述了一个精彩动人的故事： “已经移去了两旁撑住船身的支持物，船准备下水了。只要把缆索解开， 船就会滑下去。已经有五六个木工在船的龙骨底下忙着。观众满怀着好奇心 注视着这件工作。这时候却有一艘快艇绕过岸边凸出的地方，出现在人们的 眼前。原来这艘快艇要进港口，必须经过 “特拉波科罗”号准备下水的船坞 前面。所以一听见快艇发出信号，大船上的人为了避免发生意外，就停止了 解缆下水的操作，让快艇先过去。假使这两条船，一条横着，另一条用极高 的速度冲过去，快艇一定会被撞沉的。 工人们停止了锺击。所有的眼睛全都注视着这只华丽的船，船上的白色 篷帆在斜阳下像镀了金一样。快艇很快就出现在船坞的正前面。船坞上成千 的人都出神地看着它。突然听到一声惊呼， “特拉波科罗”号正当快艇的右 舷对着它的时候，开始摇摆着滑下去了。两条船就要相撞了！已经没有时间、 没有方法能够防止这场惨祸了。“特拉波科罗”号很快地斜着向下面滑去…… 船头上卷起了因摩擦而起的白雾，船尾已经没入了水。 突然出现了一个人，他抓住 “特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉， 几乎把身子弯得接近了地面。不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁 桩上。他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有10秒钟。 最后，缆索断了。可是这10秒时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后， 只轻轻擦了一下快艇，就向前驶了开去！ 快艇脱了险。 下面我们用数学的方法来分析一下 “特拉波科罗”号事件： 公元1748年，瑞士数学家欧拉 （Euler，1707～1783）在他的传世之作 《无穷小分析引论》中研究了滚轮摩擦的问题（如左图）。欧拉发现：对于 一个很小的转角△a，绳子的张力差的量值△T与 T及△a成正比。即 △T △α

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写成等式为△T＝－kT△α 式中k为摩擦系数，负号是因为问题中张力的值是减少的。 -ka 其中T＝Te 0 这就是著名的欧拉滚轮摩擦公式。 现在转到故事中来。假定“特拉波科罗”号船体重50吨，船台坡度为1： 10，那么船的下滑力约为5吨，即5000公斤；又假设马蒂夫来得及把缆绳在 铁桩上绕了三圈，即 a=2π×3=6π； 而绳索与铁桩之间的摩擦系数k=0. 33。 把上述数值代入欧拉公式，便可得到马蒂夫拉住绳子另一头所需要的气 力T（公斤）为： -0.33×6π T＝5000×e T的值是很容易用对数的方法求出来的 lgT=lg5000-0.33×6×3×3.1416lge =3.6990-0.33×6×3.1416×0.4343 =0.9975 T=9.943（公斤） 这就是说，儒勒·凡尔纳笔下那位力挽狂澜的 “大力士”。实际上所用 的力气不足10公斤。这是连一个少年都能做得到的！ 变量中的常量 众所周知，目前的银行存款中，存8年期的利率，往往比存1年期或存 3年期的利率高。读者可能以为这仅仅是为了鼓励人们去存较长期限的储 蓄。实际上这是本该如此的！因为倘若存长期的利率没有比存短期的利率高 出一定限度，那么甚至于存短期的储蓄对储户更加合算！ 为说明上述的道理，我们假定所有存款的年利率均为12.5％。让我们看 一看究竟会出现什么毛病！ 假设某甲，持本金100元存入银行，一存8年，容易算出，8年后他连 本带利恰好取回200元。 又设某乙，也持本金100元存入银行，存4年；4年后取出，旋即又将 本利再次存入，又存4年。容易算出，头尾8年某乙连本带利共可收回 1 a 2 100 ×(1 ) 2 225( 元) 2 瞧！某乙把一次8年期的存款，分为两次4年期存。本身只多办一道手 续，结果竟多得了25元，这相当于本金的四分之一，可算是一笔不少的钱数！ 再设某丙、某丁、某戊，把8年的期限分得更细，分别等分成3次存、4 次存和5次存。每次取出后又立即将款全数存入。这样，头尾8年，各人分 别得款 （单位元）：

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1 a 3 100×(1 ) 3 237.04 3 1 4 a 4 100×(1 ) 244.14 4 1 a 5 100 ×(1 ) 5 248.83 5 同样，某N，也有本金100元，但把8年期限等分成n次存，每次取出 后再度存入，则8年后可得 （单位元）： 1 a n 100 ×(1 ) n n 可以证明，当分划期限越短时，到期本利和越高。不过，当n无限增大 时，变量a也不可能无限增大，它以一个常量为极限，这个常量为： n α lim α n n 1 lim[100×(1 ) n ] n n 100e 271.83 这就是说，如果存1年期的利率为12.5％，那么存8年期的年利率就必 须不低于 a 1 100 2.7183 1 P 21.48% 8 8 否则便会出现一种混乱的局面：储户为了谋求较高的利息，不惜花时间 频繁地取出又存进！ 变量中的常量，往往具有深刻的意义！ 在柯尔詹姆斯基的 《趣味数学》中，有一则关于旅行的别致故事： 甲、乙两人骑自行车旅行，某甲中途车坏，只好停下来修理，但最后因 无法修复而决定舍弃坏车，继续前进。然而，此时两人只有一车，于是约定： 一人骑车，一人步行。骑车的人到某一地方把车留下，改为步行；而后面步 行的人，起到留车的地方换成骑车。骑一段时间后又改成步行，把车留给后 者。如此这般，两人轮流骑车。问从某甲车坏时起，最少需要花多长时间， 两人才能同时抵达目的地？假定车坏处 （O）与目的地 （E）之间的距离为60 公里，自行车速度为15公里/小时，步行速度为5公里/小时。 下面让我们通过作图来探讨一下可能的解答： 以O为原点，时间为X轴，距离为Y轴，建立坐标系XOY，由于人步行 的速度和自行车速度都是变化过程中的常量，因此它们分别表现为坐标系 XOY中的射线OC和OD。

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如上页图 （A），令 E、E分别为甲、乙两人车坏后第一次和第二次相 1 2 遇的地点。此时，某甲先是步行到A，然后骑车经过E抵达A，又改成步行 1 1 2 到E；而某乙则先骑车到B，然后由B步行经E到达B，又改成骑车抵E； 2 1 1 1 2 2 当然，在E相遇后各人依然继续前行。由于车速和人速始终保持不变，所以 2 表示骑车或表示步行的线段，应当各自平行。即四边形 OAEB及 EBEA 111 1222 均为平行四边形。又注意到甲改步行为骑车，与乙改骑车为步行，位于同一 地点。因此线段AB及AB等都平行于 X轴。假定两次换车的地点距 O处 11 22 分别为y，y公里。则因射线OC、OD的方程为 1 2 OC： ＝5X y OD： ＝15xy 可得A、B两点的坐标如下： y 1 y 1 A( ,y ); B( ,y ) 5 1 15 1 从而E点坐标 （xE，y ）为： 1 1 E1 y 1 y 1 4 xE 1 xA x B y 1 5 15 15 y y y 2y E 1 A B 1 yE 1 2y 1 15 x 4 2 E 1 15y 1 15 y E 1 ( )x E1 2 15 这表明E 点位于由原点发出的斜率为 的射线上。同理，E ，E ， 1 2 2 3 ……也应当都位于这条射线上。再由于O点离目的地E距离为60公里，因此 到达的时间X应满足： 15 60 ( )x 2 从而X＝8（小时） 上述结果表明：不管甲乙两人在路途上骑车、步行怎样换来换去，只要 是同时到达目的地，所用的时间总是8小时！这一类变量中的常量，并不是 所有人一开始都能知道的。 有时某些变化的量中，总保持着某种特定的关系。一个最常见的例子， 就是两个正数x、x的以下关系式 1 2 x x 1 2 x x 2 1 2 等式当且仅当x=x时才成立。 1 2 上面的正数算术平均值与几何平均值的关系式，可以推广到n个数。即 对于n个正数x，x…，x有： 1 2 n x x … x 1 2 n n x x …x 1 2 n n 等号当且仅当x=x=…=x时才成立。 1 2 n

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上述不等式的一个简单而巧妙的证明，是利用对数函数y＝lgx图象的凸 性。所谓函数图象在某区间的凸性是指：在该区间函数图象上的任意两点所 连成的线段，整个地位于函数图象的下方 （或上方）。对数函数y＝lgx图象 的凸性是很容易证明的，我们建议留给读者。 现设x,x,…x为n个正数，已按从小到大排列。又A为相应于横坐标 1 2 n 1 为x的、y＝lgx图象上的点。易知，多边形A,A,…A为凸多边形，因此点 1 1 2 n 系重心 G（x，y）必位于多边形内。即有 lg x y x1 x2 …x n x n lg x 1 lg x2 …lg xn n y lg x x …x 1 2 n n x x … x 1 2 n lg lg n x x …x 1 2 n n x x … x 1 2 n 从而 n x x …x 1 2 n n 等号当且仅当x，x…x都相等时才成立。 1 2 n 上述不等式在数学的许多领域，有着广泛和有趣的应用。读者在本书的 后面章节书中，将会不止一次地发现这一不等式的特殊价值！ 出类拔萃的 “建筑师” 生物的进化，积数亿年的优胜劣汰。仍能繁衍至今的，往往包含着 “最 经济原则”的启迪。出类拔萃的 “建筑师”蜜蜂建造的蜂窝，大概是最使人 心悦诚服的实例！ 如果你细细的观察蜂窝的立体截面图，你可以清楚地看到：虽然蜂窝的 横断面是由正六边形组成，但蜂房并非正六棱柱，房底系由三个菱形拼成。 图1是一个蜂房的取样，底朝上是为了让读者看得更加清晰。对于图1的形 成，我们甚至可以想象得更加具体一点：拿来一枝正六棱柱的铅笔，未削之 前，铅笔一端的形状是如同图 的正六边形2 ABCDEF，通过AC，一刀切下 一角，然后沿着AC把切下的那一角翻到顶面上去；过 AE、CD各切同样一角， 同AC一般翻转上去，便堆成了蜂房那样形状。而蜂窝则是由这样的蜂房底部 和底部相接而成的。

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蜂房为什么是正六边形的？因为周长一定的所有图形中圆的面积最大， 然而圆是不能铺满平面的，因此不得不让位给正多边形。那么，究竟有多少 种正多边形能够铺满平面呢？读者只需注意到，这样的正多边形内角必能拼 成一个周角，就容易明白：这样的正多边形只能有三个，即正三角形、正方 形和正六边形。从下表可以看出，以上三种图形中正六边形是最经济的一种。 但是，蜂房底部的构造就不那么一目了然了。 18世纪初，法国学者马拉尔琪曾实测了蜂房底部的菱形，得出一个令人 惊异的有趣结论：拼成蜂房底部的每个菱形蜡板，钝角都等于 109°28′， 锐角则等于70°32′。 不久，马拉尔琪的发现传到了另一位法国人列奥缪拉的耳朵里。列奥缪 拉是一名物理学家，他想，蜂房底部的结构，大概应该是最节省材料的！然 而列奥缪拉却没有理出个头绪，只好去请教巴黎科学院院士，瑞士数学家克 尼格。克尼格经过精心计算，得出了更加令人惊震的结果：根据理论上的计 算，建造同样大小的容积，而用材料最少的蜂房，其底部菱形的两角应是109 °26′和70°34′。这与实测的结果仅差2′。 人们对克尼格的计算技巧和聪明才智倍加赞赏，同时认为蜜蜂在这样细 小的构筑上仅仅误差2′是不足为奇的！ 然而，一个偶然的事故，证明了蜜蜂确实是出类拔萃的，建造的房穴是 毫厘不差的。一艘船只应用克尼格用过的对数表确定方位，不幸遇难。在调 查事件起因时，发现船上用过的那张对数表竟然有些地方印错了！这件事引 起了一位著名的苏格兰数学家马克劳林 （Maclaurin，1698～1746）的注意。 公元 1743年，马克劳林重新计算了最经济的蜂房结构，得出菱形钝角应为 109°28′，锐角为 70°32′，与马拉尔琪的实测结果丝毫不差！克尼格由 于对数表的差误，算错了2′。

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我想读者一定很想了解克尼格和马克劳林的计算。不过两个半世纪来， 人们已经找到了许多有别于他们的更加简便的算法。 让我们把问题先作一番简化。本节开头讲过，蜂房底部的构造可以看成 是把正六棱柱切去三个角，然后翻转到顶面堆砌而成。这样的图形显然没有 改变原来正六棱柱的体积，现在问题的症结是：翻转后的表面积是增加呢还 是减少？ 如图5，假定正六棱柱边长为1，切去三个角的高为X，很显然，经过 切割翻转后的蜂房模型，比起原正六棱柱来说，表面积少了一个面积为 3 3 的顶面和六个直角边长为1，X的小直角三角形（图中阴影部分为一个 2 小直角三角形）；但却多了三个边长为 1 x2 ，又一条对角线为 3的菱形 面积。由于菱形面积S◇不难算出为 32 S◇ 3 · (1 x2 ) 2 1 3 · 1 4x2 2 这样，表面积的增加量，便可以表示为x的函数f(x) 3 3 f (x) 3S◇ 6S◇ 2 3 3 1 4x2 2 3 3 3x 2 显然，使表面积增加量f（X）达最小值的X，便是最经济蜂房所要求的。 让我们介绍一种，由南京师大附中学生找到的，求f（X）的最小值的方法：